合成控制法简介及代码

合成限制法经济学家常要评估某政策或事务的效应。此政策可能实施于某国家或地区（省、州或城市）。最简洁（天真）的方法是考察政策实施前后的时间序列，看所关切的结果（outcomeofinterest）如何改变。但此结果还可能受其原有改变趋势的影响，或其他同时发生的混淆性事务（confounder）的作用。为此，常运用“鲁宾的反事实框架”（Rubin'scounterfactualframework），即假想该地区如未受政策干预将会怎样，并与事实上受到干预的实际数据进行对比，二者之差即为“处理效应”（treatmenteffect，借用医学术语）。困难之处在于，我们无法观测到“该地区如未受政策干预将会怎样”（反事实）。选择限制组是门艺术常用解决方法是，找寻适当的限制组（controlgroup），即在各方面都与受干预地区相像却未受干预的其他地区，以作为处理组（treatedgroup，即受到干预的地区）的反事实替身（counterfactuals）。但通常不易找到最志向的限制地区（controlregion），在各方面都接近于处理地区（treatedregion）。比如，要考察仅在北京实施的某政策效果，自然会想到以上海作为限制地区；但上海终归与北京不完全相同。或可用其他一线城市（上海、广州、深圳）构成北京的限制组，比较上海、广州、深圳与北京在政策实施前后的差别，此方法也称“比较案例探讨”（comparativecasestudies）。但如何选择限制组通常存在主观随意性（ambiguity），而上海、广州、深圳与北京的相像度也不尽相同。为此，AbadieandGardeazabal(2003)提出“合成限制法”（SyntheticControlMethod）。其基本思想是，虽然无法找到北京的最佳限制地区，但通常可对中国的若干大城市进行适当的线性组合，以构造一个更为优秀的“合成限制地区”（syntheticcontrolregion），并将“真实北京”与“合成北京”进行对比，故名“合成限制法”。合成限制法的一大优势是，可以依据数据（data-driven）来选择线性组合的最优权重，避开了探讨者主观选择限制组的随意性。（一）Abadie论文西班牙恐怖活动引发的计量方法AbadieandGardeazabal(2003)的初衷是以合成限制法探讨西班牙巴斯克地区（Basquecountry）恐怖活动的经济成本。MIT经济系教授AlbertoAbadie（此前长期任教于哈佛高校肯尼迪学院），正是来自于巴斯克地区，一个毗邻法国的西班牙自治地区。巴斯克人长期居住于巴斯克地区，拥有独特的语言与文化，在历史上多次胜利对抗强敌入侵。在1970年头初，巴斯克地区的人均GDP在西班牙17个地区中排第三。之后，由于民族独立的诉求未获满意，从1975年起先，巴斯克地区陷入有组织的恐怖活动之中。恐怖活动重创巴斯克经济，至1990年头末，巴斯克地区的人均GDP在西班牙排名降为第六。然而，70年头末至80年头初，西班牙整体经济也下行，故不易区分恐怖活动的单独效应。而且，巴斯克地区在恐怖活动之前的经济增长潜力明显与西班牙其他地区也不尽相同。为此，AbadieandGardeazabal(2003)运用西班牙其他地区的线性组合来构造合成的限制地区，并使得合成限制地区的经济特征与60年头末恐怖活动爆发前的巴斯克地区尽可能相像，然后把此后“合成巴斯克地区”（syntheticBasquescountry）的人均GDP演化与“真实巴斯克地区”（actualBasquecountry）进行对比。如何构造合成限制详细而言，假设共有(1+J)个地区，其中第1个地区为受到恐怖活动冲击的巴斯克地区，而其余J个西班牙地区未受冲击（在此J=16），构成潜在的限制组，称为“donorpool”（原意为“器官捐献库”，再次借用医学术语）。一个潜在假定是，恐怖活动仅影响巴斯克地区，而未波及西班牙的其他地区（事实上恐怖活动也主要集中于巴斯克地区）。将合成限制地区的权重记为以下J维列向量：其中，w2表示第2个地区在合成巴斯克地区所占的权重，以此类推；全部权重皆非负，且权重之和为1。w的不同取值即构成不同的合成限制地区，简称“合成限制”（syntheticcontrol）。在此探讨中，被说明变量为人均GDP，记为y。