2023届高考数学二轮复习-抽象函数性质问题 含解析

2023届高三二轮复习专题突破

抽象函数性质问题

一、单选题(共0分)

1.已知函数“X)的定义域为R，"5)=4,l(x+3)是偶函数，任意Λ,,X,∈[3,4W)满足“xj-∕(xj>0,

XT2

则不等式/(3x-l)<4的解集为()

ʌ-停3)b∙[8,1卜(2,+∞)

C.(2,3)D∙(|，2)

【答案】D

【分析】由/(x+3)是偶函数，得函数图像关于直线x=3对称，结合单调性求解不等式即可得到结果.

【详解】因为“x+3)是偶函数，所以/(x)的图像关于直线x=3对称，

则"5)=/(1)=4,

因为任意%∈[3,+∞)满足二㈤>0,

所以“x)在[3,+∞)上单调递增，在(《,3)上单调递减，

故/(3x-l)<4等价于—<5,解得∣<x<2.

故选：D

2.已知函数f(x)及其导函数r(x)的定义域均为R,若满足/(x)+"2-X)=2,且尸(x)为奇函数，则

下列选项中一定成立的是()

A./(-1)=1B./(O)=OC./(l)=0D./(3)=-l

【答案】A

【分析】根据题意可得函数/(x)的奇偶性，然后令x=l,即可求得/(1),从而得到结果.

【详解】因为广(X)为奇函数，则—r(—χ)=r(χ),即/(—χ)=∕(χ),所以“X)为偶函数，

由/(x)+∕(2r)=2,得/⑴+f(l)=2,即J(I)=Z•(—1)=1,故A正确,C错误

令x=T,贝U∕(T)+∕(3)=2,贝∣J∕(3)=1,故D错误；

令X=O,则f(0)+∕(2)=2,故f(0)不一定等于0.故B错误.

故选:A

3.定义在(0,4)上的函数/(》)满足/(2-力=/(2+6，0<.2时/(犬)=辰|,若/(x)>依的解集为

{Nθ<x<α或b<x<4},其中“<〃，则实数Z的取值范围为()

(ln2AΓln2>}「11

A.I—,+∞IB.-^-,+∞IC.I-,+∞ID.-,+∞I

【答案】B

【分析】根据题意可知：函数，(X)关于x=2对称，作出函数Ax)在区间(0,4)上的图象，然后根据函数的

图象和不等式的解集确定实数A的取值范围即可.

【详解】因为函数“X)满足/(2-x)="2+x),所以函数因X)关于x=2对称,

作出函数/(x)在区间(0,4)上的图象，又因为不等式/(x)>质的解集为{x∣0<x<α或b<x<4},其中α<b,

根据图象可知：

当直线y=依过点(2,In2)时为临界状态，此时％=坐，

2

故要使不等式"x)>依的解集为{x∣O<x<α或6<x<4},其中α<"则&2殍，

故选：B.

4.已知定义在R上的偶函数/(x)满足小-∙∣)-d*J=0J(2022)j若f(x)>f'(-x),则不等式

/(x+2)的解集为()

e

A.(t+∞)B.(fl)

C.(-∞,3)D.(3,+∞)

【答案】A

【分析】构造g(x)=e'∕(x),利用已知可得函数的单调性，利用周期性求出g⑶=e3∕(3)=e2,化简已知

不等式，利用单调性得出解集.

【详解】/(x)是偶函数，∙∙j(x)=f(τ),则r(x)f(τ),即:(力是奇函数,

由/(x)>∕'(r)=-r(x),可得AX)+r(x)>O,构造g(x)=e"(x),则g(x)单调递增;

/(x-∣)=,r-T),r∙∕(x)=∕(r+3)=∕(r),即f(χ)的周期为3,则/(2022)="3)=：,即

2

e7(2022)=e-7(3)=ei不等式/(x+2)>?可化简为e"2∕(χ+2)>e2,即g(x+2)>g(3),由单调性可

得x+2>3,解得x>l

故选：A

5.已知函数/(x),g(x)的定义域均为Rj(X)为偶函数，且F(X)+g(2-x)=l,g(x)-/(x-4)=3,下列

说法正确的有()

