2023年山东各地数学中考一模试题汇编含详解11 四边形

专题11四边形

一.选择题（共10小题）

1.（2023•泰山区校级一模）如图，将；的对角线环向两端延长，分别至点A和点C,且使AE=b,连接

AB,BC,AD,CD.求证：四边形A88为平行四边形.以下是证明过程，其顺序已被打乱，①四边形ABCD

为平行四边形;②四边形DEM为平行四边形，.∙.8=O3,OE=OF；③连接比）,交AC于点O;④又AE=CF,

A.（D@③④B.③④②①C.③②④①D.④③②①

2.（2023•岱岳区校级一模）如图，在./WCD中，CD=2AD,BEJ_Ar）于点E,尸为Z）C的中点，连接瓦'、BF,

下列结论：①NABC=2ZAB尸；②EF=BF;③S四边彩比尤=25此万；④NCFE=3NDEF,其中正确结论的个数共

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2023•历下区一模）如图，在矩形ABCO中，AB<BC,连接AC,分别以点A,C为圆心，大于LAC的长为

2

半径画弧，两弧交于点M,N,直线MN分别交4）,BC于点、E,F.下列结论：①四边形Mb是菱形；②

ZAFB=2ZACB；@AC-EF=CFCD④若AF平分N84C,则CF=Ti4B.其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

4.（2023•东明县一模）将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若NABE=20。，则NCBQ等

A.50oB.60oC.70oD.80°

5.（2023•泰山区校级一模）如图，在矩形ABa＞中，ΛB=4,3C=6,点E为BC的中点，将AAfiE沿AE折叠,

使点5落在矩形内点尸处，连接C尸，则C尸的长为（）

AD

6.（2023•泰山区校级一模）矩形ABCD与CEFG如图放置，点8,C,E共线，点C,D,G共线，连接ΛF,

取^rAE的中⅞点H,连接G”.若BC=EF=2,CD=CE=∖,则G"=（）

ɑ_____F

BI------------------------C------------E

ʌ1r2c√2√5

322

7.（2023∙东平县一模）如图，在平行四边形ABC。中，AC.加＞相交于点O,点£是。4的中点，连接的并延

∆p1

长交4）于点八已知SM=3,则下列结论：①——=-；②SMCE=27；③SBE=12；④Α4£尸SAC0.其中

ΔAtΛf∖C.Γj-vLA4X0C-ILLΛAΛDAC.A

DF2

D.①②

N分别是正方形各边的三等分点，要使中间阴影部

D.4√5

9.（2023∙东阿县一模）如图，在平行四边形ABCD中，NβM）的平分线交BC于点E,交Z）C的延长线于点尸，

作3G_LAE于G,若AB=6,AQ=9,BG=4√2,则ΔEFC的周长为（）

D

G

A.8B.9C.10D.11

10.（2023•临清市一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为AS上一点，且AE:£B=1:2,AC与DE相交于点尸，

SAAM=3,则%。为（）

A.9B.12C.27D.36

二.填空题（共7小题）

11.（2023•泰山区校级一模）如图，矩形A88的边长4）=3,AB=2,E为AB的中点，F在边品上,且8尸=2FC,

AF分别与DE、1必相交于点Λ/,N,则MN的长为

12.（2023•泰山区校级一模）如图，在菱形ABeD中，SinB=J点£,尸分别在边A0、BCl.,将四边形AEfB

5

沿EF翻折，使Λβ的对应线段MN经过顶点C,当MVJ_3C时，丝的值是

AD

13.（2023•泰山区校级一模）如图，平行四边形ΛBCE）的对角线AC,BD交于点、O,CE平分NBCD交AB于点、E,

o

交班）于点F,且ZABC=60,AB=IBC,连接OE.下列结论:①EO_LAC；②SIMm=SiMCF；③AC:BD=⑨:7；

®FB-=OFDF.其中正确的是.（填序号）

14.（2023•滕州市一模）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全

国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作所将矩形窗框AfiCD分为上下两部分，其中E为

边ΛB的黄金分割点，即BE2=AE∙AB.已知AB为2米，则线段BE的长为米.

15.（2023•滕州市一模）如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6,则重叠部分的四边

形周长是—.

