专题10三角函数的性质（选填题10种考法）

专题10三角函数的性质与正余弦定理（选填题10种考法）考法一扇形的弧长与面积【例11】（2023·甘肃定西·统考一模）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字作画，题字作画的部分多为扇环，如图在长为50，宽为20的矩形白纸中做一个扇环形扇面，扇面的外环弧线长为45，内弧线长为15cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为14（外环半径与内环半径之差），若从矩形中任意取一点，则该点落在扇面中的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设小扇形的半径为，则大扇形的半径为，则有，解得，所以扇环面积为，所以若从矩形中任意取一点，则该点落在扇面中的概率为.故选：C.【例12】（2023·全国·模拟预测）莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，他是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名．它是分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，如图所示．现在我们要制作一个高为10的柱形几何体，其侧面与底面垂直，底面为一莱洛三角形ABC，且正三角形ABC边长为2，则该几何体的体积为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为为等边三角形，所以，则莱洛三角形ABC的面积，则该柱形几何体的体积，故选：D.【变式】1．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）车木是我国一种古老的民间手工工艺，指的是用刀去削旋转着的木头，可用来制作家具和工艺品，随着生产力的进步，现在常借助车床实施加工．现要加工一根正四棱柱形的条木，底面边长为，高为．将条木两端夹住，两底面中心连线为旋转轴，将它旋转起来，操作工的刀头逐步靠近，最后置于离旋转轴处，沿着旋转轴平移，对整块条木进行加工，则加工后木块的体积为（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】加工后木块的横截面的形状如图所示，其中O为横截面的中心，,，，计算可得,:,所以加工后木块的体积为.故选：B.2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则关于该圆台下列说法错误的是（

）A．高为 B．体积为C．表面积为 D．内切球的半径为【答案】B【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，即；，即；又圆台的母线长，所以圆台的高，A正确；圆台的体积，B错误；圆台的表面积，C正确；由于圆台的母线长等于上下底面半径和，所以圆台的高即为内切球的直径，所以内切球的半径为，D正确.故选：B.3．（2023·河北·统考模拟预测）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则两圆锥侧面展开图的圆心角之和为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设甲、乙两个圆锥的底面半径分别为和，母线长为，则甲、乙两个圆锥的高和，由题意可得：，解得，设甲、乙两个圆锥的侧面展开图的圆心角分别为和，则，解得，所以两圆锥侧面展开图的圆心角之和.故选：C.4．（2023·陕西汉中·统考二模）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知：每段圆弧的圆心角为，设第段圆弧的半径为，则可得，故数列是以首项，公差的等差数列，则，则“蚊香”的长度为.故选：D.考法二三角函数的定义【例21】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两个点，，且，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】由已知可得，，又，，，即，联立得，解得或，，故选：C.【例22】（2023·贵州遵义·统考三模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由时，可知，，即，故选：A【变式】1.（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知为角终边上一点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知为角终边上一点，则，故，故，故选：A2（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得：，，，因为，所以，因为，所以，故，所以.故选：B3（2024·江西·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】因为点是角终边的一点，所以，所以，由可知，，所以.故选：B4．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）（多选）已知，为坐标原点，终边上有一点.则（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】，故，又，，故是第一象限角，又，故，故A正确；对于B，，故，故B正确；对于C，因为在上单调递增，且，所以，故C错误；对于D，因为在上单调递减，，所以，故D错误.故选：AB.考法三同角三角函数【例31】（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，而为锐角，解得：．故选：D．【例32】（2023·陕西咸阳·咸阳彩虹学校校考模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，由得，所以分子分母同除以得，即，所以.故选：D.【例33】（2023·浙江杭州·校考模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】将平方得，所以，则．所以，从而．联立，得．所以，．故．故选：D【变式】1．（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以，所以，则.故选：C.3．（2023·河北沧州·校考三模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，，∴，故选：D.4．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，则，所以，故.故选：D5．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知条件得，，故选：A.考法四恒等变化【例41】（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）（多选）下列化简正确的是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】对于A，，故A错误．对于B，由，故B正确；对于C，∵设，则，而，故即，故C正确．对于D，，所以D正确.故选：BCD.【例42】（2023·全国·统考高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，而，因此，则，所以.故选：B【例43】（2023·河南·校联考模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以．故选：A．【变化】1．（2023·浙江·模拟预测）（多选）下列化简正确的是（

