2022-2023学年上海市奉贤高一年级下册册5月月考数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年上海市奉贤高一下册5月月考数学模拟试题

(含解析)

一、填空题(第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分)

1.复数l-i的虚部为.

【正确答案】-1

【分析】根据复数的相关概念直接判断即可；

【详解】解：复数1—i的虚部为-1

故-1

2.在复数集中因式分解父+4=

【正确答案】(x+2i)(x-2i)

【分析】根据复数概念将/+4写成平方差公式分解即可.

【详解】由］2=一1可得，x2+4=x2-(-4)=x2-(2i)2=(x+2i)(x-2i),

故(x+2i)(x-2i)

3.如图，在正方体Z8CD-中，异面直线45和。C所成角的大小为

【分析】由分析知异面直线48和。C所成角即异面直线4台和所成角，即为Z4历I,

求解即可.

【详解】因为AB//DC,所以异面直线48和。C所成角即异面直线48和46所成角,

异面直线4B和AB所成角为幺BA,

在力8中，AAX±AB,AAX=AB,

所以N4A4=45°.

故45。

4.如图，△()'A'B'是水平放置的AOAB的直观图，则AAOB的面积是

【正确答案】12

【分析】根据平面图形的斜二测画法，得出△048为直角三角形，求出两直角边，计算三

角形的面积.

【详解】解：根据平面图形的斜二测画法知，

原△0/8为直角三角形，且两直角边分别为

08=4,04=3X2=6,

二/XAOB的面积为S=12.

故答案为12.

本题考查了三角形的斜二测画法与应用问题，是基础题.

5.设向量£、否满足问=6,忖=4,且£/=_20,则向量£在向量否方向上的数量投影

是.

【正确答案】—5

【分析】利用向量的数量积转化求解向量£在B方向上的数量投影即可.

【详解】设向量々与否的夹角是仇

则向量W在B方向上数量投影为|Z|cose=*=[^=-5.

故答案为.-5

1_,、rr

6.已知a=(l,2),b=(x,4),且2与否平行，则a—b=

【正确答案】V5

【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.

1一

【详解】已知a=(l,2),6=(x,4),且£与否平行，

所以2xx=lx4,所以x=2,

所以书=(2,4),所以3—加=(—1,—2),

所以|£_“=J(_l)2+(_2)2=#.

故答案为.V5

7.在正方体—44aA中，/、N分别是棱G。、GC的中点，则以下结论:

①直线力历与直线CG相交；

②直线与直线8N平行；

③直线与直线异面；

④直线BN与直线A/4异面.

正确的编号有______________

【正确答案】③④

【分析】根据直线与直线的位置关系对四个结论逐一分析，由此确定正确结论.

【详解】对于①，M、aG四点不共面，

.♦•根据异面直线的定义可得直线与CG是异面直线，故选项①错误;

对于②，取0n的中点E,连接/E、EN、BN,则有AB〃EN,AB=EN,

所以四边形49NE是平行四边形，所以AEHBN,

1与/£交于点4,二41/与ZE不平行，则41/与BN不平行，故选项②错误;

对于③，AMfl平面CDDG二M,DD[U平面CDD、C、,且用eDR,

根据异面直线的定义可得，直线ZA/与直线。口异面，故③正确：

对于④，4/c平面C88cl=与，BNu平面CBB£i，且M/BN,

根据异面直线的定义可得，直线8N与直线/片异面，故④正确；

故选：③④

8.设z的共输复数是彳，若z+彳=4,z2=8,则二等于.

z

【正确答案】±1

【分析】可设z=a+bi(。力€氏)，由z+N=4,z2=8可得关于a,b的方程，即可求得z,

然后求得答案.

【详解】解析：设z="+m•(a,bwA),因为z+N=4,所以。=2,

又因为zZ=8，所以从+4=8，

所以〃=4.所以6=±2,

即z=2±2i,故£•=±i.

z

本题主要考查共轨复数的概念，复数的四则运算，难度不大.

9.在直角坐标系中,ZBC的顶点Z(cosa,sina),5(cos/7,sin/?)

