6.2.3平面向量的坐标及其运算

6.2.3平面向量的坐标及其运算TOC\o"13"\h\z\u题型1正交分解的理解 2题型2用坐标表示平面向量 5题型3平面向量线性运算的坐标表示 8题型4由向量线性运算求参数 10题型5向量线段的定比分点 12题型6向量共线问题 15题型7由向量共线（平行）求参数 17题型8由坐标解决三点共线问题 19题型9由坐标解决线段长度问题 21题型10向量坐标与基底 24题型11参数与取值范围问题 26知识点.平面向量的坐标及运算1.平面向量的坐标（1）向量的垂直：平面上的两个非零向量a，b，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a，b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直.（2）向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，则称这组基底为正交基底，在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．（3）向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a=xe1+ye2,则称（x，y）为向量a的坐标，记作a=（x，y）2.平面上向量的运算与坐标的关系若a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ∈R，则：(1)a+b=(x1+x2,y1+y2)(2)ab=(x1x2,y1y2)(3)λa=（λx1，λy1）.（4）向量相等的充要条件：a=b⇔x1=x2,y1=y2.（5）模长公式：|3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式如图所示，在平面直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2），则：向量OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），向量AB（2）它们之间的距离：AB=|（3）设AB的中点M（x，y），则x=x1+注意：（1）一个向量的坐标等于__

表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标____﹔（2）两个向量相等的充要条件是这两个向量的坐标相等．向量平行的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a//b⟺x2y1=x1y2.题型1正交分解的理解【例题1】（2019·高一课时练习）下列可作为正交分解的基底的是A．等边三角形ABC中的AB和ACB．锐角三角形ABC中的AB和ACC．以角A为直角的直角三角形ABC中的AB和ACD．钝角三角形ABC中的AB和AC【答案】C【分析】逐项判断两向量是否垂直即可求解【详解】选项A中，AB与AC的夹角为60°；选项B中，AB与AC的夹角为锐角；选项D中，AB与AC的夹角为锐角或钝角.故选项A,B,D都不符合题意.选项C中，AB与AC的夹角为90°，故选项C符合题意.故选：C【点睛】本题考查基底的概念与判断，是基础题【变式11】1．（2022·全国·高一专题练习）向量正交分解中，两基底的夹角等于（

）A．45° B．90° C．180° D．不确定【答案】B【分析】由向量的正交分解的概念即可得出答案.【详解】把一个向量分解为两个相互垂直的向量叫作向量的正交分解，故向量的夹角为90°.故选：B.【变式11】2.（2021下·高一课时练习）已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基底A．c=3aC．c=-2a【答案】A【分析】建立直角坐标系,设向量c=m【详解】如图建立直角坐标系,设正方形网格的边长为1,则a=设向量c=ma+nb所以c=3故选：A.【变式11】3．（2021下·高一课时练习）向量-3i+6j【答案】-3,6-2【分析】根据向量的坐标表示，以及向量的正交分解，即可求解，得到答案.【详解】根据向量的坐标表示，可得向量-3i+6j坐标为0,-2的向量为0i-2j=-2j故答案为：-3,6，-2【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的正交分解，其中解答中熟记向量的坐标表示方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题【变式11】4（2021下·高一课时练习）已知i,j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设OA=A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】判断x2+x+1与【详解】因为i,j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，x2故选：D题型2用坐标表示平面向量【方法总结】（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标（2）在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标【例题2】（2023·全国·高一随堂练习）已知A，B两点的坐标，求AB，BA的坐标．