）A．B．C．D．【答案】CD【解析】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：CD.2．（2022·全国·统考高考真题）若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换所以即故选：C.3．（2023·广西玉林·统考模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，化简并整理得，又因为，所以，所以，所以.故选：B.4．（2023·河南·模拟预测）（多选）已知，且，，，则（

）A．的取值范围为 B．存在，，使得C．当时， D．t的取值范围为【答案】AD【解析】因为，所以，即，若，则，又，所以不能同时成立，所以，故A正确；由A可知，所以，又，所以，所以，故B错误；当时，整理，得所以，又，对上式整理得，所以，解得（舍去负根），故C错误；因为，且，所以随着的增大而增大，所以随着的增大而增大，又，所以，，即D正确．故选：AD．考法五角的拼凑【例51】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得：.故选：C.【例52】（2023·四川成都·校联考模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由二倍角公式有，又已知，代入即得，由诱导公式有，因此.故选：D.【变式】1．（2023·河南开封·统考三模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，即，所以．故选：D2．（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，，而，故，故选：B3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知，则.【答案】【解析】，所以，.故答案为：4．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知​，则​．【答案】/0.28【解析】由题意，，，解得：，∴，，故答案为：.考法六三角函数的性质【例61】（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：①的最小正周期为；②在上单调递增；③当时，的取值范围为；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以的最小正周期为，①不正确；令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．故选：A．【变式】1．（2023·陕西西安·校考一模）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．点是的对称中心B．直线是的对称轴C．的图象向右平移个单位得的图象D．在区间上单调递减【答案】D【解析】由题意可知，,,解得，所以，解得，将代入中，得，解得，,因为，所以，当时，，所以的解析式为.对于A，，所以点不是的对称中心，故A错误；对于B，，所以直线不是的对称轴，故B错误；对于C，的图象向右平移个单位得的图象，故C错误；对于D，当时，，所以在区间上单调递减，故D正确.故选：D.2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，然后向上平移1个单位长度得到函数的图象，则（

）A．B．在上单调递增C．的图象关于点中心对称D．在上的值域为【答案】D【解析】由题意，平移后函数为：，故A不正确;B中，，可知，∴先增后减，即在上单调递增不正确，故B不正确；C中，∵，∴函数不关于对称，故C不正确；D中，，则，∴，∴，故D正确.故选：D.3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）将函数的图象向右平移a个单位长度（a为常数，且），得到函数的图象，若在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，得到，又，所以，所以．当时，，又，故；当时，a随x的变化而变化，不可能为常数，不合题意，所以．对于，令，解得，当时，令，则；对于，令，解得，当时，令，则，所以当在区间上单调递增，在区间上单调递减时，n的最大值为，m的最小值为，所以的最大值为．故选：C．考法七正余弦定理【例71】（2023·北京·统考高考真题）在中，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以.故选：B.【例72】（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则．【答案】【解析】如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：．故答案为：．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因为，所以，，又，所以，即．故答案为：．【例73】（2022·全国·统考高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，．【答案】/【解析】[方法一]：余弦定理设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.[方法二]：建系法令BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.则C（2t,0），A（1，），B（t,0）[方法三]：余弦定理设BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，则，，，当且仅当，即时等号成立.[方法四]：判别式法设，则在中，，在中，，所以，记，则由方程有解得：即，解得：所以，此时所以当取最小值时，，即.【变式】1．（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选：C.2．（2023·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由正弦定理得，所以,因为该三角形有两解，故,故，即，故选：B3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的周长的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，由正弦定理得，，由于，所以，所以，由于，所以，所以，所以，则，函数的开口向上，对称轴为，所以.故选：A4．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）（多选）中，角所对的边分别为.以下结论中正确的有（

