椭圆及其性质（练习）（含解析）2023年高考数学二轮复习

考点8・2椭圆及其性质

卜维练基础J//

I.（2022•全国•高考真题（文））已知椭圆C:「+2=l（a＞人＞0）的离心率为：，A，4分

ab^3

别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若BV34=-1,则C的方程为（）

A.—+ɪ=!B.—+^-=1C.—+ɪ=1D.—+y2=1

181698322

【答案】B

【分析】根据离心率及网心4=-1,解得关于片,/的等量关系式，即可得解.

【详解】解：因为离心率e,=Jl-4=L解得耳=3b2=^-a2,

a∖a23099

A，4分别为C的左右顶点，则A（-α,0）,4（4,0）,

8为上顶点，所以例0,。）.

所以BA={-a,-b）,BA1={a-h）,因为他BA?=-1

O

所以一/+〃=T,将∕=1°2代入，解得病=9万=8,

故椭圆的方程为＜+E=l.

9o

故选：B.

2.（2019•福建•高考模拟（文））设圆锥曲线r的两个焦点分别为B,F2,若曲线r上存在

点P满足∣PF∣∣:∣FιF2∣：∣PF2∣=4:3：2,则曲线r的离心率等于

ʌ-■!或^∣B.擀或2C.■!砺D--∣⅛δ∙∣

【答案】A

【详解】试题分析：根据题意可设出∣PR∣,IFRl和∣PF2∣,然后分曲线为椭圆和双曲线两种情

况，分别利用定义表示出a和c,则离心率可得.

解：依题意设IPFll=4t,∣FιF2∣=3t,∣PF2∣=2t,

若曲线为椭圆则2a=∣PF∣∣+∣PF2∣=6t,C=A

贝IJe=-=⅛

aZ

右曲线为双曲线则，2a=4t-2t=2t,a=t,c=-1

・・・c=_-c=_-3

a2

故选A

点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征.关键是利用圆锥曲线的定义来解决.

3.（2020・浙江•高考模拟（文））如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M,

N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是

C.√3D.√2

【答案】B

【详解】M,N是双曲线的两顶点，M,O,N将椭圆长轴四等分

•••椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍

・・双曲线与椭圆有公共焦点，

双曲线与椭圆的离心率的比值是2

故答案选B

4.(2022.全国.高考真题)已知椭圆C:/亲■=1(〃>6>0),C的上顶点为A,两个焦点为E,

F2,离心率为3.过士且垂直于A6的直线与C交于O,E两点，IOEI=6,则，AD£的周

长是.

【答案】13

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为W+Z∙=l,BP3X2+4∕-12C2=0,根据离心率得

4ΛcX-3八c一2

到直线48的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线OE的斜率，写出直线OE的方程：

Λ=√3y-c,代入椭圆方程3∕+4f-⑵=O,整理化简得到：13丁-6疯7-9C'2=0,利用弦

1313

长公式求得C=得〃=2。=与，根据对称性将一Az)后的周长转化为出的周长，利

用椭圆的定义得到周长为44=13.

【详解】；椭圆的离心率为e=£=[,.∙∙α=2c,.∙.从=∕-c2=3c2,.∙.椭圆的方程为

a2

22

三+J=LB∣‰2+4∕-12C2=0,不妨设左焦点为「，右焦点为生，如图所示，.；

A32CZ

AF2=a,OF2=c,α=2c,.∙.NAgO=?,.∙.ZVIK8为正三角形，∙.∙过耳且垂直于AK的直

线与C交于。，E两点，OE为线段A乙的垂直平分线，.∙.直线Z)E的斜率为斑，斜率倒数

3

为百,直线DE的方程：X=Ey-c,代入椭圆方程犷+4丁-12/=O,整理化简得到：

13∕-6√3Q-9C2=0,

判另!」式公=(6有。)2+4乂13*9。2=62、16*<:2,

Λ∣DE∣=Jl+(√5)^∣y,-y2∣=2×^=2×6×4×-^=6.