A.函数g(x)的图象关于X=I对称

B.函数〃x)的图象关于(-1,-2)对称

C.函数f(x)是以4为周期的周期函数

D.函数g(x)是以6为周期的周期函数

【答案】C

【分析】根据题中所给条件可判断g")关于x=2和x=4对称，进而得g(x)的周期性，结合g(x)的周期性

和/(X)的奇偶性即可判断f(X)的周期性，结合选项即可逐一求解.

【详解】由/(x)+g(2-x)=l得f(-x)+g(2+x)=l,又f(x)为偶函数，所以

/(x)^∕∙(-x),进而可得g(2r)=g(2+x);因此可得g(x)的图象关于x=2对称，

又g(x)-4)=3可得g(8-x)-"4-x)=3,结合f(x)为偶函数，所以g(x)=g(8-x),故g(x)的

图象关于χ=4对称，

因此g(x)=g("x)=g(4+x),所以g(x)是以4为周期的周期，故D错误，

由于/(x-2)=g(x+2)-3=g(2—x)—3=l_/(x)_3="x)=-"x-2)-2,所以/(r)+"x-2)=-2

K∕(X)=-∕(X-2)-2=-[-∕(X-4)-2]-2=∕(X-4),

因此/(x)的图象关于(-1,-1)对称，函数/(x)是以4为周期的周期函数，故C正确，B错误，

根据/(x)是以4为周期的周期函数，由〃x)+g(2—x)=l,g(x)—f(x-4)=3得g(x)+g(2—x)=4,所

以数g(x)的图象关于(1,2)对称，故A错误，

故选：C

6.已知函数fS)及其导函数f(x)的定义域均为R,记g(x)=∕(l+x)-x,若/(x)为奇函数，g(x)为偶

函数，贝∣J/'(2023)=()

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】C

【分析】先根据g(χ)为偶函数得到/(i+幻-χ=f(i-χ)+χ,两边取X的导数可得：求

∕,d+x)÷/(1-X)=2,进而得到/(I)=1,在根据导函数/(x)为奇函数可得到导函数/'(X)的递推公

∕∙'(x+2)=/'(X)+2,然后根据递推公式即可求解.

【详解】；g(x)为偶函数，.∙.g(χ)=g(-χ),即/(l+χ)-χ=∕(l-χ)+χ,两边同时对X求导得

f'(l+X)-I=-√'(l-x)+l,

即/'(l+x)+∕'(I-X)=2,令χ=0,则，(1)=1,

∙.∙f(χ)为奇函数，二/'(-W=-Γ(χ),

又f'(l+x)+∕,(l-x)=2,BP∕,ω=2-∕,(2-x),

联立f∖-x)=一「⑶得一/'(-X)=2-f'(2-X),即f'(x+2)=f'(x)+2,

：.∕,(2023)=∕,(2×1011+1)=∕,(l)+2×1011=2023,

故选：C.

115

7.已知函数/(x)的定义域为R,且〃x+l)+〃x—l)=2,∕(x+2)为偶函数,若〃0)=2,则ZyW=()

Jt=I

A.116B.115C.114D.113

【答案】C

【分析】由“x+l)+"x-l)=2可得函数〃x)的周期为4,

再结合/(x+2)为偶函数，可得/(x)也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.

【详解】由/(x+l)+∕(x-l)=2,得/(x+2)+∕(x)=2,

即/(x+2)=2-

所以/(x+4)=2-/(x+2)=2-[2-"x)]=∕(x),

所以函数/(x)的周期为4,

又/(x+2)为偶函数，

则"-x+2)=∕(x+2),

所以/(x)=∕(4-X)=/(-x),

所以函数/(x)也为偶函数，

X∕(x+l)+∕(x-l)=2,

所以”1)口3)=2,/(2)+∕(4)=2,

所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=4,

又/(l)+∕(-l)=2,即2/(1)=2,所以/(1)=1,

又“0)+/(2)=2,/(0)=2,

.∙∕2)=0,

115

所以X"%)=["1)+∕(2)+"3)+”4)]X28+”1)+∕(2)+∕(3)=4X28+2+0=114

A=I

故选：C.