影响y的说明变量或预料变量（predictors）包括投资率、人口密度、产业结构、人力资本等，详见下表。在巴斯克地区爆发恐怖活动之前，记其各预料变量的平均值为向量x1（K×1维列向量，下标1表示“treatedregion”），即上表第(1)列的数值（除了人均GDP）。将西班牙其他地区相应预料变量的平均值记为矩阵X0（K×J维矩阵，下标0表示“controlregion”），其中第j列为第j个地区的相应取值。明显，我们希望选择权重w，使得X0w尽可能地接近于x1，即经过加权之后，合成限制地区的经济特征应尽量接近处理地区。为度量此距离，可运用二次型（类似于欧几里得空间中两点之间的距离）。由于x1中的每个预料变量对于y的预料实力有大小之别，应在距离函数中享有不同的权重，故考虑以下有约束的最小化问题：其中，V为(K×K)维对角矩阵，其对角线元素均为非负权重，反映相应的预料变量对于人均GDP的相对重要性。此最小化问题的目标函数是二次函数，为“二次规划”（quadraticprogramming）问题，一般进行数值求解。记此约束最小化问题的最优解为w*(V)；明显，它依靠于对角矩阵V。进一步，选择最优的V，使得在恐怖活动全面爆发之前，合成巴斯克地区的人均GDP与真实巴斯克地区尽量接近。详细而言，记z1为(10×1)维列向量，包含巴斯克地区在1960-1969年间的人均GDP；记Z0为(10×J)维矩阵，其中每列为相应限制地区在1960-1969年间的人均GDP。用Z0w*(V)来预料z1，然后选择V，以最小化“均方预料误差”（MeanSquaredPredictionError，简记MSPE），即将每期的预料误差平方后再求各期的平均：求解此最小化问题，可得构成合成巴斯克地区的最优权重，w*=w*(V*)。经过计算，AbadieandGardeazabal(2003)发觉，只有两个地区的权重为正，即加泰罗尼亚（Catalonia，权重0.8508）与马德里（Madrid，权重0.1492），而其他地区的权重均为0。直观上，Catalonia与Madrid的经济特征也与巴斯克地区最为相像。合成限制法的“效果图得到合成巴斯克地区的权重之后，即可计算其人均GDP在样本期间的演化过程。记巴斯克地区在样本期间（假设为T期）的人均GDP为向量y1（T×1维列向量）。记其他地区在样本期间的人均GDP为矩阵Y0（T×J维矩阵），其中每列为相应地区的人均GDP。由此可得合成巴斯克地区的人均GDP序列y1*=Y0w*。最直观的方法是将y1与合成限制的y1*画时间趋势图，参见下图。从上图可知，在1975年大规模恐怖活动爆发之前，真实巴斯克（实线）与合成巴斯克（虚线）的人均GDP特别接近。二者在1975年后即起先分岔；而在1980与1990年头，真实巴斯克的人均GDP比合成巴斯克低约10%。换言之，巴斯克恐怖活动的经济成本是损失了约10%的人均GDP反事实的分析框架假设共有(1+J)个地区，其中第1个地区受到政策干预（如有多个地区受到干预，可合并为一个大地区；或分别进行估计），而其余J个地区未受冲击（构成donorpool）。记yit为地区i在第t期实际观测到的结果变量，其中i=1,...,J+1，而t=1,...,T。记yitN为地区i在第t期假如未受政策干预的结果变量（上标N表示未受干预）。记T0为政策干预起先之前（preintervention）的时期数，且1≤T0<T。记yitI为地区i在第t期的结果变量（上标I表示Intervention），假如地区i在第(T0+1)至第T期持续地受到政策干预。假设政策在前T0期对于结果变量没有影响，即对于全部i与t≤T0，都有yit=yitN=yitI。假如政策在实施之前即产生影响（比如，通过预期效应），则可重新定义T0为政策实际起先产生影响之前的那个时期。一个潜在假定是各地区之间不会相互影响（nointerferencebetweenunits）；特殊地，限制地区的结果变量不受处理地区政策冲击的影响。我们关切当i=1而t>T0时的处理效应：在上式中，只要估计y1tN即可。引入因子模型假设yitN由以下“因子模型”（factormodel）所确定：其中，上式右边第(1)项δt为时间固定效应(timefixedeffects)。