安徽省江淮十校2023-2024学年高三年级上册开学考试 数学

江淮十校2024届高三第一次联考

数学试题202X8

命审单位:宿城一中命市人:周西凤贺万一吴跌

注意事项：

1、衣试卷满分150分，考试时间120分钟。

工苓卷前，考生季必将自己的姓名、准考证号填写在答即卡上。

3、回冬逵株题时，选出每小翘答案后，用铅笔把答题卡上对应超目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

然干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

《考试站束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:共S小题,每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

I、已为集合.4="110&(了-1)<0|,B=(xllx-2l<2},则4DB=

A.^xll<x<2)B.|xl1<x<4(

QJxl0<x<4}D.|xlx<4|

，已^复数工满足式1+i)2=-1+2i(其中i为虚数单位)，则复数£在复平面上对应的点位于

A.第一象限B.第二象限

C第三象限D.第四象限

3.已知空间向量£,反;满足£+29+K=6,百I=2,而1=1,3=2万，则石与K夹角为

A.30°B.150°C.60°D.1200

4.已笈函数八%)-2)是奇函数,则实数a的值是

A.IB.-2C.4D・-4

5.cos720sin54°sin30°=

6.在数列{a」中，已知％=与抖，则“A>1”是“Ia」为单调递减数列”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知椭圆C：4+4=l(a>b>0)的左焦点为K，过左焦点K作倾斜角为野的直线交桶困于Q网点'

ab。

且祈=3瓦石,则椭圆C的离心率为

C互第

L，

33

1n

8,若对任意的劭声ze(m,+8),且々<盯;J：>>2,则m的取值范围是

xl一五2

晓r学4题笆ITTUdtAHn

二、选择题:共4小题,每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得

5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变盘x,y之间的线性关系，随机抽取8个样本

点4(0，乃),人(#2,力).……,4(猫),由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输

入了前6组数据，得到的线性回归方程为y=6,x+a,，其样本中心为(4,6).后来检查发现后，输入8组数

据得到的新的经验回归方程为y=与孙新的样本中心为日J)，已知的+%=。,力+%=4,则

A.新的样本中心仍为(4,6)B.新的样本中心为(3,5)

C.两个数值变具有正相关关系D.郡%-3/)2<苫(%-3)2

10.已知抛物线C的标准方程为/=4x,0为坐标原点，直线I为其准线，点4,8是C上的两个动点(不是原

点0),线段AB与x轴交于点M,连接4。并延长交准线于点。，则

A.若点M为C的焦点，则直线BD平行于x轴

B.若点M为C的焦点，则线段AB的长度的最小值为4

C.若04,08,则点M为C的焦点

D.若△40M与△BOM的面积之积为定值，则点M为C的焦点

11.已知函数加)为定义在R上的可导函数,gQ)=(G)JG)-1为奇函数J⑵)的图象关于"-匆称，则

A./(x)的图象关于，=1对称B.g{x)为偶函数

C.g(x)-g(x-2)=0D,y=/(x)-1在[0,4]上至少有5个零点

12.如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形,BF1底面ABCD,DE//BF,AB=DE=BF=1,悬C在AF

上,则下列说法正确的是

A.DF1^AECE

B.多面体ABCDEF的外接球的表面积为37r仆Z

C.△BCD的周长的最小值为〃2+#+&/：X[\

D.EG与平面AFC所成的角的正弦值最大为竽.%二号才

三、填空题:共4小题,每小题5分，共20分.

13.某高校开设了乒乓球，羽毛球，篮球，小提琴，书法五门选修课程可供学习,要求每位同学每学年至多选2门,

该校学生小明想用前3学年将五门选修课程选完，则小明的不同选修方式有种.(用数字作答)

14.若(2%-I)，=a。(rT)+。2(4-1)?+…+4(%-1”,则旬+/+。4+。6=,・(用数字作答)

15,将4个半径为面的球堆放在一起，且两两相切，记与这4个球都内切的大球的半径为凡记与这4个球都

外切的小球的半径为则:=•

16.已知函数/⑷=3Jn(a»崂)(3>0),当ze[0用时，函数/⑷的最大值为®,则满足条件的3的

个数为.

