中考数学二轮复习考点培优专练专题四 函数综合问题（二次函数综合问题）（原卷版）

专题四函数综合问题（二次函数综合问题）一、与二次函数有关的图形问题例题（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学二模）如图1，抛物线y＝SKIPIF1<0x2+bx﹣4交x轴于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且OC＝2OB．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，BC，点P在抛物线上，且满足∠PBC＝∠ACB，求点P的坐标；（3）如图2，直线l：y＝x+t（﹣4＜t＜0）交y轴于点E，过直线l上的一动点M作MN∥y轴交抛物线于点N，直线CM交抛物线于另一点D，直线DN交y轴于点F，试求OE+OF的值．练习题1．（2021·广东·雷州市第八中学二模）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线是由抛物线SKIPIF1<0向右平移1个单位得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在抛物线上，且横坐标为3．(1)写出以M为顶点的抛物线解析式及点A、B、M的坐标．(2)连接AB，AM，BM，求SKIPIF1<0；(3)点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，求点P坐标．2．（2021·河南·息县教育体育局基础教育教学研究室二模）如图，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．(1)求抛物线的解析式及对称轴．(2)在抛物线上任取一点M，过点M作MN//x轴，且四边形ABMN为平行四边形，在线段MN上任取一点P，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，记点Q的纵坐标为yQ．当点M到抛物线对称轴的距离不超过1个单位长度时，求yQ的取值范围．3．（2022·山东·东营市实验中学模拟预测）如图，经过原点的抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的另一个交点为SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，交抛物线于点SKIPIF1<0记点SKIPIF1<0关于抛物线对称轴的对称点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不重合SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)直接写出点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标SKIPIF1<0用含SKIPIF1<0的代数式表示SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0时，连接SKIPIF1<0，问SKIPIF1<0为何值时SKIPIF1<0？(3)当SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，问是否存在SKIPIF1<0，使得点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0轴上？若存在，求出所有满足要求的SKIPIF1<0的值，并定出相对应的点SKIPIF1<0坐标；若不存在，请说明理由．4．（2021·广东·中山一中三模）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．5．（2021·重庆北碚·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于C点，且OC＝3OB，连接OD．(1)求抛物线解析式；(2)P点为抛物线上AD部分上一动点，过P点作PF∥DE交AC于F点，求四边形DPAF面积的最大值及此时P点坐标．(3)在（2）问的情况下，把抛物线向右平移两个单位长度，在平面内找一个点N，使以D、P、M、N为顶点的四边形为矩形6．（2022·广东惠州·模拟预测）如图，已知二次函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0．(1)求二次函数的解析式；(2)请你判断SKIPIF1<0是什么三角形，并说明理由．(3)若点SKIPIF1<0在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，试探究是否存在以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为顶点的三角形与SKIPIF1<0相似？若存在，求出SKIPIF1<0点的坐标．若不存在，请说明理由．7．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与直线l：y＝﹣SKIPIF1<0x﹣SKIPIF1<0交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）(1)求抛物线C1的解析式；(2)点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点）PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，求MN的最大值；(3)如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C1上，且抛物线C2与抛物线C1交于点D，过点D作DF∥x轴交抛物线C2于点F，过点E作EG∥x轴交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点SKIPIF1<0是拋物线在SKIPIF1<0轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点D的横坐标为m．连接AC，BC，SKIPIF1<0，DC．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当△BCD的面积与△AOC的面积和为SKIPIF1<0时，求m的值；(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点SKIPIF1<0是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，SKIPIF1<0为顶点的四边形是平行四边形．请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）如图，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线SKIPIF1<0经过B，C两点，点P为第一象限内抛物线上一点，射线OP与线段BC交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AC，当∠OAC＋∠ODC＝180°时，求点P的坐标；（3）过点B作BE⊥x轴交射线OP于点E，当SKIPIF1<0BDE为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．10．（2021·福建省厦门第六中学三模）如图1，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A、B，OB＝3OA＝3．（1）求抛物线的解析式；（3）如图2，直线l与抛物线有且只有一个公共点E，l与抛物线对称轴交于点F，若点E的横坐标为2，求△AEF的面积；（2）如图3，直线y＝kx＋n与抛物线交于点C、D，若△ACD的内心落在x轴上，求n的取值范围．二、与二次函数有关的线段周长问题例题11．（2021·广东·江门市第二中学二模）如图1，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；（2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标；（3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB=2∠ACO，求点Q的坐标．练习题1．（2021·江苏扬州·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B坐标为SKIPIF1<0顶点P的坐标为SKIPIF1<0，以AB为直径作圆，圆心为D，过P向右侧作SKIPIF1<0的切线，切点为C．