河南省2023年中考数学复习七类比探究题训练（含解析）

专题七类比探究题

—⅜⅛⅞⅜⅜⅞ld⅞⅛→

类型一线段数量关系问题

例13(2023•河南)⑴问题发现

如图①，在AOAB和AOCD中，0A=0B,0C=0D,ZAOB=ZC0D=40o,连接AC,BD交于点M.填空：

部的值为________;

DU

②NAMB的度数为；

⑵类比探究

如图②，在aOAB和aOCD中，ZAOB=ZCOD=90°,/0AB=NoCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.

AC

请判断右的值及NAMB的度数，并说明理由；

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，将AOCD绕点0在平面内旋转，AC,BD所在直线交于点M,假设OD=LOB=巾，请直接写

出当点C与点M重合时AC的长.

②由ACOAgADOB,得NCAo=NDB0,根据三角形的内角和定理，得NAMB=I80°-(ZDBO+ZOAB+ZABD)

=180°-140°=40°；

(2)根据两边的比相等且夹角相等可得4A0CS∕∖B()D,那么K=需=/,由全等三角形的性质得NAMB的度数；

(3)正确画出图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如解图①和②，同理可得4A0CS^B0D,那么NAMB

ACr-

=90°,—=√3,可得AC的长.

DUY

【自主解答】

解：(1)问题发现

①1【解法提示】TNAOB=NCoD=40°,

ΛZCOA=ZDOB.

VOC=OD,OA=OB,

ΛΔC0A^ΔD0B(SAS),

ΛAC=BD,

.AC

♦・丽j1

②40°【解法提示】∙/ΔCOAΔDOB,

ΛZCAO=ZDBO.

VZAOB=40°,

ΛZOAB+ZABO=140°,

在aAMB中，ZAMB=180°-(ZCAO+ZOAB+ZABD)=180o-(ZDBO+ZOAB+ZABD)=180°-140°=

40°.

⑵类比探究

ɅΓ=Λ∕3,NAMB=90。，理由如下:

DUY

在RtZ∖OCD中，ZDC0=30o,ZD0C=90°,

OD。√3

Λ~=tan30=g,

同理，得震=tan30°=*,

UAo

TNAOB=NCOD=90°,

/.ZAOC=BOD,

ΛΔAOC^ΔBOD,

ACOC

；・云=示=Vr5,ZCAO=ZDBO.

DlJUDV

ΛZAMB=180o-ZCAO-ZOAB-MBA=180o-(ZDAB+ZMBA+ZOBD)=180°-90°=90°.

(3)拓展延伸

①点C与点M重合时，如解图①，

同理得4A0CS∕∖B0D,

ACr~

ΛZAMB=90o,—=√3,

DlJY

设BD=X,那么AC=∕x,

在RtZXCOD中,

VZ0CD=30o,OD=I,

ΛCD=2,

ΛBC=χ-2.

在RtZiAOB中，NOAB=30。，0B=√7.

ΛAB=20B=2√7,

在RtAAMB中，由勾股定理，得Ad+BC2=AB2,

SP(√3X)2+(X-2)2=(2√7)2,

解得xι=3,X2=-2(舍去)，

ΛAC=3√3;

②点C与点M重合时，如解图②，同理得：∕AMB=90°,^=√3,

设BD=x,那么AC=^∖∕3χ,

在RtZXAMB中,由勾股定理，得AC2+Bd=Aβ2,

BP(√3X)2+(X+2)2=(2√7)2

解得加=-3,解得xz=2(舍去).

ΛAC=2√3.

综上所述，AC的长为3√5或2√5.

图②

例1题解图

针对训练电

1.(2023•河南)

(1)发现

如图①，点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b.

填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a,b的式子

表示).

(2)应用

点A为线段BC外一动点，且BC=3,AB=I,如图②所示，分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三

角形ACE,连接CD,BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值.

(3)拓展

如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点，且PA

=2,PM=PB,ZBPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.

图①

OABX

备用图

2.（2023•河南）如图①，在RtZXABC中，ZB=90o,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点，连接

DE.将aEDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为ɑ.

(1)问题发现

①当α=0。时，落=乎；

c.AEyl5

②当a=180°o时，—=为一;

DUN

(2)拓展探究

试判断：当0°Wa〈360。时，正;的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明.

DlJ

⑶解决问题

当AEDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长.

图①备用图

3.(2023•河南)

(1)问题发现

如图①，AACB和aDCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE.