数学试题第2页(共4页)

四、解答题:共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)在△4BC中，内角4,8,C所对边的长分别为a,b,c,且满足a+c=6(万sinA+cosA).

(1)求8；

(2)若6=3,且△4BC的面积为5,8。是△/!回的中线，求BD的长.

18.(12分)记S,为等比数列｛a」的前“项和，已知=14,S6=9S3.

(1)求｛a」的通项公式；

(2)求数列｛暇｝的前

n项和T1t.

19.(12分)为更好地促进学生数学学科素养的提升，某校数学组举办数学创新应用比赛.比赛规则为先进行

“创新赛”，再进行“应用赛”，结果为“通过”和“不通过”，所有参赛选手均需参加两项比赛，两项至少通

过一项则授予“素养之星”称号.已知甲同学通过“创新赛”的概率为a,若甲通过“创新赛”，则其通过“应

用赛”的概率也为a;若其未通过“创新赛”，则通过“应用赛”的概率为强.

(1)若a号,求甲同学获得“素养之星”称号的概率；

(2)记随机变址X表示甲同学参加数学创新应用比赛获得“通过”的个数，求X的分布列和期望•

数学试题第3页(共4页)

20.(12分)如图，在五面体PABCD，四边形AHCD为正方形，△/%〃为正三%形，仞=2,cosZP/l«=/.

(1)若平面P/lBfl平面PC"=/,证明

(2)求二面角A-HP-C的余弦值.

21.(12分)在平面直角坐标系zOy中，已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴,右支与，轴的

交点为(1,0),其中一条渐近线的倾斜角为

(1)求C的标准方程；

(2)过点7(2,0)作直线I与双曲线C的左右两支分别交于4,8两点,在线段4B上取一点E满足IA£I•

\TB\=\EB\♦I4TI,证明:点E在一条定直线上.

22.(12分)已知函数/(«)=/+上,自0.

X

(1)讨论/(")的单调性；

(2)设函数g(，)=#3-1n明3W“<叫当人-4■时，证明：式出)-g(“)<fg十八Q

7333m-3n2

数学试题第4页(共4页)

江淮十校2024届高三第一次联考

数学试题参考答案

一、选择题：共8小题,每小题5分，共40分.

题号123456789101112

选项ADBCDBCDBCABABABD

1.A【解析】因为4={xHog2（工-1）<0j=|xl1<x<2\,B=\x\\x-21<21=jx10<x<41

所以4CB={xll<x<2]（~ljx10<JC<4（=jx11<x<2]

故选A

2.D【解析】由复数z满足z（l+i）2=-1+2i,

「•/n-1+2i-1+2i（-1+2i）-i-2-i,1,,I.

可得z=7；--y=—z;-=-~■—=―^-=1可得z=l-v1

（1+i）2121,i-222

所以复数：在复平面内对应的点为（1,-/）位于第四象限

故选D

3.B【解析】设b与c的夹角为0.由a+26+c=0,得26+c=-Q,两边平方，得4从+46-c+c2=a2,

所以4+4x1x2/cos0+12=4,解得cos0=又因为Ge,所以0=150°,

故选B

4.C【解析】函数的定义域为IxbKO}

因为函数八彳）=/（二-2）是奇函数

所以/'（-1）=-/（I）.

所以（-1尸（丘-2）-2x（六一2）

ae与Q.个

-----?-2=--------+2,

e-11-e

所以a=4

故选C

5qDn1痴+匚]”。・〜。•2八。1”。2sin36°cos36°cos72°=sin72°cos72°=sin144°=1

-【解析】cos72sin54sHi30=ycoS72cos36=------痂疥------4sin36°~8^36^P

故选D.