第(2)项的zi为可观测的向量（不受政策干预影响，也不随时间而变；比如，干预之前的预料变量之平均值）。zi对于yitN的作用随时间而变，故zi的系数θt（未知参数）带时间下标t。第(3)项为不行观测的“互动固定效应”（InteractiveFixedEffects），即个体固定效应ui与时间固定效应λt的乘积（Bai,2009）。第(4)项ԑit为随机扰动项。依据“因子分析”（factoranalysis）的术语，称第(3)项中不行观测的λt为“共同因子”（commonfactors），可理解为不同地区所面临的共同冲击（commonshocks），比如它有两个重量，分别表示技术冲击（technologicalshocks）与金融危机（financialcrises）；而各地区对于共同冲击λt的反应并不相同，以ui来表示，称为“因子载荷”（factorloading）。假如λt是一维且为常数，则上式简化为“双向固定效应模型”（two-wayfixedeffectsmodel），包含个体固定效应ui与时间固定效应δt。由此可知，上式是双向固定效应模型的推广，它允许不同个体对于共同冲击的异质性反应（heterogeneousimpacts）。合成限制的误差记构造合成限制的权重向量为：其中，w2表示第2个地区在合成限制所占的权重，以此类推；全部权重皆为非负，且权重之和为1。对于随意给定的w，可将合成限制地区的结果变量写为：将y1tN减去上式可得：明显，假如能找到w，使得上式右边的(1)式与(2)式均为0，则上式的期望为0，故合成限制为y1tN的无偏估计。但(2)式中的ui不行观测，故不行行。Abadieetal.(2010)证明，假如能找到w使得即依据可观测的经济特征与干预前结果变量所选择的合成限制w，也会使得合成限制的不行观测特征接近于处理地区。反之，假如无法找到w，使得合成限制能很好地复制（reproduce）处理地区的经济特征以及干预之前的结果变量，则不建议运用合成限制法。合成限制法的基本性质假如合成限制w*能很好地复制处理地区的经济特征与干预前的结果变量（关于如何计算w*，参见首篇《合成限制法（一）》），则可定义如下合成限制估计量（SyntheticControlEstimator）：Abadieetal.(2010)证明，在肯定的正则条件下，假如合成限制w*能完全地复制（perfectlyreproduce）处理地区的经济特征与干预前的结果变量，则当干预前期数T0趋向无穷大时，合成限制估计量是渐近无偏（asymptoticallyunbiased）。反之，假如合成限制w*只是不完全地复制（imperfectlyreproduce）处理地区的经济特征与干预前的结果变量（更为常见的情形），则合成限制估计量将是渐近有偏的。此偏差被称为“内插偏差”（interpolationbias），因为运用内插法构造的合成限制并不是处理地区的完备的反事实替身。因此，在运用合成限制法时，一个重要的模型设定检验就是，考察合成限制的经济特征与干预前的结果变量是否与处理地区足够接近。合成限制法的Stata吩咐Abadieetal.(2010)还供应了合成限制法的Stata程序synth，使得估计特别便利。打开Stata后，可输入以下吩咐：.sscinstallsynth,replace（下载并安装synth程序）其中，选择项“replace”表示如有此吩咐更新版本，可以新吩咐覆盖旧吩咐。吩咐synth的基本句型为：synthyx1x2x3,trunit(#)trperiod(#)counit(numlist)xperiod(numlist)mspeperiod()figureresultsperiod()nestedalloptkeep(filename)其中，“y”为结果变量（outcomevariable），“x1x2x3”为预料变量（predictors）。必选项“trunit(#)”用于指定处理地区（trunit表示treatedunit）。必选项“trperiod(#)”用于指定政策干预起先的时期（trperiod表示treatedperiod）。选择项“counit(numlist)”用于指定潜在的限制地区（即donorpool，其中counit表示controlunits），默认为数据集中的除处理地区以外的全部地区。