2023-2024学年江苏省南京市东华中学高三数学理大联考试题含解析

2023年江苏省南京市东华中学高一数学理大联考试题

含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.在中，sin2A+cos2B=L则cosA+cos5+cosC的最大值为（）

A.B.

C.1D.

参考答案：

D

由sin2A+cos25=l,得cos25=cos2A又A、5为△ABC的内角，所以A=5,则C

2

=兀-2A.cosA+cosB+cosC—2cosA+cos（7i_2A）=2cosA—cos2A=—2cosA+2cosA

+1=—22+,可知当cosA=时，cosA+cosB+cosC取得最大值.

2,若圆一+炉-4x-4，-10=°上至少有三个点到直线＞欠一如=°的距离等于2点,

在直线？的斜率的取值范围是（）

Ae.2-⑹B.82-看]中+"例）Q（62+同

D[2.62+/]

参考答案：

D

3.（5分）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1,高为2的矩形，俯

视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（）

正猊图

5-

A.2JiB.2C.4mD.5n

参考答案：

B

考点：由三视图求面积、体积.

专题：计算题；图表型.

1

分析：由三视图知，此几何体是一个圆柱，其高为2,半径为2由公式易求得它的表面

积，选出正确选项

1

解答：解：由图知，此几何体是一个圆柱，其高为2,半径为2

2X冗x弓）--

它的表面积为2+2X2JiX2=2

故选B

点评：本题考查由三视图求面积、体积，解题的关键是由三视图还原出实物图的几何特征

及其度量，再由公式求出表面积，本题考查了空间想像能力.

4.过点P(2,1)且被圆C：x2+y2-2x+4y=0截得弦长最长的直线1的方程是

()

(A)3x-y-5=0(B)3x+y-7=0

(C)x-3y+5=0(D)x+3y-5=0

参考答案：

A

略

5.已知a=log20.3b=201,c=0.21,3,则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

参考答案：

C

【考点】对数值大小的比较.

【分析】看清对数的底数，底数大于1,对数是一个增函数，0.3的对数小于1的对数，

得到a小于0,根据指数函数的性质，得到b大于1,而c小于1,根据三个数字与0,1

之间的关系，得到它们的大小关系.

【解答】解：由对数和指数的性质可知，

Va=log20.3<0

b=201>2°=l

c=0,2L3<°。

/.a<c<b

故选C.

【点评】本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给

的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来.

1x

,{y|y=(=)，0<Cx<C1}

6.已知集合A={x|y=log2X,y<0},2，贝！JAUB=()

(-,+8)&1)

A.(0,1)B.2C.2D.(-8,i)

参考答案：

A

【考点】并集及其运算.

【专题】集合思想；数形结合法；集合.

【分析】根据指数函数与对数函数的性质，化简集合A、B,求出AUB即可.

【解答】解：,；A={x|y=log2X,y<0}={x|0<x<l}=(0,1),

B={y|尸(A):O<X<1]]工

2={y|2<y<l)=(2,1),

1

Z.AUB=（0,1）U（2,1）=（0,1）.

故选：A.

【点评】本题考查了集合的运算与应用问题，也考查了函数的性质与应用问题，是基础题

目.

7.某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3km（含3km）,以后每1km为1.6元

（不足1km,按1km计费），若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用

y（元）与行驶的里程x（km）之间的函数图象大致为（）

参考答案:

C

8.由小到大排列的一组数据：XhXiXj.K,.",其中每个数据都小于-2,则样本

2「百，的中位数可以表示为（）

勺+/向一x】2+x$X3-X4

A.2B.2C.2D.2

参考答案:

1cosa+sinCL

9.已知=2贝ijcosa-sinCl二（）

A.2B.-2C.3D.-3

参考答案:

C

【考点】同角三角函数基本关系的运用.

【分析】对所求式分子分母同时除以cosa,转化成关于tana的关系式即可得到答案.

cosCl+sinCL1+tanCI

［解答］解：・.・cosa_sina1-tanCL

故选C.

…《)=21sIx-—I

10.函数XI的大致图象为()

参考答案:

D

【考点】函数的图象；指数函数的图象与性质.

【分析】观察题设中的函数表达式，应该以1为界来分段讨论去掉绝对值号，化简之后

再分段研究其图象.

l…ogx——1——1

【解答】解：由题设条件，当x》l时，f(x)=229-(x-x)=x

-log2x111

当X<1时，f(x)=2-(x-X)=x-(x-X)=x

综上，应该选D

【点评】本题考查绝对值函数图象的画法，一般要先去掉绝对值号转化成分段函数再分段

做出图象.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知直线/：审-0与圆一12交于A、8两点，过A、8分别作/

的垂线与y轴交于C、。两点，若I公上坤，贝力6|=.

参考答案：

4

【分析】

由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案.

【详解】因为加1=24，且圆的半径为r=访，所以圆心（0-。）到直线

|«.妙3«-抬=0的距离为卜［^^3

则由，解得3

jr=——x4

代入直线I的方程，得3,所以直线।的倾斜角为30。，由平面几何知识知在

..\AB\

梯形加DC中，i1cosM0

故答案为4

【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即

几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非

常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使

问题较为简捷地得到解决.

三、解答题（本大题共6道题，其中17题10分，其余每题12分，共计70分，请将准确

的答案写在答题卡相应的区域内.）

12.如图，勘探队员朝一座山行进，在前后两处观察山顶的仰角是30度和45度，两个观

察点之间的距离是200m,则此山的高度为（用根式表示）.

参考答案：

100（V3+1）

【考点】解三角形的实际应用.