(1)求抛物线的解析式；(2)请通过计算判断抛物线是否经过点C；(3)设M，N分别为x轴，y轴上的两个动点，当四边形PNMC的周长最小时，请直接写出M，N两点的坐标．2．（2021·四川·绵阳市桑枣中学一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图的顶点为点D，与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求点P的坐标；(3)如图，若点G（2，m）是该抛物线上一点，E是直线AG下方抛物线上的一动点，点E到直线AG的距离为d，求d的最大值．3．（2021·甘肃·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴正半轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在直线SKIPIF1<0上方的抛物线上有一动点SKIPIF1<0．(1)求抛物线的解析式；(2)连接SKIPIF1<0，与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，求点SKIPIF1<0的坐标；(3)连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点SKIPIF1<0的坐标和四边形SKIPIF1<0的面积；若不存在，请说明理由．4．（2021·山东烟台·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣SKIPIF1<0x﹣SKIPIF1<0与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2﹣SKIPIF1<0x+c（a≠0）经过A，B，C三点．(1)求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；(2)在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2021·四川凉山·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为(1,0)，且OA=OC=3OB，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；(3)如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值．6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；(3)已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在；若不存在，请说明理由．7．（2021·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝SKIPIF1<0x2+bx+c交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），点M为顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP．求∠PCD的度数；(3)在（2）的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP+BP的最小值．8．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B(3，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接BD，求点D的坐标及直线BD的函数表达式；(3)点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴，垂足为SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一动点，当SKIPIF1<0取得最大值时．①求点SKIPIF1<0的坐标；②若SKIPIF1<0的值最小，请直接写出点SKIPIF1<0的长．9．（2021·广东佛山·二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝x﹣4；线段OC的垂直平分线交抛物线于点M、N，点M、N横坐标分别为x1、x2且满足x1+x2＝3．(1)求抛物线的解析式；(2)设点Q是直线MN上一动点，当点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出此时点Q的坐标及△QOB周长的最小值；(3)如图2，P线段CB上的一点，过点P作直线PF⊥x轴于F，交抛物线于G，且PF＝PG；点H是直线BC上一个动点，点Q是坐标平面内一点，以点H，Q，P，F为顶点的四边形是菱形，求所有满足条件的Q点坐标（写出其中一个点的坐标的详细求解过程，其余的点的坐标直接写出即可）．10．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”．（1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有；（2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值；（3）若“美好点”P恰好在抛物线SKIPIF1<0第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021·山东菏泽·三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3）(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．8．（2021·四川泸州·一模）如图，已知直线y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线y＝﹣2x2+mx+n经过A，B两点．(1)求该抛物线的解析式．(2)若点D是第一象限抛物线上的点，连接OD交直线AB于点C，求SKIPIF1<0的最大值．(3)若抛物线上有且仅有三个点F1，F2，F3，使得△ABF1，△ABF2，△ABF3的面积均为定值S，求定值S及F1，F2，F3这三个点的坐标．9．（2021·山东枣庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，抛物线经过点D(-2,-3)和点E(3,2)，点P是第一象限抛物线上一个动点．(1)求直线DE和抛物线的表达式；(2)在y轴上取点F(0,1)，连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N(点M在点N的上方)，且MN=2SKIPIF1<0，动点Q从点P出发，沿SKIPIF1<0的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．10．（2021·山东滨州·一模）如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx＋b（k≠0）．(1)求抛物线的解析式．(2)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．(3)过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．11．（2021·山东菏泽·三模）如图，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点SKIPIF1<0，B两点，与y轴交于点C，SKIPIF1<0，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点SKIPIF1<0恰好在线段BE上，求点F的坐标．(3)如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，抛物线交于点N，在抛物线上是否存在点Q，使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积相等，且线段NQ的长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．