6.B[解析】已知{a」为单调递减数列，所以a„tl-a,=叫[-号白=-/+肃1-A<0恒成立,

即A>-1+2口+1又寸任意的兀€1^*恒成立，故人>2.

因此“A>1”是"|明}为单调递减数列”的必要不充分条件，故选B.

7.C【解析】设-。,0）,4（町,力）,8（町,”），过点£所作直线的倾斜角为,，所以该直线斜率为与，

o3

■X2..2]

所以直线方程可写为"二历-。,联立方程/*/一,

数学试题参考答案第1页（共8页）

2224

可得+35)y-2/3Z>cy-6=0,

根据韦达定理:%+力=筌墨%%=-焉

因为4K=3尸13,即（-。-的，-％）=3（X2+。,”），所以为=-3%,

2印2c]

所以*R-2a+362/c.1

3-1

a2+362

即'4.所以L+362=9c2

+3/=%2,联立

=62+C2

可得a2=3c2,e2=-j-=>e=印

故选C

8.D【解析】由题可知,m>0

e、，xAnx2-x2lnx,八J八

因为------------->2,且0<町<%2,

%]一出

所以Xjlnx2-x2lnXj<2.-2%2,两边同时除以x}x2得

InxIn的22lnx2Inx2

----2-------<—一—,即An----2——<-----}——

x2X,x2盯x2x241xx

设函数/⑷=?-1■，其中xe（0,+8）,

因为当m<x}<x2时，/（彳2）</（%）,所以f（x）在（血，+8）单调递减，

因为，/'⑸=匕譬

X

令/'（X）=0,x=e3

.•.当xe（0,e3）时，/（口>0,即f（x）在（0,e3）上单调递增

当彳仁浴，+8）时/⑷<0,即/（工）在（e3,+8）上单调递减，

所以mNe，

故选D

二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分.

9.BC[解析】对于A,B,根据前6组数据的样本中心为（4,6）,又因为的+线=0,%+%=4,可得x=

Oi=1

1—181

—(4x6+0)=3,y=—Eji=-^-(6x6+4)=5,j^A错误,B正确;

oo»=1o

对于c,因为8组数据的样本中心为（3,5）,经验回归方程为y=与%所以可以解得b2=/>0,所以

两个数值变量为正相关关系；

对于D,根据样本估计总体及最小二乘法原理，利用8组数据所得的经验回归方程是与所有样本点

“距离”平方和最小的直线方程，故D错误

故选BC

数学试题参考答案第2页（共8页）

io.AB【解析】设点M(zn,0),设直线4B的方程为工=ty+m,4(%,%),8(出，力)，.|yZ

因为点M在线段48上,所以机＞0

联立直线和抛物线方程得步-44-4小=0,其中为+y2=4t,y,y2=-4小,直线

。4的方程为y=±,得-1,-外又因为4=4与，故-今

对于A,若M(m,0)为焦点，则zn=1,则%=-'=力,人选项正确；।''''''

%m

对于B,若M(m,0)为焦点，则4B=jmWFT话=4(1+/)24,B选项正确；

对于C,若04_L05,有盯%2+%为=0,解得m=4,C选项错误；

对于D,S”•$如《lOMIIyJ4|阿1%1■，只需M横坐标为定值即可，故D选项错误.

故选AB

11.AB【解析】的)的图象关于x=-f(擀，所以/⑵)=/(2(-1-x))=/(-2-勿),所以/(工)=/(-2-x),

故;(好的图象关于彳=-1对称,又因为“*)-1为奇函数，所以/(*)以点(0,1)中心对称，所以

/(工)的图象关于彳=1对称，故A正确.

因为/(-彳)-1=~f(x)+1，所以-/(-x)=-r⑷，所以g(-x)=g(x)，故B正确.

因为八X)=f(-2-工)，所以r(x)=-f'(-2-x),所以g(x)=-g(-2-x),所以g(x)的图象

关于(-1,0)对称,又因为g(x)为偶函数，故C错误.

