2023-2024学年江苏省镇江重点中学高三（上）期初数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省镇江重点中学高三(上)期初数学试卷

1.己知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x∖x2-x-6≥0},则MnN=()

A.{-2,-1,0,1}B.[0,l,2}C.{-2}D.{2}

2.(X-/)8的展开式中含%5项的系数是()

A.-112B.112C.-28D.28

3.某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气温%(。C)之间的关系，随机统计了四个工作日的用

电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程y=-2x+α,当气温

为-3。C时，预测用电量为()

气温X(OC)181310-1

用电量y(度)24343864

A.68度B.66度C.28度D.12度

4.某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排

在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有种不同的排法()

A.24B,144C.48D.96

5.已知正方体ABCD-AlBIClDl的棱长为1,E,F是线段BlDl上的动点且EF=1,则三棱

锥4一BEF的体积为()

A.CB.CC.CD.无法确定

4612

6.若随机变量X服从两点分布，其中P(X=O)=最E(X),O(X)分别为随机变量X的均值与

方差，则下列结论正确的是()

A.P(X=1)=E(X)B.E(3X+2)=4

ɔ

C.D(3X+2)=4D.O(X)=?

7.已知函数/(%)满足f(%)=/(-%),且当％∈(-8,0]时∙，/(x)+%f'(X)VO成立，若α=

(20∙6)√(20∙6),h=(Zn2)√(∕n2),C=(Iog2》•则匕，C的大小关系是()

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.Oa>b

8.已知随机事件A,B,C满足0<P(4)<l,O<P(B)<1,0<P(C)<1,则下列说法错

误的是()

A.不可能事件。与事件a互斥

B.必然事件0与事件4相互独立

C.PQ4∣C)=PQ4B∣C)+P{AB∖C)

D.若P(4∣B)=POII8)，则P(4)=P(A)=|

9.已知函数/(X)的导函数((X)的图像如图所示，则下列结论中正确的是()

A.f(x)在区间(-2,3)上有2个极值点

B.f'(x)在X=-1处取得极小值

C∙/0)在区间(-2,3)上单调递减

D.f(x)的图像在X=。处的切线斜率小于0

10.设α>0,b>0,α+ð=1,则下列结论正确的是()

A.αb的最大值为］B.α2+∕j2的最小值为:

c∙打"最小值为9D.√~H+V^石的最小值为√~Z

11.如图，AB为圆锥SO底面圆。的直径，点C是圆。上异于4

B的一点，N为SA的中点，则圆。上存在点M使()

A.MN//SC

B.MN〃平面SBC

C.SM1AC

D.AM1平面SBC

12.随着春节的临近,小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人写了一个祝福的贺卡,

这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则()

A.小王和小张恰好互换了贺卡的概率为1

B.已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为上

C.恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为:

D.每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为得

13.正四棱台的上、下底面边长分别为2,4,侧棱长为E,则其体积为.

14.某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”,测试后统计分析如下：学生的平均成绩

为受=80,方差为S?=25.学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰.假设学生的测试成绩X近

似服从正态分布N(μ,d)(其中〃近似为平均数3M近似为方差s2,则估计获表彰的学生人数

为一.(四舍五入，保留整数)

参考数据：随机变量X服从正态分布NGUe2),贝∣JP(4-b<X<〃+(T)=O.6827,P(μ-2σ<

X<μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9973.

15.毛泽东思想是党的重要思想，某学校在团员活动中将四卷不同的隹泽东选集》分发给

三名同学，每个人至少分发一本，一共有种分发方法.

16.已知函数f(x)=k+2k仇X-丘，若X=2是函数/(x)的唯一极值点，则实数k的取值范

围是.

17.己知集合A={x[≤2才≤32},B={x∖x2-4x+4-m2≤0,m∈/?}.

(1)若m=3,求4U8；

(2)若存在正实数τn,使得“xe力”是“X6B”成立的,求正实数Tn的取值范围.

从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问

题，并进行作答.

