18.1.1 平行四边形的性质 人教版数学八年级下册素养提升练习(含解析)

第十八章平行四边形单元大概念素养目标单元大概念素养目标对应新课标内容掌握平行四边形的定义和性质理解平行四边形的概念.探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.理解两条平行线之间距离的概念,能度量两条平行线之间的距离【P66】掌握平行四边形的判定定理探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形【P66】掌握三角形的中位线定理探索并证明三角形的中位线定理【P67】掌握矩形的性质和判定理解矩形的概念.探索并证明矩形的性质定理:矩形的四个角都是直角,对角线相等.探索并证明矩形的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形,对角线相等的平行四边形是矩形【P66】掌握直角三角形斜边中线的性质探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【P65】掌握菱形的性质和判定理解菱形的概念.探索并证明菱形的性质定理:菱形的四条边相等,对角线互相垂直.探索并证明菱形的判定定理:四边相等的四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形【P66】掌握正方形的概念、性质和判定正方形既是矩形,又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系【P66】18.1平行四边形18.1.1平行四边形的性质基础过关全练知识点1平行四边形的定义1.【教材变式·P51T11】如图所示,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC上的点,且DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,则图中平行四边形共有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.停车场的三个车位如图所示,若四边形ABCD是平行四边形,AB∥EF∥GH∥CD,则图中平行四边形共有个.

知识点2平行四边形的性质3.【新独家原创】图1是一面旗帜,图2是其示意图,四边形ABCD是平行四边形,点E在线段DA的延长线上,若∠C=112°,则∠EAB=()A.38°B.68°C.78°D.112°4.(2023福建漳州期末)如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,转动其中一张纸条,重合的部分构成了一个四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定成立的是()A.AD=ABB.AD=BCC.∠DAC=∠ACDD.AO=AB5.【教材变式·P44T1】如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,已知AD=10,BD=14,AC=8,则△OBC的周长为()A.16B.19C.21D.286.【一题多变·已知平行四边形一个内角的平分线】如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,若AB=5,BC=9,则DE的长为.

[变式1·已知平行四边形相邻两个内角的平分线]如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,CF平分∠BCD交AD于点F.若AB=5,BC=9,则EF的长为()A.1B.1.5C.2D.2.5[变式2·已知平行四边形一个内角的平分线与一边延长线相交]【“角平分线+平行线”模型】如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,交CD的延长线于点F,若AB=5cm,BC=9cm,则DE+DF的长为.

7.如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别为BC、AD的中点,连接AE、CF、DE.(1)求证:AE=CF;(2)若AE=2BE,求证:ED平分∠AEC.知识点3两条平行线之间的距离8.(2023天津模拟)如图,直线a∥b,CD⊥a,CD⊥b,垂足分别为C,D,则a,b之间的距离是()A.线段AB的长度B.线段ABC.线段CD的长度D.线段CD9.(2022湖南常德期末)如图,直线AB,CD被直线EF所截,AB∥CD,EG⊥CD于G,∠EFG=45°,FG=6cm,则AB与CD之间的距离为cm.

知识点4平行四边形的面积10.如图,在▱ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,若△ADO的面积是4,则▱ABCD的面积是()A.8B.12C.16D.2011.如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点F,E,若设该平行四边形的面积为2,则图中阴影部分的面积为()A.4B.1C.12D.12.(2022广东佛山期末)如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若AE=2,AF=3,平行四边形ABCD的周长为20,则平行四边形ABCD的面积为.

能力提升全练13.(2023四川广安期中,7,★☆☆)如图,四边形ABCD是平行四边形,∠BAC=90°,BD=10,AC=6,则AB的长为()A.4B.5C.6D.814.(2022河南洛阳期末,5,★★☆)如图所示,▱ABCD的对角线AC的长为10cm,∠CAB=30°,AB的长为6cm,则▱ABCD的面积为()A.60cm2B.30cm2C.20cm2D.16cm215.(2022黑龙江齐齐哈尔三中期末,6,★★☆)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=3,AC=2,BD=4,则AE的长为()A.32B.32C.21716.(2023四川凉山州中考,15,★★☆)如图,▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是(0,0)、(3,0)、(1,2),则顶点B的坐标是.

