旧教材适用2023高考数学一轮总复习 第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单逻辑联结词全称量词与存在量词

第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词

考础知以整恒I

□知识梳理

1.全称量词和存在量词

(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“四V”表示；存在量词有：存

在一个，至少有一个，有些，用符号“既“表示.

(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题.“对M中任意一个X,有P(X)成立"用符号简

记为：H∣Vx∈MP(X).

(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题.“存在"中元素如使pC⅛)成立"用符号简

记为：画三XOCM0(施).

2.含有一个量词的命题的否定

命题命题的否定

∀XGM,P(X)XeWM,rp(xo)

3Xo^M,P(Ab)EIVxRM,~lp(X)

知识拓展

1.命题PΛSfNq,W的真假判定

PQKlqW

真真-ɪ假

真假假真假

-ɪ真真真

位假真

2.确定p∕∖q,pVq,~'p真假的记忆口诀如下：0ΛL见假即假，PvL见真即真，P

与真假相反.

3.up∖∕qn的否定是“(rp)A(rg)”:“人”的否定是“(W)V(rg)”.

4.“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含

有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理.

5.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

6.命题的否定和否命题的区别：命题“若p,则q'的否定是“若"则rg”，否命题

是“若rp,则F”.

□双基自测

∕∖-^

命题p："Vx∈N*,目Λ≤∣,f的否定为(

∀x∈N*,

1

B.∀廨N*>2

C.3Ab4N*,

答案D

解析全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D.

2.(2022•山西大同摸底)已知命题p,°,则“F为假命题”是“pf∖q为真命题”的

()

A,充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析若B为假命题，则P为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出P八q是真

命题，所以充分性不成立.OA。是真命题，则p,q均为真命题，则r0为假命题，所以必要

性成立.所以“W为假命题”是“0A0为真命题”的必要不充分条件.

3.若命题"三x°∈R,<+(a—1)加+1<0”是真命题，则实数a的取值范围是()

A.[-^1,3]

B.(-1,3)

C.(一8,-1]u[3,+∞)

D.(—8,—Du(3,+∞)

答案D

解析因为命题'勺MGR,x：+(a—1)8+1〈0”等价于“V+(a—l)x+l=0有两个不

等的实根”，所以Δ(a-I)2—4>0,即a?—2a—3>0,解得a<—1或a>3.

4.(2021•云南丽江模拟)命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题3乙的数学成绩

低于100分，则八/(p)表示()

Λ.甲、乙两人数学成绩都低于IOO分

B.甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分

C.甲、乙两人数学成绩都不低于100分

D.甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分

答案D

解析因为命题(?：乙的数学成绩低于100分，所以命题rq表示乙的数学成绩不低于100

分，所以命题pV(rq)表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分.故选D.

5.设有下面四个命题：

pa3∕⅛∈N,∕⅞>2∕⅛;

Z⅛:χGR,“x>l”是“x>2”的充分不必要条件;

1

命题“若x—32是有理数，则X是无理数”的逆否命题；

即若"°Vg”是真命题，则P一定是真命题.

其中为真命题的是()

A.p↑,PZB.P%、ps

C.R,P∖D.0，R

答案D

23

解析∙.∙∕%=3时，3>2,Λ3Λ⅛∈N,1>2∕⅛,.为真命题；；(2,+∞)(1,+∞)f

.∙.x>2能推出x>l,x>l不能推出x>2,“x>l"是‘'x>2"的必要不充分条件，.∙.R是假命题；

根据逆否命题的定义可知R为真命题.根据复合命题的真假判断法则可知0为假命题.故选

D.

6.已知命题p：不等式af+aχ+i>0的解集为R,则实数a∈(0,4),命题q：aχ-

2χ-8>0”是“x>5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是()

A.p∕∖qB.0∕∖(^1g)

C.(-ɔp)A(Γyq)D.(-p)Λq

答案D

a>0,

Z

解析命题"H=O时，可得1>0恒成立；H≠0时，可得彳2解得(K水4.