18.已知函数f(x)=αe工-X,a&R.

(1)当α=1时，求曲线y=/(X)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)试讨论函数f(x)的单调性.

19.某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对

200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”

且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人.有2X2列联表：

有蛀牙无蛀牙总计

爱吃甜食

不爱吃甜食

总计

(1)根据已知条件完成如图所给的2x2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为“爱吃甜食”

与青少年“蛀牙”有关;

(2)若从“无蛀牙”的青少年中用分层抽样的方法随机抽取8人作进一步调查，再从这抽取的8

人中随机抽取2人去担任“爱牙宣传志愿者”，求抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”

的青少年的概率.

2

附：附=(+b)(黑器)(b+“"α+b+c+d∙

tl

P(K2≥fc)0.050.010.005

k3.8416.6357.879

20.如图，在三棱柱ABC-418心中，AAIl平面4BC,D为线段4B的中点，CB=4,AB=

∕三棱锥的体积为

4y^3,A1C1=8,A-&DC8.

(1)证明：力1。1平面&6。；

(2)求平面4CD与平面力IBC夹角的余弦值.

21.某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏；每个小组由两名队员组成，队

员甲与队员乙组成一个小组.游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次,

每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”已知甲乙两名队员投进篮球的概率分

别为Pl，p2•

(1)若PlP2=|，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率；

(2)已知Pl+p2=则：

①Pl，P2取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？

并求出此时的最大概率；

②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得297次''神投小组”的称号，则他们平均

要进行多少轮游戏？

-1

22.己知函数f(x)=alnx+-X2—(a+l)x(α>0).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)设函数g(x)=(3-α)x-/(%)有两个极值点八,x2(,x1<x2)∙

①求实数ɑ的取值范围；

②证明：g(,x1)+g(x2)<10-Ina.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：τ∕-x-6≥0,(x—3)(x+2)≥0,x≥3或x≤-2,

N=(-∞,-2]U[3,+∞),则MCN={-2}.

故选：C.

先把集合N表示出来，再根据交集的定义计算即可.

本题考查集合的运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：由题意可得，其通项公式为7；+1=C⅞x8-r(-^=)r=(-2)rC^x8-2r,0≤r≤8,reN，

令8-^r=5,可得r=2,

所以含好项的系数是(—2)2或=112.

故选：B.

根据题意，得到二项式的通项公式，代入计算即可得到结果.

本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.

3.【答案】B

—1--1

【解析】解：由表中数据可得,X=WX(18+13+10-I)=IO,y=,X(24+34+38+64)=40,

线性回归方程y=-2x+α,

则(一2)×10+α=40,解得α=60,

故y=-2x+60,

当X=-3时，y=(-2)×(-3)+60=66.

故选:B.

根据己知条件，先求出春亍，再结合线性回归方程的性质，求出α,即可求得线性回归方程，再

将X=-3代入，即可求解.

本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：根据题意，先排数学有废，物理和化学相邻排法得，再与剩下的3节随意安排，有用

种安排方法，

故所有符合条件的排法总数为废力I掰=96.

故选：D.

根据题意，先排数学有6,物理和化学相邻排法心，再与剩下的3节随意安排，有用种安排方法，

进而可求.

本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：连接BD,AC,由正方体的性质可得4Cl面BQ,

B,E,尸在面BO】上，A到面BEF的距离d=?，SRBEF=JXlX1，

所以三棱锥4-EFB的体积U=i×2φ×l×ι×ι=2g,

故选：C.

由题意可得4到面BEF的距离d=乌ShBEF=∣×1×1-进而求出

ZN

三棱锥4-EFB的体积.

本题考查三棱锥的体积的求法，属于基础题.

6.【答案】ABD

【解析】解：随机变量X服从两点分布，其中P(X=O)=ɪ,

.∙.P(X=1)=∣,E(X)=OXg+lx∣=∣,D(X)=(0-∣)2×i÷(l-∣)2×∣=∣,

在4中，P(X=I)=E(X),故A正确，

在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=3x∕+2=4,故B正确，

在C中，D(3X+2)=9D(X)=9X5=2,故C错误，

在。中，D(X)=5故。正确.