且Z8C的重心G的坐标为,72,cos(a_£)=

2

【正确答案】-

【分析】由重心的坐标与三个顶点坐标的关系有

cosa+cos/?+--sina+sinp+2后、，结合已知列方程组，得

G(-----------1-----------，-----------1-----------)

a2G

cosa+cosp=-----

3,两式平方相加,即可求cos(a-/7).

sina4-sin/3=V2

【详解］由题意知：cosa+cos/?+一广sina+sin尸+2后,

G(-,-----------------------)

33

cosa+cos£+亍2百f026

---------------------=-----cosa+cosp=-----

・・・<33,即，3

sina+sin夕+2后-正sina+sin£=V2

、3-

/.(COS6/+COS/7)2=cos2a+2cosacos/?+cos20=g,

(sina+sin/3)2=sin2a+2sinasin尸+sin2夕=2,

将两式相加，得：2+2(cosacos夕+sinasin夕)=与,

/、2

/.cos(a一夕)=cosacos夕+sinasin'=1.

2

故答案为.j

关键点点睛：利用三角形的重心坐标与顶点坐标关系，结合已知条件列方程组，利用同角三

角函数关系、两角差余弦公式求函数值.

10.在平面直角坐标系中，△NBC顶点的坐标分别为z（a,4）,3（0,b）,C（c,0）.虚数

x=l+ai（a〉0）是实系数一元二次方程》2一次+10=0的一个根，且是锐角，则b的

取值范围是________________

（1QA

【正确答案】（―—8）u}8,1

4=3

【分析】根据复数运算结合复数相等求得＜,再根据向量夹角与数量积之间的关系列

[c=2

式求解即可.

【详解】因为x=1+H是实系数一元二次方程/-5+io=o的一个根,

则（1+aiJ-c（l+ai）+10=^ll-c-a2^+a（2-c）i=0,

11—c—a~—0a=3

可得《（.、八，且解得＜

a（2-c）=0c=2'

ULULUUU

即4（3,4）,6（0,6）,C（2,0）,可得48=（-31—4）,4。=（一1,一4）,

3-4（6-4）＞019

12+（14）1。’解得或或一8,

若//是锐角，则

所以b的取值范围是（-8,-8）。12、

/、（19

故答案为.（—8,—8）。—8,—

k4

11.已知关于X的方程f+zx+4+3i=0有实数根，则复数Z的模的最小值为

【正确答案】3行

（4、3

【分析】根据题意可得xwO,将复数z写成z=-x+-----i的形式，即可得

\xjx

目=小/+乌+8,利用基本不等式即可求得其最小值为34.

【详解】由一+2%+4+31=0可得〃=一12+4+3。，

fX2+43

显然x=0不是方程X2+2工+4+篁=0的实数根，所以xwO,即z=------+-i

XX

(4)3.

若关于冗的方程X?+zx+4+3i=0有实数根，则z=-x+——i,xeR,

3

即复数z的实部为一XH----,虚部为---

X

所以复数Z的模囱=

利用基本不等式可得21+8=风=3五，当且仅当》=士石时，

等号成立,即忖成30；

所以复数Z的模的最小值为372.

故3亚

12.如图，在平面直角坐标系X0中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点

P的位置在(0,0)，圆在X轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时，丽的坐标为

【正确答案】(2—sin2,l—cos2)

【详解】如图，连结AP,分别过P,A作PC,AB垂直x轴于C,B点，过A作AD_LPC

于D点.由题意知5P的长为2.

•.•圆的半径为1,

；./BAP=2,

,,7t

故/DAP=2----.

2

DP=APsinl2——I=—cos2,

PC=1—cos2,

DA=APcosl2--I=sin2.

AOC=2-sin2.

故OP=（2—sin2,1—cos2）.

二、选择题（本大题共4题，满分20分）

13.已知i是虚数单位，则在复平面内，复数z=2二对应的点所在位于第（）象

2+i

限

A.-B.~C.=D.四

【正确答案】D

34if341

【分析】根据复数四则运算可知2=不一万，即可得其对应的点为位于第四象

【详解】由z='可知,（2一炉_4+i?—4i_3—4i_34i

2+i（2+i）（2-i）―4-i2―5-5T

因此其对应的点为,位于第四象限.

故选：D

14.如图，在长方体Z8CZ>-4玛。。|中，AB=AD=4，CC1=5,M、N分别是G2、

NC的中点，则异面直线。N和CM所成角的余弦值为（

AGIC3而

A.--B.