16.（2023•荷泽一模）如图，在矩形A88中，AB=6,AD=IO,点E在DC上，将矩形A88沿AE折叠，点。

恰好落在BC边上的点E处，则SinNEFC的值为

17.（2023•垦利区一模）如图，在平行四边形ABCf）中，NABC=I20°.利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BF,

使BE=BF;再分别以点E、尸为圆心，大于」EF的长为半径作弧，两弧在/CBA内交于点G；作射线BG交

2

OC于点H.若AO=√E+1,则的长为.

≡.解答题（共12小题）

18.（2023•泰山区校级一模）如图，在正方形ABCE＞中，E是BC上的一点，连接A£,作垂足为H,

交CD于F,作CG"AE,交BF于G.求证：

(1)CG=BH；

(2)FC2=：BF.GF；

BEC

19.(2023•历下区一模)如图，E,F是一A88的对角线AC上两点，且A尸==CE,求证：DFHBE.

AB

20.(2023•东平县校级一模)在平行四边形AfiCD中，以ΛB为边作等边ΔABE,点E在CD上，以BC为边作等边

ΔBb,点F在71£■上，点G在BA延长线上且尸G=FB.

(1)若8=6,AF=3,求ΔAM的面积；

(2)求证：BE=AG+CE.

二

21.(2023•泰山区校级一模)如图，将矩形ABa)沿AF折叠,使点。落在BC边的点E处，过点E作EG//8交

AF于点G,连接。G.

(1)求证：四边形EEDG是菱形；

(2)求证：EG2=-AF.GF；

2

(3)若AG=6,EG=2s∕5,求BE的长.

AD

川

BEC

22.(2023∙东平县一模)如图，在四边形ABCD中，AC与8。相交于点O,且AO=CO,点E在如上，满足

ZEAO=ZDCO.

（1）求证：四边形AECZ）是平行四边形；

（2）若AB=BC,CD=5,AC=S,求四边形AEa）的面积.

23.（2023•滕州市一模）如图，已知菱形ΛBCD,点E是BC上的点，连接QE,将ACDE沿。E翻折，点C恰好

落在Ae边上的尸点上，连接。尸，延长庄，交ZX7延长线于点G.

（1）求证：ΔDFG^Δ∕¾T）;

（2）若菱形ABC£>的边长为5,AF=3,求BE的长.

24.（2023•成武县校级一模）在菱形ABCZ）中，ZBAD=UOo,如图，E是C3延长线上一点，连接OE,交AB于

点、F.G是QE上一点且NBGD=120。，连接AG,BG=2,AG=5,求E>G的长.

25.（2023•长清区一模）如图，在、A88中，对角线AC,8。相交于点O,过点O的一条直线分别交4）,BC

于点E,F.求证：AE=CF.

26.（2023•天桥区一模）矩形A88和矩形Afe户有公共顶点A和C,AE.BC相交于点G,AZKC尸相交于

点、H.求证：AABG=ACDH.

BG

E

27.(2023•博山区一模)如图，在四边形ASCZ)中，AC与BD交于点、O,BElAC,OFJ_AC,垂足分别为点£,

F,且BE=DF,ZABD=ABDC.求证：四边形ABeD是平行四边形.

28.(2023•东阿县一模)如图，在RtAABC中，ZACfi=90o,C。是RtAABC斜边上的中线，CEHAB,CE=AD.

(1)求证：四边形BDCE是菱形；

(2)过点E作EFJ.5。，垂足为点F,若点尸是BD的中点，EB=8,求BC的长.

29.(2023•临清市一模)如图，平行四边形ABCO的对角线AC、皮＞相交于点O,AF=CE.

(1)求证：ΔS4E≡ΔZX7F;

(2)若BDLEF,连接Z)E、BF,判断四边形EBF。的形状，并说明理由.