(1)A5,3，B(2)A-3,4，B(3)A0,3，B(4)A3,0，B【答案】(1)AB=-1,-4(2)AB=9,-1(3)AB=0,2(4)AB=-1,0【分析】由终点坐标减去起点坐标，即得所求向量的坐标.【详解】（1）因为A5,3，B所以AB=4,-1-（2）因为A-3,4，B所以AB=6,3-（3）因为A0,3，B所以AB=0,5-（4）因为A3,0，B所以AB=2,0-【变式21】1.（2023·全国·高一课堂例题）如图，已知▱ABCD的三个顶点为A(-1,3),B(-2,1),C(2,2)【答案】(3,4)．【分析】利用向量的线性运算的坐标表示求解．【详解】因为OD=OA+AD=OA+BC所以点D的坐标是(3,4)．【变式21】2.（2023·全国·高一课堂例题）如图，已知A-1,3，B1,-3，C4,1，D3,4，求向量OA，OB，【答案】OA=-1,3，OB=1,-3【分析】根据向量的坐标表示方法直接得解.【详解】OA=-1,3，AO=-CD=【变式21】3.（2023下·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为2,1,-3,2,-1,3.(1)写出向量AB，AC，BC的坐标；(2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标.【答案】(1)AB=-5,1(2)D【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解；（2）根据向量相等，即可利用坐标相等求解.【详解】（1）AB=-3,2（2）设Dx,y，由AD=BC=2,1可得题型3平面向量线性运算的坐标表示【例题3】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）若AB=3,4，A点的坐标为-2,-1，则A．1,3 B．1,-3 C．-5,-5 D．5,5【答案】A【分析】利用向量的坐标计算公式可求B点的坐标.【详解】设Bx,y，故AB=x+2,y+1故x+2=3y+1=4，故x=1y=3，故故选：A.【变式31】1.（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）平行四边形ABCD中，AB=3,7，AD=A．1,5 B．5,4 C．1,10 D．-2,7【答案】C【分析】根据向量加法的平行四边形法则知AC=【详解】根据向量加法的平行四边形法则AC故选：C【变式31】2.（2023·全国·高一随堂练习）已知a=-1,2，b=1,-2，求a+【答案】a+b=0,0【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.【详解】由题意，a+a-2a【变式31】3.（2023下·浙江嘉兴·高一校联考期中）已知向量a=(1,2)，a-bA．-2,0 B．4,4 C．2,0 D．5,6【答案】A【分析】根据向量减法的坐标运算可得答案.【详解】∵b∴b故选：A.【变式31】4．（2021·高一课时练习）已知向量a=2,-1，b=(1)2a(2)3a(3)b-2【答案】(1)（-2,16）(2)3(3)-【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示计算；（2）求出3a（3）求出b-2【详解】（1）2（2）因为3a-2（3）因为b-2c=-5,10，所以题型4由向量线性运算求参数【例题4】（2023下·北京大兴·高一统考期末）已知向量a=1,-2与b=2,m，且A．-4 B．-1 C．1 D．4【答案】A【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示及平面向量基本定理计算可得.【详解】因为a=1,-2与又b=2a，所以2,m=2故选：A【变式41】1．（2022·高一课时练习）已知向量a=(2,1)，b=(1,-2)，若ma+nb=A．3 B．-3 C．-2 D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标的线性运算列方程即可得求得m,n的值，从而可得m-n的值.【详解】因为a=(2,1)，b=(1,-2)则2m+n=9m-2n=-8，解得m=2n=5，则故选：B.【变式41】2．（2023下·山东淄博·高一校考期中）已知向量a=(-2,1)，b=(3,2)，c=(5,8)，且c【答案】2【分析】根据向量的坐标线性运算即可求解.【详解】c=λ由c=(5,8)可知-2λ+3μ=5,λ+2μ=8,解得λ=2,μ=3,故答案为：2【变式41】3．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知向量a,b满足2a-b→=0,3，a→-2A．1 B．0 C．1 D．25【答案】B【分析】设出向量a，b的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出a，b的坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数λ，μ.