33■29

【正确答案】D

【分析】取4。的中点为P,将MC平移到NP即可知异面直线。N和CM所成的角的平

面角即为ZDNP,再利用余弦定理即可解得cosNDNP=—.

29

【详解】取4。的中点为P,连接MP,DP,NP,如下图所示:

M是CA的中点，4。的中点为尸，所以MP//AC],且加尸=；4。；

由N分别是ZC的中点，所以NC=；NC,由正方体性质可得4c7/4G，NC=4£，

所以可得MP//NC,MP=NC,即四边形MPNC是平行四边形，

则异面直线DN和CM所成的角的平面角即为NDNP,

易知DN=20PN=PD=晒,

所以c"DNP=W半斗=冷=叵

2x2V2xV29V2929•

故选：D

15.过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（)

A.六边形B.正方形

C.对角线不相等的菱形D.三角形

【正确答案】D

【分析】根据截面经过几个面得到的截面就是几边形判断即可.

【详解】过正方体中心的平面截正方体所得的截面，至少与正方体的四个交，所以不可能是

三角形.

故选：D.

16.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车

的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是A48C内的一点，

△BOC,AAOC,A4O8的面积分别为S/、SB.Sc,则有+S&砺+品炭=。，

设。是锐角”8C内的一点，NBAC,NABC,/NC8分别是"BC的三个内角，以下命

题错误的是（）

A.若方+砺+双=6，则。为△NBC的重心

B若厉+2万+3反=6,则邑：S/S—l⑵3

C.则。为A48C（不为直角三角形）的垂心，则

tanZBAC-04+tanZABC-OB+tanZACBOC-0

D.若网=|国=2,8d,2刀+3漏+4U，则S"c=]

【正确答案】D

【分析】对于A,假设。为的中点，连接0D，由已知得0在中线C。上，同理可得0

在其它中线上，即可判断：对于选项B,利用奔驰定理可直接得出B正确；对于C,由垂心

的性质、向量数量积的运算律无.就反反-丽.刀=0，得到

|O4|：\OB\：|OC|=cosABAC-,cosZABC:cosNBCA，结合三角形面积公式及角的互补关

系得结论，可判断C正确；选项D,根据奔驰定理可得S/S/Scu2:3:4,再利用三角

9

形面积公式可求得Sc=1,即可计算出S，BC=Q，可得D错误；

【详解】对于A：如下图所示，

假设。为的中点，连接0。，则德+砺=2历=面，故C,。,。共线，即。在中线

上，

同理可得。在另外两边8cze的中线上，故。为/8C的重心，即A正确；

对于B：由奔驰定理。是Z8C内的一点，BOC,AOC,Z08的面积分别为邑,Ss，Sc，

则有S「E+S屋历+S<.•反=6可知，

若以+2丽+33=0，可得SjS/S。=1:2:3,即B正确；

对于C：由四边形内角和可知，NBOC+NBAC=n,贝ij

砺灰=函函cosABOC=-函函cosNBAC,

同理，0504=|o5||a4|cosZ5(9^=-|d5||a4|cosZSC4,

因为。为Z8C的垂心，则砺•就=丽•(玩-刀)=丽•人-丽•刀=0,

所以|oqcosN8/C=1o4cosZ5C/,同理得|0(7卜05//8。=|。8卜05/804,

LcosN/8C=|。4cos,

则|。可:|(?B|:|oc|=cosZ.BAC:cosZ.ABC:cosZ.BCA,

令二TWCOSN8ZC,JO,二mCOSZ/45C,|(?C|=mcosZ-BCA,

由S'=L|幅，反卜in/BOC,则

SA=*词函sinABAC=ycosZABCcosZBCAsinABAC，

同理：SB=1|O4||OC|sinZABC=cosZBACcosZBCAsinZABC.

S0|同词sinZBCA=cosNBACcosZABCsinZBCA，

综上,

00°sinZBACsinZABCsinZBCA小s小

S八：SR：S--------:---------:----------tanZBAC:tanZABC:tanZBCA,

"BrccosZBACcosZABCcosZBCA

根据奔驰定理得tan/A4c•刀+tan/48。砺+tan4C8•灰=0，即C正确.

—.—.I57r

对于D：由|。*=|。8|=2,/4。6=①可知，Sc=-x2x2xsin—=1,

626

又2况+3万+4灰=6,所以邑：5"：50=2:3:4

13

由S0=l可得，S,=-,Sg=-;

139

所以S,8c=S“+SB+S<.=—+—+1=—,即D错误;

故选：D.

