2024年中考数学常见几何模型全归纳（全国通用）专题40 重要的几何模型之12345模型（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】【淘宝店铺：向阳百分百】专题40重要的几何模型之12345模型初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的“12345”模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，“12345”模型的独特魅力。【模型解读】模型1、12345模型及其衍生模型【模型来源】2019年北京市中考如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（）°（点A，B，P是网格交点）．该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。如图，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。上面的∠PAB和∠PBA便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：tan∠PAB=，tan∠PBA=，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。【常见模型】下面模型中，，2，3，，均为对应角的正切值。 ∠α+∠β＝45°；∠α+45°＝∠GAF；∠DAF+45°＝∠EAH；∠α+∠β＝135°；∠α+∠β＝90°；∠ADB+∠DBA＝∠BAC；∠ADB+∠DBA＝∠BAC；切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来解决相关的选填题非常方便。下面所列举的个别题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的，但至少可以成为一种通性通法，可以在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间非常宝贵的。例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（

）A． B．3 C． D．2【答案】C【分析】法1：先根据，，再由12345模型知：∠BDC＝45°，从而可求出CD．法2：先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD．【详解】解法1：∵，，∴根据12345模型知：∠BDC＝45°，∵，∴三角形BCD为等腰直角三角形，∵，∴CD=解法2（常规解法）：在中，，，∴∴由勾股定理得,过点D作于点E，如图，∵，，∴∴∴∴∵∴∴∴,在中,∴∵∴故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．例2.（2023.成都市中考模拟）如图，正方形，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则．【答案】【详解】解法1：延长EF至H,易证△BFH≌△BCH(HL),则∠EBH=45°，又因为HF=HC=HD，所以∠CFD=90°，则∠CBH=∠FBH=∠FCD=∠ADG，因为，根据“12345”模型，易知故解法2（常规解法）：如图，过点作的平行线，分别交于点，四边形是正方形，，，，四边形是矩形，，点为中点，，，，，即，设，则，，由折叠的性质得：，，又，，，在和中，，，，即，解得，，，又，，解得或，经检验，是所列方程的解，不是所列方程的解，例3.（2023.湖北黄冈.中考真题）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（

）

A． B． C． D．4【答案】A【详解】解法1：因为，所以，如图，根据“12345”模型，易知，故。

解法2（常规解法）：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，矩形中，，，．由作图过程可知，平分，四边形是矩形，，又，，在和中，，，，，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，．．，．，，，，即，解得．例4.（2023.四川广元中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为．

【答案】【详解】解法1：因为点，点，所以因为，根据“12345”模型，易知,故.解法2（常规解法）：∵点，点，∴，，∵，∴，过点作于点，

∵，是的角平分线，∴∵∴设，则，，∴解得：或（舍去），∴例5.（2022.四川泸州中考真题）如图，在边长为3的正方形中，点是边上的点，且，过点作的垂线交正方形外角的平分线于点，交边于点，连接交边于点，则的长为（

）A． B． C． D．1【答案】B【详解】解法1：因为AB=AD=3,，所以AE=1,BE=2,所以根据“12345”模型，易知，，因为∠DEF=90°，所以，所以，故，故CDCDABENMHGF解法2（常规解法）：在AD上截取AH＝AE，连接HE．则∠AHE＝∠AEH＝45°，∴∠DHE＝135°．由题意，AD＝AB，∠EBF＝135°，∴DH＝BE，∠DHE＝∠EBF．∵∠A＝∠DEF＝90°，∴∠HDE＝∠BEF＝90°－∠DEA，∴△HDE≌△BEF，∴DE＝EF，∴∠EDF＝45°．∵BE＝2AE，AD＝AB＝3AE，∴tan∠ADE＝，∴tan∠CDN＝，BN＝CN＝BC＝．∵∠A＝∠DEM＝∠EBM＝90°，∴△ADE≌△BEM，∴BM＝BE＝，∴MN＝BN－BM＝．例6.（2023.内蒙古.中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为．