故选：ABD.

根据随机变量X服从两点分布推出P(X=I)=I，根据公式先计算出E(X)、O(X),由此分别计算

四个选项得出结果.

本题主要考查离散型随机变量期望与方差的求解，考查转化能力，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，对数函数及其性质和比较大小，属于较

难题.

构建函数MX)=X/(x),利用奇函数的定义得函数hQ)为R上奇函数，再利用导数研究函数的单调

性得函数MX)在R上为减函数，结合对数函数的性质知k>g2/<O<ln2<l<2θ∙6,再利用单调性

比较大小得结论.

【解答】

解：根据题意，令九(%)=%/(%),

因为f(%)=/(—％)对无∈R成立，

所以九(一%)=—%/(—%)=—x/(x)=—∕ι(x),

因此函数九(X)为R上奇函数.

又因为当％∈(一8,0］时，

h,(x)=/(x)+XfKX)<0,

所以函数以久)在(-8,0］上为减函数，

又因为函数/iG)为奇函数，

所以函数/1。)在R上为减函数，

因为1。92号<0<ln2<l<2°∙6,

所以无(的2》>∕ι(∕∏2)>八(2。6),

即C>b>a.

故选8.

8.【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,不可能事件。不会发生，与事件4互斥，4正确；

对于8,必然事件。一定会发生，与事件4是否发生没有关系，故必然事件0与事件4相互独立，B

正确；

对于C,P(AlC)=篇，而P(48∣C)+P(加C)=与署+当署=笔，故P(川C)=P(4B∣C)+

'Jɪlɛj尸lɑjP∖y∙)

P(ABIC)，C正确；

对于O,P(4∣B)=与称，p(*8)=篇ɪ,若PaIIB)=P(4∣8),则有PoIIB)=P(*8),P(A)=

PQ)=杯一定成立，。错误；

故选：D.

根据题意，由不可能事件和必然事件的性质分析可得4B正确，由条件概率的公式性质可得C

正确，。错误，即可得答案.

本题考查概率的性质，涉及条件概率的性质，属于基础题.

9.【答案】BCD

【解析】解：根据/''(X)的图像可得，在(—2,3)上，f'(x)≤0,

•••/(%)在(-2,3)上单调递减，

・••/(久)在区间(-2,3)上没有极值点，故A错误，C正确；

由f'(x)的图像，易知B正确；

根据f'(x)的图像可得/'(0)<0,

即“乃的图像在X=0处的切线斜率小于0,故O正确.

故选：BCD.

根据导函数/'(X)的图像，求出函数的单调区间，求出函数的极值点，分析判断力BC,对于D,由

于/(x)的图像在尤=0处的切线斜率为/'(0),从而可由导函数的图像判断.

本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了数形结合思想，属中档题.

10.【答案】ABC

【解析】解：因为a>0,h>0,α+&=1,

所以αb≤(竽)2=；,当且仅当α=b=2时取等号，A正确；

因为（竽）2≤嘤，当且仅当α=b=，时取等号，

故α2+∕√4B正确；

那=（那）…=5+?+岸5+2用=9，

当且仅当a=2b且α+b=l,即a=∣,b=g时取等号，C正确；

_________1

（y∕~a+∖Γ~h'）2=a+b+2√ab=1+2√ab≤l+a+b=2,当且仅当a=b=万时取等号,

所以√^^H+，石≤V^^∑,即最大值为，^Σ,。错误.

故选：ABC.

由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断.

本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题.