【详解】设a=x1,y1，所以2x1-解得x1=1y1=2，x2=2y2=1，即a=故选：B.【变式41】4.（2023·高一课时练习）已知点A-2,4，B3,-1，C-3,-4，设AB=a，BC=b(1)求3a(2)求满足a=mb+n【答案】(1)6,-42(2)m=-1,n=-1【分析】（1）根据平面向量的坐标运算解决即可；（2）根据相等向量对应坐标相等列方程组解决即可.【详解】（1）由题得，a所以3（2）由（1）得，a所以a=m所以-6m+n=5-3m+8n=-5，解得m=-1所以满足a=mb+nc的实数题型5向量线段的定比分点【方法总结】线段定比分点的定义：如图所示，设点P(x，y)是线段P1P2上不同于P1，P2的点，且满足P1PPλ叫做点P分有向线段P1P2所成的比，P点叫做有向线段P(2)定比分点的坐标表示：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－x1＝λx2－x，,y－y1＝λy2－y，))当λ≠－1时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋λx2,1＋λ)，,y＝\f(y1＋λy2,1＋λ).))则点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).特别地，①当λ＝1时，点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，这就是线段P1P2的中点坐标公式；②若λ<0，则点P在P1P2的延长线或其反向延长线上，由向量共线的坐标表示及平行向量基本定理同样可得点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).【特例】已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是线段P1P2的中点，则点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；若P是线段P1P2上距P1较近的三等分点，则P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x1＋x2,3)，\f(2y1＋y2,3)))；若P是线段P1P2上距P2较近的三等分点，则P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋2x2,3)，\f(y1＋2y2,3))).【例题5】（2023下·江苏苏州·高一统考期末）已知A2,3，B4,-3，点P在线段AB的延长线上，且AP=2A．0,9 B．6,-9 C．103,-1 D．6,-9【答案】B【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解.【详解】由题意得，点B为AP中点，设点Px,yx+22=4y+3所以点P的坐标为6,-9.故选:B．【变式51】1.（2023·全国·高一专题练习）已知A-2,4，B3,-1，C-3,-4【答案】0,20【分析】设出点M的坐标，将各个点坐标代入CM=3【详解】由题意得CA=-2+3,4+4=设Mx,y，则CM所以x+3=3y+4=24，解得x=0故点M的坐标为0,20.故答案为：0,20【变式51】2.（2023下·四川自贡·高一统考期中）已知点A(1,2),B(3,4)，点P在线段AB的延长线上，且AB=【答案】(9,10)【分析】根据题意转化为AB=13【详解】因为点A(1,2),B(3,4)，点P在线段AB的延长线上，且AB=可得AB=设P(x,y)，则3-1,4-2=13解得x=9,y=10，即点P的坐标为(9,10).故答案为：(9,10).【变式51】3.（2023下·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知直角坐标平面上两点P1-1,1、P22,3，若P满足【答案】1,【分析】设点P的坐标为x,y，将P1【详解】设点P的坐标为x,y，因为点P1-1,1，所以P1P=因为P1P=2PP所以点P的坐标为1,故答案为：1,【变式51】4.（2022·高一课时练习）已知两点M（7，8），N（1，－6），P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为．【答案】(5,【分析】利用向量的坐标运算即得.【详解】由题意可得MN=3设P（x，y），则（－6，－14）＝3（x－7，y－8），∴-6=3(x-7)-14=3(y-8)，解得即P(5,10故答案为：(5,10题型6向量共线问题【例题6】（2022下·江苏镇江·高一校考期中）下列各组的两个向量，共线的是（