【答案】5【详解】解法1：因为，根据“12345”模型，易知，故。解法2（常规解法）：解：过点D作于点F，∵，，，∴，∵将绕点A逆时针方向旋转得到，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，即，∵，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，，∴，故答案为：5．例7.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则，．【答案】2【详解】解法1：易知，，接下来对△AME分析，如图易知，过M作AE的垂线段，设EM=5x，则，，则解法2（常规解法）：如图，证明，得到，勾股定理求出的长，等积法求出的长，证明，相似比求出的长，证明，求出的长，证明，求出的长，再利用勾股定理求出的长．【常规法】解：∵正方形的边长为，点是的中点，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；∵，∴，，∴，∴，∴，故点作，则：，∴，∴，∴，∴，∴课后专项训练1.（2023·深圳市高级中学联考）如图，正方形中，是中点，连接，，作交于，交于，交于，延长交延长线于，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【简证】【常规法详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∵是中点，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，∴；故选：C.2.（2018湖北中考真题）如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点，将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE长是()A．1

B．1.5

C．2

D．2.5【答案】C【解析】根据BG是AB的一半，可得tan∠BAG=，连接AE，易证△AEF≌△AED，∴∠GAE＝45°，∴∠α+∠β＝45°，根据12345模型知：tan∠DAE=，∴DE=2，故此题选C3.（2021宜宾中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，将矩形纸片沿CE，CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C，H，G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）．A．2B．C．D．3CCDBAEFGH【答案】A【解析】由题意，∠BCE＝∠HCE，∠DCF＝∠GCF．∵∠BCD＝90°，∴∠BCE＋∠DCF＝45°．∵tan∠BCE＝＝＝，∴tan∠DCF＝，∴＝，∴DF＝CD＝24.（2023.湖北九年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【简证】易知，故，【常规法详解】解：∵四边形是边长为的正方形，∴，，∴，由翻折得，，垂直平分，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，且，∴，解得，∵，∴，解得5.（2023.浙江中考模拟）如图，A，B，C，D是边长为1的小正方形组成的6×5网格中的格点，连接交于点E，连接．给出4个结论：①；②；③；④．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【简证】易知，，，故③错误，选B【详解】解：连接，，为格点，如图，由题意得：，，，．在和中，，，，，，，为等腰直角三角形，．，，，，，，，，．①的结论正确；，，．，，．②的结论正确；，，，在中， ，，③的结论不正确；，，，，，④的结论正确．综上，正确的结论有：①②④．6.（2023.山东九年级期中）如图，将已知矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记为点B'，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B'C上，记为点D'，折痕为CF，若B'D'＝2，BE＝，则矩形纸片ABCD的面积为_________．AADBCEFD′B′【答案】15【解析】由题意，BC＝B'C，CD＝C'D，∠BCE＝∠B'CE，∠DCF＝∠D'CF．∵∠BCD＝90°，∴∠ECF＝∠B'CE＋∠D'CF＝45°．∵BE＝，∴tan∠BCE＝，∴tan∠D'CF＝，tan∠B'CB＝．