统计技术应用课件第五章 动态数列

第五章动态数列学习目标（一）知识目标1.了解动态数列的概念和种类；2.掌握动态数列的水平指标；3.掌握动态数列的速度指标；4.掌握长期趋势和季节变动。（二）技能目标1.能够计算平均发展水平、增长量和平均增长量；2.能够计算环比发展速度和定基发展速度；3.能够计算环比增长速度和定基增长速度；4.能够计算增长1%的绝对数量；5.能够计算平均发展速度与平均增长速度；6.能够计算长期趋势和季节变动。引导案例

中国对汽车社会准备不足原国家统计局总经济师、国务院参事室特约研究员姚景源日前在天津汽车发展（泰达）国际论坛上指出，２００１年国产汽车产销量只有２０７万辆，２０１０年达到１８００万辆。汽车社会来得太快，我们严重准备不足。整个社会，包括城市规划、燃料供应、道路建设、停车场建设以及汽车文化、售后服务等各方面都没有做好准备。问题：国产汽车产销量从2001年的207万辆到2010年的1800万辆，其平均增长速度是多少？第一节动态数列的编制一、动态数列的概念动态数列是以映某种社会经济现象在不同时间上的指标数值，按时间（常以年、季、月、日）先后顺序加以排列所形成的数列，又称为时间数列或时间序列。它反映的是指标在时间上的变化。动态数列由两个要素构成：一是指标所在的时间，二是指标在所属时间上的数值。二、动态数列的种类动态数列按其构成要素中的统计指标的不同，可分为总量指标动态数列、相对指标动态数列和平均指标动态数列三种。（一）总量指标动态数列总量指标动态数列把一系列同类的总量指标按时间先后顺序排列起来形成的动态数列。各项指标数值反映研究对象在一段时期内发展过程的总量的绝对数时间数列是时期数列。各项指标数值反映研究对象在某一时点上所处的数量水平的绝对数时间数列是时点数列，如表5-1国际互联网用户单位：万人