AD

专题11四边形

一.选择题（共10小题）

1.（2023•泰山区校级一模）如图，将；的对角线环向两端延长，分别至点A和点C,且使AE=b,连接

AB,BC,AD,CD.求证：四边形A88为平行四边形.以下是证明过程，其顺序已被打乱，①四边形ABCD

为平行四边形;②四边形DEM为平行四边形，.∙.8=O3,OE=OF；③连接比）,交AC于点O;④又AE=CF,

A.（D@③④B.③④②①C.③②④①D.④③②①

【答案】C

【分析】连接B£）,交AC于点O,由平行四边形的性质得。£>=03,OE=OF,再证。4=OC,即可得出结论.

【详解】解：连接3D,交AC于点O,如图所示：

四边形DEBF为平行四边形，

.-.OD=OB,OE=OF,

又AE=CF,

.∙.AE+OE=CF+OF,

即Q4=OC,

四边形AfiCD为平行四边形，

即正确的证明步骤是③②④①，

故选：C.

Z）_______________rc

AB

2.（2023•岱岳区校级一模）如图，在，ABCZ）中，CD=2AD,BELAD于点E,尸为Z）C的中点，连接麻、BF,

下列结论：①②EF=BF;③四边形

ZABC=2ZA8ASZ）HJC=2SΛEFB；④NCFE=3NDEF,其中正确结论的个数共

有（）

DFC

E

AB

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】如图延长跖交3。的延长线于G,取AB的中点”连接FH.想办法证明功=FG,BELBG,四边形

BCbH是菱形即可解决问题；

【详解】解：如图延长EF交BC的延长线于G,取AB的中点“连接

CD=2AD,DF=FC,

.・.CF=CB,

"CFB=NCBF,

CD//AB,

../CFB=NFBH，

.∙.NCBF=NFBH，

ZABC=IZABF,故①正确,

DE//CG,

..ZD=ZFCG,

DF=FC,ZDFE=/CFG,

.∖ADFEACFG(ASA)9

:.FE=FG,

BELAD,

:.ZAEB=90。,

AD//BC,

，ZAEB=ZEBG=90。,

..BF=EF=FGf故②正确，

SiJ)FE=S&CFG

∙,∙S四边形OMC=SMBG=2S^EF,故③正确,

AH=HB,DF=CF,AB=CDf

:.CF=BH，CFIIBH,

二.四边形BCFH是平行四边形，

CF=BC,

.∙.四边形BCFH是菱形，

.'.ZBFC=ZBFH，

FE=FB,FH//AD,BELAD9

∙.FH工BE,

・・.ZBFH=AEFH=ZDEF,

:.AEFC=3ADEF,故④正确,

故选：D.

3.（2023∙历下区一模）如图，在矩形ABCr）中，ABvBC,连接AC,分别以点A,C为圆心，大于LAC的长为

2

半径画弧，两弧交于点Λ/,N,直线MN分别交4）,BC于点、E,F.下列结论：①四边形AEb是菱形；②

ZAFB=2ZACB;③ACJEF=CPCQ;④若AF平分NBAC,则Cb=GA8.其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.I

【答案】C

【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可.

【详解】解：根据题意知，斯垂直平分AC,

在AAOE和ACOF中，

ZEAO=NFCO

<AO=CO,

AAOE=ZCOF=900

.∙.ΔAQE3ACOF(ASA),

:.OE=OF,

..AE=AF=CF=CE9

即四边形AEC尸是菱形，

故①结论正确；

ZAFB=ZFAO+ZACB,AF=FC,

:.ZFAO=ZACB9

.∙.ZAFB=2ZACB,

故②结论正确；

S四边形AECF=CFCD=ɪAC-OE×2=^AC-EF，

故③结论不正确;

若AF平分ZBAC,则ZBAF=ZFAC=ZCAD=-x90。=30°,

3

；.AF=2BF,

CF=AF,

:.CF=IBF,

故④结论不正确;

故选：C.

4.（2023∙东明县一模）将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若NABE=20。，则NCBr）等

C.70oD.80°

【答案】C

【分析】利用折叠对称的关系，角的加减，求出NCB。的值.

【详解】解：由题意可知：ZABE=AEBA!,ZArBD=ZDBC,

ZABE=20。,

NCBD=ɪZA'BCɪɪ（l80°-ZABA）=IX（180°-2ZABE）=LX（180°-2χ20°）=70°,

2222

故选：C.