∵AD∥BC，∴∠FB'D'＝∠B'CB，∴tan∠FB'D'＝，∴DF＝D'F＝BD’＝，∴CD＝CD'＝2D'F＝3，∴BC＝B'C＝B'D'＋CD'＝2＋3＝5，∴S矩形ABCD＝BC·CD＝5×3＝15．7.（2022.贵州中考真题）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则cm．【答案】【简证】连接易知△ADF≌△EDF（HL），记，，则故,【常规法】解：连接如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∵点M为BC的中点，∴由折叠得，∠∴∠，设则有∴又在中，，∵∴∴在中，∴解得，（舍去）∴∴∴∵∠∴∠∴∠又∠∴△∴即∴8.（2023.成都市九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F是CD的中点，∠EAF＝45°，连接AE与BF交于点G，连接AF与DG交于点H，则的值为_________．AADBCEFGH【答案】【解析】过点G作GM⊥AF于点M，过点D作DN⊥AF于点N．AADBCEFMGHN∵四边形ABCD是正方形，点F是CD的中点，∴tan∠DAF＝∠tan∠CBF＝．∵∠AFB＝180°－∠AFD－∠BFC＝2(90°－∠AFD)＝2∠DAF，∴＝tan∠AFB＝tan2∠DAF＝．设AM＝GM＝4a，则FM＝3a，AF＝7a，AN＝2DN＝4FN，FN＝AF＝，DN＝2FN＝，∴＝＝＝．9.（2022.北部湾中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是_________．AADEH′FGHOBC【答案】5＋【解析】过点E作EP⊥AC，交CB的延长线于点P．AADEH′FGHOBPC∵四边形ABCD是正方形，∴∠ECB＝∠ECF＝45°．∴∠P＝45°，∴∠P＝∠ECF，∴EP＝EC．∵∠BEF＝90°，∴∠PEB＝∠CEF，∴△EPB≌△ECF，∴EB＝EF，∴∠EBH＝∠EFH＝45°．∵∠OBC＝45°，∴∠EBO＝∠FBC．∵点F为CD的中点，∴tan∠EBO＝tan∠FBC＝．∵AB＝，∴OB＝4，∴OE＝2．∵∠H′EF＝∠HEF＝90°－∠BEO＝∠EBO，∴tan∠HEF＝tan∠EBO＝，∴tan∠H′EO＝，∴OG＝OE＝1，OH′＝OE＝，EH′＝OE＝，∴EG＝，GH′＝－1＝，∴△EGH′的周长＝EH'＋EG＋GH'＝＋＋＝5＋10.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为.【答案】【解析】根据AB=2，AE=，∠B=90°得到：BE=2，可得tan∠BAE=，∵∠FAE＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，根据12345模型知：tan∠DAF=，∴DF=，再根据勾股定理求得：AF=，故答案为：11.（2019盐城中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_______________．【答案】【解析】∵一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B。∴A（，0）B（0，-1），AO=，BO=1，可得tanα=，∵∠α+∠β+∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，根据12345模型知：tanβ=，∴OC=3，C（3，0）∵B（0，-1），C（3，0），∴直线BC的函数表达式为：，故答案为：。12.（2017无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．【答案】3【解析】如图所示，取点E，设∠OAE=α，易知∠OEA=45°，tanα=∵根据外角定理：∠BOD=α+45°，根据12345模型知：tan∠BOD=3，故答案为：3。13.（2023甘肃天水中考模拟）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A’位置，OB=，tan∠BOC=，则点A’的坐标为____________．【答案】（-，）【解析】设∠OAB=α，过点A’作A’H⊥AB.∵OB=，tan∠BOC=，∴OA=1，AB=2.根据翻折知：∠ABO=∠BOC，∴tan∠ABO=tan∠BOC=，A’B=AB=2.根据12345模型知：tan∠ABA’=，即BH：A’H：A’B=3:4:5，故A’H=，BH=，A坐标（-，）．