[4=才一4水0,

综上，可得实数〃£[0,4),因此,是假命题，则是真命题；命题q：由2x—8>0解

得x>4或K-2.因此α∕-2^-8>0"是“x〉5”的必要不充分条件，是真命题，故(「2)八。

是真命题.故选D.

核心W向突破I

考向一含有逻辑联结词命题真假的判断

例1(2020•全国H卷)设有下列四个命题：

PH两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

A：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

口：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

P∖∙.若直线Ju平面a,直线历_L平面a,则而J_/.

则下述命题中所有真命题的序号是.

①RAPI,(3)-,Z⅞VA^(4)-,Z⅛V^p∣.

答案①③④

解析对于命题0，可设九与A相交，这两条直线确定的平面为*设/3与A,A的

交点分别为48(如图)，则∕∈α,BWa,所以/比a,即Auα,命题Pl为真命题；

对于命题R,若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题R为假命题；

对于命题R,空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面，命题"为假命题；

对于命题P”若直线加，平面明则m垂直于平面a内所有直线，因为/u平面

所以〃人/,命题仍为真命题.

综上可知，R为真命题，RAn为假命题，？VR为真命题，9VRI为真命题.

触类旁通］

(1)定结构：先判断复合命题的结构形式.

(2)辨真假：判断构成这个命题的每一个简单命题的真假性.

(3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，。和W真假相反”，作出判断.

即时训练L设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为七；命题g：函数y=cosx

π

的图象关于直线χ=q对称，则下列判断正确的是.

①。为真；②rg为假；③"Ag为假；④PVq为真；⑤Qp)△(p)为真；⑥r(°Vq)为真.

答案③⑤⑥

解析P,g均为假，故。八g为假，PVq为假,(W)Aa)为真，NN硝为真.

精准设计考向，多角度探究突破

考向二全称命题、特称命题

角度1全称命题、特称命题的否定

例2(1)(2021•安徽合肥质检)设命题p：Vx∈R,x+l>0,则W为()

2

A.3xo∈R,Λ⅞-Λo÷l>O

B.Vx∈R,ɪ—Λ÷1≤O

2

C.3Λo∈R>Xt>—Ab+1WO

D.∀χWR,ɪ—x+l<O

答案C

解析全称命题的否定是特称命题，同时否定结论.故选C.

（2）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）

A.任意一个有理数，它的平方是有理数

B.任意一个无理数，它的平方不是有理数

C.存在一个有理数，它的平方是有理数

D.存在一个无理数，它的平方不是有理数

答案B

解析根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论,

故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”.

触类旁通.一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还

是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把

存在量词改成全称量词，同时否定结论.如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义

加上量词，再对量词进行否定.

即时训练2.（2022•西安模拟）命题p：Va》0,关于X的方程/+ax+1=0有实数

解，则Y为（）

A.3ao<O,关于X的方程V+mH∙l=0有实数解

B.3ab<0,关于X的方程产+a彳+1=0没有实数解

C.3<⅛^0,关于X的方程/+aχ+1=0没有实数解

D.3ab≥0,关于X的方程/+&x+1=0有实数解

答案C

解析根据全称命题的否定可知，方为m关于X的方程V+疝χ+1=0没有实数

解.故选C

3.命题“奇数的立方是奇数”的否定是.

答案存在一个奇数，它的立方不是奇数

解析此命题隐含了全称量词“所有”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的

立方不是奇数”.

角度2全称命题、特称命题真假的判断

例3以下四个命题既是特称命题又是真命题的是（）

Λ.锐角三角形有一个内角是钝角

2

B.至少有一个实数施，使为Wo

C.两个无理数的和必是无理数

D.存在一个负数X°,使2›2

Xo

答案B

解析选项A中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A是假命题；选项B中，当岗

=0时，xo=O,所以B既是特称命题又是真命题；选项C中，因为啦+(一/)=0不是无理

数，所以C是假命题；选项D中，对于任意一个负数X,都有乂0,不满足、2,所以D是假

XX

命题.故选B.

