沟底直径和球直径对轴承动态行为关联机制的影响规律

滚动轴承作为高速精密机床、航空发动机和高速电动机等旋转机械的关键支承部件,其动态性能对上述机械系统有着重要影响。角接触球轴承的结构尺寸直接决定了接触角、轴承游隙、保持架兜孔间隙和引导间隙等结构参数,会显著影响球、保持架和套圈之间的相互作用机制,从而对轴承的动态行为产生重要影响。国内外学者对轴承的动态行为做了一定研究:文献[1]建立了一种由球轴承几何缺陷引起的轴承振动的线性理论模型,用于研究在低、中速时形状误差引起的轴承振动;文献[2]考虑波纹度对轴承零件之间相互作用力的影响,提出了一种轴承振动的详细数学模型;文献[3]考虑了球的接触力、摩擦力、重力和离心力,建立了一种用于研究加速过程中滚动轴承打滑的分析模型;文献[4]提出了一种无沟道控制假设的轴承拟静力学模型,用于预测各种工况下的轴承特性参数;文献[5]建立了一种非线性动力学模型,通过考虑离心和陀螺效应、赫兹接触、球与保持架之间的不连续接触以及弹流润滑来研究球轴承的滑动行为;文献[6]提出了一种球轴承动力学模型,通过拟合位移激励法模拟故障激励,以求得高速下轴承的动态响应;文献[7]将波纹度模型与Gupta模型[8]相结合研究球轴承的扭矩变化。上述研究采用的动力学模型未考虑保持架涡动或通过约束保持架运动使用简化模型,很难准确获得轴承的动力学行为。在工程实际中,钢球、保持架和引导套圈之间的相互作用会对保持架的动态稳定性和内圈振动产生重要影响,这吸引了大量学者对保持架动力学进行研究:文献[9]采用Gupta模型研究了在稳定和不稳定条件下保持架受力对保持架质心轨迹和球碰撞动态特性的影响;文献[10]建立了一种保持架动力学模型,以研究保持架在轴承启动过程中的稳定性和打滑率;文献[11]分析了保持架的三维运动,揭示了保持架在不同转速和外载荷下的特征频率;文献[12]通过考虑球与保持架之间的碰撞力和切向力、球与保持架之间的轴向碰撞以及沟道牵引力和力矩,研究了航天器用角接触球轴承自润滑保持架的稳定性和打滑特性。上述文献对轴承动态行为做了一定研究,但关于轴承结构尺寸对保持架运动、球滑动和套圈振动之间相互作用机制影响的研究不足，此外,未考虑保持架涡动对球、套圈之间相互作用的影响,难以准确获得轴承动力学行为，导致很难通过设计合理的结构尺寸来获得轴承的最佳动态性能。因此,本文考虑保持架涡动建立角接触球轴承非线性动力学模型,以研究不同结构尺寸组合下轴承零件之间的相互作用,得到合理的尺寸组合。1理论模型学者基于Gupta模型建立了多种球轴承动力学模型[5,12],该类模型用运动学约束处理保持架与其他零件的相互作用力,本文采用考虑约束力的保持架动力学模型并进行改进。1.1轴承坐标系为便于描述轴承零件的受力和运动,采用4个坐标系描述球、保持架和套圈的运动,如图1所示。全局参考坐标系Oxyz以轴承中心O为原点,x轴沿轴承轴线,内圈绕y,z轴旋转并沿x,y,z轴平移;局部坐标系O′x′y′z′以球中心O′为原点,沿全局坐标系Oxyz的x轴旋转,球的3个角速度分量分别围绕球的x′,y′,z′轴转动;保持架坐标系Ocxcyczc以保持架中心Oc为原点,保持架绕xc轴旋转并在Ocyczc平面内平移;接触椭圆坐标系O″x″y″z″以接触椭圆中心O″为原点,长轴方向为x″轴,短轴方向为y″轴,垂直于球-沟道接触区域的方向为z″轴。外圈固定在壳体内,内圈以角速度ωi旋转。最初,假设保持架中心与外圈中心重合,球中心与保持架兜孔中心重合。图1轴承的4个坐标系Fig.1Fourcoordinatesystemsofbearing1.2球动力学微分方程轴承运转时,球受到沟道的接触载荷Qi和Qe(下标i,e分别代表内、外圈)、流体作用产生的拖拽牵引力Fti和Fte、拖动力矩Mti和Mte、接触力Fbc、保持架兜孔与球之间的摩擦力Fτbc、离心力Fζ