8.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,⅛/(x)÷g(2-%)=5,g(x)-/(χ-4)=7.若y=g(x)的图像关于

直线x=2对称，g⑵=4,则£/(%)=()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【分析】根据对称性和已知条件得到〃x)+f(x—2)=—2,从而得到/(3)+/(5)++/(21)=-10,

/(4)+/(6)++/(22)=70,然后根据条件得到了(2)的值，再由题意得到g⑶=6从而得到/(1)的值

即可求解.

【详解】因为y=g(χ)的图像关于直线χ=2对称，

所以g(2-x)=g(x+2),

因为g(x)—f(x-4)=7,所以g(x+2)-/(x-2)=7,即g(x+2)=7+f(x-2),

因为/(x)+g(2-x)=5,所以/(x)+g(x+2)=5,

代入得/(X)+[7+/(X-2)]=5,即/(x)+/(x-2)=-2,

所以八3)+/(5)++/⑵)=(-2)x5=-10,

/(4)+/(6)++∕(22)=(-2)×5=-10.

因为/(x)+g(2-x)=5,所以/(0)+g(2)=5,即"0)=1,所以/⑵=—2—/⑼=-3.

因为g(x)-∕(x-4)=7,所以g(x+4)-∕(x)=7,又因为/(x)+g(2-x)=5,

联立得，g(2r)+g(尤+4)=12,

所以丫=8。)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,

所以g(3)=6

因为/(x)+g(x+2)=5,所以〃1)=5-g(3)=T.

22

所以E∕W=∕(l)+∕(2)+[43)+∕(5)++/(21)]+[∕(4)+∕(6)++∕(22)]=-l-3-10-10=-24.

k=l

故选：D

【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后

得到所需的一些数值或关系式从而解题.

二、填空题(共0分)

9.函数f(x)及其导函数:(x)定义域均为R,且/(3x+2)是偶函数，记g(x)=r(x),g(x+l)也是偶函

数，贝IJr(2022)=__________.

【答案】0

【分析】根据函数的奇偶性得到g(x)=-g(τ+4),根据导函数的奇偶性得到g(x)=g(-x+2),确定函数

的周期为4,得到广(2022)=8(2022)=8出，计算得到答案.

【详解】/(3x+2)是偶函数，/(3x+2)=∕(-3x+2),

两边求导得至∣J3∕'(3x+2)=-3f'(-3x+2),即g(3x+2)=-g(-3x+2),

即g(x)=-g(—x+4),取x=2,g(2)=-g(2),g(2)=0,

g(x+l)也是偶函数，故g(x+l)=g(-x+l),即g(x)=g(-x+2),

故一g(τ+4)=g(-x+2),即g(x)=-g(x+2),g(x+2)=-g(x+4).

故g(x)=g(x+4),4是函数的一个周期，r(2()22)=g(2022)=g(2)=0∙

故答案为：0

16

10.已知/(X)是定义域为R的函数，f(x-2)为奇函数，/(2x-l)为偶函数，则Wy⑴=___.

/=0

【答案】O

【分析】依题意可得了(X)关于直线X=-I对称、关于点(-2,0)对称且时周期为4的周期函数，再求出

/(l)+∕(3)=0,/⑵+/(4)=0,即可得解.