填空：

①/AEB的度数为一；

②线段AD,BE之间的数量关系为.

⑵拓展探究

如图②，Z∖ACB和ADCE均为等腰直角三角形，NACB=∕DCE=90°,点A,D,E在同一直线上，CM为ADCE

中DE边上的高，连接BE,请判断/AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系，并说明理由.

⑶解决问题

如图③，在正方形ABCD中，CD=√2,假设点P满足PD=I,且NBPD=90°,请直接写出点A到BP的距离.

图①图②图③

4.(2023•南阳二模)在aABC中，/ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD,将线段AD绕点A逆时针

旋转90°,得到AE,连接EC.

(1)操作发现

假设AB=AC,ZBΛC=90°,当D在线段BC上时•(不与点B重合)，如图①所示，请你直接写出线段CE和BD

的位置关系和数量关系是,;

(2)猜测论证

在⑴的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断(1)中结论是否成立，并证明你的判断.

(3)拓展延伸

如图③，假设AB≠AC,∕BACW90°,点D在线段BC上运动，试探究：当锐角/ACB等于度时，线

段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C,E重合除外)?此时假设作DFLAD交线段CE于点F,且当AC=3√⅞寸，

请直接写出线段CF的长的最大值是—.

图①图②图③

5.,如图①，4ABC,ZXAED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B,E重合)，∕BAC=NAED=90°,0为

BC的中点，F为AD的中点，连接0F.

(1)问题发现

①如图①，彳=;

OF

②将aAED绕点A逆时针旋转45°,如图②，—=；

⑵类比延伸

将图①中AAED绕点A逆时针旋转到如图③所示的位置，请计算出号的值，并说明理由.

(3)拓展探究

将图①中aAED绕点A逆时针旋转，旋转角为ɑ,0o≤α≤90o,AD=√2,ZXAED在旋转过程中，存在aACD

为直角三角形，请直接写出线段CD的长.

类型二图形面积关系问题

I丽W(2023•河南)如图①，在RtAABC中，ZΛ=90o,ΛB=ΛC,点D,E分别在边AB,AC±,AD=AE,连

接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.

⑴观察猜测

图①中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是一

⑵探究证明

把AADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN,BD,CE,判断APMN的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸

把AADE绕A在平面内自由旋转，假设AD=4,AB=IO,请直接写出APMN面积的最大值.

图①

图②

例2题图

【分析】（1）利用三角形的中位线定理得出PM=/E,PN=∣BD,进而判断出BD=CE,即可得出结论，再利用

三角形的中位线定理得出PM〃CE,继而得出NDPM=NDCA,最后用互余即可得出结论；

⑵先判断出aABDdACE,得出BD=CE,同⑴的方法得出PM=；BD,PN=∣BD,即可得出PM=PN,同⑴的

方法即可得出结论；

⑶先判断出MN最大时，APMN的面积最大，进而求出AN,AM,即可得出MN最大=AM+AN,最后用面积公式

即可得出结论.

【自主解答】

解:（DY点P,N是BC,CD的中点，

ΛPN∕∕BD,PN=∣BD.

点P,M是CD,DE的中点,

ΛPM∕∕CE,PM=ICE.

VΛB=ΛC,ΛD=ΛE,

/.BD=CE,

ΛPM=PN.

VPN/7BD,

ΛZDPN=ZADC,

VPM∕/CE,

ΛZDPM=ZDCA.

VZBAC=90°,

ΛZΛDC+ZACD=90o,

/.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCA+ZADC=90O,

ΛPM±PN,

⑵由旋转知，ZBΛD=ZCAE,

VAB=AC,AD=AE,

ΛΔABD^ΔACE(SAS),

ΛZABD=ZACE,BD=CE.

同⑴的方法，利用三角形的中位线定理，得PN=*D,

1

PM=*,

ΛPM=PN,

・・・APMN是等腰三角形，

同⑴的方法得，PMZzCE,

ΛZDPM=ZDCE,

同(D的方法得，PN〃BD,

ΛZPNC=ZDBC.

∙/ZDPN=ZDCB+NPNC=ZDCB+ZDBC,

ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+

ZDBC=ZACB+ZABC.