、黏性摩擦力Fv、润滑油对球的阻滞力矩Md、陀螺力矩Mq,如图2所示。第j个球的动力学微分方程为图2作用于球的力和力矩Fig.2Forcesandmomentsactingonball(1)(2){Δvny″(xn″,yn″)xn″-Δvnx″(xn″,yn″)yn″+ωsn[(xn″)2+(yn″)2]}dxn″dyn″,(3)式中:mb为球质量;α为接触角;Ib为球转动惯量;Dw为球直径;ωm为球公转角速度;Di,De分别为内、外圈沟底直径;Dpw为球组节圆直径;φ为球方位角;a,b分别为接触椭圆长半轴和短半轴;η为润滑油黏度;p(xn″,yn″)为球-沟道接触区压力;h(xn″,yn″)为油膜厚度;Δv为差动滑动速度。其中,p(xn″,yn″),h(xn″,yn″)可由文献[13]中量纲一的参数获得,下标n可替换为i或e。1.3保持架动力学微分方程考虑保持架的整体动力学,包括球与保持架兜孔之间的相互作用、保持架与引导套圈的润滑以及润滑油对保持架的阻滞作用,计算了保持架兜孔与第j个球之间的碰撞力Fbcj和摩擦力Fτbcj。保持架沿x轴的平移对动力学分析的影响很小,可忽略不计,因此仅考虑保持架绕xc轴的旋转运动和沿yc,zc轴的平移运动。保持架动力学微分方程为(4)式中:mc为保持架质量;Z为球数;φc为保持架方位角;Fcg为套圈导向面与保持架导向面之间的作用力;Mcg为套圈导向面与保持架导向面之间的作用力矩;Mce为润滑油对保持架的阻力矩;Fχ为保持架的不平衡质量mχ引起的不平衡力。1.3.1球与保持架兜孔的相互作用由于各球与对应兜孔之间的作用力不等,导致球与兜孔之间的相互作用有无接触、球驱动保持架和保持架推动球3种状态,如图3所示,球与保持架兜孔之间的变形量为[14](a)无接触(b)球驱动保持架(c)保持架推动球图3球与保持架兜孔之间的相互作用Fig.3Interactionbetweenballandcagepocket(5)式中:δcyc,δczc分别为保持架中心沿yc,zc轴的位移;φp为保持架兜孔方位角。球与保持架兜孔之间的接触力为(6)式中:

为线性近似常数,具体可参考文献[16]计算;

为球与保持架之间的载荷-变形系数;ξ为黏性阻尼系数[15];CP为保持架兜孔间隙。当球与保持架兜孔壁接触时,两者之间的相对滑动会使球与保持架兜孔之间产生摩擦力。假设球与保持架兜孔接触区域处于边界润滑状态,采用库仑摩擦定律可得,第j个球与保持架兜孔之间的摩擦力为Fτbcj=μFbcj,(7)由于润滑供应限制和仅考虑纯滑动[17],摩擦因数μ取0.08。1.3.2保持架与引导套圈的相互作用高速保持架一般由外圈引导,外圈与保持架的相互作用如图4所示。外圈导向面与保持架导向面之间的相互作用力近似于Cameron[18]给出的轴承流体动压力,则图4保持架与外圈的相互作用Fig.4Interactionbetweencageandouterring(8)(9)(10)式中:η0为润滑油动力黏度;rg为保持架引导半径;ωe为外圈角速度;ωc为保持架角速度;B为保持架引导面宽度;Cg为保持架引导间隙;为保持架偏心距;h′为保持架相对偏心距。保持架坐标系Ocxcyczc中的力和力矩需要转换到全局坐标系Oxyz中,即(11)1.3.3保持架所受不平衡力和润滑阻滞力保持架的不平衡质量mχ引起的不平衡力为[14](12)(13)式中:rχ为球组节圆半径。润滑流体、油气混合物和空气作用在保持架外表面和两端面上的剪切力会阻碍保持架转动,由此可以推导出阻力矩Mce为[14](14)式中:ρe为润滑油有效密度;ρ为润滑油密度;ζ为油气混合物比例系数;A为保持架外表面面积;rci,rce分别为保持架内、外表面半径;rc为保持架特征半径;CD为搅拌系数。1.3.4保持架运动稳定性评价指标本文采用非重复跳动(Non-RepetitiveRun-Out,NRRO)和最大分布范围(MaximumDistributionRange,MDR)评估保持架质心轨迹的稳定性,实际上,NRRO是某一方位角的保持架质心轨迹半径最大差值,MDR是保持架质心轨迹半径最大值与最小值的差值,如图5所示。NRRO,MDR越小,保持架运动越稳定,计算方法[19]

