2023-2024学年浙江省桐乡市数学高二年级上册期末学业质量监测试题含解析

2023-2024学年浙江省桐乡市数学高二上期末学业质量监测试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，在长方体ABCB—A4CR中，AB=BC=2,CCX=1,则直线AQ和耳。夹角余弦值为（）

A.--B.3

33

「非n行

L-・-------U*------

55

221A

2.已知椭圆C：土+乙=1的左、右焦点分别为耳，居，点尸是椭圆。上的动点，m=\PF],n=\PFA,则一+—

169mn

的最小值为（）

95

A.-B.-

84

「20-37720+3A/7

99

3.等差数列｛4｝中,a3+as=24,则=()

A.240B.180

C.120D.60

4.某产品的销售收入为（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为％=17/（龙〉0）,生产成本为（万元）

是产量X（千台）的函数，且函数解析式为%=2d—%2（%>0）,要使利润最大，则该产品应生产（）

A.6千台B.7千台

C.8千台D.9千台

5.在等差数列｛%｝中，久=9,且。2，。4，即）构成等比数列，则公差d等于（）

A.OB.3

C.-3D.0或3

YI—2k—1

6.数列｛q｝中，满足。"='，攵eN*，设/5）=4+4+«3++4，­+4”，贝九/^。⑻一”2017）=

〃攵，〃=乙K

（）

A.22017B.22018

C.42017D.42018

22

7.如图，耳、工分别为椭圆C：T+2r=1（。〉人〉0）的左、右焦点，P为椭圆。上的点，。是线段尸耳上靠近6

ab

的三等分点，PQK为正三角形，则椭圆。的离心率为（）

8.美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结

构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截

圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程

中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一

个底角为60度的直角梯形，则该椭圆的离心率为（）

ALBV2

A.ij,

22

C.2D.-

23

9.准线方程为y=-2的抛物线的标准方程为（）

A.y2=4xB.y2=8x

C.x2=4yD.x2=8y

10.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类以及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从

中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测,若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种

数之和是（）

A.4B.5

C.6D.7

11.若。+，^二%+yeR）,则下列等式一定成立的是（）

1—i

A.x-3^+1=0B.x-3^-1=0

C.x+y=0D.x-y=0

12.已知+16>0”的必要不充分条件是2或x>3"，则实数。的最小值为（）

A.-2B.-1

C.OD.1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛4｝是递增等比数列，4+%=9,。2。3=8,则数列｛4｝的前几项和等于.

14.若勺,％分别是平面外，的法向量，且勺=（1,2,尤），%=（x,x+l,光），则X的值为.

2

15.双曲线必—21=1上一点p到M（3,o）的距离最小值为.

3

16.一支车队有10辆车，某天下午依次出发执行运输任务.第一辆车于14时出发，以后每间隔10分钟发出一辆车.假

设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息.截止到18时，最后一辆车行驶了小时，如果每辆车行驶的

速度都是60km/h,这个车队各辆车行驶路程之和为千米

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列｛%,｝满足％=1,«„-«„+1=«,A+1(neN,)-

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)记2=[—1g%],其中国表示不超过x最大整数，如[0.6]=0,[1g66]=1.

(1)求4、b[3、"123；

(ii)求数列也｝的前1000项的和.

18.(12分)已知圆M：x2+y2-4x-6y+12=0,过圆〃外一点P(3,—1)作圆加的两条切线丛，PB,A,B

为切点，设。为圆M上的一个动点.

(1)求|P0的取值范围；

(2)求直线的方程.

19.(12分)已知直线/：y=x+抛物线C:y2=4x.

(1)/与。有公共点，求加的取值范围；

(2)。是坐标原点，/过C的焦点且与。交于A3两点，求Q钻的面积.

22

20.(12分)已知双曲线C：二一与=1(。＞0)〉0)的渐近线方程为A±2y=0,且过点(2后，指)

ab

(1)求双曲线。的方程；

(2)过双曲线的一个焦点作斜率为1的直线/交双曲线于A,3两点，求弦长•

2222

21.(12分)已知命题。：“曲线G：二一+当=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题处“曲线C,：，+=—=1

4m-3mm-tm-t-1

表示双曲线”.

(1)若尸是真命题，求实数加的取值范围；

(2)若。是《的必要不充分条件，求实数♦的取值范围.

22.(10分)已知数列｛”"｝是一个等差数列，且“2=1,a5=-5.

⑴求｛飙｝的通项ani

⑵求｛“"｝前〃项和S,的最大值

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】如图建立空间直角坐标系，分别求出他耳。的坐标，由空间向量夹角公式即可求解.

【详解】如图：以。为原点，分别以D4,DC,所在的直线为8,y,z轴建立空间直角坐标系，则。(o,o,o),

4(2,0,0),R(0,0,1),4(2,24)，

所以9=(—2,0,1),B,D=(-2,-2,-l),

/“八nNAD.B.D4-1小

所以…町=阿丽=及e7r彳，

所以直线A2和耳。夹角的余弦值为(，

故选：D.