5.（2023•泰山区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB=A,BC=6,点E为BC的中点，将AABE沿AE折叠,

使点8落在矩形内点尸处，连接CF,则CF的长为（）

AD

9C

-1一21-61-8

A.5B.55D.5

【答案】D

【分析】连接3尸，根据三角形的面积公式求出3",得到防，根据直角三角形的判定得到NwnC=90。，根据勾

股定理求出答案.

【详解】解：连接叱，

BC=6,点E为BC的中点，

.*.BE=3，

又AB=4,

AE=QAB2+BE?=5,

由折叠知，BFVAE（对应点的连线必垂直于对称轴）,

,、，，ABxBE12

.∙.BH=------------=——，

AE5

则BF=-,

5

FE=BE=EC,

.∙.ZBR7=9O°,

6.（2023•泰山区校级一模）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B,C,E共线，点C,D,G共线，连接M,

取AF的中点“，连接G".若BC=EF=2,CD=CE=X,则GH=（）

【答案】C

【分析】延长GH交AD于点P,先证ΔAP∕/三ΔFGH得AP=GR=1,GH=PH=-PG,再利用勾股定理求得

2

PG=丘,从而得出答案.

【详解】解：如图，延长G4交AD于点P,

G

,四边形A8C。和四边形CEFG都是矩形，

,∖ZADC=ZADG=ZCGF=9Cf,AD=BC=2.GF=CE=X,

,∖ADHGF,

.∖ZGFH=ZPAH,

又H是A尸的中点，

:.AH=FH,

在ΔAP"和ΔFGH中，

ZPAH=/GFH

<AH=FH

ZAHP=ZFHG

:2PH="GH(ASA),

.∙.AP=GF=I,GH=PH==PG,

2

:.PD=AD-AP=X,

CG=2、CD=I,

:.DG=I9

11B

贝∣JG//=-PG=—X+DG?=—,

222

故选：C.

7.（2023•东平县一模）如图，在平行四边形A88中，AC.BD相交于点O,点E是。4的中点，连接BE并延

Ap1

长交于点已知则下列结论：①一；②其中

ADF,&LΛAnCΓ)TΓ∙=3,y~vj--t=-CSΔuS7CVZE›=27;@SlMyf∖fDiC£,=12；®ΛAEF<^ΔACD.

Dr2

C.②③④D.①②

【分析】根据平行四边形的性质得到AE=LCE,根据相似三角形的性质得到"=丝=1,等量代换得到

3BCCE3

1Λp1

AF=3AD'于是得到访=2；故①正确；根据相似三角形的性质得到ML36；故②正确；根据三角形的面积

公式得到^9,故③错误；由于ΔAEF与只有一个角相等，于是得到AA所与ΔA8不一定相似，故④

错误.

【详解】解：四边形ABCD是平行四边形,

AO=CO=-AC,ADHBC,AD=BC,

2

:.MFESACBE,

AFAE

---=---,

BCCE

.点石是。4的中点,

AE=-CE,

3

AE

••—,

CE3

AF1

---=一,

BC3

:.AF=-BC,

3

：.AF=-AD,

3

.AF_I

故①正确;

~FD~2

SMEF~3，

.ShAEFTAF、2_1

SRCEBC9

；,SAKE=27；故②正确;

EFAE1

.■---=---=一,

BECE3

.qΛKF_I1

SMBE3

故③错误；

8尸不平行于8,

.∙.AM尸与ΔADC只有一个角相等，

.∙.ΔA砂与ΔΛ8不一定相似，故④错误,

故选：D.

8∙（2023∙梁山县一模）如图，E、F、G、H、I、J、K、N分别是正方形各边的三等分点，要使中间阴影部

分的面积是5,那么大正方形的边长应该是（）

A,更

B.3√5C.5√2D.4√5

2

【答案】C

【分析】根据勾股定理即可计算ΛB与4的比值，观察图形可以求得A/的值，根据4的值即可求得4?的值，即

可解题.

【详解】解：∖BI,

；.MI=LBM,

3

33

又在直角ΔAB∕中，AB:A∕=3r√10,

.∙.AB=-^=×-MB,

√103

历8与小正方形的边长相等,

.∙.AB=√iθ×√5=√5O=5√2.