为图5保持架运动稳定性评价指标Fig.5Evaluationindexesofcagemotionstability(15)(16)式中:ε为保持架质心轨迹半径。保持架振动水平可根据其振动加速度大小进行计算,可表示为(17)保持架振动加速度均方根σt与迭代次数Ω密切相关,即(18)式中:σcy,σcz分别为保持架在y,z轴方向的加速度。1.4内圈动力学微分方程内圈动力学微分方程为(19)式中:mi为内圈质量;xi,yi,zi分别为内圈在x,y,z轴方向的的位移;Fx,Fy,Fz分别为内圈在x,y,z轴方向所受的作用力;Ii为内圈转动惯量;θiy,θiz分别为内圈在y,z轴方向的偏转角;My,Mz分别为内圈在y,z轴方向所受的力矩;Ri为内沟曲率中心轨迹的等效半径。联立(1),(4),(19)式共计7N+8个动力学方程,利用四阶龙格-库塔(Runge-Kutta)算法可求解得到角接触球轴承的动力学行为。其中,用降阶法处理了保持架的二阶微分方程。利用快速傅里叶变换(FastFourierTransform,FFT)获取轴承的动态响应,为保证较高的求解精度,采用最优固定时间步长0.03ms进行求解。2模型验证本文以B7008C角接触球轴承为例分析,采用Gupta的代表性案例验证本文模型的可靠性,轴承主要结构参数和润滑参数见表1。轴向载荷为2224N、转速为10000r/min时,保持架质心轨迹如图6所示:由于轴承参数、保持架材料和润滑油性能不同,本文模型所求得的保持架质心轨迹与Gupta的仿真和试验结果存在一定差异,但在可接受范围内,稳定后的保持架质心轨迹和变化趋势与Gupta的试验结果很相似,说明模型是可靠的。表1B7008C角接触球轴承和Gupta案例轴承的主要参数Tab.1MainparametersofB7008CangularcontactballbearingandGupta′scasebearing(a)本文模型(b)Gupta仿真结果(c)Gupta试验结果图6本文模型保持架质心轨迹与Gupta研究结果的对比Fig.6ComparisonbetweencagecentroidtrajectoryofmodelinthispaperandresultsofGupta′sresearch此外,还用保持架转速验证了本文模型的可靠性。内圈转速为10000r/min,径向力Fz为0,轴向力Fx的变化范围为50～500N,本文模型轴向力为400N时的ωc/ωi值如图7a所示,保持架转速在某一特定值上下波动,基于此得到ωc/ωi随轴向力的变化曲线如图7b所示,本文模型的ωc/ωi值与文献[20]试验结果的变化趋势相同,进一步验证了本文模型的可靠性。(a)轴向力为400N时的ωc/ωi值(b)

ωc/ωi随轴向力的变化图7本文模型的ωc/ωi值与试验结果的对比Fig.7Comparisonofratio

ωc/ωibetweenresultsofmodelinthispaperandtestresult3结果与讨论初始接触角α0与轴承结构尺寸密切相关,可表示为(20)此外,轴承径向游隙为Gr=De-Di-2Dw,(21)式中:ri,re分别为内、外沟曲率半径。在保证初始接触角和径向游隙不变的前提下,不同的Di,De组合会明显地影响球轴承的动力学行为,本文将从2个方面分析Di,De组合对角接触球轴承动力学特性的影响。3.1外圈沟底直径对轴承动力学特性的影响保持Dw=6.35mm不变,依次取外圈沟底直径De={62.36,61.36,60.36,59.36,58.36}mm,同时取与De一一对应的内圈沟底直径Di={49.62,48.62,47.62,46.62,45.62}mm,则外沟曲率半径系数0.52、内沟曲率半径系数0.55不变,此时保持架兜孔间距等其他轴承结构参数不变。内圈转速为10000r/min,径向力Fz=100N,指向钢球方位角90°,轴向力Fx=400N,其他参数不变。3.1.1球的滑动不同外圈沟底直径De时球在内、外沟道上的滑动速度(接触椭圆短轴方向的相对滑动速度)及其频谱如图8所示(fi,