）A．若，则必有两解B．若，则一定为等腰三角形C．若，则一定为直角三角形D．若，且该三角形有两解，则的范围是【答案】AC【解析】对于A，若，则，又，所以必有两解，故A正确；对于B，若，则或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，由正弦定理得：，即，而，故，所以一定为直角三角形，故C正确；对于D，若，且该三角形有两解，所以，即，也即，故D错误.综上所述，只有AC正确，故选：AC.考法八w的求法【例81】（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为.故选：C.【例82】（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：则，解得，即．故选：C．【变式】1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．【答案】【解析】因为，所以，令，则有3个根，令，则有3个根，其中，结合余弦函数的图像性质可得，故，故答案为：.2．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为．【答案】【解析】因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：3．（2023·浙江·模拟预测）已知函数在区间上恰有三个极值点和三个零点，则的取值范围是.【答案】【解析】，，，设，，有三个极值点和三个零点，由的性质可得，，.故答案为：.4．（2023·四川宜宾·统考二模）已知函数，给出下列4个结论：①的最小值是；②若，则在区间上单调递增；③若，则将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得函数的图象；④若存在互不相同的，使得，则.其中所有正确结论的序号是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②【答案】A【解析】当时，，①正确；若时，此时，当时，，所以在上单调递增，②正确；若时，此时，而函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得，③错误；存在互不相同的，使得，且在上至少有3个最大值点，而当时，，所以，解得，④正确.综上所述：所有正确结论的序号是①②④.故选：A.考法九实际应用【例91】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了周代，使用圭表有了规范，杆子（表）规定为八尺长．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日子内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差一尺”（1尺＝10寸）．记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B．同一日子内，甲地日影长是乙地日影子长的两倍，记甲地中直线AB与地面所成的角为，且．则甲、乙两地之间的距离约为（

）A．15千里 B．14千里 C．13千里 D．12千里【答案】A【解析】由题意可知甲地的日影子长为尺，从而得到乙地的日影子长为1.5尺，则甲、乙两地之间的距离约为千里．故选：A【例92】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名．如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，AB的长约为，则该月牙泉模型的面积约为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设外接圆圆心为，如图，半径为，则，，因此，中弓形面积为，从而阴影部分面积为．故选：A．【变式】1.（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【解析】依题意，如图，在中，，则，由正弦定理得，即，因此（海里），所以两点间的距离是海里．故选：A2.（2023·河南·校联考模拟预测）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题图（2）得，圆形木板的直径为.设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示.由且可得，在中，由正弦定理得，解得.在中，由余弦定理，得，所以，，即，可得，当且仅当时等号成立.在中，，由余弦定理可得，即，即，当且仅当时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为.故选：D.考法十与其他知识的综合运用【例101】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数在上恰有三个零点，则（