9.（2023•东阿县一模）如图，在平行四边形ABCf）中，NEA。的平分线交BC于点E,交Z）C的延长线于点F,

A.8B.9C.10D.11

【答案】A

【分析】由题意可证A4βE,ΔADF,ACM都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，求出各边的长度，然后利

用勾股定理求得AG的长度，继而可得出AE的长度，根据相似三角形的性质求出所的长度，最后即可求出ΔEFC

的周长.

【详解】解：•四边形AB8为平行四边形，

.∙.AB∕∕CD,ADHBC,

.∙.ZBAE=ZAFD,ZDAF=ZAEB,

AE为NSM）的角平分线，

.-.ZBAE=ZEAD,

.-.ZAFD=ZEAD,ZBAE=ZAEB,ZCEF=ZCFE,

.∙.ΛABE,ΛADF,ACEF都是等腰三角形，

又∙AB=6,AD=9,

.∙.AB=BE=6,AD=DF=9,

.-.CE=CF=3.

BGLAE,BG=4√5,

由勾股定理可得：AG=y∣AB2-BG2=2,

.∙.AE=4,

AB//CD,

.∙.ΔAβE^ΔFCE.

.CEEF_I

"BE~AE~2,

：.EF=2,

.∙.ΔE尸C的周长=防+FC+CE=8.

故选：A.

10.（2023•临清市一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为他上一点，且A£:£B=1:2,AC与小相交于点F,

SAAM=3,则SMe为（）

A.9B.12C.27D.36

【答案】D

【分析】利用平行四边形的对边平行且相等的性质，相似三角形的判定与性质求得ΔDFC的面积，再利用等高的三

角形的面积比等于底的比求得AAFO的面积，则SMCD=Sa+SAW=ɜð∙

【详解】解：.四边形ABCD是平行四边形,

.∖AB∕∕CD,AB=CD.

AE:EB=I:2,

:.AE:AB=1:3，

:.AE:CD=1:3.

AB//CD,

.∙.ΔAEFsbCDF,

.SW=(AE)2=2=ɪ

SCD)39

ACDFLryj-7

∙,∙SSCDF~9SMEF~27.

ΛAEF^ACDF,

•EF-AE

DF-CD-3,

・•・SMEF:SAADF=EF:DF=1:3,

・∙SMDF=3SMEF=9，

,,SMCD=SACDF+SMDF=27+9=36,

故选：。.

二.填空题（共7小题）

1L（2O23∙泰山区校级一模）如图，矩形ABCD的边长">=3,AB=2,石为A3的中点，/在边BC上,且斯=2FC,

AF分别与。石、DS相交于点M,N,则MN的长为

20

【分析】首先过户作FH_LAO于"，交ED于O,于是得到刊∕=AB=2,根据勾股定理求得Ab,根据平行线分

线段成比例定理求得O”，由相似三角形的性质求得AM与AF的长，根据相似三角形的性质，求得AN的长，即

可得到结论.

【详解】解：过尸作EHl.AD于”，交ED于O,则FH=Aβ=2

BF=rLFC,BC=Ar)=3,

.∙.BF=AH=2,FC=HD=3

・•.AF=∖∣FH2AH2=√22+22=2√2，

OH//AE,

.HoDHJ

一ΛE^3,

.*.OH=—AE=ɪ,

33

,OF=FH-OH=2--=-,

33

AEIlFO,

.∙.MMEsfMO,

.3_AE_3

,FM-FO^5,

,M3λi73√2

84

ADIlBF,

:.Δ∕WZ>^Δf7Vβ,

•ANAr>3

~FN~~BF~2'

AZ36√2

.∙.AN=-AF=------，

55

ΛK1A”6√23√29√2

.,.MN=AN-AM=--------------=------.

5420

故答案为：-y[2.

20

4

12.（2023•泰山区校级一模）如图，在菱形ABcD中，SinB=―,点石，歹分别在边4）、BC上，将四边形AEM

5

沿EF翻折，使AB的对应线段用N经过顶点C,当MN_L8C时，一包的值是.