2、A

【解析】由椭圆的定义可得加+〃=8；

利用基本不等式，若a,b>Q,则a+bN2j石，当且仅当a=b时取等号.

【详解】根据椭圆的定义可知，归耳|+卢区|=2a=8,即m+〃=8,

因为加24-6〉0，n>4-V7>0.

..141f14、/、1（_n4mA1f__Fn_4m9

所以t一+_=《一+_（加+=d5+—+——>-x5+2------

mnn）加〃J8（VmnJQ

Q]6

当且仅当加g九=每时等号成立.

故选：A

3、C

【解析】由等差数列的前〃项和公式和性质进行求解.

【详解】由题意，得品）="凶产2=5（4+阳）=5（%+。8）=5><24=120.

故选：C.

4、A

【解析】构造利润函数，求导，判断单调性，求得最大值处对应的自变量即可.

【详解】设利润为y万元，贝！Jy=%—%=17/一（2/—/）=—2尤3+18/（X>0）,

y'--6x2+36x=-6x（x-6）.

令y'=o,解得x=0（舍去）或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点，.•.应生产6千台

该产品.

故选：A

【点睛】利用导数求函数在某区间上最值的规律：

⑴若函数在区间上单调递增或递减，/（«）与/3）一个为最大值，一个为最小值

⑵若函数在闭区间切上有极值，要先求出切上的极值，与/3）,/出）比较，最大的是最大值，最小的是最小

值，可列表完成

⑶函数Ax）在区间（a,刀上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用

到

5、D

【解析】根据%=9,且生，。4吗0构成等比数列，利用“q,d”求解.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为乙

因为%=9,且％，%，Io构成等比数列，

所以q+3d=9,（q+d）（%+9d）=81,

解得d=0,d=3,

故选：D

6、C

【解析】由递推公式可归纳得/5)—/(〃-1)=4日，由此可以求出“2018)—“2017)的值

n,n=2k—l

【详解】因为?=<〃+a„_1

/()=.+4+4+2+ay,,

ak,n=2k

所以=(«1+%+%+%)_(«+%)=%+/=3+1=4,

/(3)—f(2)=4/5+/+%+%=5+3+7+1=4~,

“4)-"3)=%+%)++%=9+5+11+3+13+7+15+1=43,

L

Silt/(2018)-/(2017)=42017

故选C

【点睛】本题主要考查利用数列的递推式求值和归纳推理思想的应用，意在考查学生合情推理的意识和数学建模能力

7、D

【解析】根据椭圆定义及正三角形的性质可得到|尸片|\|尸6再在中运用余弦定理得到。、c的关系，进而

求得椭圆的离心率

【详解】由椭圆的定义知，忸£|+|?闾=2a,则5忱@+|尸用=2a,

因PQK为正三角形，所以归用=£,|「周=、

在月中，由余弦定理得4c2=更“2+—a2-2x—x—xcos60°=—a~,

25255525

则02=工，；.e=也，

255

故选：D

【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力，属于中等题.

8、A

【解析】设圆柱的底面半径为「，由题意知，D£=A5=2r,椭圆的长轴长CD=生巨r,短轴长为2厂，可以求出七瓦c

3

的值，即可得离心率.

【详解】设圆柱的底面半径为乙依题意知，最长母线与最短母线所在截面如图所示

DE=AB=2r

从而8=磊=半「

因此在椭圆中长轴长2a=拽厂

3

短轴长2b=2r,

227242212V3

c=a—b=—r—r=—r=>c=—r

333

c1

a2

故选：A

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义和椭圆离心力的求解，属于基础题.

9、D

【解析】必二⑷^的准线方程为了二—^

【详解】必=8丁的准线方程为了=-2.

故选：D.

10、C

【解析】按照分层抽样的定义进行抽取.

【详解】按照分层抽样的定义有，粮食类：植物油类：动物性食品类：果蔬类=4:1:3:2,抽20个出来,

则粮食类8个，植物油类2个，动物性食品类6个，果蔬类4个,

则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是6个.

故选：C.

11、D

【解析】利用复数除法运算和复数相等可用。表示出乂丁，进而得到尤,y之间关系.

1+ai(l+az)(l+z)1—〃+(〃+1)力〃+11+1..

【详解】a+---=a+\8—^=。+------------=—：——I——：—I=x+yi,

1.(f)222

tz+1。+1.c

：.x=----,y=-----,贝!Jx-y=O.

2.2

故选：D.

12、A

4-a>3

【解析】首先解不等式（五+。）2-16>。得到%>4-a或根据题意得到“°,再解不等式组即可.

-4-tz<-2

【详解】（x+a）~—16>0,解得％>4—a或x<-4—a,

因为“（x+a）?-16>0”的必要不充分条件是“xW—2或％之3”,

4—tz>3

所以</^-2<a<l.

-4-a<-2

实数。的最小值为-2.