）A．的最小值为 B．在上只有一个极小值点C．在上恰有两个极大值点 D．在上单调递增【答案】BD【解析】对于A选项，因为，当时，，由函数在上恰有三个零点，所以，，解得，所以，的最小值为，A错；对于B选项，由A选项知，，则当，即时，函数取得极小值，即在上只有一个极小值点，B对；对于C选项，当时，函数在上只有一个极大值点，C错；对于D选项，当时，，因为，所以，，所以，函数在上单调递增，D对.故选：BD.【例102】（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）若分别是与的等差中项和等比中项，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意可得，，且，所以，即，解得又因为，所以，所以故选:A【例103】（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D【变式】1．（2023·四川成都·模拟预测）已知等差数列中，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在等差数列中，，可得，因此，.故选：A.2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）的展开式中的系数为12，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】的展开式中的系数可以看成：6个因式中选取5个因式提供，余下一个因式中提供或者6个因式中选取4个因式提供，余下两个因式中均提供，故的系数为，∴，∴，故选：C3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知函数有且只有一个零点，则实数a的值为______．【答案】【解析】，，的图象关于直线对称，若函数有且只有一个零点，即的图象与轴有且只有一个交点，则只能是，即，解得，此时，，当且仅当,即时取等号,当时,，又，，当时,，当时，函数有且只有一个零点.故答案为：.一、单选题1．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．故选：D.2．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以.故选：A3．（2023·湖南·校联考模拟预测）设，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，即．又，，所以，即或，即（舍去）．故选：4．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考一模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，所以，则.故选：D5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知角，终边上有一点，则（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】，故，．又，，故在第三象限，故，．故选:C．6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.7．（2023·天津·统考高考真题）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中，B选项中，C选项中，D选项中，排除选项CD，对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，故选：B.8．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，设，①，又②，所以联立①②，解得，故．故选：D9．（2023·福建三明·统考三模）角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边不在坐标轴上，终边所在的直线与圆相交于、两点，当面积最大时（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，故当时，的面积取最大值，则，所以，圆心到直线的距离为，由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，其中，圆的圆心为，则，解得，即，显然，因此，.故选：D.10．（2023·河南·校联考模拟预测）若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】关于的方程在内有两个不同的解，即（，取为锐角）在内有两个不同的解，即方程在内有两个不同的解．不妨令，由，则，所以，所以．则，即，所以．故选：D．11．（2023·浙江·模拟预测）已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵,∴，∴，∴或，又，∴，，故选：C．12．（2023·全国·统考高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.13．（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B14．（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.15．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）在中，，，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理得，因为，，，所以，故，则，因为，所以，，故，故.故选：D16．（2023·河北唐山·模拟预测）设．当取得最大值时，满足（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令所以，使得，因为在上递减，所以在上，此时递增；在上，此时递减；所以的最大值为，因为所以恒成立对于选项A：，，所以，，故A错误；对于选项B：，，所以，，故B错误；对于选项C：，，所以，，故C正确；对于选项D：，，所以，，故D错误；故选：C17．（2023·江苏南京·南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）已知函数为奇函数，则参数的一个可能值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】是奇函数，并在时有意义，，对于A项，，故A项错误；对于B项，，故B项错误；对于C项，，又，即，所以，即，所以是奇函数，故C项正确；对于D项，，故D项错误.故选：C.18．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递增 D．在上单调递增【答案】D【解析】依题意可知，，记，则，对于A选项，因为，所以，则在上不单调，则在上不单调，故A错误；对于B选项，因为，所以，则在上不单调，则在上不单调，故B错误；对于C选项，因为，所以，则在上单调递减，则在上单调递减，故C错误；对于D选项，因为，所以，则在上单调递增，则在上单调递增，故D正确.故选：D.19．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下说法正确的是（

）A．若圆的半径为，则；B．函数在上单调递减；C．函数的图象向左平移个单位后关于对称；D．函数的最小正周期是.【答案】A【解析】由函数图象，可得点的横坐标为，所以函数的最小正周期为，所以D不正确；又由，且，即，根据五点作图法且，可得，解得，因为，可得，结合三角函数的性质，可得函数在是先减后增的函数，所以B错误；将函数的图象向左平移个单位后，得到，可得对称轴的方程为，即，所以不是函数的对称轴，所以C错误；当时，可得，即,若圆的半径为，则满足，即，解得，所以的解析式为，所以A正确.故选：A.20．（2023·陕西延安·校考一模）已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数，下列结论错误的是（

）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上的减区间为D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到【答案】D【解析】由图可知，∴，∴，又∵，，∴，∴，对于A，其图象对称轴为，，当时，，∴A项正确；对于B，∵，，，∴的图象关于点对称，∴B项正确；对于C，∵函数的单调递减区间为，∴，，∴当时，在上单调递减，∴C项正确；对于D，∵∴D项错误.故选：D21．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】在中，在中，故，，因为，故，又角的平分线交于点，则，故.故.以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，，故，，设，则，即，故，化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）.故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.故选：C22．（2023·河南·模拟预测）已知是正整数，函数在内恰好有4个零点，其导函数为，则的最大值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】因为在内恰好有4个零点，所以，即，所以，又，所以，所以，，所以，其中．故选：B23．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】已知，令，解得则函数对称轴方程为函数在区间不单调，，解得，又由，且，得，故仅当时，满足题意.故选：C.24．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，若的图像关于直线对称，则在上的极值点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】