(10000persons)。与时点数列相比，时期数列指标数值通过不断登记而取得、可以相加、与时期长短有直接关系。（二）相对指标动态数列把一系列同类的相对指标按时间先后顺序排列起来形成的时间数列称为相对指标动态数列，如表5-2。表5-2公共社会保障支出占国内生产总值比重单位：%（三）平均指标动态数列把一系列同类的平均指标按时间先后顺序排列起来形成的时间数列称为平均数时间数列。表5-3年平均存款利率和贷款利率单位：%动态数列编制的基本原则是保证数列中各个指标数值的可比性，因此要求：总体范围应该一致；时期数列的时期长短应一致，时期数列和时点数列的间隔力求一致；指标的内容应该相同；指标计算口径应该统一，即计算方法、计算价格和计算单位等应一致。第二节动态数列的水平指标一、发展水平发展水平是动态数列中与其所属时间的每项指标数值，反映某种社会经济现象在不同时期所能达到的水平。一般把动态数列的第一个指标数值称为最初水平，用表示；最后一个指标数值称为最末水平，用表示；其余中间各项指标数值称为中间水平，分别用，，…，表示。两个时间的发展水平作动态对比时，作为对比基础时期的水平称为基期水平；作为计算研究的那个时期的水平称为报告期水平，又称为计算期水平。二、平均发展水平将不同时期的发展水平加以平均而得的平均数叫平均发展水平，又称为序时平均数或动态平均数。序时平均数与一般平均数既有联系又有区别。共同之处是将现象之间的数量差异抽象化，反映现象的一般水平。两者的区别见下表。表5-4一般平均数与序时平均数的区别一般平均数序时平均数1.根据变量数量计算2.将同种现象在同一时间上的数量标志值进行差异抽象化3.反映同质总体内各单位标志值在一定历史条件下的一般水平1.根据动态数列计算2.将同种现象在不同时间上发展水平的差异抽象化3.反映同一指标不同时间上的一般水平（一）总量指标动态数列序时平均数1.时期数列序时平均数的计算时期数列的各项指标数值可以相加，所以可采用简单算术平均法，也就是将各个不同时间上的指标数值相加后除以项数即可。其计算公式为式中，为平均发展水平，代表各期发展水平，为项数。【例5-1】我国2006-2010年财政收入分别为38760亿元、51322亿元、61330亿元、68518亿元、83080亿元，这五年的年平均财政收入为（亿元）2.时点数列序时平均数的计算时点数列有连续时点数列和间断时点数列两种，这两种时点数列又都由于记录数据的不同产生间隔相等与间隔不等两种表现形式。（1）连续时点数列序时平均数的计算连续时点数列是指按日登记取得数据的时点数列，它有两种情况。一是逐日（小时）登记的，如对工人天天都进行考勤，得到每天出勤人数。从而得到间隔相等的数据，其计算公式为：式中，为平均发展水平，代表各期发展水平，为项数。【例5-2】某企业9月1-30日每天的工人人数分别为122、123、121、124、122、123、125、124、126、124、123、122、123、124、121、123、124、122、122、123、124、126、125、124、123、125、124、126、124、125，计算该月每天平均人数为（人）二是只在发生变动时进行登记，如商品库存量，3月1日调入360箱货物，3月9日调出200箱货物，只需要在3月1日和3月9日做登记。从而得到间隔不相等的连续时点数列。其计算公式为：式中，代表各期发展水平，代表与各期发展水平相应的时间间隔。时间1日12日21日31日库存量（箱）500560486430【例5-3】某仓库某年一月份库存变动情况如下表，求该仓库一月份平均库存量。表中数据说明，1月1日-1月11日（11天）库存量都没有发生变化，为500箱；1月12日-1月20日（9天）库存量都没有发生变化，为560箱；1月21日-1月30日（10天）库存量都没有发生变化，为486箱；1月31日库存量为430箱。所以一月份平均库存量为：（箱）（2）间断时点数列序时平均数的计算每隔一段时间（一月、一季或一年）对其时点数据进行登记的时点数列称为间断时点数列。每隔相同时间登记一次的间断时点数列称为间隔相等的间断时点数列。每两次登记时间的间隔不尽相同的间断时点数列称为间隔不等的间断时点数列。间隔相等间断时点数列序时平均数的公式为【例5-4】某工厂某年各月末工人数，求第一季度平均工人数和全年平均工人数。月份上年12123456789101112月末工人数（人）122108130124126136143125138150153140136求第一季度平均工人数不能用1-3月份的数字直接计算，因为实际上工人数每天都可能发生变化，所以不能用月末人数代表各月的人数。假定工人数在相邻两个月之间的发展变动是均匀的条件下，可用各月的平均人数来代表各月人数。月平均人数的计算方法，是将本月初（即上月末）人数与本月末人数除以2求得。1月份的平均人数=（122＋108）÷2=115（人）2月份的平均人数=（108＋130）÷2=119（人）3月份的平均人数=（130＋124）÷2=127（人）从而第一季度平均工人数为（人）全年平均工人数为：（人）间隔不相等间断时点数列序时平均数的公式为【例5-5】计算某仓库某年库存量。日期1月1日5月1日6月1日10月1日12月31日库存量（箱）128211681062108611081-4月每月的平均库存量为：（1282＋1168）÷2=1225（箱）5月的平均库存量为：（1168+1062）÷2=1115（箱）6-9月每月的平均库存量为：（1062+1086）÷2=1074（箱）10-12月每月的平均库存量为：（1086+1108）÷2=1097（箱）

（箱）（二）相对指标序时平均数或平均指标序时平均数先根据资料分别算出所对比的两个数列的序时平均数，然后将两个序时平均数进行对比，从而得到相对指标序时平均数或平均指标序时平均数。其基本计算公式为：式中，为相对指标序时平均数或平均指标序时平均数；为分子数列的序时平均数为分母数列的序时平均数数列和数列既可以是时期数列也可以是时点数列。【例5-6】某企业7-9月份生产计划完成情况的资料如表5-8所示，现计算其第三季度的平均计划完成程度。实际平均产量（件）计划平均产量（件）平均计划完成程度7月份8月份9月份