【详解】解：因为/(2x-D为偶函数，所以A-2x-l)=∕(2xT),所以∕∙(r-l)=∕∙(χ-1),即

f(-x-2)=f(x),则F(X)关于直线不=-1对称,

因为/(x-2)为奇函数，所以/(x-2)=-Λ-x-2),所以/(x)的图象关于点(一2,0)对称，

所以/(x—2)=—/(—x—2)=—/(x),贝U/(x—4)=—/(x-2)="x),所以/(x)是周期为4的周期函数，

由/(x—2)=—/(r—2)=-∕∙(4-x-2)=—/(2-x),BP∕(x)=-∕(-x),所以/(x)为奇函数，

又/(x)是定义域为R的函数，所以/(0)=0,

在f(x-2)=-f(x)中,令户-1,所以〃-3)=-/(—1)=/⑴=—"3),

所以"l)+"3)=0,

在/(x—2)=/(T)中，令χ=-2,所以“Y)=/(2)=-44),

所以J∙(2)+∕(4)=0,

所以/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=0,

所以f∕(i)="0)+4[∕(l)+"2)+∕(3)+∕(4)]=0.

/=O

故答案为：0

2()23

11.设g(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且满足g(x+l)为偶函数，g(x+2)为奇函数，则£g(&)=

Jt=I

【答案】0

【分析】根据函数的奇偶性可知函数g(x)是周期为4的函数，然后利用周期性求解即可

【详解】由g(x+l)为偶函数，则函数g(χ)关于直线X=I对称，

则有g(r)=g(2+x);

由函数g(x+2)为奇函数，则函数g(x)关于(2,0)对称，

则一g(r)=g(4+x),

所以g(4+x)=-g(x+2),

设t=x+2,则g(f+2)=-g(f),从而函数g(x)是周期为4的函数，

又由函数g(x)关于(2,0)对称，可得g(l)+g⑶=0且g⑵=0,

由g(2)=-g⑼=0可得g(0)=0,所以g(4)=0,

因为g⑴+g(2)+g⑶+g(4)=0,

2Q23

所以Sg(Z)=g⑴+g(2)+L+g(2023)=505*[g(l)+g(2)+g⑶+g(4)]+g(l)+g(2)+g⑶

A=I

=505×0+0=0,

故答案为：0

三、多选题(共0分)

12.已知函数〃力=2々，则()

X-l

A.“X)的定义域是(-∞,1)(1,m)B.的值域是R

C./(X+1)是奇函数D.4X)在(-8,1)一(1,”)上单调递减

【答案】AC

【分析】逐个判断每个选项.

【详解】对于A项，分式中分母不等于0,所以x-lrO,解得：x≠l

所以"x)的定义域是(-∞,1)(1,+8)；故A项正确；

对于B项，的值域是(-,O)(0,3),故B项错误；

z222

对于C项，/(Λ+1)=-,令g(x)=—，定义域为(T»,o)U(O,*»),g(-X)=--=-g(x)所以g(x)是奇函

XXX

数，即/(χ+l)是奇函数，故C项正确；

对于D项，多个单调区间可用逗号(或“和”)隔开，所以在(-∞,1),。,+8)上单调递减，在

(→>,1)(l,+∞)上不是单调递减的，故D项错误.

故选：AC.

13.已知函数“X)及其导函数r(x)的定义域均为R,记g(x)=r(x),若/(3-x),g(∣-2x)均为奇函

数，贝IJ()

A./(3)=OB.g(3)=O

D.g⑸=-g⑻

【答案】AD

【分析】对A,根据定义域为R的奇函数的满足在x=()处的值为0判断即可;对B,根据题意不能求出g⑶

的值；对C,根据奇函数的性质可得F(I)佃的关系；对D,根据/(3-X)为奇函数推导可得

g(3-x)=g(3+x),再g(∣-2x)为奇函数可得g(χ)的周期为2,再令X=；可得g

进而根据周期性判断即可

【详解】对A,因为“3-x)为奇函数，且定义域为R,故"3-0)=0,即"3)=0,故A正确;

对B,g(g-2x)为奇函数贝l]g(∣)=0,且无条件推出g(3)的值，故B错误;

对C因为〃3-力为奇函数,故小—；)=—小+；)即/图=一佃，

故C错误:

对D,因为〃3—x)为奇函数，则"3-x)=-∕(3+x),⅛[∕{3-x)],=[-∕(3+x)]∖故

-f,(3-x)=-f'(3+x),所以g(3τ)=g(3+x),即g(x)关于x=3对称.