Mx)=1+sin?,满足条件，因为/(0)=/(2)=/(4)=1,此时函数y=/(x)-1只有3个零点，

故D错误.

故选AB

12.ABD【解析】取回的中点记为H,连DH,FH,由题意知4C,平面BDEF,故AC1DF.

由平面。町\可得回，。尸,所以。尸，平面4EC,故A正确.

由题意可知，。尸的中点0为外接球的球心,故半径R=与，所以S=4病=3%故B正确.

把△48沿”折成与△8”共面，连BO,则(BG+80)1nM=〃2+立,

所以ABGD的周长的最小值为,2+々+々，故C错误.

由对称性可知平面4/C,记8EC平面”C=/，连/C,则4EC/

为EG与平面AFC所成的角,sin乙EGI=g,因为矶=^-BE=挛，

所以当C为中点时，NEG/的正弦值最大为孚，故D正确.

故选ABD

数学试题参考答案第3页(共8页)

三、填空题：共4小题,每小题5分，共20分.

13.90【解析】由题意，前三年修完5门选修课程,每学年至多选2门,

则小明同学每年所修课程数为1,2,2

先将5门学科按1,2,2分成三组，有%■':二二种方法

再分到这三个学年，有用种不同方法

由分步乘法计数原理得，不同选修方式共有宜字G

•用=90种.

故答案：90

14.365［解析］令彳=0,贝I］&-%+a2-a3+a4-as+a6=\

令彳=2则a。+4+a2+。3++。5+。6=S'=729

两式相加得：2(4+a2+a4+a6)=730,.,.a0+a2+a4+a6=365

故答案：365

15.5+2而【解析】将堆放在一起的四个球球心连在一起，形成一个棱长为孤的正四面体,此正四面体的

中心即为题中与4球内切大球球心和与4球外切小球的球心，易知四面体中心到各顶点的距离为3,

所以R=3+笈/=3-^6,—=5+2；6

r

故答案：5+2历

16.2【解析】由题知，当*e[0,为时-专号切-专卜因为最大值为防

\-ra)--r>02

所以46，解得

1.0<sw3

⑴当°<孑3-y<.时,即1<3<与,A1M(x)=3sin管3-、)=3

解的个数，转化为方程Sin(乎-*)=去信“<专)解的个数，由右图

可知有且只有一个3能够满足.

⑵当今W3W3时4W第3-段W、-此时函数最大值为3,即°=3,显然满足条件.

324O12

综上，满足条件的。有2个.

故答案：2

四、解答题：共6小题，共70分.

17.解：(1)因为a+c=b(6sin4+cos4),由正弦定理可得

sinA+sinC=sinB(asinA+cos4)

即sinA+sin(4+B)=sinB(昭sinA+cosA)

即sinA+sinAcosB=VTsinAsinB

又因为sinA>0

所以有sinB-cosB=1....................................................................2分

所以sin(B一点).....................................................................3分

数学试题参考答案第4页(共8页)

又因为Be（O,ir）

所以Y，袈

6\66

所以

oo

所以8二年.............................................................................5分

(2)因为S&ABC=3

所以■^•QcsinB=万得ac=4

由余弦定理得:Q?+，=/+2Q℃OS3=13・.....................................................................................................7分

又丽=/(而+硝，

^TU\BD\2=^-(BA+BC)2=y(c2+a2+2accosB)=y......................................................................9分

得|彷|=空

故的长为叶....................................................................10分

18.解：（1）设册的公比是g,由题意知qKl,

因为^=:二$=1+g3=9

所以g=2..........................................................................................................................................................2分

由04一/=14

得。1(«3-I)=14

所以%=2..........................................................................................................................................................4分

所以册=2。...........................................................................5分

(2)因为但=祟....................................................................6分

an2

ULillrrf134Tl口+l

所以Tn=i+^-+p-+--+—r+^-

l34nn+ln

—T=—H—7H—T+…H----H------r................................................................................................................9分

2"2222"2

两式相减得

n+1

2n+l

3n+3

分

T-2n+lll

即Tn=3-岁.........................................................................12分

数学试题参考答案第5页（共8页）

19.解：（1）记“4”表示事件“甲通过创新赛”，“4”表示事件“甲通过应用赛"，“C”表示事件“甲获得素养之

星称号”.