•；OE为线段A乃的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2,4E=EE,.∙.,ADE的周长等于

△月。E的周长，利用椭圆的定义得到周长为

∣D∕ζ∣+∣Efζ∣+∣DE∣=∣DF2∖+∖EF2∖+∖DFl∣+∣EF11=∣DFl∖+∖DF2∖+∖EFl∖+∖EF2∖=2a+2a^4a=\3.

故答案为：13.

y

5.(2021•福建•高考模拟(理))椭圆「二-二=L二>3>J的左右焦点分别为F.R,

crZr*

焦距为2c,若直线萨=√¾j”/与椭圆的一个交点满足」/FF：则该椭圆的

离心率等于“

【答案】√3-l

【详解】注意到直线过点(-G0)即为左焦点耳，又斜率为G，所以倾斜角为60°,即

F

NMK2=60°.又ZMKF2≈2LMF2Ft故ZMF2F1=30°,那么

n

ZF2MFl=90.MK=Kg∙cos600=2c4=c,MF2=FiF2-sm600=2c^=√3c,

2c2c2c

e----JiI

2aMF1+MF2y∣3c+c

【考点定位】考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征.属于难题.

2维练能力11/

22

厂+广

6.(2022・全国•高三练习)己知椭圆C7+7r=l(a>b>0)的左、右焦点分别为6(-c,0),

6(GO),点M在椭圆C上，若(=需，则该椭圆的离心率不可能是()

【答案】A

【分析】设I例周=x,则∣M6∣=2α-x,代入?=睛中，可得X=黑，再利用

a-c≤x≤a+c,即可求出离心率的取值范围，从而可判断出离心率不可能的值

【详解】设IM周=x.因为点M在椭圆C上，所以IMl+1M闾=%，所以IM周=2αr.

因为£=偿I，所以*=不解得χ=2竺•

ci∖MF2∖a2a-xa+c

由题意可知。一c<x≤α+c,

即。-c≤<a+c.

a+c

由普≤α+c,可得2αc≤("+c∙)2,即/+c2≥o,显然成立.

由。—c≤也，可得"-∕≤2αc,则i-∕≤2e.

a+c

又0<e<l,所以√∑-l≤e<l,

因为W任[&-1,1),—∈—1,1j,—∈∣^λ∕2—l,lj,[&—1,1),

故选：A.

7.(2022•湖北武汉•高三开学考试)已知椭圆「：E+X∙=l(α>∕,>O)的两个焦点为耳，F2,

a^b^

过K的直线与「交于A,B两点.若∣Ag∣=3怩却，∣A却=2∣A用，则「的离心率为（）

A.-B.C.叵D.巫

5555

【答案】C

【分析】由已知条件以及椭圆的定义,将I整I，I岗,∣AE∣,IMl用α表示出,再在三角形中利用

余弦定理建立方程,即可求解.

【详解】设区Bl=Zn,则M局=3"∕jAB∣=2∣Aξ∣=4M.

由椭圆的定义可知IM1+忸闾=勿=5m.所以w=∣a,所以IAKlqaJA用=，.

在△AM中,“SA=:+4斤-岫=1J'♦厂⅞=1.

2AB×AF,ɔ8«χz4a4

55,

所以在AABB中,∙ξg=h4『+a周2_2IAKHA国8SA,

即4C2=^yj+[y]^-2（：jXɪ整理可得：e2=⅞=∣∙

所以e=®

5

故选：C

y2-1

8.（2022.北京市十一学校高三模拟）已知椭圆C：+（a>b>O）的左、右顶点分

别为A，4,且以线段A4为直径的圆与直线笈-殴+2"人=0相交，则椭圆C的离心率的

取值范围为（）

【答案】B

【分析】由题设以线段A4为直径的圆为/+V=/,根据直线与圆相交，利用点线距离

公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.