17.(2022湖北荆州中考,12,★★☆)如图,点E,F分别在▱ABCD的边AB,CD的延长线上,连接EF,分别交AD,BC于G,H.添加一个条件使△AEG≌△CFH,这个条件可以是.(只需写一种情况)

18.(2020贵州铜仁中考,16,★★☆)设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD的距离是12cm,EF与CD的距离是5cm,则AB与EF的距离等于.

19.(2022广东深圳外国语学校期中,16,★★☆)如图,在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=10,BD=12,AB=m,那么m的取值范围是.

20.(2023福建中考,12,★★☆)如图,在▱ABCD中,O为BD的中点,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F.若AE=10,则CF的长为.

21.(2022四川成都期末,17,★★☆)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,连接EC.若△CDE的周长为5,则▱ABCD的周长为.

22.(2023湖南长沙中考,23,★★☆)如图,在▱ABCD中,DF平分∠ADC,交BC于点E,交AB的延长线于点F.(1)求证:AD=AF;(2)若AD=6,AB=3,∠A=120°,求BF的长和△ADF的面积.素养探究全练23.【推理能力】如图,四边形ABCD是面积为S的平行四边形.(1)如图①,点P为AD边上任意一点,则△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系是;

(2)如图②,设AC、BD交于点P,则△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系是;

(3)如图③,点P为▱ABCD内任意一点时,试猜想△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系,并加以证明;(4)如图④,已知点P为▱ABCD内任意一点,△PAB的面积为2,△PBC的面积为8,连接PD,BD,求△PBD的面积.24.【推理能力】如图1,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,直线EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F,(1)求证:OE=OF.(2)若直线EF分别与DC、BA的延长线相交于F、E(如图2),请问(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(3)若平行四边形ABCD的面积为20,BC=10,CD=6,直线EF在绕点O旋转的过程中,线段EF何时最短?并求出EF长度的最小值.