又g(∣-2x)为奇函数，故g(x)关于6,0)对称，结合g(x)关于x=3对称有

gQ卜YMm即g(∣τ)&g(}τ)∙

故g(x)=-g(x+l),又g(x+l)=-g(x+2),所以g(x)=g(x+2),即g(x)的周期为2.

=即g(2)=-g(3),所以g(2+2x3)=-g(3+2),即g(5)=-g⑻，故D正确;

故选：AD

14.已知函数.f(x)是奇函数，/(x+l)是偶函数，并且当Xe(0,1]J(X)=I-2》，则下列结论正确的是()

A./(x)在(-3,-2)上为减函数

B./(x)在(g,∣)上〃力＜0

Cf(X)在[L2]上为增函数

D∙/(x)关于x=3对称

【答案】BD

【分析】由已知可得/(x)的图象关于(0,0)中心对称，且关于x=l轴对称，周期为4,则可依次判断每个

选项正误.

【详解】因为“X)是奇函数，/(X+1)是偶函数，

所以/(T)=-/U),/(χ+l)=∕(-χ+l),

所以f(X+4)=f(x+3+1)=f(-x-3+1)=/(-%-2)=-/(x+2),

又/(x+2)=∕U+l+l)=/(-X-I+1)=f(-x)=-/(X),

所以“x+4)=f(x),

所以函数/(x)的周期为4,其图象关于x=l轴对称，

当x∈(0,l］时，f(x)=∖-2x,则函数/(x)在x∈(O,l)上递减,

根据对称性可得”X)在X∈(1,2)单调递增，

再结合周期性可得/(x)在(-3,-2)上为增函数，故A错误，

因为当x∈(0,l］时，/(x)=l-2x,

/(x)在小于0,根据对称性可得/(x)在小于0,故B正确；

/(x)的图象关于x=l轴对称，所以j［g)=∕(g)=O,/(2)=∕(0)=0,

所以/(x)不可能在口，2］上为增函数，故C错误；

因为/(τ)=-√(χ),/(χ+l)=∕(-χ+l),

所以/(T-X)=-/(x+D=-/(-X+D=∕(-I+x)

所以“χ)的图象关于X=-I轴对称，

因为"x)的周期为4,所以"x)关于x=3对称，故D正确.

故选：BD.

15.已知函数g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x+2)=g(x-2).若x∈［0,2］时，g(χ)=j2x-Y,则下

列结论正确的有()

A.函数g(x)的值域为［T1］

B.函数g(x)图像关于直线x=l对称

C.当实数k=±∙∣时，关于X的方程Ig(X)I+g(∣H)=丘恰有三个不同实数根

D.当实数ke一船笔卜哈用时，关于X的方程Ig(X)I+g(W)=日恰有四个不同实根

【答案】ABD

【分析】根据已知利用周期性得到函数的图像，数形结合判断方程根的个数即可求得人的范围进行判断.

【详解】解析：由g(x+2)=g(x-2),函数g(x)周期为4.

2

又g(x)为奇函数，而xe[0,2]时，g(λ)=∖∣2x-x,

即y=4三7,变形整理得(x—iy+y2=ι(y≥o).

可得函数g(“图像：

片

1

θs,ɪɪɪ)ɑ.*

-1

由图像可知，函数g(x)的值域为卜1,1]且关于X=I对称，

选项AsB正确.