14.（2023.广东九年级期中）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME，DE交AB于点F，G，若点M是BC边的中点，则FG＝_________cm．DDCABFMEG【答案】【解析】连接DF．由题意，DE＝DC＝DA，∠DEF＝∠A＝90°．∵DF＝DF，∴△DEF≌△DAF，∴∠EDF＝∠ADF．∵∠CDM＝∠EDM，∠ADC＝90°，∴∠FDM＝45°．∵tan∠CDM＝＝，∴tan∠ADF＝＝，tan∠DGA＝tan∠CDG＝．∵AD＝AB＝4cm，∴EF＝AF＝cm，∴FG＝＝cm．15.（2017浙江丽水中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交x轴、y轴于A、B两点，已知点C（2，0），点P为线段OB的中点，连接PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是__________．【答案】2【解析】∵一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B。∴A（m，0）B（0，m），AO=m，BO=m，∴∠ABO=45°，∵∠CPA=∠ABO，∴∠APC=45°，设∠PAO=α，∠OPC=β，∵∠α+∠β+∠APC＝90°，∠APC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，∵点P为线段OB的中点，∴P（0，），PO=，可得tanα=，根据12345模型知：tanβ=，∴3OC=OP，∵C（2,0）∴OP=6，∴OA=12，m=12．16.（2023·龙华区九年级上期末）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠后，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G，则FG的长是________．【答案】【解析】∵E为BC的中点，AB=6，∴BE=3，可得tan∠BAE=，由翻折知：tan∠FAE=，根据12345模型知：tan∠GAD=，过点G作GH⊥AD，∵ABCD是正方形，∴DH=GH设AH=4x，则GH=DH=3x，AG=5x，AD=7x，故AB=AF=7x，GF=2x。∵AB=6，∴7x=6，x=，GH=，故答案为：。17.（2023·山东·中考模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，BE＝2，则DF的长为_________．AADBCEF【答案】2【解析】∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°．∵tan∠BAE＝＝＝，∴tan∠DAF＝，∴＝，∴DF＝＝2．18.（2023.广东九年级期中）如图，已知点，，为坐标原点，点关于直线的对称点恰好落在反比例函数的图象上，则．

【答案】【详解】法一：易知，故.

法二：常规法解：作轴于点，连接，如图所示，点，，，，点关于直线的对称点为点，，，即，，，，，，设，，，解得：，，19．（21·22·深圳·模拟预测）如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数y的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转，交y轴于C点，则△ABC面积为．【答案】20【分析】过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，证明△AEF≌△FDB（AAS），设BD＝a，则EF＝a，由点A（4，4）和点B（0，2）可得AE+OD＝4，求得，可得F（3，1），进而求得直线AC的解析式为y＝3x﹣8，令x＝0，得出C（0，﹣8），即可求解．【详解】解：∵点A在反比例函数y的图象上，且点A的横坐标与纵坐标相等，∴A（4，4），过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，∵，则△ABF为等腰直角三角形，∴在△AEF与△FDB中∴△AEF≌△FDB（AAS），设BD＝a，则EF＝a，∵点A（4，4）和点B（0，2），∴DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，∵AE+OD＝4，∴4﹣a+2﹣a＝4，解得a＝1，∴F（3，1），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴y＝3x﹣8，令x＝0，则y＝﹣8，∴C（0，﹣8），∴BC＝10，∴20，故答案为：20．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，一次函数与几何图形，数形结合是解题的关键．20．（2023上·绍兴·期中）如图，已知点A（3，3），点B（0，），点A在二次函数y＝x2+x﹣9的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转30°，交二次函数图象于点C，则点C的坐标为．【答案】【分析】过点B作轴，过点A作于点E，交于点，过点作于点，根据勾股定理求出的长度，设，则，则，根据三角函数得出，则，解之可得，求得直线的解析式，与抛物线解析式联立可得点C的坐标．【详解】解：过点B作轴，过点A作于点E，交于点，过点作于点，根据题意可得,∴,设，则，∴，∴,∴，∵,∴，∴，两边平方得：，解得：(舍)，∴,，∴,∴,∴点的坐标为：，设直线的解析式为：，则，解得，∴表达式为，将其代入抛物线方程y＝x2+x﹣9，解得或，即为点A，将代入直线AC得，∴点C坐标为：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，求一次函数解析式，根据题意求得一次函数解析式与二次函数解析式联立是解题的关键．21．（21·22下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为分别交轴，轴于，两点，已知点．（1）当直线经过点时，；（2）设点为线段的中点，连接，，若，则的值是．【答案】【分析】（1）将点点代入直线的解析式即可求解；（2）如图所示（见详解），作，连接．则，由（1）可知，，由此得，，当时，，由此即可求解．【详解】解：（1）当直线经过点时，点与点重合，当时，，即，故答案为2．（2）如图所示，作，连接．则，且又可得，．∴，，则，当