实际产量（件）110012001300

计划产量（件）100011001200【例5-7】某企业第二季度的月产值和职工人数资料，求该企业第二季度平均每月全员劳动生产率。月平均产值为（万元）月平均人数为（人）则该企业第二季度的月平均全员劳动率为

（万元/人）=1893.71（元/人）三、增长量和平均增长量（一）增长量增长量是在一定时期内增长的绝对量，等于报告期水平与基期水平之差。增长量＝报告期水平－基期水平若结果为正，表示增加；若结果为负，表示减少。故增长量又称为增减量。根据选择基期的不同，增长量可以分为逐期增长量和累计增长量两种。逐期增长量是报告期水平与前一期水平之差。累计增长量是指报告期与某一固定基期水平之差。设某动态数列的最初水平为，中间水平分别为，，…，，最末水平为。则逐期增长量为：，，，…，。累计增长量为：，，，…，。逐期增长量之和等于累计增长量，用式子表示如下：()＋()＋()＋…＋()=两个相邻累计增长量之差等于相应的报告期的逐期增长量，用式子表示如下：()－()=【例5-8】我国2006-2010年粮食产量分别为49804万吨、50160万吨、52871万吨、53082万吨、54641万吨。可求得逐期增长量和累计增长量如表5-10所示。各逐期增长量之和=()＋()＋()＋()=即356+2711+211+1559=4837（万吨）第三和第二两个相邻累计增长量之差=()－()=即3278－3067=211（万吨）（二）平均增长量平均增长量是某种社会经济现象在一定时期内平均每月增减变化的数量，即各期增长量的序时平均数，其计算公式为：【例5-9】计算平均增长量，为万吨。第三节动态数列的速度指标一、发展速度发展速度是某种社会经济现象报告期水平与基期水平之比求得的相对指标，反映现象的发展程度。其计算公式为：发展速度大于1表示上升，小于1表示下降。根据基期的变化，发展速度又可以分为环比发展速度和定基发展速度。环比发展速度是报告期水平与前一期水平之比，用（）表示。定基发展速度是以报告期水平与某一固定时期水平之比，一般以最初水平为基期，所以用（）表示。定基发展速度与环比发展速度的关系：定基发展速度等于环比发展速度的连乘积；相邻两期的定基发展速度之比等于它们的环比发展速度。各期环比发展速度的连乘积为：两个相邻定基发展速度之比为：二、增长速度增长速度是增长量与基期水平对比，用于说明报告期水平较基期水平的相对增长程度。环比增长速度是逐期增长量与前一时期水平对比，用于描述现象逐期增长的程度。