【分析】设CD=X,利用三角形中的边角关系，建立方程AB=AD-BD,解方程即可得到结

论.

【解答】解：设山高CD为x,

在RtABCD中有：BD=CD=x,

在RtAACD中有：AC=2x,AD-'/3x.

而AB=AD-BD=（V3-1）x=200.

200

解得：x=V3-1=ioo（V3+1）米.

故答案为：100（V3+1）.

13.一个工厂有若干车间，今采用分层抽样方法从全厂某天生产的1024件产品中

抽取一个容量为64的样本进行质量检查.若某车间这一天生产128件产品，则从

该车间抽取的产品件数为.

参考答案:

8

14.已知方程7--U+13）x+JW*-jff-2=0（JW为实数）有两个实数根且一根在

（Q1）上，一根在（［2）上，川的取值范围

参考答案：

(-2,-1)u(3,4)

2『x<l]

f(x)=«

10g4X,x>l,满足f°)Y的x的值是

15.设函数

参考答案:

近

【考点】分段函数的应用；函数的值.

【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用.

q,\X<1,

f(x)-<f()~~

【分析】根据已知中函数logqX，X>1,分类讨论满足X-%的X的值,

进而可得答案.

-X

f(x)=9JL

【解答】解：当X<1时，解-4得：x=2(舍去)，

当x>l时，解£但)=血4*7得：x=&,.

—

综上，满足f(X)一—年的X的值是亚，

故答案为：屈

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度中档.

J4=(X|--<x<2),5={x|xa<1)

16.设集合2则

A\JB=________________________________

参考答案:

[-U)

17.设/(X)是定义在K上的奇函数，当xVO时，=/•若对任意的

xe[j+2],不等式恒成立，则实数：的最大值是▲.

参考答案:

_2

~3

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本小题满分12分)在锐角三角形,必。中，&瓦c分别是所对应

的边，向量u=(/+1-火鸟c).v=(cos瓦sin3),且工

(I)求角3；

(II)求m.4+sm匚'的取值范围。

参考答案：

解：(I)'：u!lv,.•/『：，？+，-6)sin8-々laccosB=U

cosB=-----------------.su=—.Be((),-),：,B=-.

又2ac

分

.._2兀

<+C=—,c---------A,

(II)由(I)知33

2x“S1d3A忑.

$m4+sinC=$mj4+$m(--4)=$mA+--cos4+-sinA——smA+—cosA

2222

6sm(4+当

=6.....8分

0"<曰且0<丝-人产

：2所以

又23

n▲兀北n2n

一<A<一.—</A+—<—

62363••••""10分

<sin(A+—)S1

/.26smA1+smC\2J..........

分

略

19.如图,某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点0离地面0.5米.风车圆周

上一点A从最低点0开始,运动t秒后与地面的距离为h米.以0为原点,过点0的圆的切

线为x轴，建立直角坐标系.

①假设和的夹角为6,求。关于t的关系式；

②当t=4秒时,求扇形口口出的面积见平；

③求函数h=f(t)的关系式.

参考答案:

22.⑴当f=4,3=30*4=30*・4=120・

,、„120•开火24…八，

(2)S=-------=一“a4189m

360"3

(3)0("2h=2.5-2cos6

2

A=2.5+2smf^-^

2

3a

7r<e<-^h

—<e<i7ih2.5-2cos(2^-^Ih=2.5-2cos8

略

20.根据下列条件，求圆的方程：

(1)过点A(1,1),B(-1,3)且面积最小；

(2)圆心在直线2x-y-7=0上且与y轴交于点A(0,-4),B(0,-2).

参考答案：

【考点】直线与圆相交的性质；圆的标准方程.

【分析】(1)过A、B两点面积最小的圆即为以线段AB为直径的圆，由A与B的坐标，

利用两点间的距离公式求出⑻的长，确定出圆的半径，即可求出面积最小圆的面积；

(2)由圆与y轴交于A与B两点，得到圆心在直线y=-3上，与已知直线联立求出圆心

坐标，及圆的半径，写出圆的标准方程即可.

【解答】解：(1)过A、B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆，

圆心坐标为(0,2),半径r=2|AB|=27(-1+1)2+(1-3)2=2x遂二次，

...所求圆的方程为Y+(y-2)z=2；

(2)由圆与y轴交于点A(0,-4),B(0,-2)可知，圆心在直线y=-3上，

"2x-y-7=0(x=2

由1尸-3,解得［厂f

...圆心坐标为(2,-3),半径「加，

...所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)J5.

21.某工厂家具车间造A、8型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已

知木工做一张A、8型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、8型桌子

分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小

时，而工厂造一张A、8型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产

A、8型桌子各多少张，才能获得利润最大？

参考答案:

x+2y58

胡，设母无生产4型*子x张,B型*子,条.ffl3x+>S9……2分

xZO.”O

目标国R为，J*2r*3>......Y分

作出可行簸，分

eai«/t2r+3户o向右上方平移至r的位■时,i

蛀经逅可行域上的点M'且与原点距题最大，此时

A2x+3y取最大0L一•€分

X+2v=8

,溥M的坐标为(23》.

{3x+y=9

答，妗天龙生产4型桌子2张.B型虚子3张才能骁事

侵大田斌.……12分

22.过点P(2,1)的直线1与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B.

(1)求u=|OA|+|OB|的最小值，并写出取最小值时直线1的方程;

(2)求v=|PA|?|PB|的最小值，并写出取最小值时直线1的方程.

参考答案:

考直线和圆的方程的应用.

点：

专直线与圆.

题：

分(1)设出直线方程的截距式，用含有一个字母的代数式表示出U,然后利用