VZBAC=90°,

.∙.∕ACB+NABC=90°,

ΛZMPN=90°,

.∙.AiPMN是等腰直角三角形，

(3)如解图，同(2)的方法得，aPMN是等腰直角三角形,

当MN最大时，APMN的面积最大，

ΛDE/7BC且DE在顶点A上面，

.∙.MN最大=AM+AN,

连接AM,AN,

在AADE中，AD=AE=4,ZDAE≈90o，

ΛAM=2√2,

在RtZ^ABC中，AB=AC=IO,AN=5√2,

/.MNβλ=2√2+5√2=7√2,

,2z

∙.SΔPMNa*=∣PM*=∣×∣MN=∣X(7√2)=γ.

针对训练包

1.(2023•河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABe和DEC重合放置，其中∕C=90°,∕B=∕E=

30°.

(1)操作发现

如图②，固定AABC,使ADEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是；

②设aBDC的面积为4AEC的面积为S?,那么SI与Sz的数量关系是

(2)猜测论证

当ADEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜测(1)中，与&的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了

△BDC和AAEC中BC,CE边上的高，请你证明小明的猜测.

(3)拓展探究

NABC=60°,点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DE〃AB交BC于点E(如图④).假设在射线BA上存在点F,

使SAlXM=SABDE,请直接与出相应的BF的长.

图①图②

2.RtAABC中，BC=AC,NC=90°,D为AB边的中点，∕EDF=90°,将/EDF绕点D旋转，它的两边分别

交AC,CB(或它们的延长线)于E,F.当NEDF绕点D旋转到DELAC于E时，如图①所示，试证明S△阳+SA.

(1)当NEDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，如图②所示，上述结论是否成立？假设成立，请说明理由；假

设不成立，试说明理由.

(2)直接写出图③中，SADE"SACSF与SAMC之间的数量关系.

图①图②图③

3.(2023•郑州模拟)如图①所示，将两个正方形ABCD和正方形CGFE如下图放置，连接DE,BG.

(1)图中NDCE+NBCG=°；设^DCE的面积为S”Z∖BCG的面积为Sz,那么Sl与S?的数量关系为

猜测论证：

(2)如图②所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG,连接DE,BG,设ADCE的面积为

△BCG的面积为S2,猜测Sl和Sz的数量关系，并加以证明；

(3)如图③所示，在aABC中，AB=AC=IOcm,∕B=30°,把AABC沿AC翻折得到aAEC,过点A作AD平行

CE交BC于点D,在线段CE上存在点P,使aABP的面积等于aACD的面积，请写出CP的长.

4.(2023•驻马店一模)如图①，△ABC与aCDE都是等腰直角三角形，直角边AC,CD在同一条直线上，点M,

N分别是斜边AB,DE的中点，点P为AD的中点，连接AE,BD,PM,PN,MN.

(1)观察猜测

图①中，PM与PN的数量关系是,位置关系是；

⑵探究证明

将图①中的aCDE绕着点C顺时针旋转ɑ(0°<ɑ<90°),得到图②，AE与MP,BD分别交于点G,H,判断

△PMN的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸

把aCDE绕点C任意旋转，假设AC=4,CD=2,请直接写出APMN面积的最大值.

APCD

图①图②

参考答案

类型一

针对训练

1.解：(1)；点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,

当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b.

⑵①CD=BE,

理由：：AABD与AACE是等边三角形，

.∙.AD=AB,AC=AE,NBAD=NCAE=60°,

.∙.ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即ZCAD=ZEAB.

ΛD=AB

在Z∖CAD和AEAB中，，NCAD=NEAB,

AC≈AE

ΛΔCΛD^ΔEΛB,ΛCD=BE.

②∙.∙线段BE长的最大值等于线段CD的最大值，

由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，

.∙.线段BE长的最大值为BD+BC=AB+BC=4;

(3)∙.∙将AAPM绕着点P顺时针旋转90°得到APBN,连接AN,如解图①,

那么AAPN是等腰直角三角形，

.∙.PN=PA=2,BN=AM.

Y点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),

.∙.0A=2,0B=5,.∙.AB=3,

.∙.线段AM长的最大值等于线段BN长的最大值，

.∙.当点N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值,

最大值为AB+AN.

VAN=√2AP=2√2,

，线段AM的长最大值为2√2+3.

如解图②，过点P作PE，X轴于点E.

VΔAPN是等腰直角三角形，

ΛPE=ΛE=√2,

Λ0E=B0-AB-AE≈5-3-√2=2-√2,

ΛP(2-√2,√2).

图①

2.解：(1)①当α=0°时，

在RtZ∖ΛBC中，ZB=90o,

/.AC=√AB2+BC2≈√[8÷2)2+82≈4√5.