三、与二次函数有关的面积问题例题（2021·山东菏泽·三模）如图，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点SKIPIF1<0，B两点，与y轴交于点C，SKIPIF1<0，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点SKIPIF1<0恰好在线段BE上，求点F的坐标．(3)如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，抛物线交于点N，在抛物线上是否存在点Q，使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积相等，且线段NQ的长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．练习题1．（2022·上海·位育中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝2，抛物线与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)求∠ACB的正切值；(3)若点D在抛物线上，且S△BCD＝3，请直接写出所有满足条件的点D坐标．2．（2021·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线顶点为点D．(1)求B，C，D三点坐标；(2)如图1，抛物线上有E，F两点，且EF//x轴，当△DEF是等腰直角三角形时，求线段EF的长度；(3)如图2，连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点P，当△PBC面积最大时，点P坐标．3．（2021·山东临沂·二模）已知抛物线y＝ax2＋2ax﹣3a（a为常数，a≠0）．(1)请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）；(2)若a＜0，且P（m，y1）与Q（﹣5，y2）是该抛物线上的两点，且y1＜y2，求m的取值范围；(3)如图，当a＝﹣1时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．点D是直线AC上方抛物线上的一个动点，BD交AC于点E，设点E的横坐标为n，记S＝SKIPIF1<0，当n为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值．4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线SKIPIF1<0与坐标轴交于A，G两点，经过B（2，0）、C（6，0）两点的抛物线y＝ax2＋bx＋2与直线SKIPIF1<0交于A，D两点．(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)点M是抛物线上位于直线AD下方上的一个动点，当点M运动到什么位置时△MDA的面积最大？最大值是多少？(3)在x轴上是否存在点P，使以A、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2021·广东·深圳市大望学校一模）如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与SKIPIF1<0轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．(1)点A的坐标为___________，点SKIPIF1<0的坐标为___________；(2)如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE=2ED，求△PBC的面积；(3)抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．6．（2021·广东·佛山市第四中学三模）如图，已知二次函数的解析式为y=﹣SKIPIF1<0x2+bx+c，A(-1,0)，C(4,0)，P为二次函数上的动点．(1)求二次函数的解析式．(2)若P在第一象限上，求S△BCP的最大值．(3)在x轴上是否存在点Q，使得BQ=BP且BP⊥BQ若存在，请直接写出所有点Q的坐标，若不存在，请说明理由．7．（2021·山东菏泽·三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3）(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．8．（2021·四川泸州·一模）如图，已知直线y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线y＝﹣2x2+mx+n经过A，B两点．(1)求该抛物线的解析式．(2)若点D是第一象限抛物线上的点，连接OD交直线AB于点C，求SKIPIF1<0的最大值．(3)若抛物线上有且仅有三个点F1，F2，F3，使得△ABF1，△ABF2，△ABF3的面积均为定值S，求定值S及F1，F2，F3这三个点的坐标．9．（2021·山东枣庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，抛物线经过点D(-2,-3)和点E(3,2)，点P是第一象限抛物线上一个动点．(1)求直线DE和抛物线的表达式；(2)在y轴上取点F(0,1)，连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N(点M在点N的上方)，且MN=2SKIPIF1<0，动点Q从点P出发，沿SKIPIF1<0的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．10．（2021·山东滨州·一模）如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx＋b（k≠0）．(1)求抛物线的解析式．(2)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．(3)过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．四、与二次函数有关的角度问题例题．（2021·广东阳江·一模）如图，点B，C分别在x轴和y轴的正半轴上，OB，OC的长分别为x2-8x+12=0的两个根（OC＞OB），点A在x轴的负半轴上，且OA=OC=3OB，连接AC．(1)求过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；(2)点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值；(3)M是抛物线上一点，是否存在点M，使得∠ACM=15°？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习题1．（2021·广东·佛山市三水区三水中学附属初中二模）如图，抛物线y=ax2-bx-3与x轴交于点A、C，交y轴于点B，OB=OC=3OA．(1)求抛物线的解析式及对称轴方程；(2)如图1，连接AB，点M是对称轴上一点且在第四象限，若△AMB是以∠MBA为底角的等腰三角形，求点M的坐标；(3)如图2，连接AB，点P在抛物线上，当∠PAC=2∠ABO时，求点P的坐标．2．（2021·山东·日照港中学一模）在平面直角坐标系中，直线SKIPIF1<0与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线SKIPIF1<0经过A，B两点且与x轴负半轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当SKIPIF1<0时，求点D的坐标；（3）已知E是x轴上的点，F是抛物线上的动点，当B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的E的坐标．3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相交于A，B两点，抛物线的顶点是SKIPIF1<0，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标．（3）在抛物线上是否存在点Q，使SKIPIF1<0，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．4．（2022·全国·九年级专题练习）如图坐标系中，矩形ABCD的边BC在y轴上，B（0，8），BC＝10，CD＝5，将矩形ABCD绕点B逆时针旋转使点C落在x轴上．