选择项“xperiod(numlist)”用于指定将预料变量（predictors）进行平均的期间，默认为政策干预起先之前的全部时期（theentirepre-interventionperiod）。选择项“mspeperiod()”用于指定最小化均方预料误差（MSPE）的时期，默认为政策干预起先之前的全部时期。选择项“figure”表示将处理地区与合成限制的结果变量画时间趋势图，而选择项“resultsperiod()”用于指定此图的时间范围（默认为整个样本期间）。选择项“nested”表示运用嵌套的数值方法找寻最优的合成限制（举荐运用此选项），这比默认方法更费时间，但可能更精确。在运用选择项“nested”时，假如再加上选择项“allopt”（即“nestedallopt”），则比单独运用“nested”还要费时间，但精确度可能更高。选择项“keep(filename)”将估计结果（比如，合成限制的权重、结果变量）存为另一Stata数据集（filename.dta），以便进行后续计算。更多选择项，详见helpsynth。（二）美国加利福尼亚州的控烟法有效吗？Abadieetal.(2010)随之将合成限制法应用于探讨美国加州1988年第99号控烟法（Proposition99）的效果。1988年11月美国加州通过了当代美国最大规模的控烟法（anti-tobaccolegislation），并于1989年1月起先生效。该法将加州的香烟消费税（cigaretteexcisetax）提高了每包25美分，将所得收入专项用于控烟的教化与媒体宣扬，并引发了一系列关于室内清洁空气的地方立法（localcleanindoor-airordinances），比如在餐馆、封闭工作场所等禁烟。面板数据集Abadieetal.(2010)运用的数据为美国1970-2000年的州际面板数据。由于Massachusetts,Arizona,Oregon与Florida的州政府在1989-2000期间也引入了正式的控烟立法，无法作为限制地区，故将此四州从donorpool中去掉。此外，还去掉了在1989-2000期间将香烟消费税提高了每包50美分及以上的州（Alaska,Hawaii,Maryland,Michigan,NewJersey,NewYork,Washington），以及首都所在地华盛顿特区。最终剩下38个州作为潜在的限制地区（即使加上去掉的州，结果也依旧稳健）。变量介绍该探讨的结果变量为cigsale（人均香烟消费量，包/年），预料变量包括retprice（平均香烟零售价格）、lnincome（人均收入对数）、age15to24（15-24岁人口所占总人口比重，年轻人为吸烟主力）、beer（人均啤酒消费量，烟酒不分家）。这些预料变量均为1980-1988年的州平均值，另外还运用1975、1980与1988年的人均香烟消费量作为三个额外的预料变量。另外，面板变量为state（州），而时间变量为year（年）。Stata操作Stata程序synth自带了加州控烟法的数据集smoking.dta。安装吩咐synth后，输入以下吩咐即可打开此数据集，设为面板数据，然后进行合成限制法的估计：.sysusesmoking（打开数据集）.xtsetstateyear（设为面板数据）.synthcigsaleretpricelnincomeage15to24beercigsale(1975)cigsale(1980)cigsale(1988),trunit(3)trperiod(1989)xperiod(1980(1)1988)figurenestedkeep(smoking_synth)其中，“cigsale(1975)cigsale(1980)cigsale(1988)”分别表示人均香烟消费在1975、1980与1988年的取值。必选项“trunit(3)”表示第3个州（即加州）为处理地区；必选项“trperiod(1989)”表示控烟法在1989年起先实施。选择项“xperiod(1980(1)1988)”表示将预料变量在1980-1988年期间进行平均，其中“1980(1)1988”表示始于1980年，以1年为间隔，而止于1988年；其效果等价于“198019811982198319841985198619871988”，而前者的写法明显更为简洁。