∙.∙点D、E分别是边BC、AC的中点，

ΛAE≈4√5÷2=2√5,BD=8÷2=4,

.AE_2m_m

,,BD-4-2-

②如解图①，当a=180°时，

得可得AB∕/DE,

.ACBC

VAE=BD'

.AEAC4√B乖

■而=丽=8=2.

AR

(2)当0。≤a≤360o时，病的大小没有变化.

VZECD=ZACB,

ΛZECA=ZDCB.

LECAC乖

ʌDCBC2

ΛΔECA^ΔDCB,

.竺=匹=范

••丽=55=2•

图①

图②

图③

第2题解图

⑶①如解图②，

VAC=4√5,CD=4,CDlAD,

二AD=√AC2-CD2=∙∖/(4√5)2-42=-√80-16=8.

VAD=BC,AB=DC,ZB=90o,

.∙.四边形ABCD是矩形，

ΛBD=AC=4√5.

③如解图③，连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点P,

VΛC=4√5,CD=4,CD±ΛD,

AD=√AC2-CD2=√(4√5)2-42=√8O-16=8,

:点D、E分别是边BC、AC的中点，

ΛI)E=∣∙AB=^×(8÷2)=­×4=2,

.∙.AE=AD-DE=8-2=6,

./仆—AE^∖∕5

由(2),可rz得pι而=2，

612√5

.∙.BD=τ=

5

2

综上所述，BD的长为4m或I2'.

3.解：(1)∙.∙∕∖ACB和ADCE均为等边三角形，

ΛCA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=60o,

ΛZACD=ZBCE.

在aACD和aBCE中，

AC=BC

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

・・・ΔACD^ΔBCE(SAS),・'・ZΛDC=ZBEC.

•・•ADCE为等边三角形，ΛZCDE=ZCED=60o.

Y点A,D,E在同一直线上，.∖ZADC=120°,

ΛZBEC=120°,

ΛZAEB=ZBEC-ZCED=60o.

②YAACDgABCE,ΛAD=BE.

⑵NAEB=90°,AE=BE+2CM.

理由如下：

VAACB和ADCE均为等腰直角三角形，

ΛCΛ=CB,CD=CE,NACB=NDCE=90°.

ΛZACD=ZBCE.

在AACD和ABCE中，

CA=CB

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

ΛΔACD^ΔBCE(SAS),

ΛAD=BE,ZADC=ZBEC.

・・・ZXDCE为等腰直角三角形，JNCDE=NCED=45°.

・・・点A,D,E在同一直线上，

ΛZADC=135o,ΛZBEC=135°,

ΛZAEB=ZBEC-ZCED=90o.

VCD=CE,CM±DE,ΛDM=ME.

VZDCE=90o,ADM=ME=CM,

ΛAE=AD+DE=BE+2CM.

(3)∙.∙PD=L.・•点P在以点D为圆心，1为半径的圆上.

..∙NBPD=90°,.♦.点P在以BD为直径的圆上，

，点P是这两圆的交点.

①当点P在如解图①所示位置时，

连接PD,PB,PA,作AlUBP,垂足为H,

过点A作AE_LAP,交BP于点E.

：四边形ABCD是正方形，

.∙.∕ADB=45°,AB=AD=DC=BC=啦，∕BAD=90°,

ΛBD=2.VDP=1,ΛBP=√3.

∙.∙∕BPD=∕BAD=90°,

.∙.点A、P、D、B在以BD为直径的圆上，

.∙.∕APB=NADB=45°.

ΛΔPAE是等腰直角三角形.

又∙.∙Z∖BAD是等腰直角三角形，点B,E,P共线，AH±BP,

由(2)中的结论可得:BP=2AH+PD,

Λ√3=2AH+1,

・••加与；

②当点P在如解图②所示位置时，

连接PD、PB、PA、作AHJ_BP,垂足为H,

过点A作AEJ_AP,交PB的延长线于点E,

同理可得：BP=2AH-PD,

Λ√3=2AH-1,

•∙An2・

综上所述，点A到BP的距离为1或

图②

第3题解图

4.解：(1)①TAB=AC,ZBAC=90°,

线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,

ΛAD=AE,ZBAD=ZCAE,

ΛΔBAD^ΔCAE,

ΛCE=BD,ZACE=ZB,

ΛZBCE=ZBCA+ZACE=90o,

・・・线段CE,BD之间的位置关系和数量关系为CE=BI),CE1BD；

(2)(1)中的结论仍然成立.证明如下：

如解图①,

・・・线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,

ΛAE=AD,ZDAE=90o.