答案全解全析基础过关全练1.C∵DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,∴题图中平行四边形共有3个:平行四边形ADEF,平行四边形BEFD,平行四边形DECF,故选C.2.答案6解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∵AB∥EF∥GH∥CD,∴四边形ABFE、四边形ABHG、四边形EFHG、四边形EFCD、四边形GHCD都是平行四边形,∴题图中平行四边形共有6个.3.B∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB=∠C=112°,∴∠EAB=180°-∠DAB=180°-112°=68°,故选B.4.B由题意可知AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC,故选B.5.C∵四边形ABCD是平行四边形,AC=8,BD=14,AD=10,∴OC=OA=4,OB=OD=7,BC=AD=10,∴△OBC的周长=OB+OC+BC=7+4+10=21.故选C.6.答案4解析∵四边形ABCD为平行四边形,∴AE∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AE=AB=5,∵AD=BC=9,∴DE=AD-AE=9-5=4.[变式1]A∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AE=AB=5,同理可证DF=DC=AB=5,∵AD=BC=9,∴EF=AE+FD-AD=5+5-9=1.[变式2]答案8cm解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC=9cm,∴∠AEB=∠CBF,∵BE平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF,∴∠AEB=∠ABF,∴AE=AB=5cm,同理可得CF=BC=9cm,∴DE=9-5=4(cm),DF=9-5=4(cm),∴DE+DF=4+4=8(cm).方法解读本题属于“角平分线+平行线”模型.如图,给出以下三个关系:①∠1=∠2;②AD∥BC;③AB=AD(AB,AD为等腰三角形ABD的两腰).从上述三个关系中任意选择两个作为条件,则另一个可以作为结论.此模型在几何推理证明中应用广泛.7.证明(1)∵E,F分别为BC,AD的中点,∴EC=12BC,AF=1∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠ADC,∴BE=DF,在△ABE和△CDF中,AB∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,又∵AE=2BE,BC=2BE,∴AE=AD,∴∠ADE=∠AED,∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CED,∴∠AED=∠CED,∴ED平分∠AEC.8.C根据过一条平行线上的任意一点向另一条平行线作垂线,垂线段的长度叫做两条平行线之间的距离,可知直线a,b之间的距离是线段CD的长度.故选C.9.答案6解析∵EG⊥CD,∴∠EGF=90°,∵∠EFG=45°,∴∠FEG=45°=∠EFG,∴FG=EG,∵FG=6cm,∴EG=6cm,∴AB与CD之间的距离为6cm.10.C因为平行四边形的对角线互相平分,所以BO=DO,AO=CO,所以△ABO与△ADO是等底同高的三角形,所以△ABO与△ADO的面积相等,同理,△ABO,△ADO,△CDO,△CBO的面积都相等,所以S▱ABCD=4S△ADO=16.11.B∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,OA=OC,OB=OD,在△AOB和△COD中,AB∴△AOB≌△COD(SSS),∴S△AOB=S△COD,同理可证△AFO≌△CEO(ASA),△BOE≌△DOF(ASA),∴S△AFO=S△CEO,S△BOE=S△DOF,∴S阴影=12S平行四边形ABCD=1.故选12.答案12解析连接AC(图略),设BC=x,则CD=10-x,易知S△ABC=S△ACD,∴2x=3(10-x),解得x=6,∴平行四边形ABCD的面积=BC·AE=6×2=12.能力提升全练13.A∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=12AC=3,BO=1在Rt△ABO中,根据勾股定理得AB=BO2-AO14.B如图,过点C作CH⊥AB交AB的延长线于点H.∵∠CAB=30°,∴CH=12AC=1∴S▱ABCD=AB·CH=6×5=30(cm2).故选B.15.D∵四边形ABCD是平行四边形,AC=2,BD=4,∴AO=12AC=1,BO=1∵AB=3,∴AB2+AO2=BO2,∴∠BAC=90°,在Rt△BAC中,BC=AB2+AC∵S△BAC=12AB·AC=12BC∴3×2=7AE,∴AE=2217,16.答案(4,2)解析如图,延长BC交y轴于点D,∵四边形ABCO是平行四边形,∴BC=OA,BC∥OA,∵OA⊥y轴,∴BC⊥y轴,∵A(3,0),C(1,2),∴BC=OA=3,CD=1,OD=2,∴BD=CD+BC=1+3=4,∴B(4,2).17.答案BE=DF(答案不唯一)解析可以添加BE=DF(答案不唯一).∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠C,AB=CD,∴∠E=∠F,∵BE=DF,∴BE+AB=DF+CD,即AE=CF,在△AEG和△CFH中,∠∴△AEG≌△CFH(ASA).18.答案7cm或17cm解析分两种情况:①当EF在AB,CD之间时,∵AB与CD的距离是12cm,EF与CD的距离是5cm,∴AB与EF的距离为12-5=7(cm).②当EF不在AB,CD之间时,∵AB与CD的距离是12cm,EF与CD的距离是5cm,∴AB与EF的距离为12+5=17(cm).综上所述,AB与EF的距离为7cm或17cm.19.答案1<m<11解析∵四边形ABCD是平行四边形,AC=10,BD=12,∴OA=OC=5,OD=OB=6,在△OAB中,OB-OA<m<OB+OA,∴6-5<m<6+5,∴1<m<11.20.答案10解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB,CD∥AB,∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO,∵O为BD的中点,∴OD=OB,∴△DOF≌△BOE(AAS),∴DF=BE,∴CD-DF=AB-BE,∴CF=AE=10.21.答案10解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB=CD,AD=BC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,∴△CDE的周长为CD+CE+DE=CD+AE+DE=CD+AD=5.∴▱ABCD的周长为2(AD+CD)=10.22.解析(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠CDE=∠F,∵DF平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,∴∠F=∠ADF,∴AD=AF.(2)∵AF=AD=6,AB=3,∴BF=AF-AB=3.过D作DH⊥AF交FA的延长线于H,如图,∵∠BAD=120°,∴∠DAH=60°,∴∠ADH=30°,∴AH=12AD=3,