fc分别为内圈频率和保持架频率):球与外沟道的相对滑动速度Ve呈周期性波动,在一个周期内,相对滑动速度Ve有1次或2次处于低频fc位置的明显突变,其波动范围随De减小而减小;相对滑动速度Ve在高频处(N(fi-fc)+fc)或N(fi-fc)出现小幅波动,其波动范围也随De的减小而减小。球与内沟道的相对滑动速度Vi也有非常相似的变化趋势。这可能是因为球、保持架和引导套圈之间的相互作用,下文将进行详细分析。

图8不同外圈沟底直径时球在内、外沟道上的滑动速度Fig.8Slidingvelocityofballoninnerandouterracewaysunderdifferentouterringgroovebottomdiameters

3.1.2球与沟道之间的牵引力不同外圈沟底直径De时球与沟道之间的牵引力如图9所示:随De减小,牵引力逐渐减小,牵引力的波动主频与滑动速度的频率一致,这证明了滑动速度对牵引力的影响,同时,波动峰值随De的逐渐减小而阶段性变小,从图9a和图9c中看出大概分为3组峰值,即58.36～59.36mm、60.36～61.36mm和62.36mm,这说明De的减小对波动强度有着重要影响。

图9不同外圈沟底直径时球与沟道之间的牵引力Fig.9Tractionforcebetweenballandracewaysunderdifferentouterringgroovebottomdiameters

3.1.3内圈加速度的频谱由于牵引力对内圈的作用,内圈加速度的主频与牵引力的主频具有明显的一致性,不同外圈沟底直径De时内圈加速度的频谱如图10所示:随De逐渐减小,低频振动大致是先减小后逐渐增加,而高频振动是先基本不变,当减小至59.36mm时发生了骤减,继续减小时加速度主峰值会迅速回升。上述分析说明牵引力与内圈加速度强相关,在特定的De范围会造成加速度突变或异常振动,因此,合理设计De有利于减小内圈振动。(a)内圈沿y轴的加速度σiy(b)内圈沿z轴的加速度σiz图10不同外圈沟底直径时内圈加速度的频谱Fig.10Spectrumofinnerringaccelerationunderdifferentouterringgroovebottomdiameters

3.1.4球与保持架之间的碰撞力不同外圈沟底直径De时球与保持架之间的碰撞力Fbc如图11所示:1)当De较大时,碰撞力Fbc在0附近发生剧烈波动,说明球在驱动保持架状态和被保持架推动状态之间不断交替;2)当De减小到59.36mm时,球就开始频繁地推动保持架,继续减小De时,碰撞力Fbc波动范围更加靠向负值,说明更多地出现了球驱动保持架的情况;3)碰撞力的主频与滑动速度的频率一致,说明了球的滑动与碰撞力Fbc密切相关;4)当De减小到58.36mm时,Fbc波动幅度最小。不同外圈沟底直径De时保持架与引导套圈之间的碰撞力Fcg如图12所示,保持架与引导套圈之间的碰撞力Fcg和Fbc的变化规律相同。上述分析说明外圈沟底直径De的变化不仅会影响各零件之间的相互作用力,还会影响其波动的幅度和频率,进而影响保持架的动力学特性。(a)碰撞力Fbc(b)

Fbc的频谱图11不同外圈沟底直径时球与保持架的碰撞力Fig.11Collisionforcebetweenballandcageunderdifferentouterringgroovebottomdiameters(a)碰撞力Fcg(b)

Fcg的频谱图12不同外圈沟底直径时保持架与引导套圈的碰撞力Fig.12Collisionforcebetweencageandguidingringunderdifferentouterringgroovebottomdiameters3.1.5套圈接触角不同外圈沟底直径De

