上海新虹桥中学高二数学理下学期期末试卷含解析

上海新虹桥中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上,恒成立,则称函数在上为“凸函数”.已知当时,在上是“凸函数”.则在上

(

)A.既有极大值,也有极小值

B.既有极大值,也有最小值C.有极大值,没有极小值

D.没有极大值,也没有极小值参考答案：C2.“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略3.已知z（2+i）=1+ai，a∈R，i为虚数单位，若z为纯虚数，则a=（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算性质、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：z（2+i）=1+ai，∴z（2+i）（2﹣i）=（1+ai）（2﹣i），∴z=，若z为纯虚数，则=0，≠0，a=﹣2．故选：A．【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.若平面α外的直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α的是（）A．=（1，﹣3，5），=（1，0，1） B．=（1，0，0），=（﹣2，0，0）C．=（0，2，1），=（﹣1，0，1） D．=（1，﹣1，3），=（0，3，1）参考答案：D【考点】平面的法向量．【分析】由题意l∥α，?=0，分别计算选项A、B、C、D中?的值，判断正确选项．【解答】解：若l∥α，则?=0，而A中?=6，B中?=﹣2，C中?=1，D选项中?=0．故选：D．5.已知函数y=f（x）是R上的偶函数，f（2）=1，f'（x）是f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示，若两个正实数a，b

满足f（2a+b﹣4）＜1，则a2+b2的取值范围是（）A． B．（1，36） C． D．（1，9）参考答案：A【考点】3L：函数奇偶性的性质；7D：简单线性规划的应用．【分析】根据函数单调性和导数之间的关系，转化为不等式关系，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：由f′（x）的图象知，当x＞0时，f′（x）＞0，函数为增函数，当x＜0时，f（x）＜0，函数为减函数，即当x=0时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值，∵函数y=f（x）是R上的偶函数，f（2）=1，∴不等式f（2a+b﹣4）＜1，等价为f（|2a+b﹣4|）＜f（2），即|2a+b﹣4|＜2，即﹣2＜2a+b﹣4＜2，即2＜2a+b＜6∵a，b是正实数，∴作出不等式组对应的平面区域对应的平面区域如图：a2+b2的几何意义是区域内的点到圆的距离的平方，由图象知，O到直线2a+b=2的距离最小，OB的距离最大，其中B（0，6），则|OB|=6，O到直线2a+b﹣2=0的距离d==，则（）2＜a2+b2＜|OB|2，即＜a2+b2＜36，即a2+b2的取值范围是（，36），故选：A6.函数f(x)＝lnx－x＋2的零点所在的区间为A.(4,5)

B.(1,2)C.(2,3)

D.(3,4)参考答案：D∵f(1)＝ln1＋1>0，f(2)＝ln2>0，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，f(5)<0，选D.7.对任意实数，，，在下列命题中，真命题是（

）A．是的必要条件

B．是的必要条件C．是的充分条件

D．是的充分条件参考答案：B8.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：A9.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(

) A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q参考答案：A考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．解答： 解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．点评：本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．10.下列命题是真命题的是（

）A．使得

B．使得C．恒有

D．恒有参考答案：D解：

故D正确二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知曲线y=（1﹣x）xn（n∈N*）在x=处的切线为l，直线l在y轴上的截距为bn，则数列{bn}的通项公式为

．参考答案：：．【分析】先求出切线的斜率：y=（1﹣x）xn（n∈N*）在处的导数值，再由点斜式写出切线方程，令x=0求出bn【解答】解：∵曲线y=（1﹣x）xn（n∈N*），∴y′=﹣xn+n（1﹣x）xn﹣1=xn﹣1（n﹣nx﹣x）∴y′|=（）n﹣1（n﹣n﹣）=（n﹣1）（）n，∵当x=时，y=（）n+1，∴切线为l为y﹣（）n+1=（n﹣1）（）n（x﹣），当x=0时，直线l在y轴上上的截距为bn=（2﹣n）（）n+1，故答案为：．12.函数的单调递减区间是

▲

．

参考答案：略13.正方形ABCD的边长为，点E、F分别是边BC、CD的中点，沿AE，EF，FA折成一个三棱锥A-EFG（使B、C、D重合于G），则三棱锥A-EFG的外接球表面积为 ．

参考答案：12π正方形ABCD的边长为2，∵点E、F分别为边BC，CD的中点，沿AE、EF、AF折叠成一个三棱锥A﹣GEF（使B，C，D重合于点G），∴AP=2，PE=，PF=，∴三棱锥P﹣AEF的外接球的直径为：即半径为，∴表面积，4π×（）2=12π，

14.设直线参数方程为（t为参数），则它的斜截式方程为．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】先利用消参法消去参数t，即可将直线的参数方程化成直线的普通方程．【解答】解：∵直线l的参数方程为（t为参数），∴消去参数t得，则它的斜截式方程为，故答案为：．15.点P在直线上，O为原点，则的最小值是

参考答案：略16.已知两个平面和直线n，下列三个条件：①；②；③；以其中两个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题________________________________.

参考答案：略17.过原点向曲线可作三条切线，则实数的取值范围是

▲

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知抛物线:的焦点为,、是抛物线上异于坐标原点的不同两点，抛物线在点、处的切线分别为、，且，与相交于点.

(1)求点的纵坐标；

(2)证明：、、三点共线；参考答案：∴直线的方程为,直线的方程为.由

解得∴点的纵坐标为.

…6分(2)证法1：∵为抛物线的焦点，∴.

∴直线的斜率为，

直线的斜率为.∵

…9分

∴.∴、、三点共线.

…13分证法2：∵为抛物线的焦点，

∴.∴，

.∵,

…9分∴.∴、、三点共线.

…13分略19.（本小题满分10分）：已知函数，．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）讨论函数的单调性。参考答案：解：（1）函数的定义域为，．又曲线在点处的切线与直线垂直，所以，即．---------5分（2）由于

……6分当时，由于，有在定义域上恒成立，即在上是增函数．

当时，由，得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．------10分20.在锐角中，角所对的边分别为，且（1）求角的大小；

（2）求的范围。参考答案：解：（1）由得，

……………6分（2）则

是锐角三角形

……………12分21.(本小题满分12分)如图，直线y＝kx＋b与椭圆＋y2＝1，交于A、B两点，记ΔAOB的面积S，当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．

参考答案：(1)解：设点A的坐标为(x1，b)B为(x2，b)，由＋b2＝1，解得x1,2＝±2，所以S＝b·|x1－x2|＝2b·≤b2＋1－b2＝1当且仅当b＝时，S取到最大值1.(2)解：由得(k2＋)x2＋2kbx＋b2－1＝0

Δ＝4k2－b2＋1①|AB|＝|x1－x2|＝·＝2②设O到AB的距离为d，则d＝＝1又因为d＝，所以b2＝k2＋1，代入②式整理得k4－k2＋＝0，解得k2＝，b2＝，代入①式检验，Δ>0，故直线AB的方程为y＝x＋，或y＝x－，或y＝－x＋，或y＝－x－.22.如图4（1），矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使面ABE平面BCD（如图4（2））。（Ⅰ）若M为AC的中点，证明：DM//面ABE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积。参考答案：（Ⅰ）证明：取AB中点N，连MN、EN，……………………1分

因为M为AC中点，所以MN//BC，MN=BC，故，MN=DE，所以MNED为平行四边形………………3分所以MD//NE，……………4分因为NE?面