现已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点D、C′和原点O．（1）求抛物线的解析式；（2）将矩形A′BC′D′沿直线BC′翻折，点A′的对应点为M，请判断点M是否在所给抛物线上，并简述理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使∠POC′＝2∠CBD，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；5．（2021·江苏盐城·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021·广西柳州·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0．（1）求抛物线的解析式；（2）当直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0时，取线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，作直线SKIPIF1<0的平行线，恰好与抛物线有一个交点SKIPIF1<0时，判断以点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点的四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由；（3）在直线SKIPIF1<0上是否存在唯一一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，请求出此时SKIPIF1<0的解析式；若不存在，请说明理由．7．（2021·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的左边），与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为抛物线的顶点，连接SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0．（1）求抛物线的解析式；（2）点SKIPIF1<0是抛物线上的一点，当SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为腰的等腰三角形时，求点SKIPIF1<0的坐标；（3）点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的一点，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的一点，连接SKIPIF1<0，并延长SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0（点SKIPIF1<0在第一象限）．当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，求出点SKIPIF1<0的坐标．8．（2021·湖南株洲·中考真题）已知二次函数SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求方程SKIPIF1<0的根的判别式的值；（2）如图所示，该二次函数的图像与x轴交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①求证：SKIPIF1<0；②连接BC，过点D作SKIPIF1<0于点E，点SKIPIF1<0在y轴的负半轴上，连接AF，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．9．（2021·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的左侧），与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点SKIPIF1<0是第一象限抛物线上一点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，求点SKIPIF1<0的坐标，并直接写出此时直线SKIPIF1<0的表达式．（3）在（2）的条件下，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴右侧抛物线上一点，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，请直接写出点SKIPIF1<0的坐标．10．（2021·江苏连云港·二模）如图，二次函数SKIPIF1<0的图像与x轴交于点A、B，已知SKIPIF1<0与y轴交于点SKIPIF1<0，该抛物线的顶点为点D．（1）二次函数的表达式为，点D的坐标为；（2）连接BC．①在抛物线上存在一点P，使得SKIPIF1<0，求点P的坐标；②若SKIPIF1<0是抛物线上动点，则是否存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，直接写出点SKIPIF1<0的横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．五、与二次函数有关的特殊平行四边形问题例题（2021·江苏盐城·三模）如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）．（1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．练习题1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形（要求SKIPIF1<0），直接写出相应的点Q的坐标．2．（2021·重庆一中三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），且点A的坐标为SKIPIF1<0，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D，OB＝3OA．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点E为射线AD上一点，点P为第二象限内抛物线上一动点，求四边形PBEC面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y'经过点C，平移后点A的对应点为点A'，点N为线段AD的中点，点Q为新抛物线y'的对称轴上一点，在新抛物线上存在一点M，使以点M、Q、A'、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程．3．（2022·山东·嘉祥县第三中学九年级开学考试）在平面直角坐标系中，二次函数SKIPIF1<0的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点Q是线段AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与SKIPIF1<0相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；(3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．4．（2022·重庆一中九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当SKIPIF1<0的值最大时，求点P的坐标和SKIPIF1<0的最大值；(3)把抛物线SKIPIF1<0沿射线AC方向平移SKIPIF1<0个单位得新抛物线SKIPIF1<0，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求其中一个N点坐标的过程写出来．5．（2022·重庆市第七中学校九年级开学考试）如图，已知抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（-2，0），直线BC的解析式为y=SKIPIF1<0x-4．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2SKIPIF1<0个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段SKIPIF1<0，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值；(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形