关键点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公

式和奔驰定理判断结论即可.

三、解答题(本大题共有5题，满分76分)

17.四边形/8C。是边长为1的正方形，ZC与8。交于。点，孙_1_平面/8。。，且满足

PA=AB=AD-

(1)求证：48和PC是异面直线;

(2)求直线PC和平面48CO所成角.

【正确答案】（1）见解析（2）arctan——

2

【分析】（1）由异面直线的判定定理证明：

PA

（2）因为以，平面"CD,所以直线PC和平面Z8CO所成角为ZPCA,则tanZPCA=——,

AC

求解即可.

【小问1详解】

因为平面N8CO，C任AB，所以尸任平面Z6C0,

由异面直线的判定定理可证得AB和PC是异面直线；

【小问2详解】

设PA=AB=AD=a>

因为孙，平面ABCD,所以直线尸C和平面ABCD所成角为/尸。，

因为孙，平面/BCD,/Cu平面Z8CD,所以以_LZC,

在Rt△尸NC中，AC=da?+a2=-fia,tanZ.PCA-.

AC72a2

故直线PC和平面所成角为arctan—.

2

18.己知复数4=2sin0—V3Z,Z2=l+（2cos8）i,。e[0,司

（1）若Z1・Z2GR,求角。；

（2）复数z”Z2对应的向量分别是西，西，其中O为坐标原点，求鬲•运的取值范

围.

【正确答案】（1）e啖或e吟；Q）[-273,4].

【分析】

(1)由题意可得：z,-z2=(2sin0+2-73cosO')+(4sin6cos-V3)z.由4,2267?,

可得：4sin6cose-G=0，即可得解；

(2)由题意可得鬲=(2sin。,—G),运=(l,2cos。)，

OZX0Z2=2sin0-2^3cos=4sin-yj0G[0,,即可得解.

【详解】(1)由马=2sin0-V3z,z2=1+(2cos3)i,0G[0,TT],

可得马•z?=2sin。+(4sin0cos0)1-V3z-(273cos

=2sin。+2^3cos9+(4sin0cos0-V3)z,

由Z/ZZEH，可得：4sin6cos8-G=0，

所以sin26=且，所以。=工或6=工；

263

(2)由题意可得西=(2sin。,—G),西=(l,2cos。)

西近=2sin6—2Gcos6=4sin(e一

由。6[0,万],所以—工〈。一24二，

所以一2G«4sin(8—q)W4,

所以区•国的取值范围为[-2百,4].

本题考了复数的乘积运算，以及对实数的虚部为0的考查，同时考查了求三角函数的取值范

围和辅助角公式的应用，属于基础题.

19.己知关于z的方程z?+3目+2=0.

(1)在复数域范围内求该方程的解集；

(2)已知该方程虚根分别为4、Z2,若Z满足|z-zJ=|z-Z2|,求卜-1-JTTi|的最小值.

【正确答案】⑴]yi,学3

⑵VTT

【分析】(1)设z=a+6i(aeR,beR),代入方程得笳一三+2abi+3+廿+2=0，

则实部虚部对应相等均为零，分别讨论a=0或6=0时，求解z2+3|z|+2=0在复数域范

围内求该方程的解集；

(2)由|z-zJ=|z-Z21可得z的轨迹为X轴，即可求出答案.

【小问1详解】

设2=。+矶。6氏661<),代入方程得°2一从+2abi+3+/+2=0，则实部虚部

对应相等均为零，

6=0时，z为实数，

当zNO时，z2+3z+2-0>解得z=—l，z=—2，舍去；

当z<0时，z2—3z+2=0，解得z=l,z=2,舍去;

4=0时，-y+3|q+2=0

当620时，—/+3b+2=0,解得6=上叵

2

当6<0时，—62—36+2=0，解得6=3一如

2

综上，解集为

【小问2详解】

因为|z-zJ=|z-Z2|,即Z到4的距离和到Z2的距离相等,

则Z的轨迹为X轴，那么点(1,而)到X轴的最短距离为而.

20.已知四棱锥/MBS的底面为直角梯形，ABDC,ND4B=90。，RIJ•平面Z8CD,

且?/==,48=1,M是棱尸8上的动点.