触类旁通.全称命题与特称命题真假性的两种判断方法

不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.

命题名称真假判断方法一判断方法二

-S-所有对象使命题真否定为假

全称命题

假存在一个对象使命题假否定为真

-S-存在一个对象使命题真否定为假

特称命题

假所有对象使命题假否定为真

即时训练4.(2021•江西师大附中模拟)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则

下列命题一定为真命题的是()

A.VxGR,f{-x)≠f{x}

B.VxGR,Λ-Λ)≠-∕∙(X)

C.3A¾∈R,/(—ɪo)≠Λ⅛)

D.3Λb∈R.f(—Xo)≠-f(x1)

答案C

解析设命题VxGR,f(x)=F(-X),∙.'f(x)不是偶函数，是假命题，贝IJrP是

真命题，又7?：3Ab∈R,F(—Λb)#F(xo),故选C.

考向三利用复合命题的真假求参数范围

例4(1)已知命题p："VχC[0,1],a'e""；命题q：a3Λb∈R,使得局+4及+a=

0”.若命题«p∖d'是真命题，则实数a的取值范围为()

A.[1,4]B.[1,e]

C.[e,4]D.[4,+∞)

答案C

解析若命题"夕Ag”是真命题，那么命题D。都是真命题.由Vx∈[O,1],^e',

得a2e；由mxo£R,使Xo+4xo+a=O,知4=16-4a20,则aW4,因此eWaW4.则实数

a的取值范围为[e,4].故选C.

(2)命题夕：实数a满足才+a—620；命题S函数尸族0一二+1的定义域为R.若命

题0八g为假，夕Vg为真，则实数a的取值范围为.

答案(一8,-3]U[0,2)U(4,+∞)

解析当命题夕为真时，EPa-∖-a—620,解得石22或aW—3；当命题g为真时，可得

a>0,

晟2—aχ+lN0对任意χ∈R恒成立，若a=0,则满足题意；若a≠0,则有，

4=才一4七0,

解得0<a≤4,∙∙∙0≤aW4,∙∙∙∕√∖g为假,PVg为真，.・.“夕真q假”或“夕假q真”,①当夕

a22或-3,一3<水2,

真g假时，则∙,∙a>4或aW—3；②当夕假q真时,则Λ0≤a<2,

a〉4或水0,0≤5≤4,

综上，实数a的取值范围是(-8,-3]U[0,2)U(4,+∞).

触类旁通.根据命题真假求参数的方法步骤

(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况，本例(2)中有两

种情况).

(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围.

(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.

即时训练5.设命题p：函数Ax)=χ3-aχ-1在区间[-1,1]上单调递减；命题q：

函数Z=In(*+ax+l)的值域是R.如果命题PVq为真命题，PAO为假命题，则实数a的

取值范围是()

A.(-∞,31B.(-8,-2]U[2,3)

C.(2,3]D.[3,+∞)

答案B

解析由函数f(x)=f—ax—1在区间[―1,1]上单调递减,得/(x)=3f—aWO在[—

1,1]上恒成立，故a》(3丁)IMX=3,即a23；由函数y=ln(V+ax+l)的值域是R,得V

+ax+l能取到全体正数，故∕=a'-420,解得aW—2或a∖2.因为命题PVq为真命题，

PAg为假命题，所以。和g一真一假.当0真g假时，可得{a∣a23}∩{a∣―2<水2}=。；当

〃假θ真时，可得{a∣a<3}C{a∣aW—2或a22}={a∣aW-2或2Wa<3}∙因此实数a的取值

范围是(-8,-2]U[2,3).故选B.