）A．a1=-2,3，b1C．a3=1,-2，b3【答案】C【分析】根据向量的共线的坐标表示，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由a1=-2,3，b对于B中，由a2=2,3，b对于C中，由a3=1,-2，b对于D中，由a4=-3,2，b故选：C.【变式61】1．（2023下·北京平谷·高一统考期末）已知向量a=1,2，b//A．-1,-2 B．-1,2 C．2,1 D．-2,1【答案】A【分析】根据向量平行的坐标关系判断即可.【详解】向量a=1,2，b//a故只有向量-1,-2符合故选：A.【变式61】2．（2023下·贵州毕节·高一校考期中）已知向量a=12,-1，A．-3,1 B．-8,3 C．-9,4 D．3,-2【答案】A【分析】根据条件求出向量2a【详解】因为a=12,-1，b=对选项A：因为(-3)×-1对选项B：因为3×3≠(-8)×-1对选项C：因为4×3≠(-9)×-1对选项D：因为3×-1故选：A.【变式61】3．（多选）（2023下·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）下列向量中与a=1，A．b=-1C．d=2【答案】ACD【分析】根据共线向量的性质逐一判断即可.【详解】因为13=-1-3，所以因为13≠-13，所以因为13=26，所以因为零向量与任何向量平行，因此选项D正确，故选：ACD【变式61】4．(多选)（2022下·河南·高一临颍县第一高级中学校联考阶段练习）已知向量AB=1,2，A．BC=-3,2C．AB∥AC D．与AB【答案】ABD【分析】根据向量的概念及坐标运算公式进行计算即可判断答案.【详解】BC=AC-AB=ABAB故选：ABD.题型7由向量共线（平行）求参数【例题7】（2023上·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）已知a=(1,2)，b=(3,-1)，若(kbA．-1 B．-12 C．-【答案】B【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可.【详解】因为kb-a且(kb所以3k-1×3-5-k-2=0，即14k=-7故选：B【变式71】1.（2024·全国·高一假期作业）已知平面向量a=(-1,2)，b=(3,-2)，c=(t,t)，若(A．52 B．-45 C．【答案】B【分析】先计算a+【详解】因为a=(-1,2)，b=(3,-2)，所以a+又(a所以3×2+t解得t=-4故选：B.【变式71】2.（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）若向量AB=x,2x-3，CD=【答案】34/【分析】由平行向量的坐标表示求解即可.【详解】因为向量AB=x,2x-3，CD=所以x⋅2-2x-3⋅-1故答案为：34【变式71】3．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）已知向量a=-3,1，b(1)分别求2a-b(2)若向量c=1,-1，且n与向量【答案】(1)-7,4，k-3,1-2k；(2)-1【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求解即得.（2）求出向量kb【详解】（1）依题意，2an=（2）由（1）知n=k-3,1-2k，而由n与向量kb+c平行，得k-3所以实数k的值是-1【变式71】4．（2021下·海南·高一校考阶段练习）已知点A1,-2，若向量AB与a=2,3同向，AB=213，则点【答案】（5，4）【分析】设Bx,y，则AB=λa，λ>0，则x-1,y+2=2λ,3λ【详解】设Bx,y，则AB=λa，λ>0，则x-1,y+2AB=λa=λ13=2故答案为：5,4.【点睛】本题考查了向量平行，向量的模，意在考查学生的计算能力和转化能力.题型8由坐标解决三点共线问题【例题8】（2023下·河北邯郸·高一统考期中）已知向量AB=-1,2，AC=2,3，A．－16 B．16 C．23 D．【答案】A【分析】先求出BC和BD，根据B，C，D三点共线得到BC∥BD，进而列出方程求解【详解】由题意得BC=AC-因为B，C，D三点共线，所以BC∥则m+1=-15，得m=-16.故选：A.【变式81】1.（2023下·贵州安顺·高一统考期末）若三点A2,3、B4,7、C3,yA．1 B．52 C．3 D．【答案】D【分析】求出向量AB、AC的坐标，可知AB//AC，利用平面向量共线的坐标表示可求得【详解】已知三点A2,3、B4,7、C3,y共线，则AB由题意可知AB//AC，所以，2y-3故选：D.【变式81】2.（多选）（2023下·江西赣州·高一校考阶段练习）向量PA=k,12，PB=A．2 B．－2 C．11 D．－11【答案】BC【分析】由已知求出BA,【详解】由已知可得BA=CA=因为A，B，C三点共线，所以BA//所以k-412-k-7k-10解得k＝－2或11．故选：BC．【变式81】3.（2023·全国·高一课堂例题）已知A(2,4),B(4,3),C(-2,x)三点共线，求x的值．【答案】x=6．【分析】利用向量AB与AC共线的坐标表示求解．【详解】因为A，B，C三点共线，所以AB与AC共线．而AB=4-2,3-4=所以2×x-4--1×-4【变式81】4．