将函数的图像向左平移个单位长度后可得，，且，则，，得，．又，所以，所以，设，则当时，，故由函数的图像可知在上的极值点个数为3个．故选：C．25．（2023·宁夏银川·宁夏育才中学校考三模）已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，所以，由在区间上有且只有两个零点可得：因为，当时，，所以时，有且只有两个零点，只能是，，所以，，解得：，所以的取值范围为，故选：B.26．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有10个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得是一个周期为2的奇函数，当时，，因此，因为是奇函数，所以，，且的周期为，且，，，，求的零点，即是与的交点，如图：为与在区间的交点图形，因为与均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知的零点周期为，若在区间上有10个零点，则第10个零点坐标为，第11个零点坐标为，因此.故选：A27．（2023·河南·校联考二模）若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意知，，结合，知，不等式转化为，须.设，由，知，设，当且仅当，即，时等号成立，因此实数的取值范围是.故选：A28．（2023·四川成都·模拟预测）已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，时，，要想在区间内无零点，则要满足，解得，要想不等式组有解，则要，解得，故或0，当时，，解得，当时，，解得，则的取值范围是.故选：D29．（2023·四川·校联考一模）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，即，因为函数在上没有零点，则，即，即，则，由，得，得，若函数在上有零点，则，，即，又，则.当时，解得.当时，解得.当时，解得，与矛盾.综上，若函数在上有零点，则或，则若没有零点，则或.故选：C.30．（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数，其中，当时，对任意，函数在内最多有1个零点，不符题意，所以，当时，，由可得或，则在上，有一个零点，所以在内有3个零点，即在内有3个零点，因为，所以，，所以，解得，综上所述，实数的取值范围为.故选：C.二、多选题31．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（

）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线【答案】AD【解析】由题意得：，所以，，即，又，所以时，，故．对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，，，直线不是对称轴；对D，由得：，解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．故选：AD．32．（2023·湖南郴州·统考一模）已知函数向左平移个单位长度，得到函数的图像，若是偶函数，则（

）A．的最小正周期为B．点是图像的一个对称中心C．在的值域为D．函数在上单调递增【答案】BC【解析】由题意得，，解得，因为，所以只有当，满足题意，A选项，，故最小正周期，A错误；B选项，，故，故点是图像的一个对称中心，B正确；C选项，，则，故，C正确；D选项，，则，由于在上不单调，故在上不单调递增，D错误.故选：BC33．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（

）A．B．函数的图象关于对称C．函数在的值域为D．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位【答案】ACD【解析】如图所示：由图可知，又，所以，所以，又函数图象最高点为，所以，即，所以，解得，由题意，所以只能，故A选项正确；由A选项分析可知，而是的对称中心当且仅当，但，从而函数的图象不关于对称，故B选项错误；当时，，，而函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以函数在的值域为，故C选项正确；若将函数的图象向左平移个单位，则得到的新的函数解析式为，故D选项正确.故选：ACD.34．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（

）A．B．在区间上有6个零点C．直线是图象的一条对称轴D．若对任意的恒成立，则【答案】ABD【解析】将图象上所有的点向右平移个单位长度，得，故A错误；令，得，所以，又，所以，即在区间上有6个零点，故B正确；因为，所以直线不是图象的一条对称轴，故C错误；对任意的恒成立，即对任意的恒成立，由，得，所以，所以，故D正确.故选：ABD.35．（2023·贵州·校联考模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，其中，且，若边上的中点为，则（

）A． B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】ABD【解析】对于A：，由正弦定理得，即，，因为，所以，所以，，，故A正确；对于B：由余弦定理知，，因为，，所以，，当且仅当时等号成立，因为，所以的最大值为，故B正确；对于C：由B知，则，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错；对于D：因为为边上的中线，所以，，得，因为，所以的最小值为，故D正确；故选：ABD.36．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）在锐角中，角所对的边为，若，且，则的可能取值为（

）A． B．2 C． D．【答案】ACD【解析】在锐角中，由余弦定理及三角形面积定理得：，即有，而，则，又，由正弦定理、余弦定理得，，化简得：，由正弦定理有：，即，，又是锐角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以，结合选项，的可能取值为，，.故选：ACD37．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知三