【详解】由题设，以线段A4为直径的圆为/+/=/，与直线公-做+2必=。相交，

所以I2,va,可得*=3（/-/）</，即/>2，又0<e<l,

√a-+⅛3

所以如<e<ι.

3

故选：B

9∙（2022.全国.高三专题练习）已知椭圆》/地3。）的左、右焦点分别为

Pf8,B,。分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为D若

12

【答案】石

【分析】由COSNKBg=三，可得CoSNo的值，即可求Hl2的值，设皿肛〃），可得

25a

2

n=fl-⅛L-,从而可得%j%=T∙巴史=-4,进而由即z>=-2,可求出∕⅛.

Ia）mtna~c

74

2

【详解】由题意，cosZFtBF2=2COSZOBF2-I=-,解得COSNoB

因为忸周=JlO叫Oyʧ=7=〃,所以COSNOB用=：,故,=

22f~ʌ

设D(,".n),则勺+勺=1,即:A=1-^-U2,

a2b-∖a')

则，n-bn+brr-b21a2∖及-b）b216,

kβD-kco=---------=——=ʌ--------⅛---------=--Γ=~τz

Inmmma25

444

因为CoSNOB居=y,所以tan/。入8=],所以⑥0=一∙p

_\6

故2号噜

^3

12

故答案为：—

10.（2022•全国•高三专题练习）已知椭圆CW+E=l（a>6>0）的左、右焦点分别为月,

Crh~

B，点尸α,y）,。（一不-X）在椭圆C上,其中玉>0,χ>o,若∣pq=2∣。闾，1簧∣≥3,

则椭圆C的离心率的取值范围为.

【答案】（正，√3-l]

2

【分析】设PE="，PFLm,由已知得到竺的范围，再由椭圆的定义得到〃，m间的关系,

n

代入、换元，求出e的范围.

【详解】设PF1=m,由x∣>0,yl>0,知me”，

因为P,。在椭圆C上，归。=2|。段，

所以四边形PKQ玛为矩形，QFt=PF2i

由肄旦可得旦竺＜L

33n

由椭圆的定义可得〃2+〃=勿，n2+m2=4c2①,

平方相减可得ntn=2（«2—C2）②，

4C2m2+n2mn

由①②得=­I—.

2(α2-c2)mnnm'

ʌtnn

令t=—+—,

nm

m

令ay=—∈

n

](4∕s^4C24√3

所以∈2,*，即2<

22,

V2(«-c)^~

所以a?—/<c^<ι

2

所以1一/<e≤

所以L<e2≤4一2囱，解得"<e≤√5-l.

22

(B-

故答案为：-ɪ,ʌ/ɜ-I.

3维练素养

22

11.（2022・陕西・西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆£+方=1（〃＞匕＞0）的左、

右焦点分别为耳、J经过”的直线交椭圆于A,B,ABK的内切圆的圆心为/,若

3∕3+4∕A+5∕R=O,则该椭圆的离心率是（）

A.正B.-C.@D.ɪ

5342

【答案】A

.,351

【分析】对3力+4丛+5怎=0变形得到三"+三仁=一彳小，进而得到以

882

IA闾:忸闾:|AB|=3:4:5,结合椭圆定义可求出∣Ag∣=α,忸居∣=gα,∣4网=∣",∣A用=α,

由余弦定理求解α,c关系式，求出离心率.

--351

【详解】因为3/3+4Z4+5低=0,所以1由十三/尼=—彳/4,

oo2

如图，在愿上取一点M,使得忸M：IM^l=5:3,连接/M,则ΛW=-g∕A,

则点/为AM上靠近点M的三等分点，所以SM：S瞑：S⑸=3：4:5,

所以:忸闻四=3:4:5,

设IA同=3x,则忸用=4x,∣AB∣=5x,

由椭圆定义可知：I伤∣+∣%∣+∣AB∣=4%即12x=44,所以x=*

所以M用=α,∖BF2∖=^a,∖AB∖=^a,∖AFl∖=a

故点A与上顶点重合，

在4AB6中，由余弦定理得：

25,216,

期2+1序VTK砰Wa+α-飞a3

cosZBAF2=

2IABI-M2X∖5

3

〃2+〃2―4M3

在△%/=；久中，CoSNBAE=3~,=-

Icr5

解得：£=亚，

a5

所以椭圆离心率为手.