11.【答案】BC

【解析】解：假设存在点M使MN〃SC,所以M,N,S,C四点共面,

又因为4∈SN,所以4€面MNSC,

易得点A,M,C为面MNSC和面ABC的公共点，

所以A,M,C三点共线，与题意矛盾，

故不存在点M使MN//SC,即A错误；

过。作。M〃BC,交劣弧AC与点M,连接ON,

由于N,。分别为S4,AB的中点，所以0N〃SB,

由于。MCjffiSBC,ON，面SBC,所以OM〃面SBC,ON〃面SBC,

又因为OMnoN=。，所以面。MN//面SBC,

由于MNU面。MN,所以MN〃面SBC,即B正确；

点M的位置同选项B,

由于AB为直径，所以AC_LBC,BP½C10M,

由圆锥易得SoIAC,son。”=。，

所以AC_L面SOM,所以4C1SM,即C正确；

假设在点M使4M，面SBC,所以AM1SB,

又因为4MJ∙S0,SOnSB=S,所以力Ml面SBO,

故面SBC应与面SBO平行，与题意显然不符，即。错误；

故选：BC.

利用反证法的思想可判断4。不成立，通过面面平行可判断8,通过线面垂直可判断C.

本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面垂直的判定，属于中档题.

12.【答案】BC

【解析】解：小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡

收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，

则基本事件共有*=24种，

对于选项A,小王和小张恰好互换了贺卡的概率为匕=工，即选项A错误；

2412

对于选项2,已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为余=5

即选项B正确；

对于选项C,恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为a©=工，即选项C正确；

243

对于选项。，每个人抽到的贺卡都不是自己写的基本事件的个数为3X(2+1)=9,则每个人抽

到的贺卡都不是自己写的概率为2=|,即选项。错误，

Z4O

故选：BC.

由古典概型及其概率计算公式，结合条件概率与独立事件求解即可.

本题考查了古典概型及其概率计算公式，重点考查了条件概率与独立事件，属基础题.

13.【答案】28

【解析】解：••・正四棱台的上、下底面边长分别为2,4,

••・上、下底面正方形的对角线长为2。，4C，又侧棱长为E，

正四棱台的高为J(√^IT)2_(±吃二2f)2=3,

•••所求正四棱台的体积为X(22+42+√22×42)×3=28.

故答案为：28.

先根据题意求出正四棱台的高，再根据台体的体积公式，计算即可得解.

本题考查正四棱台的的体积的求解，属基础题.

14.【答案】27

【解析】解：由题意得：μ=80,σ=5,μ÷2σ=90,

故P(X>90)=P(X>〃+2σ∙)=2-TX0.9545=0.02275,

所以1200X0.02275≈27.

故答案为：27.

根据题意得到〃=80,σ=5,μ+2σ=90,结合3。原则和正态分布的对称性求出P(X>90)=

0.02275,求出获得表彰的学生人数.

本题考查了3c原则和正态分布的对称性，属于基础题.

15.【答案】36

【解析】

【分析】

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

根据题意，先将四卷不同的隹泽东选集少分为3组，再将分好的3组分配给三名同学，由分步计

数原理计算可得答案.

【解答】

解：根据题意，先将四卷不同的隹泽东选集》分为3组，有废=6种分组方法，

再将分好的3组分配给三名同学，有胆=6种情况，

则一共有6×6=36种分发方法；

故答案为：36.

2

16.【答案】(―∞,ɪ]

【解析】

【分析】

本题考查了函数极值点的定义及求法，基本初等函数和商的导数的求导公式，指数函数的值域，

考查了计算能力，属于中档题.

可求出导函数/'(X)=兰萨+与-匕根据题意可知尸(乃=0有唯一的实数根％=2,从而得出方

程(X-2)(ex-kx2)=0有唯一的实数根X=2,这样即可得出k的取值范围.

【解答】

解：根据题意，/。)=上差+3-Zc=O有唯一的实数根％=2,

即方程(％-2)(e"-Ze/)=。有唯一的实数根％=2,

:∙ex-kx2=0无解，即yi=k和y=多无交点，

/=(^γ==2}久=≤^2),则X>2时，y，>0,

ɪ2

•,・％=2时，y=聂取最小值?且XTO时y—+8,%->+8时，y->+8,

e2

k≤τ

2

∙∙∙k的取值范围为：(一00,3

2

故答案为：(―8,3.