用符号表示为：，，，…，或，，，…，定基增长速度是累积增长量与某一固定时期水平对比，用于描述现象在观察期内总的增长程度。用符号表示为：，，，…，或，，，…，【例5-10】我国2006-2010年粮食产量分别为49804万吨、50160万吨、52871万吨、53082万吨、54641万吨。各期环比发展速度的连乘积为：第三和第二两个相邻定基发展速度之比为：增长1%的绝对数量【例5-11】我国2006-2010年粮食产量分别为49804万吨、50160万吨、52871万吨、53082万吨、54641万吨。三、平均发展速度与平均增长速度平均发展速度是各个时期环比发展速度的序时平均数。平均增长速度=平均发展速度-1（或100%）所以只要求出平均发展速度，就很容易求出平均增长速度。平均发展速度的计算方法有两种，一是水平法（又称几何平均法），另一种是累计法（又称方程式法）。限于篇幅，这里只介绍水平法。（一）水平法由于社会经济现象发展的总速度不等于各年发展速度之和，而等于各年环比发展速度的乘积，所以平均发展速度不能用一般的算术平均法计算，而用几何平均法。设为各期环比发展速度即（），则平均发展速度的计算公式为即如果用表示总发展速度，则平均发展速度还可以表示如下：【例5-12】我国2006-2010年粮食产量分别为49804万吨、50160万吨、52871万吨、53082万吨、54641万吨。则我国2006-2010年粮食产量的平均发展速度为第四节长期趋势和季节变动一、长期趋势分析长期趋势指某种社会经济现象在一段较长的时间内，发展水平沿着一个方向，不断增长或不断下降的总趋势。如随着技术的进步，产品的产量和质量都在不断提高。长期趋势的分析方法很多，主要有时距扩大法、序时平均法、移动平均法、方程法。（一）时距扩大法时距扩大法是将原动态数列的各项时期指标数值加以合并，得出一个扩大了时距的新动态数列。在使用时要注意时距的间隔应一致。（二）序时平均法如果是时点数列，因为各水平相加无意义，所以要用序时平均法。如表5-6可以扩大时距为5-16。这样，该工厂各季平均工人数递增的趋势就很明显了。季度第一季度第二季度第三季度第四季度季平均工人数（人）120.33131.83136.50145.33（三）移动平均法移动平均法是对原有的动态数列通过扩大时距，计算其移动平均数来均匀修正长期趋势的一种方法。具体做法是：采用逐项移动的方法分别求出一系列移动的序时平均数，再用这些移动的序时平均数组成新的动态数列。新的动态数列经过移动平均能够更加明显地体现出现象的发展趋势。【例5-14】北京93号汽油价格变动如表5-17所示，请对其做三项移动平均、五项移动平均和四项移动平均分析。（四）方程法1.半数平均法 是将动态数列的项数按时间从小到大的顺序分为前后两个相等的部分，再分别计算出这两部分各项数值的平均数，利用这两组平均数所组成的坐标点来确定一条直线方程，即为所求解的长期趋势直线方程。其原理是：实际观测值与计算的趋势值之间的离差和恒为零，即解此方程组得：，，代入公式，即得所求的直线趋势方程即该直线趋势方程的起点值为56.1895亿美元，每增加一个月，商品进出口总值平均增长1.4227亿美元。

2.最小平方法最小平方法是测定长期趋势使用最广泛的一种方法。其要求是实际观察值与趋势值离差的平方和最小。令，将直线趋势方程代入，得为使其最小，对求和一阶偏导，并令偏导等于零，即整理得：解此方程组，得【例5-17】广州市2009年1月份至2011年12月份的进出口总值资料如表5-18，请就表中数据用最小平方法拟合趋势直线方程。见表5-20最小平方法计算表

将表5-20中合计栏的数据代入公式5-21得

将，值代入公式5-20，即得所求的直线趋势方程即该直线趋势方程的起点值为55.0896亿美元，每增加一个月，商品进出口总值平均增长1.4822亿美元。将时间1,2,3，…，36分别代替，就分别得到商品进出口总值各月的趋势值。计算结果表明：同一动态数列，用半数平均法和用最小平均法配合所得结果是很接近的。如图5-33所示。二、季节变动分析季节变动，是指某些现象由于受自然因素和社会条件的影响，在一年内比较有规律的变动。例如西瓜在夏季大量上市，端午节的粽子、中秋节的月饼都会有销售的高峰。测定季节变动的主要计算方法是计算季节比率，它是现象各月（季）的发展水平与全期的平均发展水平对比得到的一种相对数，用来反映季节变动的程度。季节比率高说明“旺季”，反之则是“淡季”。但为了避免受到个别年份偶然因素的影响，季节比率指标不能根据某一年的资料来计算，必须用三年以上各月或各季度的完整资料来计算。其计算公式如下：【例5-17】广州航空客运量如表5-21，求季节指数。步骤：第一步，分别对2008年、2009年、2010年和2011年的广州航空客运量求和及求平均值。 第二步，分别计算同月的四年平均数。 第三步，计算全期的月平均数，得434.37。 第四步，将各月平均与全期月平均数对比，即为季节比率。【例5-19】表5-23某市城市居民人均消费性支出(元)食品第一步，将三年各月的完整资料排列。第二步，计算同月的合计数及其平均数，第三步，计算出全期的月平均数。第四步，将各同月的平均数，分别与全期月平均数对比，即为季节比率。【例5-20】表5-24某市城市居民人均消费性支出(元)衣着本章小结动态数列是反映某种社会经济现象在不同时间上的指标数值。动态数列可分为总量指标动态数列、相对指标动态数列和平均指标动态数列三种。发展水平是动态数列中与其所属时间的每项指标数值，反映某种社会经济现象在不同时期所能达到的水平。将不同时期的发展水平加以平均而得的平均数叫平均发展水平。增长量是在一定时期内增长的绝对量，等于报告期水平与基期水平之差。平均增长量是某种社会经济现象在一定时期内平均每月增减变化的数量。发展速度是某种社会经济现象报告期水平与基期水平之比求得的相对指标。平均发展速度是各个时期环比发展速度的序时平均数。长期趋势指某种社会经济现象在一段较长的时间内，发展水平沿着一个方向，不断增长或不断下降的总趋势。长期趋势的分析方法很多，主要有时距扩大法、序时平均法、移动平均法、方程法。季节变动，是指某些现象由于受自然因素和社会条件的影响，在一年内比较有规律的变动。本章实训模块一：知识理解一、简答题1.什么是动态数列？它分为哪几种类型？2.时期数列与时点数列有何区别？3.环比发展速度和定基发展速度之间有何关系？4.一般平均数与序时平均数有何不同？二、判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）1．2005年数列水平为2400元，2010年数列水平为2005年的316%。据此得出年平均增长量为1036.8元。（）