AD------

【分析】由折叠的性质可得AE=Λ∕E,ZA=/EMC,BF=FN,N8=NN,AB=MN,设CF=4%,FTV=5%,

6AF

BC=9x,由勾股定理可得CN=3x,GM=-x,AE=EM=2x,即可求——的值.

5AD

【详解】解：延长CM交4）于点G,

B

・将四边形AEfB沿斯翻折，

AE=ME,ZA=NEMC,BF=FN,ZB=ZN9AB=MN

四边形ABeD是菱形

..AB=BC=CD=AD,ZB=ZD,ZA÷ZB=180o

4CF

sinB=—=sinTV=,

5FN

.∙.⅛CF=4x,FN=5x,

22

.∖CN=y∣FN-CF=3χf

.∖BC=9x=AB=CD=AD9

4•八GC

SlnBd=—=sinO=----

5CD

:.GC=-

5

:.GM=GCMN-CN)=.一6X=三X

∙∕ZA+ZB=180o,ZEMC+ZEMG=180°

AB=/EMG

4EG

.∙.sinB=sinNEMG=-=—

5EM

3GM

:.cosZ.EMG=—=-----

5EM

:.EM=2x,

AE=2x,

.AE-2x-2

-AD-9x^9

故答案为：-

9

13.（2023•泰山区校级一模）如图，平行四边形ΛB8的对角线AC,BD交于点、O,CE平分ZBCD交AB于点E,

o

交BD于点F,且ZASC=60,AB=IBC,连接OE.下列结论:①EOLAC；②,=Ssocf.；③AC:BD=V∑T:7；

@FB2=OFDF.其中正确的是.（填序号）

【答案】①③④.

【分析】先证明EC=E4=8C,推出NAeB=90。，再利用三角形中位线定理即可判断①；证明M=2O-，推出

SMoC=3S^aT即可判断②；设BC=BE=EC=a,求出AC，3。即可判断③；求出防，OF,DF(川〃表示)，

通过计算证明即可判断④.

【详解】解：•四边形ABC。是平行四边形，

.∖CD∕∕AB,OD=OB,OA=OC,

..ZDCB+ZABC=∖S0o,

ZABC=60。，

ZDCB=I20。,

EC平分ZDCB,

.∙.ZECB=-ZDCB=60°,

2

;2EBC=ZBCE=NCEB=舒,

.∙.ΔECB是等边三角形，

..EB=BC,

AB=2BC,

EA=EB=EC，

.∙.ZAC8=90。，

OA=OCtEA=EB,

.∖OE∕/BC,

.∙.NAQEt=NACB=90。，

EOA-AC,故①正确，

OEHBC,

:.NoEFS.CF,

.OEOF

~BC~~FB~~i'

.∙.OF=-OB,

3

,

∙∙SMOD=S„c=3SR0CF'故②错误，

设3C=3E=石C=α,则AB=2^,AC=y∣3a,

.∙.OD=OB=^a2+(-ɪ^z)2=-ɪ-tz,

..BD=币a,

:.AC:BD=拒a:击a=向:7,故③正确,

.,.SCFF=-—√7Cl，

3

.*.BF2=-a2,OF`DF=^-aaa)=—a1,

96269

:.BF?=OF∙DF,故④正确,

故答案为：①③④.

14.（2023∙滕州市一模）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全

国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为

边ΛB的黄金分割点，即Bl=AQAB.已知AB为2米，则线段BE的长为米.

【答案】（-1+不）.

【分析】根据BE2=AE∙AB,建立方程求解即可.

【详解】解：BE2=AEAB,

设BE=x,则AE=（2-x）,

AB=2,

..X2=2(2-X),

即f+2χ-4=0,

解得：%∣=-1+石，X2=-l-∖∣5(舍去),

线段BE的长为(-1+√5)米.

故答案为：（-1+石）.

15.（2023•滕州市一模）如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6,则重叠部分的四边

形周长是________

【答案】25.