选择项“keep(smoking_synth)”将估计结果存为Stata数据集smoking_synth.dta（放在Stata的当前工作路径）。估计结果如下。上表显示，大多数州的权重为0，而只有以下五个州的权重为正，即Colorado(0.161)，Connecticut(0.068)，Montana(0.201)，Nevada(0.235)与Utah(0.335)，此结果与Abadieetal.(2010)汇报的结果特别接近（微小差别或由于计算误差）。考察加州与合成加州的预料变量是否接近：从上表可知，加州与合成加州的预料变量均特别接近，故合成加州可以很好地复制加州的经济特征。然后比较二者的人均香烟消费量在1989年前后的表现：从上图可知，在1989年控烟法之前，合成加州的人均香烟消费与真实加州几乎如影相随，表明合成加州可以很好地作为加州如未控烟的反事实替身。在控烟法实施之后，加州与合成加州的人均香烟消费量即起先分岔，而且此效应越来越大。更直观地，可打开另一Stata程序，调用已存的数据集smoking_synth.dta，计算加州与合成加州人均香烟消费之差（即处理效应），然后画图。.usesmoking_synth.dta,clear（如不打开另一Stata程序，则此数据集将覆盖原有的数据集smoking.dta）.geneffect=_Y_treated-_Y_synthetic（定义处理效应为变量effect，其中“_Y_treated”与“_Y_synthetic”分别表示处理地区与合成限制的结果变量）.labelvariable_time"year".labelvariableeffect"gapinper-capitacigarettesales(inpacks)"（为了画图更美丽，加上时间变量与处理效应的标签，可运用变量管理器(variablemanager)来便利地加标签）.lineeffect_time,xline(1989,lp(dash))yline(0,lp(dash))（画处理效应的时间趋势图，并在横轴1989年处与纵轴0处分别画虚线，结果见下图）上图显示，加州控烟法对于人均香烟消费量有很大的负效应，而且此效应随着时间推移而变大。详细来说，在1989-2000年期间，加州的人均年香烟消费削减了20多包，大约下降了25%之多，故其经济效应特别显著（economicallysignificant）。在运用合成限制法时，如何进行稳健性检验与统计推断？合成限制法与回来法相比有何优缺点？运用合成限制法有何留意事项？敬请期盼本介绍的完结篇——合成限制法（三）。合成限制法的稳健性检验为了检验上述合成限制估计结果的稳健性，Abadieetal.(2010)加入了更多的预料变量，比如失业率、收入不同等、贫困率、福利转移、犯罪率、毒品相关的逮捕率、香烟税、人口密度等；发觉结果依旧稳健。另外一个担忧是，地区之间无相互影响（nointerferencebetweenunits）的假定可能不满意，比如加州的反烟运动可能波及其他州，烟草行业或将其他州的香烟广告预算投入到加州，甚至从其他州走私便宜香烟到加州。Abadieetal.(2010)依据史实对此进行了探讨，认为这些效应均不大，至少不行能导致上文图中如此大的处理效应。劝慰剂检验上述结果为对控烟法处理效应的点估计。此点估计是否在统计上显著（statisticallysignificant）？Abadieetal.(2010)认为，在比较案例探讨中，由于潜在的限制地区数目通常并不多，故不适合运用大样本理论进行统计推断。为此，Abadieetal.(2010)提出访用“劝慰剂检验”（placebotest）来进行统计检验，这种方法类似于统计学中的“排列检验”（permutationtest），适用于任何样本容量。“劝慰剂”（placebo）一词来自医学上的随机试验，比如要检验某种新药的疗效。此时，可将参与试验的人群随机分为两组，其中一组为试验组，服用真药；而另一组为限制组，服用劝慰剂（比如，无用的糖丸），并且不让参与者知道自己服用的原委是真药还是劝慰剂，以避开由于主观心理作用而影响试验效果，称为“劝慰剂效应”（placeboeffect）。