2．在时间数列中，指标值的大小都会受到指标所反映的时期长短的影响。（）3．两个相邻时期的定基发展速度相除之商，等于相应的环比发展速度。（）4．若将某地区社会商品库存额按时间先后顺序排列，此种动态数列属于时期数列。（）

5．累计增长量等于相应各逐期增长量之和。（）

二、判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）6.将某地区人均粮食产量按时间先后顺序排列，此种时间数列属于绝对数时间数列。（）7.定基发展速度的连乘积等于相应的环比发展速度。（）8．平均发展速度是一定时期内各环比发展速度的序时平均数，因而也是一种平均数。（）二、判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）9.某地区2001年——2005年历年年底生猪存栏头数在2000年基础上增加20，30，40，30和50万头，则5年间年生猪平均增长量为10万头。（）10.某地区医生人数逐年增加，2005年、2006年、2007年各年的环比增长率分别为8%、18%、15%。该地区三年来医生人数共增长了41%(8%+18%+15%)。（）11.累计增长量与其相应的各个逐期增长量的关系表现为累计增长量等于相应的各个逐期增长量之积。（）三、单项选择题（只有一个正确答案）1．动态数列中，每项指标数值可以相加的是（）。

A．相对数动态数列

B．平均数动态数列

C．时期数列

D．时点数列2．由下列指标和时间构成的数列中，属于平均数动态数列的是（）。

A．年末总人口

B．出勤率C．居民消费水平

D．人口自然增长率3．已知某地粮食产量的环比发展速度2007年为105％，2008年为103.5％，2010年为104％，又知以2006年为基期的2010年的定基发展速度为116.4％，则2009年的环比发展速度为（）。

A．

105.2％

B．103％C．

102.4％

D．109.2％三、单项选择题（只有一个正确答案）4.求下列资料中第四季度职工平均人数，正确的算式是（）。时间9月30日10月31日11月30日12月31日职工人数（人）530541538480三、单项选择题（只有一个正确答案）5．国家外汇收入与外汇储备（）。

A．二者均属于时期总量指标B．二者均属于时点总量指标

C．前者属于时点总量指标，后者属于时期总量指标

D．前者属于时期总量指标，后者属于时点总量指标三、单项选择题（只有一个正确答案）6．序时平均数反映（）。

A．同一时间不同现象的一般水平

B．同一时间同种现象的一般水平

C．不同时间不同现象的一般水平

D．不同时间同种现象的一般水平7．期末水平等于（）。

A．期初水平与累计增长量之和

B．平均发展水平乘以平均发展速度

C．平均发展水平乘以定基发展速度

D．期初水平乘以定期增长速度三、单项选择题（只有一个正确答案）8．某企业2005年增加值408.72万元，要求2005年至2010年平均发展速度为105%，则2010年增加值约为（）。