17.【答案】解：(1)当m=3时，集合B={x∣∕-4x-5≤0}={x∣-1≤X≤5},

集合力=(x∣-2≤x≤5},则4UB={x∣-2≤X≤5}；

(2)集合B-{x∣2-m<X≤2+m),

选①：若"％eA”是"x∈B"成立的充分不必要条件，

2+m≥5

则4^8,所以,2-m≤—2,解得m≥4,

.m>0

所以实数ni的取值范围为[4,+8);

选②：若“xeA”是"x∈B"成立的必要不充分条件，

2—m≥—2

则B呈4所以2+m≤5，解得0<m≤3,

.m>O

所以实数Tn的取值范围为(0,3].

【解析】(1)代入Tn的值求出集合B,然后求出集合4再根据并集的定义即可求解；(2)先求出集

合B,选①：A^B,然后根据真子集的定义建立不等式关系即可求解；选②：B^A,然后根据

真子集的定义建立不等式关系即可求解.

本题考查了集合的包含关系的应用，涉及到四个条件的应用，考查了学生的运算求解能力，属于

基础题.

xx

18.【答案】解：(1)当α=l时，fM=e-χff(χ)=β-l,

ʌf(l)=e-l,

又/⑴="1,

・・・曲线y="%)在点(Lf(I))处的切线方程为y-e+1=(e-1)(%-1),

即y=(e—1)%；

(2)由f(%)=aex—X,得f'(x)=aex—1,

当Q≤O时，∕,(x)=aex-1<O在(-8,+8)上恒成立，/(%)单调递减；

当α>O时,由尸(X)=Ctex—1>0,得e">ɪ,即％>lnɪ,

由尸(X)=0e*—1<0,得e"<即%<lnɪ,

/(x)的减区间为(-8,In：),增区间为。n3,+8).

综上所述，当α≤0时，/(x)在(-8,+8)上单调递减；

当α>0时，:/(X)的减区间为(一8,In：),增区间为(In；,+8).

【解析】(1)当α=l时，f(x)=ex-x,求其导函数，可得f'(l),再求出f(l),利用直线方程的

点斜式得答案；

(2)由f(x)=aex-X,得f'(X)=aex-1,然后对ɑ分类讨论可得/^(x)的单调区间.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查分类

讨论思想，是中档题.

19.【答案】解：(1)由题意可知，2X2列联表如下:

有蛀牙无蛀牙总计

爱吃甜食9030120

不爱吃甜食305080

合计12080200

..K2_200x(90x50-30x30)2-7o17ς^7o7q,

-K-120×80×120×80->/.8/9,

•••有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关；

(2)若从“无蛀牙”的青少年中用分层抽样的方法随机抽取8人作进一步调查,

则爱吃甜食占3人，设为X,y,z,不爱吃甜食占5人，设为a,b,c,d,e,

从中随机选取2人，所有情况为：xy,xz,yz,xafxb,xc,xd,xe,yafybfyc,yd,ye,za,zb,

zc,zd,ze,ab,ac,ad,ae,be,bdfbe,cd,ce,de,共28种，其中抽取的2人都是“不爱

吃甜食"且"无蛀牙"的青少年为αb,Qc,ad,αe,be,bd,be,cd,ce,de,共10种，

故抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率P=第=今

2814

【解析】(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解；

(2)根据已知条件，结合分层抽样的定义，列举法，以及古典概型的概率公式，即可求解.

本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于基础题.