课时作业I

1.(2021-山西阳泉高三阶段考试)设/是奇数集，6是偶数集，则命题"Vx∈42烬8"

的否定是（）

A.3J⅛∈Λ2xo∈8B.3x,^A,2x<sRB

C.∀与4246D.VJAA,2χRB

答案A

解析“VχC42对6”即“所有x&A,都有2K6”，它的否定应该是“存在x0^A,

使2Λb∈ZΓ,所以正确选项为A.

2.下列命题中的假命题是()

A.∀x∈R,ex^'>O

B.∀x∈N*,(χ-l)2>0

C.3AO∈R,InΛo<l

D.3AO∈R,tanXO=2

答案B

解析因为当x=l时，(x—I)?=。，所以B为假命题，故选B.

3.命题“VxCR,F(X)g(x)rθ”的否定是()

A.VxeR,F(X)=O且g(*)=0

B.VxGR,F(X)=O或g(x)=0

C.3Ab∈R,f(Xo)=O且g(xo)=0

D.3A⅞∈R,f(xo)=0或g(x0)=0

答案D

解析根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得，命题“VxWR,f(x)g(x)W0”

的否定是''m%o∈R,f(xo)=0或g(xt>)=0”.故选D.

4.(2022•江西南昌摸底)下列命题的否定是真命题的是()

A.有些实数的绝对值是正数

B.所有平行四边形都不是菱形

C.任意两个等边三角形都是相似的

D.3是方程/-9=0的一个根

答案B

解析若命题的否定是真命题，则原命题是假命题，显然A,C,D是真命题，B是假命

题.故选B.

5.设非空集合尸，0满足P∩gP,则()

A.VXGa有x∈P

B.∀xHQ,有

C.3x4Q,使得扬e尸

D.3Λi1∈Λ使得∙%M

答案B

解析因为尸nQ=P,所以ÆQ,所以V避Q,有WP,故选B.

6.(2021•全国乙卷)已知命题°：3x∈R,sinKl；命题q：VX∈R,e"21,则下列

命题中为真命题的是()

A.p∕∖qB.fpl∖q

C.p∕∖~'qD.r(pVg)

答案A

解析因为命题。为真命题，命题。为真命题，所以pΛg为真命题.故选A.

7.关于命题”当勿∈[1,2]时，方程V—2χ+"∕=0没有实数解”，下列说法正确的是()

A.是全称命题，假命题

B.是全称命题，真命题

C.是特称命题，假命题

D.是特称命题，真命题

答案A

解析原命题的含义是“对于任意/e[l,2],方程V—2x+加=0都没有实数解”，但

当m=1时，方程有实数解X=1,故命题是全称命题，假命题，所以A正确.

8.(2022•四川南充月考)下列命题中，是真命题的全称命题的是()

A.对于实数a,b∈R,有才+行一2a—26+2<0

B.梯形两条对角线相等

C.有小于1的自然数

D.函数y=4x+l的图象过定点(0,1)

答案D

解析选项A是全称命题，a2+⅛2-2a-2Z,+2=U-l)2+(Z>-l)2>0,故A是假命题；

B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是特称命题；D项，对于所有A∈R,函数y=kx

+1的图象过定点(0,1),所以正确选项为D.

9.(2021•河南济源、平顶山、许昌第二次质检)已知直线加，〃和平面a,β.

命题0：若HUa,nuB,a//β,则直线勿与直线〃平行或异面；

命题q：若m//a,a//β,则卬〃£；

命题s：若a∩β-m,在平面a内作直线0的垂线〃，则

则下列为真命题的是()

A.PV(rq)B.(~'p)A5

C.gAOD.(rp)Λ(rg)

答案A

解析若。〃£,归α,〃Uβ,由于平面a与平面£没有交点，所以直线勿与直线

〃平行或异面，即命题。是真命题；若卬〃α,a//β,则加〃£或归£,即命题g是假命

题；若aJ,£,α∩8=m,在平面。内作直线R的垂线〃，由面面垂直的性质定理，得£,

命题S是真命题.对于A,oVCg)是真命题；对于B,0是真命题，贝1P是假命题，S是真

命题，则(rp)As是假命题；对于C,S是真命题，则r$是假命题，g是假命题，贝IjqAQs)

是假命题；对于D,。是真命题，则为是假命题，。是假命题，则”是真命题，则(W)Λ(p)

是假命题.故选A.