时套圈实际接触角的变化规律如图13所示:1)外沟道实际接触角αe的波动峰值随De的逐渐减小而增大,仅在De=61.36mm时发生骤减,同样的规律出现在内圈加速度σiy和σiz的低频波动处;2)内沟道实际接触角αi的波动峰值稍大于αe,变化趋势则正好相反,但仍在De=61.36mm时发生骤减,这与碰撞力Fcg的低频波动峰值变化很相似。

图13不同外圈沟底直径时套圈实际接触角的变化规律Fig.13Variationlawofactualcontactangleofringunderdifferentouterringgroovebottomdiameters

3.1.6球的自转角速度和姿态角不同外圈沟底直径De时保持架持续旋转阶段的球自转角速度和姿态角如图14所示:1)不同的De致使球的姿态角改变,进而改变了自转角速度,但其波动范围相近;2)考虑到球与保持架的相互作用力,自转角速度随De的减小而减小,同时姿态角β的峰-谷均值则以相反的趋势变化。

图14不同外圈沟底直径时保持架持续旋转阶段球的自转角速度和姿态角Fig.14Spinangularvelocityandattitudeangleofballduringcontinuousrotationofcageunderdifferentouterringgroovebottomdiameters

3.1.7保持架的振动特性不同外圈沟底直径De时保持架的振动特性如图15所示:1)随De减小,保持架质心轨迹半径逐渐减小但偏向正值方向,NRRO和MDR有小幅波动,同时保持架的振动水平略微减小后保持不变,这说明振动趋于稳定;2)保持架质心加速度的频谱图显示出与内圈加速度、牵引力、碰撞力等相同的变化规律,随De逐渐减小,主峰先是不变,达到59.36mm突然减小,之后再有所回升,说明De=59.36mm相较于该值附近的其他De能获得良好的保持架动态稳定性和振动水平,选择De

=59.36mm更为合理。(a)保持架质心轨迹(b)MDR和NRRO(c)加速度σc的频谱(d)保持架振动水平图15不同外圈沟底直径时保持架的振动特性Fig.15Vibrationcharacteristicsofcageunderdifferentouterringgroovebottomdiameters3.1.8小结在确定的联合载荷并且初始接触角不变的前提下,变化的内、外圈沟底直径组合(Di,De)会改变实际接触角以调整球与沟道之间的赫兹接触,从而导致球滑动的变化。赫兹接触和球滑动的变化会导致主频率与钢球滑动频率相同的牵引力发生变化,波动的牵引力造成了内圈的振动,尤其是振动频率与滑动密切相关,而振动强度与De密切相关,随De逐渐减小,内圈振动减小,De=59.36mm时最小,之后无明显变化,但通过频谱图发现振动强度有所回升;球的滑动直接影响球与保持架兜孔之间的碰撞力,进一步影响保持架与引导套圈之间的碰撞力和牵引力,致使他们的频率相同;

De的变化会显著影响保持架、球与引导套圈之间的相互作用力,从而改变保持架的动态稳定性和振动水平,当De较大时,较大的相互作用力导致保持架质心轨迹半径较大,这通常会破坏保持架的动态稳定性,当De减小时,保持架振动幅度先减小,后无明显变化,De=59.36mm时保持架可以获得最佳的动态稳定性和振动水平,继续减小De则会使保持架稳定性变差。上述分析说明合理的内、外圈沟底直径组合(Di,De)能改变轴承的实际接触角和赫兹接触载荷,对于获得轴承的良好动态行为至关重要。3.2球直径对轴承动力学特性的影响在Di,De对应关系的基础上,增加球直径Dw变化对内、外圈沟底直径组合的影响,依次取Di={49.62,48.62,47.62,46.62,45.62}mm,球直径变化时对应不同的内、外圈沟底直径组合:1)球直径Dw=5.95mm,对应De={61.56,60.56,59.56,58.56,57.56}mm;2)球直径Dw=6.35mm,对应De={62.36,61.36,60.36,59.36,58.36}mm;3)球直径Dw=6.75mm,对应De={63.16,62.16,61.16,60.16,59.16}mm;4)球直径Dw=7.15mm,对应De={63.96,62.96,61.96,60.96,59.96}mm。上述4种情况内沟曲率半径系数0.55、外沟曲率半径系数0.52不变。3.2.1碰撞力由图11可知:无论内、外圈沟底直径Di,De如何组合,碰撞力Fbc总是偏向于负值波动,这说明球推动保持架是绝大多数时的状态,而其波动也受到球直径Dw的显著影响,如图16所示:1)当Dw=5.95mm时,碰撞力Fbc在De=60.56mm处有一次明显突变,低频波峰大于其他De处,同时高频波峰明显低于其他De处且主频率也低一些,除此之外,碰撞力Fbc的波动规律大体上是在低频处基本不变而在高频处随De的增加而略微减小;2)当Dw=6.35mm时,De对碰撞力Fbc波动的影响大致可分为3组,即De