20.【答案】(1)证明：由Λ4ι，平面4BC,BCU平面ABC,所以A418C,AA1LAB,

因为44"∕BBι,所以B%J.BB,

222

因为CB=4,AB=4√^.AC=A1C1=8,ffτl^AB+BC=AC,即ABIBC,

又BBTCAB=B,BB1,ABU平面ABBIA「所以BCI平面4峭人,

因为&Ou平面ABB遇1，所以BCI&O,所以BICil4D,

因为三棱锥A-AlDC的体积为8,

所以解得

KYmC=Vc-A1AD=WBC-SΔAAIDBC^AD-AA1=I-42^1-AA1=8,

AA1=2√^,

由勾股定理，可得&O=B1D=2>J~6,

又4/1=AB=4「，所以AlD2+&。2=AiBg,即AIDJ.8m,

因为BlCl∩BlD=B1,B1C1,B1DU平面当。］。，

所以4C，平面ZClD

(2)解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,

则4(4√3,2C,0),B(0,0,0),C(0,0,4)>D(2√3,0,0),

所以西=(4∕3,2√^3,O),BC=(0,0,4)-

设平面4BC的法向量为记=(x,y,z),则眄,竺1=°,即[4Cx+2y∏y=°,

令X=1,则y=-2,z=0,所以沅=(I,-2,0),

同理可得，平面&CD的法向量为元=(2,-2,C),

设平面4CO与平面2BC的夹角为6,则cos。=ICOs<而，元>|=磊J=UyTT=寄,

故平面aCO与平面C的夹角的余弦值为鬻.

【解析】(I)根据44ι1平面ABC,可得BBlIBC,由勾股定理可证AB，BC,从而知IBC，平面

ABB1A1,进而得8传1，&D,再由等体积法，求得力4=2√^,利用勾股定理，可证&D1B1D,

然后由线面垂直的判定定理，得证；

(2)以B为坐标原点建立空间直角坐标系B-Xyz,分别求得平面4BC与平面&C。的法向量沅，n,

设平面4CZλ与平面AIBC的夹角为0,由COSo=ICOs<记，n>|,即可得解.

本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理或性质定理，利用空间向量求平面

与平面夹角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，

则可能的情况有①甲投中一次，乙投中两次；②甲投中两次，乙投中一次；③甲投中两次，乙投

中两次；

12

vPl=2,P2=3'

他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率为c∙©AX(|)2+(1)2×ci×∣×∣+φ2X

(|)2=小

⑵①由题意得他们在一轮游戏获得“神投小组”称号的概率P=cl-P1×(1-Pl质+pl×

C2×P2(l-P2)+Pf×P2

=2P1P2(P1+P2)-3pf×pl，

612

"P1+P2=5>∙"∙P=γP1P2-ɜpf9XP29>

又0≤Pι≤l,0≤p2≤1,则卷≤pι≤l,

2

令m=p1p2=-pl+∣Pι=-(Pi-1)+羡则m∈[ɪ,ɪ].

ʌP=y(m)=-ʒ-m-3m2=—3((m-ʒ)2÷芯，

∙∙∙P=ym-3巾2在出同上单调递增，则8mχ=y(⅛)=|§>

ɔ

此时Pl=P2

②他们小组在n轮游戏中获得“神投小组”称号的次数f满足6〜B(n,∣g),

297

.∙.np=297,则n=笆=625,

625

・•・平均要进行625轮游戏.

【解析】(1)可能的情况有①甲投中一次，乙投中两次；②甲投中两次，乙投中一次；③甲投中

两次，乙投中两次，利用已知计算可求概率；

(2)①由题意得他们在一轮游戏获得“神投小组”称号的概率P=2p1p2(p1+p2)-3pl×pj,可

求最大概率；

②他们小组在H轮游戏中获得“神投小组”称号的次数f满足f〜Bd,畿)，可求Tl的值.

本题考查离散型随机变量的应用，考查转化思想、函数思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力

和运算能力，属中档题.

22.【答案】解：(l)∕(x)=alnx+∣x2-(α+l)x(α>0),则/(X)=号+x-(α+1)=

X2—(α+l)x+α_(X-I)(X-O)丫、八

----------=---------,%>u,

XX

令/'(%)=0，得X=1或％=α,

①当0<a<1时,X∈(0,α),ff(x)>0,Q%)单调递增,x∈(a,1),fr(x)<0,Q%)单调递减,

x∈(l,+∞),f,(x)