劝慰剂检验借用了劝慰剂的思想。详细到加州控烟法的案例，我们想知道，运用上述合成限制法所估计的控烟效应，是否完全由偶然因素所驱动？换言之，假如从donorpool随机抽取一个州（而不是加州）进行合成限制估计，能否得到类似的效应？为此，Abadieetal.(2010)进行了一系列的劝慰剂检验，依次将donorpool中的每个州作为假想的处理地区（假设也在1988年通过控烟法），而将加州作为限制地区对待，然后运用合成限制法估计其“控烟效应”，也称为“劝慰剂效应”。通过这一系列的劝慰剂检验，即可得到劝慰剂效应的分布，并将加州的处理效应与之对比。在此有个技术细微环节，即在对某个州进行劝慰剂检验时，假如在“干预之前”其合成限制的拟合效果很差（均方预料误差MSPE很大），则有可能出现在“干预之后”的“效应”波动也很大，故结果不行信。类似地，假如合成加州在干预前对于加州的拟合很差，则我们也不会信任干预之后的合成限制估计结果。其中，干预之前的MSPE可写为（以加州为例）：类似地，可以写出干预之后的MSPE，只是预料误差平方的平均区间不同。为此，Abadieetal.(2010)仅保留了干预前MSPE不超过加州干预前MSPE两倍的19个州，并将此19个州的劝慰剂检验结果画成下图。在上图中，黑线表示加州的处理效应（即加州与合成加州的人均香烟消费之差），而灰线表示其他19个限制州的劝慰剂效应（即这些州与其相应合成州的人均香烟消费之差）。明显，与其他州的劝慰剂效应相比，加州的（负）处理效应显得特殊大。假如加州的控烟法并无任何效应，则在这20个州中，碰巧看到加州的处理效应最大的概率仅为1/20=0.05，而这正好是常用的显著性水平。劝慰剂检验的另一方式是干脆将每个州“干预后的MSPE”与“干预前的MSPE”相比，即计算二者的比值。其基本逻辑如下。对于处理地区加州而言，假如控烟法有效果，则合成限制将无法很好地预料真实加州干预后的结果变量，导致较大的干预后MSPE。然而，假如在干预之前，合成加州就无法很好地预料真实加州的结果变量（较大的干预前MSPE），这也会导致干预后MSPE增大，故取二者的比值以限制前者的影响。假如加州控烟法的确有较大的处理效应，而其他州的劝慰剂效应都很小，则应当观测到加州的“干预后MSPE”与“干预前MSPE”之比值明显高于其他各州，而这为下图所证明。从上图可知，加州的干预后MSPE是干预前MSPE的大约130倍，高于全部其他38个州。假如加州控烟法完全无效，而由于偶然因素使得此比值在全部39州中最大的概率仅为1/39=0.026。合成限制法与回来法的对比合成限制法并不运用任何回来，它与传统的双重差分法（固定效应模型）有何区分呢？首先，依据Abadieetal.(2010)的因子模型（factormodel），合成限制法对双向固定效应模型作了推广。详细来说，双重差分法仅允许个体固定效应ui与个体时间效应λt以相加（additive）的形式存在，隐含假设全部个体的时间趋势λt都相同（paralleltrendassumption）；而合成限制法的因子模型，则允许“互动固定效应”（interactivefixedeffects）λt′ui，即可以存在多维的共同冲击（commonshocks）λt，而每位个体对于共同冲击的反应ui（factorloading）可以不同，故允许不同个体有不同的时间趋势。其次，Abadieetal.(2015)指出，回来法也可以视为对限制地区作了线性组合，且权重之和也为1；而不同之处在于，合成限制法的权重必需非负，但回来法的权重可能出现负值，即出现过格外推（extrapolation）而离开了样本数据的取值范围（supportofthedata）。比如，在跨国探讨中，将很不相同的国家放在一起进行回来，就可能出现过格外推，而导致“外推偏差”（extrapolationbias）。由于合成限制法的权重必需非负，故避开了过格外推。运用合成限制法的留意事项Abadieetal.(2015)进一步探讨了运用合成限制法的前提与局限性。在构建潜在限制地区（donorpool）时尤其应当心。首先，也受到此政策影响的地区应从donorpool中去掉。其次，在样本期间受到很大特殊冲击（idiosyncraticshocks）的地区应解除在donorpool之外。最终，为了避开“内插