【分析】先证四边形ABCD平行四边形，再证四边形ABCD是菱形，得CD=BC=AB=A£>,设Co=BC=x,则

CG=8-x,然后在RtACDG中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【详解】解：如图，由题意得：矩形BFDE三矩形BHDG,

.∙.ZG=90o,DG=DE=6,BG//DH,BEHDF,BG=S,

.∙.四边形ABCD平行四边形，

.∙.平行四边形A88的面积=Ar>∙∕)G=C∕>DE,

.-.AD=CD,

・•・平行四边形ABCz)是菱形，

..CD=BC=AB=AD,

设CD=8C=x,则CG=8-x,

在RtACDG中，由勾股定理得：62+(8-X)2=X2,

解得：X=—

4

:.CD=—,

4

菱形ABCD的周长=4CD=25,

即重叠部分的四边形周长是25,

故答案为：25.

16.(2023•荷泽一模)如图，在矩形A8CD中，AB=6,AD=Io,点E在DC上，将矩形A88沿AE折叠，点、D

则SinNEFC的值为

【答案】；

【分析】先根据矩形的性质得Ar)=3C=10,AB=Cr)=6,再根据折叠的性质得AF=4)=10,EF=DE,在

RlΔABF中，利用勾股定理计算出8尸=8,则CE=BC-3尸=2,设CE=X,则。E=EF=6-x,然后在RlΔECF

中根据勾股定理得到Y+22=(6-x)2,解方程即可得到X,进一步得到瓦■的长，再根据正弦函数的定义即可求解.

【详解】解：四边形ASCD为矩形,

.-.AD=BC=W,AB=CD=6,

矩形ABa）沿直线A£折叠，顶点。恰好落在BC边上的F处,

.∙.AF=AD=∖O,EF=DE,

在RtΔABF中，BF=∖∣AF2-AB2=8,

.'.CF=BC-BF=10-8=2,

τStCE=x,则DE=E尸=6-x,

在RtAECF中，CE1+FC2=EF2,

X1+22=（6-x）2,

解得工=然

3

LL/10

..Er=6—X=—>

3

8

./匚“Cf34

/.sinZEFC=——=-⅛∙=-

EF105

故答案为：—.

5

17.（2023∙垦利区一模）如图，在平行四边形ABCQ中，ZABC=120°.利用尺规在BC、氏4上分别截取BE、BF,

使BE=3F;再分别以点E、F为圆心，大于上Ef•的长为半径作弧，两弧在/C3A内交于点G；作射线BG交

2

DC于点H.若AD=√5+l,则的长为.

【答案】√3+l∙

【分析】根据平行四边形的性质得到NC=60°,根据角平分线的定义得到/。?/7=/484=60°,得ABCH是

等边三角形.据此解答.

【详解】解：在团A8CZ）中，NABC=120°,

.∙.∕C=60°,

由作图知，平分乙4BC,

ZCBH=ZABf∕=60°,

...△8CH是等边三角形，

.*.BH=BC=AD=M+1,

故答案为：√3+l.

Ξ.解答题（共12小题）

18.（2023•泰山区校级一模）如图，在正方形AB8中，E是BC上的一点，连接ΛE,作垂足为〃，

交CD于F,作CG//AE,交BF于G.求证：

【分析】(1)由互余关系得出NBAH=NCBG,而ZAHB=ZBGC=90。,AB=BC,可证ΔAB"三ΔBCG,得出结

论；

(2)在RtΔBCF中，CGLBF,利用互余关系可证ACFGs∆BFC,利用相似比得出结论：

(3)根据RtΔBCF中，CG-LBF,同理可证ΔBCG^ΔBFC,利用相似比得出BC2=BG.BF,即AB2=BG.BF,

结合(2)的结论求比.

【详解】证明：(1)BFVAE,CGHAE,

.-.CGVBF,

在正方形ABeD中，ZABH+NCBG=90。,NCBG+ZBCG=明,

ZBAH+ZABH=90°,

:.NBAH=NCBG,ZABH=NBCG,

AB=BC,

AABH=ABCG,

；.CG=BH；

(2)ZBFC=ZCFG,ZBCF=ZCGF=90°,

:.ACFGsXiFC,

FCGF

"BF-FC'

即FC2=BF.GF；

(3)同(2)可知，BC2=BG.BF,

AB=BC,

:.AB2=BG.BF,

FeFG*BFFG

於一BG.BF-沃

FC2GF

即

~AB1~~GB

19.(2023♦历下区一模)如图，E,尸是ABa＞的对角线AC上两点，且AF=CE,求证：DFHBE.