10.命题p：若向量a∙Δ<0,则a与6的夹角为钝角；命题若CoSacosβ=∖,

则Sin(α+£)=0.下列命题为真命题的是()

A.pB.2

C.p∕∖qD.Kzq

答案D

解析若a,8共线且方向相反时，a∙∕KO,但a与6夹角为π,故P是假命题.若CoS

ICoSa—\,[cos。=-1,

a∙cosβ-∖,则∙jC或JC.,.sina—sin£=0,.∖sin(a+£)

cosp—\[cosβ--∖,

=sinacos£+CoSasin£=0,故g是真命题，.'.p,PA<?均为假命题，pVq为真

命题，故选D.

11.短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一〜六名)，记''甲得第一名”为0,“乙

得第二名”为S“丙得第三名”为r,若PVq是真命题，夕八<?是假命题，(rg)∕∖r是真命题,

则选拔赛的结果为()

A.甲第一、乙第二、丙第三

B.甲第二、乙第一、丙第三

C.甲第一、乙第三、丙第二

D.甲第一、乙没得第二名、丙第三

答案D

解析Sg)Ar是真命题意味着p为真，q为假(乙没得第二名)且r为真(丙得第三名)；

OVq是真命题，由于0为假，只能。为真(甲得第一名)，这与PAg是假命题相吻合；由于

还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名.故选D.

12.(2022•甘肃兰州模拟)已知F(x)=In(f+l),g(x)=g-m,若WXl∈[0,3],

3½∈[1,2],使得f(小)2g(%),则实数加的取值范围是()

'1lʌ(Γ

c∙[?+c0]D.(-8,-ɪ

答案A

解析当x∈[0,3]时，f(x)aIin=F(O)=O,当x∈[l,2]时，g(x)min=g(2)=*—勿，由

f(x)min2g(x)min,得02%加，所以加故选A.

13.已知命题p：VXGR,2v<3',命题<7：3Λ<)∈R,4=2—Xo,则下述命题中所有真命

题的序号是.

QpAq;②(rp)Λs③「VO；④OVCg).

答案②④

解析当求0时，2*>3',所以命题P为假命题.解步=2一先得才=-2或1,所以命题

g为真命题.所以AΛQ,pV(rq)为假命题，(r0)∕∖q,(W)VC)为真命题.

14.若命题："三刘∈R,使得3^+2a%o+l<O,,是假命题，则实数a的取值范围

是.

答案[-√3.√3]

解析命题Λo∈R,使得3的+28旅+1<0”是假命题，即“VχWR,3f+2ax+120”

是真命题，故∕=4a2-12W0,解得一√5≤aW√5.即实数a的取值范围为[一4,√3].

「冗

15.(2022,四川绵阳中学模拟)已知命题p：3x∈0,~,COS2x+cosx—勿=0为真

命题，则实数力的取值范围是.

答案[一1,2]

解析COS2x+cosχ-R=0可变形为CoS2x+cosX=R.令F(x)=cos2x+cosx,则

.02「一

f(x)=2CoS'+cosx—1=21CoS犬+彳)一干由于Xe0,—,所以CoSΛ∈[0,1].于是

f(x)C[-l,2].故实数0的取值范围是[-1,2].

16.(2021•南昌一中模拟)已知命题0：关于X的方程V—加x—2=0在[0,1]上有解；

命题g：F(X)=IOg2ZKY+3在[1,+8)上单调递增.若为真命题，"pVq”为真

命题，则实数0的取值范围为.

答案CW

解析对于命题0：令g(x)=V—勿X—2,则g(o)=-2,.∙.g(D=-〃/—120,解得/W

InM1,

-1,故命题〃为真命题时，R