（2023下·福建漳州·高一校联考期中）已知向量a=-1,4，(1)若ka-2b与a(2)若AB=3a-2b，BC=-2【答案】(1)k=-1(2)m=【分析】（1）根据共线向量的坐标表示可构造方程求得结果；（2）由三点共线可知AB,【详解】（1）∵ka-2b=-k-4,4k-6，a∴10-k-4=34k-6（2）∵AB=3a-2b∴-73m-8=62+2m题型9由坐标解决线段长度问题【例题9】（2021下·广东东莞·高一东莞市光明中学校考阶段练习）若向量a的始点为A(-2,4)，终点为B(2,1)，则向量a的模为【答案】5【分析】首先求出a的坐标，再根据向量模的计算公式计算可得；【详解】解：因为向量a的始点为A-2,4，终点为B2,1，所以a故答案为：5【变式91】1．（2023下·广东云浮·高一统考期末）已知点A1,1，B-1,0，C0,1(1)求点D的坐标；(2)求△ABC的面积.【答案】(1)-2,0(2)1【分析】（1）设Dx,y，表示出AB、CD（2）根据点的坐标的特征，直接求出三角形的面积.【详解】（1）因为A1,1，B-1,0，所以AB=-1,0-1,1=又AB=CD，所以x=-2y-1=-1，解得x=-2（2）因为AC=1，且AC//x轴，B到AC所以S△ABC【变式91】2．（2021下·高一课时练习）如图，已知两点A(－4，0)，B(0，3)．（1）求向量AB,BA的模，并指出|AB|与|（2）若C(x，y)，AC＝0，求x，y的值．【答案】（1）AB＝5，BA＝5，AB=【分析】（1）根据平面向量模的定义计算．（2）根据向量的坐标表示求解．【详解】解：（1）所求向量的模就是线段AB的长度．∵AB＝32∴AB＝5，BA＝5，故AB=（2）∵AC=∴A，C重合，∴x＝－4，y＝0．【变式91】3.（2023下·河北邢台·高一统考期末）已知A4,0，B1,mm>0(1)求m；(2)若点C，M满足BC=-1,-1，OM=xOA+【答案】(1)m=4(2)24【分析】（1）根据模长的坐标运算即可求解，（2）根据向量的坐标运算，结合二次函数的最值即可求解.【详解】（1）由题意得AB=则AB2=9+m因为m>0，所以m=4.（2）由题意得OC=OM=x则OM2所以OM≥245，即题型10向量坐标与基底【例题10】（2023下·福建福州·高一校考阶段练习）下列各组平面向量中，可以作为基底的是（

）A．e1=0,0，e2C．e1=2,-3，e2【答案】D【分析】利用基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，e1=0,0，e2=1,-2，对于B选项，e1=3,5，e2=6,10，则对于C选项，e1=2,-3，e2=12对于D选项，e1=-1,2，e2=5,7，因为e1、e故选：D.【变式101】1.（2022下·高一单元测试）下列各组向量中，能作为基底的是（

）A．e1＝（0,0），eB．e1＝（1,2），eC．e1＝（－3,4），e2＝（35D．e1＝（2,6），e【答案】B【分析】根据基底的定义判断选项.【详解】A，零向量与任意向量共线，故不能作为基底；C中，e1=-5e2，D中，e1B中e1与e故选：B【变式101】2.（多选）（2023下·河北石家庄·高一校考期中）下列各组向量中，可以作为基底的是（

）A．e1=C．e1=【答案】AB【分析】由向量基底的定义对各选项一一判断即可求出答案.【详解】对于A，假设存在存在实数λ使得e1即1,0=λ0,1，即则e1对于B，假设存在实数λ使得e1即1,2=λ-2,1，即则e1对于C，e1=-5e对于D，e1=-2e故选：AB.【变式101】3.（多选）（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）下列两个向量，不能作为平面中一组基底的是（

）A．e1=1,2，e2C．e1=0,1，e2【答案】BD【分析】根据坐标判断两向量是否共线即可得到答案.【详解】对于A，e1=1,2对于B，e1=1,2，e对于C，e1=0,1对于D，e1=3,1，e故选：BD【变式101】4.（2022下·江苏淮安·高一校联考期中）若向量e1=(2,λ),e【答案】-【分析】根据e1，e2为平面内所有向量的一组基底，所以e1，e2不共线，通过求e1，e2共线时λ的值即可得到【详解】由题意得e1当e1=ke2k∈所以λ≠6.故答案为：-∞题型11参数与取值范围问题【例题11】（2021下·高一课时练习）已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)，且OP=【答案】-【分析】先求出向量OP，根据点P在第二象限，列不等式组，求出t的范围.【详解】因为点O(0,0),A(1,2),B(4,5)，所以OA=1,2，AB=所以P1+3t,2+3t因为点P在第二象限，所以1+3t<02+3t>0，解得：-【变式111】1．（2022·全国·高一专题练习）已知点A(λ,3),B(5,2λ)(λ∈R)，C(4,5)．若AP＝AB＋(1)点P在一、三象限角平分线上；(2)点P在第一象限内．【答案】(1)λ＝7(2)－1<λ<9【分析】根据点与坐标的关系的出向量及向量的加法的坐标表示及向量相等求出λ,x,y的关系，（1）根据题意可得x=y，进而可以求出λ；（2）根据第一象限的特点即可求解.【详解】（1）设点P的坐标为(x，y)，则AP＝(x，y)－(λ，3)＝(x－λ，y－3)，又∵AB=(5，2λ)－(λ，3)=(5－λ，2λ－3)，AC＝(4，5)－(λ，3)＝(4－λ，2)，∴AP＝AB＋AC=(5－λ，2λ－3)+(4－λ，2)=(9－2λ，2λ－1)，∴x-λ=9-2