【分析】证AA。尸三AC8E(SAS),ZAFD=ZCEB,则NZ)FC=NSE4,再由平行线的判定即可得出结论.

【详解】证明：四边形ABa＞是平行四边形,

.∙.AD=CB,AD//CB,

ZDAF=ZBCE,

在AADF和ISCBE中，

AD=CB

<NDAF=ZBCE,

AF=CE

.∙.ΛADF=ACBE(SAS),

ZAFD=NCEB,

.-.ZDFC=ABEA,

c.DFHBE.

20∙(2023∙东平县校级一模)在平行四边形ABeD中，以AB为边作等边AABE,点E在CD上，以BC为边作等边

ΔBCF,点尸在AE上，点G在54延长线上且FG=F8.

(1)若CD=6,AF=3,求ΔAB尸的面积；

(2)求证：BE=AG+CE.

G

D

【分析】（）证明防，可得所=解决问题.

1AF=SΛΛgSA4M

（2）作FH_LAB于H,C7_LAE交ΛE的延长线于J.利用全等三角形的性质证明EC=A尸，EF=AG即可解决

问题.

【详解】（I）解：AABE是等边三角形,

.∙.Zβ4F=60o.AB=AE,

四边形ABCD是平行四边形,

.∙.AB=CD=6,

.∖AE=AB=6,

AF=3,

:.AF=EFf

ɪ√3.29√3

..*~,ΔABF=5SSBE=一•—∙o=-----

242

(2)作FHj_AB于”，C7_LAE交AE的延长线于人

MBEfΔF8C都是等边三角形，

..BA=BE,BF=BC,ZABE=/FBC=60。,

.'.ZABF=ZEBC,

.∖ΛABFAEBC(SAS),

:.AF=EC.

AB/ICD,

.λZCEJ=ZFAH,

NFHA=ZJ=90。,

:.AFHAwACJE(AAS),

：.FH=CJ,AH=EJ,

FB=FG=FC,FH=CJ，

:.RtΔFGH=RtACJF(HL),

：.GH=FJ,AH=EJ,

.∖EF^=AG,

BE=AE=AF+EF,

:.BE=EC+AG.

G

21.（2023•泰山区校级一模）如图，将矩形A3CE）沿AF折叠，使点。落在BC边的点E处，过点E作EG//CD交

AF于点G,连接。G.

（1）求证：四边形ERDG是菱形；

（2）求证：EG2=-AF.GF；

2

（3）若AG=6,£G=2√5,求跖的长.

【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明NOG尸=NwrG,从而得到GO=D尸，接下来依据翻折的性

质可证明DG=GE=DF=EF-,

（2）连接DE,交A尸于点o.由菱形的性质可知GFJ_£>E,OG=OF='GF,接下来，证明ΔDOFSΔAQ尸，

2

由相似三角形的性质可证明。尸=Fo.AF,于是可得到GE、AF,FG的数量关系；

（3）过点G作J_OC,垂足为利用（2）的结论可求得尸G=4,然后再AAD尸中依据勾股定理可求得4）

的长，然后再证明ΔFG"SΔ∕ND,利用相似三角形的性质可求得G"的长，最后依据8E=AD-G〃求解即可.

【详解】（1）证明：GEHDF,

∙.NEGF=NDFG.

.,由翻折的性质可知：GD=GE,DF=EF,ZDGF=ZEGF,

∙.ΛDGF=NDFG∙

.-.GD=DF.

..DG=GE=DF=EF.

.∙.四边形EEDG为菱形.

(2)证明：如图1所示：连接交AF于点O∙

四边形EH)G为菱形，

.∙.GF±DE,OG=OF=-GF.

2

ZDOF=ZADF=90°,NOFD=ZDFA,

:.NDOFSb∖DF.

DFFO日H2口C人口

..---=---,即DF=FO∙AF.

AFDF

FO=-GF,DF=EG,

2

.∙.EG2=-GF.AF.

2

(3)如图2所示：过点G作Ga_LDC,垂足为

EG2=-GF.AF,AG=6,EG=2√5,