={62.36},{61.36,60.36},{59.36,58.36};3)当Dw=6.75,7.15mm时,De为62～63mm处碰撞力Fbc高频波动主峰非常大,这说明Dw为6.75～7.15mm时,在结构尺寸设计中不可取De为62～63mm的组合。此外,一些沟底直径组合对应的碰撞力Fbc高频波动峰值非常小,例如,图16c中De=60.16mm以及图16d中De=63.96,61.96mm等,这说明在球直径确定时,选取合理的组合(Di,De)能让轴承更快地进入平稳状态。(a)

Dw=5.95mm(b)

Dw=6.35mm(c)

Dw=6.75mm(d)

Dw=7.15mm图16不同球直径时球与保持架之间的碰撞力Fig.16Collisionforcebetweenballandcageunderdifferentballdiameters不同球直径Dw时,各套圈沟底直径组合下保持架与引导套圈之间的碰撞力Fcg如图17所示:碰撞力Fcg在低频处的波动强度随De的增大先逐渐减小之后增大,而在高频处的波动峰值普遍较小,而在图17a中,在De=60.56mm时有2处高频波峰,其中频率较小处峰值非常大,而另一处峰值与其他De处相近,造成该现象的原因与球的自转角速度和姿态角的波动有关。(a)

Dw=5.95mm(b)

Dw=6.35mm(c)

Dw=6.75mm(d)

Dw=7.15mm图17不同球直径时保持架与引导套圈之间的碰撞力Fig.17Collisionforcebetweencageandguidingringunderdifferentballdiameters上述分析说明,内、外圈沟底直径组合与球直径的改变会不可避免地影响轴承各零件之间的相互作用力,从而影响保持架的动态稳定性和内圈的振动,因此,波动峰值越小的组合越好。综合图16和图17,在Dw=5.95mm时,组合(Di,De)={(49.62,61.56),(47.62,59.56)}比较合理,其余球直径时,组合(Di,De)的合理备选项还较多,接下来依靠其他动态参数进行判断。3.2.2加速度不同球直径时,各套圈沟底直径组合下内圈加速度σi的频谱分析如图18所示:内圈加速度频谱在低频和高频处波动,而低频波动总体上呈现出随De减小而增大的趋势,这与碰撞力Fbc,Fcg的变化规律一致。(a)

Dw=5.95mm(b)

Dw=6.35mm(c)

Dw=6.75mm(d)

Dw=7.15mm图18不同球直径时内圈加速度的频谱Fig.18Spectrumofinnerringaccelerationunderdifferentballdiameters不同球直径时,各套圈沟底直径组合下保持架加速度σc的频谱分析如图19所示:相对于低频振动,保持架的高频振动更加明显,因此,主要关注保持架高频振动峰值。尽管存在保持架、钢球与引导套圈之间偶尔稳定的相互作用,但当Dw=5.95mm且De分别为61.56,59.56,58.56,57.56mm时,出现双高频峰值,相同现象也出现在(Dw,De)=(6.75,62.16)mm。保持架的峰值和频率较低的那一束高频振动峰值通常随De的减小而减小,另一束高频振动峰值由于球的自转角速度和姿态角波动而剧烈波动。综合分析,在现有的组合中,(Dw,De)={(5.95,59.56),(6.35,59.36),(6.75,60.16),(7.15,63.96)}mm这4种组合较为合理,以产生所需的保持架振动。此外,不同球直径时,各套圈沟底直径组合下保持架稳定性指标NRRO和MDR的分布图如图20所示:各组的NRRO和MDR变化约为7～10μm,这