(1)求证：COJ_平面PAD；

(2)若PC=PM,求点M到平面/BCD的距离;

(3)当加是P3中点时，设平面与棱PC交于点N,求——的值及截面AONM的面

NC

积.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)5-岳

5

(3)2,—

3

【分析】(1)利用线面垂直的判定定理可得平面现。

(2)过M作的垂线，垂足为H,则和我平行，因为尸平面/8CD,所以〃"_L

平面/8CZ),点用到平面Z8C。的距离即为由也=也可得答案；

PABP

(3)作点M满足诉万，贝［)/,D,F,M四点共面，取的中点E,则四边形A/FCE

是平行四边形可得尸，A,C,尸四点共面，则尸。与平面的交点必定在ZF上，4F与

2

PC的交点即为PC与平面的交点N,根据比例得出NN=—//,由线面垂直的判定

3

定理得出四边形ADFM是矩形可得答案.

【小问1详解】

因为/。/6=90°，所以48，/。，XAB//DC,所以

因为「Z_L平面/8C。，C0U平面Z8C。，所以P/_LC。，又尸Z=N,

AD.P4u平面RID,所以C0_L平面均。，

【小问2详解】

根据勾股定理，PC='PA、AC2=6,则

过M作的垂线，垂足为〃，则和以平行，

因为平面/8C。，所以河〃J_平面/8CD,

口r>,*MHBM

即为所求距离，----=----，

PABP

因为P/_L平面/5CQ,ZB,ZCu平面43CQ,所以尸4,48,PA1AC,

所以BP=JJ存］方=H=下，

因为NZM3=90。，所以ZC=JTZT=J5,

PC=>IAP2+AC2=Vi+2=G，所以BM=BP—PM=BP-PC=>5-6.

即MH=V5-V3,解得MH=5-相

1V55

【小问3详解】

解：作点尸满足砺=7万，则Z，D,F,M四点共面,

作48的中点E,则亚=配,

所以赤=沅，

所以四边形MCE是平行四边形，则尸C〃ME,又ME〃PA，

所以EC/7PZ,即尸，A,C,尸四点共面，平面/fOFMD平面尸/C尸=，

则尸C与平面/OM的交点必定在AF

所以NF与PC的交点即为PC与平面ADM的交点N,

…PNANPAPA汽2"

所以---=----=----=----=2,所以4N=—AF,

NCNFCFME3

由（1）知ZO_LOC,

所以工。人/8，又PN_LZ。，且Blu平面以8,ABr\PA=A,

所以/。_1_平面以8,4Mu平面以8,

所以4Z)_L4M，所以四边形是矩形,

AD=1,AM=LpB=Lg2+AB2=14+22=正,

2222

所以四边形ADFM的面积而边形皿M=否当，

所以四边形4QM0的面积为-X5川w=2X《5=世.

4F四四彬323

21.若定义域为一切实数的函数y=h(x)满足：对于任意xeR,都有

/Z(X+2K)=A(X)+A(2TC),则称函数丁=为“启迪”函数.

(1)设函数y=/(x),y=g(x)的表达式分别为/(x)=x+sinx,g(x)=cosx,判

断函数/(x)与g(x)是否是“启迪”函数，并说明理由；

(2)设函数/(x)的表达式是〃x)=sin(①x+e),判断是否存在0＜/＜1以及

一兀＜。＜无，使得函数/(x)=sin((yx+e)成为''启迪”函数，若存在，请求出3、＜p,若不

存在，请说明理由；

(3)设函数y=/(x)是“启迪”函数，且在［0,2兀］上的值域恰好为［/(0),/(2兀)］,以2兀

为周期的函数y=g(x)的表达式为g(x)=sin(/(x)),且g(x)在开区间(0,2兀)上有且

只有一个零点,求〃2兀).

【正确答案】(1)y=/(x)是“启迪”函数，y=g(x)不是“启迪”函数;理由见解析

(2)不存在，理由见解析

(3)/(2兀)=2兀

【分析】(1)根据具有性质尸的定义依次讨论即可得答案；

(2)假设函数y=/(x)具有性质尸,则有了(0+2冷=〃0)+/(2兀)，gp/(0)=0,

进而得/(x)=sin(ox),再根据/(2析)=〃0)+姑(2兀)=外'(2兀)并结合函数的值域为

［一1』得