故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2n-l

a,+a,=9

【解析】由题意，〈。，解得q=l,%=8或者弓=8,4=1,

a,•%=%•%=&

而数列｛«„）是递增的等比数列，所以q=L4=8,

即/=幺=8,所以q=2,

%

因而数列｛4｝的前几项和s“=*：）=m=2"-1,故答案为2"-1.

考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前几项和公式.

14、一1或一2

【解析】由题可得々•%=%+2（%+1）+%2=0,即求.

【详解】依题意，“,巧=x+2（x+l）+%2=0,解得工=一1或%=一2.

故答案为：x=—1或％=-2.

15、2

【解析】设出点尸的坐标，利用两点间距离公式结合二次函数求出最小值即可作答.

【详解】设尸(%,%),则焉-/l,即y；=3焉—3,

于是得IPM|=J(%0—3)2+y；=：4x；—6/+6=14(X°_])2+1，而1%但1,则当/=1时，|PM|min=2,

2

所以双曲线Y—2L=i上一点尸到“(3,0)的距离最小值为2.

3

故答案为：2

16、①.2.5##°##2工②.1950

22

【解析】通过分析，求出最后一辆车的出发时间，从而求出最后一辆车的行驶时间，这10辆车的行驶路程可以看作等

差数列，利用等差数列求和公式进行求解.

【详解】因为14+3x9=15.5,所以最后一辆车出发时间为15时30分，则最后一辆车行驶时间为18-15.5=2.5小时,

60

第一辆车行程为(18—14)x60=240km,且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走/x60=10km,这10辆车的

行驶路程可以看作首项为240,公差为-10的等差数列，则10辆车的行程路程之和为

10x9

%=240x10+(—x(—10)=1950(km).

故答案为：2.5,1950

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)a=—；

nn

(2)(i)4=0,%=1,423=2；(ii)1893.

【解析】(1)推导出数列,为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列｛%,｝的通项公式；

(2)(i)利用对数函数的单调性结合题中定义可求得乙、%3、伪23的值；

(ii)分别解不等式0Wlg〃<l、lWlg〃<2、2<lgn<3,结合题中定义可求得数列｛2｝的前1000项的和.

【小问1详解】

解：因为#1,—则j2i，可得%=j

——(23=—d39可得。3=]，以此类推可知，对任意的ZlwN*，W。.

由4-%=6N*),变形为=J一;j

11,

・・•一是一个以1为公差的等差数列，且首项为一=1,

an\4

所以，~=l+(n-l)-l=n,因此，an

ann

【小问2详解】

解：(i)bn=[~lg,an]=[lgn\,则4=[1gl]=[0]=0,

10<23<100,贝！|l=lgl0<lg23<lgl00=2,故打3=[lg23]=l,

100<123<1000,则2=lgl00<lgl23<lgl000=3,故够=[lgl23]=2；

(ii)lg1000=3,当041g九<1时,即当1W〃<1O时，bn=[lgn]=0,

当lWlg〃<2时，即当10W〃<100时，Z?„=[lg«]=l,

当2Wlg〃<3时，即当100W〃<1000时，/?„=[lgw]=2,

因此，数歹(){%}的前1000项的和为0x9+1x90+2x900+3=1893.

18、(1)[717-1,^/17+1]

(2)x—4y+9=0

【解析】(1)求出尸M,就可以求尸。的范围；

⑵使用待定系数法求出切线的方程，再求求切点的坐标，从而可以求切点的连线的方程.

【小问1详解】

如下图所示，因为圆M的方程可化为(％-2)2+&-3)2=1,

所以圆心M(2,3),半径厂=1,

且PM=J(2—3)2+(3+1)2=V17，

所以|PQL=MT，pQL=g+i

故|P0取值范围为[而'-1,后+1]

【小问2详解】

可知切线K4,收中至少一条的斜率存在，设为左，则此切线为丁+1=左(尤-3)

即kx~y~3k—1=0,

由圆心M到此切线的距离等于半径厂，即

15

所以两条切线的方程为y+l=3）和x=3>

8

1943

于是由联立方程组得两切点的坐标为(3,3)和

17，17

"-3

171

所以右8=而—=-

17-

（》一3）即x-4y+9=0

⑵2日

【解析】(1)联立直线/与抛物线C的方程消去x,借助判别式建立不等式求解作答.

⑵利用⑴中信息求出点A,8纵坐标差的绝对值即可计算作答.

【小问1详解】

y=x+m.

依题意，由〈2，消去工并整理得：y2-4y+4m^0,

[K=4X

因/与C有公共点，则A=16-16m20,解得：m£l,

所以加的取值范围是相£1.

【小问2详解】

抛物线C：V=4x的焦点尸(1,0),贝！|加=-1,设4和％),8(々,％),

由(1)知，%+%=4,%为=4根=一4，则|%-%1=J(X+=4L，

因此，SOAB=^\OF\-\yi-y2\=2y/2,

所以。钻的面积2立.

r2v2

20、（1）——匕=1；

43

（2）|蜴=24.

【解析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点（20,石）可构造方程求得由此可得双曲线方程;

（2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得A3方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果.

【小问1详解】

由双曲线方程知：渐近线斜