11—1

当a=了时，由题知，尸（4）=—,P（A2|AJ）=—.....................................................................................................................2分

P（C）=1-P西元）=1-尸（1）2司筋）=1-（1-别1-/）=看........................5分

（2）随机变量X的可能取值为0,1,2,则....................................................6分

P(X=0)=尸(,4)=嗝)•P(A?|^)=(l-a)(l-yj=l+y-ya

2

P(X=1)=P(A]A；)+P(M2)=P(4)P(Kl4)+P(1)尸(&II)=ya--|-a

2

P(X=2)=P(A,A2)=P(A,')P(A2lAl)=a...............................................9分

所以随机变量X的分布列为

X012

1a33322

P1+5亍-2a~~2aa

10分

Q2

EX=—a+y-....................................................................12分

20.解：（1）因为四边形ABCD为正方形，所以AB//CD,

因为482平面PCO,C〃U平面PCQ,所以4B〃平面PCD,

又因为4BU平面P48,平面P4BC平面PCn=Z,所以.................................4分

（2）记的中点分别为£,尸,连接PE,EF,PF,

因为40_L£7\40_L尸产,EF,PFU平面PEF,EFnPF=/，

所以4O_L平面PEF,所以ADLPE.

□

因为cos"4B=[■，所以PB=75■，又BCJ_PE,所以PE=1,

所以PE?+PF?=EF?,所以/^_1「/产尸,4。（=平面力「。,4。0「尸=尸，

所以PE_L平面%D

以P为坐标原点，以PF,PE所在的直线为明z轴,过尸与AP平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直

角坐标系..............................................................................6分

则P(0,0,0),4(3,l,0),B(0,l,l),C(0,-1,1),

PB=(0,l,l),PA=(^,l,0),PC=(0,-1,1),...........................................7分

数学试题参考答案第6页（共8页）

设平面PAB的法向量为m=（町，％,z]）,

m,PB=%+Z[=0,一

__，广令％i=1,得就=（1,一万,有）.....................................8分

{m・PA=j5%]+y）=0,

设平面P8C的法向量为反=（孙,”,z1，

rn.PB=y2+z2=0,_

贝U______令工2=1,得'=（1,0,0）...........................................................................9分

[n・PC=-y2+z2=0,

（或者说明PFJ■平面PBC,可取平面PBC的法向量为n=（1,0,0））

cos（m,n'）=—^~.................................................................................................................11分

|南局7，方

由图可知,二面角4-8P-C为钝角，

所以二面角4-8P-C的余弦值为-乎..................................................12分

（其他方法等效给分）

21.解：（1）设双曲线的方程为=由题知a=l上="，.........................................................2分

aba

可得双曲线方程为--亨=1...............................................................................................................4分

（2）由题知，直线I斜率存在，根据对称性，不妨设斜率为MOwk（"），故直线I的方程为y=乂X-2）,

代人双曲线方程得（3-炉）/+4%-（4黯+3）=0,...........................................................................6分

一4M4A-24-3

设4（%i*）,3（%2，%），由韦达定理有x\+x2=j一■访/卢2=一,二户,

且4]W-1,1这出＜2,.........................................................................................................................7分

设£(x0,y0)，点E在线段43上，所以航＜xQ＜x2

由I4EI­\TB\=\EB\-I4TI可得

22=

y/l+k(g-41)•A/1+i(2-42)A/1+(42一%o)・A/1+必(2-xx)

化简得4%-(2+3)(与+%2)+2%/2=。，.................................................9分

代入的+%2和町%2并化简可得“0=