VAB=AC,ZBAC=90o,

・・・ZCΛE=ZBΛD,

ΛΔACE^ΔABD,

ΛCE=BD,ZACE=ZB,

ΛZBCE=90o,

，线段CE,BD之间的位置关系和数量关系为CE=BD,CE1BD；

(3)45°；*

过A作AM,BC于M,过点E作ENLMA交MA的延长线于N,如解图②.

•：线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,

ΛZDAE=90o,ΛD=AE,

ΛZNAE=ZADM,易证得RtΔAMD^RtΔENA,

ΛNE=AM.

VCE±BD,即CE_LMC,.β.ZMCE=90o,

・・・四边形MCEN为矩形，

ΛNE=MC,JAM=MC,

ΛZACB=45°.

・・・四边形MCEN为矩形，

ΛRtΔAMD^RtΔDCF,

MDAM、江八

$DC=X・

：在RtZkAMC中，ZACB=45o,AC=3√2,

3—x3

ΛΛM=CM=3,MD=3-χ,.,.-ɪ=",

CrX

・，・CF=—∣x2+x=­ɪ(x-1)2+^,

・・・当x=∣时，CF有最大值，最大值为*

故答案为45°,-；

5.解：(1)①∙.∙Z∖ABC,Z∖AED是两个全等的等腰直角三角形,

ΛΛD=BC.

・・・0为BC的中点，F为AD的中点，

ΛAF=OC.

YNBAC=NAED=90°,AB=AC,AE=DE,

ΛZDAE=ZCBA=45o,

ΛAD/7BC,

・・・四边形AFOC是平行四边形，

√2OF√2

Λ0F=AC=-γEC,Λ-=ɪ-;

故答案：坐；

②∙.∙A0=坐A3ZBAO=ZCA0=45o,ZDAE=450,

ΛZDAE=ZCAO.

VAE=AC,

ΛAF=AO,

.ʌɛ-ʌθ

(βAE=AC,

ΛΔAFO^ΔAEC,

.OF-AO-Λ∕2

••丽=X5=2;

故答案：坐.

(2)OF=乎EC.

理由：在等腰直角AADE中，F为AD的中点,

AF=；AD=芈AE.

在等腰直角aABC中，O为BC的中点,

如解图①，连接AO,

；.AO=*AC,NBAO=NCAo=45°.

/.ZDAE=45°,

ΛZDAE=ZCAO,即/DAO=NCAE.

VAE=AC,

ΛAF=ΛO,

•AF_AO

∙,AE=AC,

；.△AFOsz∖AEC,

.0F_A0_^2

••前=X5=2;

⑶∙.∙Z∖ABC和aAED是两个全等的等腰直角三角形,

ΛAD=BC=√2,

ΛED=AE=AB=AC=I,

当AACD为直角三角形时，分两种情况：

D

图②

B"C(E)

D

图③

第5题解图

①当AD与AB重合时，如解图②，连接CD.

当aACD为直角三角形时，AD±AC,

即将aADE绕点A逆时针旋转45°.

VAD=√2,AC=I,

.∙.由勾股定理可得CD=√[√2）2+l2=√3;

②当AE与AC重合时，如解图③，

当AACD为直角三角形时，AC±CD,

即将AADE绕点A逆时针旋转90°,此时CD=AC=L

综上所述，CD的长为/或1.

类型二

针对训练

1.解：（I）①^DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上，

ΛAC=CD.

VZBAC=90o-ZB=90o-30°=60°.

...△ACD是等边三角形，

ΛZACD=60°,

XVZCDE=ZBAC=60o,

ΛZACD=ZCDE,

ΛDE/7AC；

②Y∕B=30°,NC=90°,

1

ΛCD=AC=-AB,

ABD=AD=AC,

根据等边三角形的性质，AACD的边AC,AD上的高相等，

ΛΔBDC的面积和AAEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2;

（2）V∆DEC是由AABC绕点C旋转得到，

,BC=CE,AC=CD,∕DCE=NACB=90°,

VZACN+ZACE=180°,

二ZACN≈ZDCM.