故选：A

【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出4/,C

的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将3/B+4Z4+5低=0进行转化，需要作出

辅助线，结合内心的性质得到三角形AB心三边关系，求出离心率.

12.（2021∙江苏省天一中学高三预测）如图，设£、尼分别是椭圆的左、右焦点，点P是

以”鸟为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长Pg与椭圆交于点Q,若

【答案】C

【分析】设IQ丹l=x,由已知条件及椭圆、圆的性质得∣P^I=2x,∖QFx∖=2a-x,

\PF]∖=2a-2x^PF}1PQ,根据勾股定理列方程求x,进而求椭圆离心率.

【详解】连PRQZ,若IQEl=X,则∣PF"=2x,∖QFt∖=2a-x,∖PFt∖=2a-2x,

y

乂PaeQ,则IPGI2+IPQf=IQGF，即4("x)2+9∕=(2α-x)2,得x=],

又隅…居川"即435+4x2”,f代入得入当.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：根据椭圆的定义、圆的性质，由垂直关系，利用勾股定理列齐次方程

求离心率.

13.（2022•全国•高三专题练习）如图，已知”，鸟分别是椭圆C：二+汇=1的左、右焦

6432

点，过K的直线4与过心的直线4交于点N,线段耳N的中点为M,线段KN的垂直平分线

IOM

MP与4的交点P（第一象限）在椭圆上，若。为坐标原点，则局的取值范围为（)

IoK

C.(θ,√2)D.(θ,ɪ)

【答案】D

【分析】利用三角形的中位线、线段的中垂线、椭圆的定义对IoMl转化，用P点的坐标表

示，通过P点在第一想象的范围，求出范围.

【详解】如图所示，点P在y轴右边，

因为PM为KN的垂直平分线，所以忻M=IΛCV∣.

由中位线定理可得IoMl=J心NI.

设点P（XO,%）（%>0,%>0）.

由两点间的距离公式，得IP用=J(XO+=J(X(I+c)2+(I-*■卜

1

+2cx0+a=a+ex0<

同理可得IP闾="-%>,

所以I取VITPMHP闾=际，故IoMl=%,

因为a=8,c=4-yf2,所以e=,

2

r夜

+故IoM=3/，所以|。ML2-=∙⅞.

2

∖OF2∖~4√28

因为％∈(0,8),所以JΛOG(0,1).

O

故般的取值范围为(0,1).

故选：D.

【点睛】本题考查/椭圆的定义、直线和椭圆的关系、三角形中位线和线段的中垂线的几何

性质，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于难题.

14.(2022•全国•高三专题练习)已知椭圆C：二+"∙=l(4>6>0)的左、右焦点分别为6,

a~b~

用，点Pa2)，。(一Xl,-χ)在椭圆C上，其中玉>0,y>0,若∣Pβ∣=2∣。闾察∣≥更,

"43

则椭圆C的离心率的取值范围为.

【答案】(正，√3-ll

2

【分析】设尸耳=〃，PF2=m,由己知得到竺的范围，再由椭圆的定义得到“，m间的关系,

n

代入、换元，求出e的范围.

【详解】设PE=〃，PF2=m,由x∣>0,yl>O,知相<〃，

因为P,2在椭圆C上，∣P<=2∣0"∣,

所以四边形尸片Q鸟为矩形，。耳=?"；

由■!鲁2岑，可得且≤'<],

产用33n

222

由椭圆的定义可得加+"=24,n+m=4c①，

平方相减可得痴=2(。2—¢2)②,

m~+n"mn

由①②得，⅛)----=—I—・

mnnm,

nm

令U=—∈—,1,

nL3J