A．522万元

B．548万元C．497万元

D．429万元9．报告期与基期比较，工人人数减少4%，同时工人劳动生产率提高25%，则产品产量的变动幅度为（）。

A．－20%

B．－21%C．＋21%

D．＋20%三、单项选择题（只有一个正确答案）10.某公司三月末职工人数为2510人，四月末为2590人，五月末为2614人，六月末为2608人。则该公司第二季度平均人数为（）。A.2608人B.2614人C.2590人D.2588人11.累计增长量与其相应的各个逐期增长量的关系表现为（）。

A.累计增长量等于相应各个逐期增长量之和

B.累计增长量等于相应各个逐期增长量之积

C.累计增长量等于相应各个逐期增长量之差

D.累计增长量等于逐期发展水平减100%三、单项选择题（只有一个正确答案）12.已知环比增长速度为9.2%、8.6%、7.1%、7.5%，则定基增长速度为（）。A.9.2%×8.6%×7.1%×7.5%B.(9.2%×8.6%×7.1%×7.5%)－100%C.109.2%×108.6%×107.1%×107.5%D.(109.2%×108.6%×107.1%×107.5%)－100%13.下列等式中，不正确的是（）。

A.发展速度=增长速度＋1

B.定基发展速度=相应各环比发展速度的连乘积

C.定基增长速度=相应各环比增长速度的连乘积

D.平均增长速度=平均发展速度－1三、单项选择题（只有一个正确答案）14.时点指标的数值（）。A.与其时间间隔长短无关B.通常连续登记C.时间间隔越长，指标数值越大D.具有可加性15.说明现象在较长时期内发展的总速度的指标是（）。

A.环比发展速度B.平均增长速度

C.定基发展速度D.定基增长速度三、单项选择题（只有一个正确答案）16.某地区出生人数呈下降趋势，2006年与2005年相比降低3%，2007年又比2006年降低5%，2008年是2007年的98%，则2008年与2005年相比，下降幅度为（）。A.10.3%B.90.3%C.9.7%D.89.7%三、单项选择题（只有一个正确答案）17.累计增长量是指（）。

A.基期水平

B.报告期水平

C.报告期水平与前一时期水平之差

D.报告期水平与某一固定时期水平之差18．某高校2000年至2010年按年排列的年末在校学生数的时间数列是（）。A．相对数时间数列B．平均数时间数列C．绝对数时期时间数列D．绝对数时点时间数列三、单项选择题（只有一个正确答案）19.某商场某种商品的销售价格报告期比基期下降了5%，销售量增加5%，在这种条件下，该种商品的销售额（）。A.增加B.减少C.没有变化D.不能确定四、多项选择题（多项选择题的答案多选、少选、错选均不正确）1．由下列指标和时间构成的数列中，属于相对数时间数列的是（）。

A．年末产品库存量

B．产品合格率C．人口密度

D．职工工资水平E．人均国内生产总值2．定基增长速度等于（）。

A．累计增长量除以基期水平B．环比增长速度的连乘积

C．环比发展速度的连乘积减l(或100％)D．定基发展速度减l(或100％)

E．逐期增长量分别除以基期水平四、多项选择题（多项选择题的答案多选、少选、错选均不正确）3．根据时间数列计算的动态分析指标中，属于水平指标的有（）。

A．发展水平

B．序时平均数C．增长量

D．平均增长量E．用水平法计算的平均发展速度

四、多项选择题（多项选择题的答案多选、少选、错选均不正确）4．时期指标和时点指标的区别是（）。

A．时期指标数值是间断计数的，时点指标是连续登记、累计的结果

B．时期指标数值大小与包含的时期长短有直接关系，时点指标数值大小与其时间间隔长短无直接关系

C．时期指标数值是连续登记、累计的结果，时点指标数值是间断计数的

D．不同时期指标数值具有可加性，不同时点的指标数值不具有可加性

E．时点指标数值大小与包含