'NACN=/DCM,

在AACN和ADCM中,«NN=NCMD=90°,

AC=CD

ΛΔACN^∆DCM(AAS),

ΛΛN=DM,

ΛΔBDC的面积和AAEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1=S2;

(3)如解图，过点D作DFi〃BE交BA于点R,易求得四边形BEDa是菱形，,BE=DR,且BE,D宿边上的高相

等，

此时SΔDCFι=SΔBDE;

过点D作DF2_LBD.

VZABC=60o,F山〃BE交BA于点F2,

σ

ΛZF2F1D=ZABC=60.

o

VBF1=DF1,NFlBD=；NABC=30°,ZF2DB=90,

o

ΛZF1DF2=ZABC=60

•••△DFF2是等边三角形，

/.DFi=DF2.

VBD=CD,NABC=60°,点D是角平分线上一点，

ΛDBC=ZDCB=∣×60o=30°,

ΛZCDFι=180o-ZBCD=180°-30°=150°,

O

ZCDF2=360-150°-60°=150°,

ΛZCDFi=ZCDF2.

在ACDH和4CDF2中,

DFl=DF2

VZCDF1=ZCDF2,

CD=CD

ΛΔCDF1ΔCDF2(SAS),,点Fz也是所求的点.

VZABC=60o,点D是角平分线上一点，DE〃AB,

ΛZDBC=ZBDE=ZΛBD=∣×60°=30°.

又∙.'BD=4,

1√34√3

.∙.BE=∕X4÷cos30o=2÷g-=r-,

,BE=岁,BFz=BB+FR=华+^=挛

故BF的长为乎或平.

2.解；当NEDF绕D点旋转到DE，AC时，四边形CEDF是正方形；设aABC的边长AC=BC=a,那么正方形

CEDF的边长为%,

ZAABC

•'・SABC=∕a”,S正方形CEDF=(,a)2=7a~,BRSΔ∏EF+SACEF=^*

(1)上述结论成立；理由如下：

连接CD,如解图①所示.

VAC=BC,ZACB=90o,D为AB中点，

ΛZB=45o,NDCE=FNACB=45。,CD±ΛB,CD=∣ΛB=BD,

ΛZDCE=ZB,NCDB=90°

VZEDF=90o,

ΛZ1=Z2,

在aCDE和ABDF中，

"N1=N2

<CD=BD,

.ZDCE=ZB

ΛΔCDE^ΔBDF(ASA),

∙*∙S∆DEF4-SΔCEF=SZkADE+SZJtBOF=]SΔABC；

N

C∕∙'B

图①

(2)S∆DEF—SZiCEF=；理由如下:

连接CD,如解图②所示,

同(1)得：ZkDECgADFB,ZDCE=ZDBF=135°,

∙*∙S∆DEF=S五边形DBFEC，

S∆CFEIS∆DBC,

=SACFE+/SdABC,

:∙SZSDEF—S∆CFE=^S∆ΛBC.

∙*∙SΔDEFNSZ∖CF∙F∖S的关系是SZJ)FF—SACEF=Z^S'ΔΛBC.

3.解：（1）如解图①中，Y四边形ABCD、EFGC都是正方形,

ΛZBCD=ZECG=90o.

VZBCG+ZBCD+ZDCE+ZECG=360o,

ΛZBCG+ZECD=180°.

图①

Pn

N

∖ι

RDC

图③

第3题解图

如解图①，过点E作EMLDC于点M,过点G作GNLBN交BN的延长线于点N,

ΛZEMC=ZN=90o.

Y四边形ABCD和四边形ECGF均为正方形,

ΛZBCD=ZDCN=ZECG=90o,CB=CD,CE=CG,

ΛZl=90o一/2,Z3=90o-N2,

ΛZ1=Z3.

在ACME和aCNG中，

NEMC=NGNC

<NI=N3,

EC=CG

ΛΔCME^ΔCNG(ASA),

ΛEM=GN.

D11

又YSi=VD∙EM,S2=^CB∙GN,

∙*∙Si=$2；

故答案为180。，Si=S2;

⑵猜测：S1=S2,

证明：如解图②，过点E作EMLDC于点M,过点B作BNLGC交GC的延长线于点N,

ΛZEMC=ZN=90o.

・・・矩形CGFE由矩形ABCD旋转得到的，

ΛCE=CB,CG=CD,

YZECG=ZECN=ZBCD=90o,

ΛZl=90o-Z2,Z3=90o-Z2,ΛZ1=Z3.

在ZiCME和Z∖CNB中,

NEMC=NBNC

<Z1=Z3,

EC=CB

ΛΔCME^ΔCN