记〃X)=Ig(X)I+g(∣χ∣),

由/(T)=Ig(T)I+(H)=HWl+g(∣-χl)=∣.?W∣+s(IXI)=ʃ(ɪ),

所以/(X)为偶函数,当X∈[O,2]时，f(x)=2g(x),当x∈[2,4]时,F(X)=0,

/(X)图像为：

W

2

△

~-4-Dk02468IOx

又方程Ig(X)I+g(∣x∣)=心有四个不同的根,当x≥0时,

即直线V=点与函数y=2g(x),xe[4kAk+2],壮Z有四个交点，

即直线y=∙∣x与函数y=g(x),xe[4k,4k+2],ZeZ有四个交点，

数形结合可得又因为/(x)为偶函数，

所以%€-骼普，器)，同时左=±骼时恰有一个交点，

选项C错误，D正确.

故选：ABD

16.已知函数y=f(x)的定义域为R,函数卜=/@+1)的图象关于点(2,2)对称，函数y=∕(2x)的图象关

于直线X=I对称，下列结论正确的有()

A./(2)=2B./(3)=2C./(l)+∕(3)=4D.吗)

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，探讨函数y于(χ)的性质，再逐项判断作答.

【详解】函数yj(χ)的定义域为R,由函数丫=/(犬+1)的图象关于点(2,2)对称，得y=∕∙(χ)的图象关于

点(3,2)对称，

则有f(6—x)⅛f(x)=4,取χ=3得43)=2,B正确;

由函数y="2x)的图象关于直线X=I对称，得f［2(2-x)］"(2x),则有/(4-x)力X),函数产/(x)的

图象关于直线x=2对称，

因此八1)=/(3),有/(1)+/(3)=4,C正确;

于是得/(6—x)V(4-x)=4,即f(x+2)=4-f(x),有/(χ+4)=4-/(x+2H(X),取X=V得,

D正确；

函数8(》)=8$事》+2的图象关于点(3,2)对称，且关于直线户2对称，而g(2)=l,A不正确.

故选：BCD

17.已知奇函数/(x)在R上可导，其导函数为了'(X),且J(I)-f(l+x)+2x=0恒成立,若/(x)在［0』

单调递增，则()

A."x)在［1,2］上单调递减B./(O)=O

C./(2022)=2022D.∕,(2O23)=l

【答案】BCD

【分析】根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可.

【详解】方法一：

对于A,若/(x)=x,符合题意，故错误，

对于B,因已知奇函数f(x)在R上可导，所以/(0)=0,故正确，

对于C和D,设g(x)="x)-X,则g(x)为R上可导的奇函数,g(0)=0,

由题意“Jχ)+χ7=∕(l+χ)τ-χ,得g(l-χ)=g(l+χ),g(χ)关于直线X=］对称，

易得奇函数g(x)的一个周期为4,g(2022)=g⑵=g(0)=0,故C正确，

由对称性可知，g(x)关于直线x=-1对称，进而可得g'(T)=0,(其证明过程见备注)

且g'(x)的一个周期为4,所以g<2023)=g<T)=0,故D正确.

备注：g(l-x)=g(l+x),即-g(l-x)=-g(l+x),所以g(-l+x)=g(-I-x),

等式两边对X求导得，√(-l+x)=-g,(-l-x),

令X=0,得g'(T)=-g'(T),所以g'(T)=0∙

方法二：

对于A,若/(x)=x,符合题意，故错误，

对于B,因已知奇函数/(x)在R上可导，所以/(0)=0,故正确，

对于C,将/(1一同一/(1+力+2》=0中的工代换为；(：+1,

得/(T)-"2+X)+2X+2=0,所以"X+2)+∕(X)=2X+2,

可得/(x+4)+∕(x+2)=2x+6,两式相减得，“x+4)—"x)=4,

贝IJ”6)—/(2)=4,/(10)-∕(6)=4......../(2022)-∕(2018)=4,

叠加得/(2022)-/⑵=2020,

又由/(x+2)+/(x)=2x+2,得”2)=-/(0)+2=2,

所以/(2022)=/(2)+2020=2022,故正确，

对于D,将/(I)-/(l+x)+2x=0的两边对X求导，得-/(l)-r(l+x)+2=0,

令X=O得，∕,(1)=1,

将-F(T)=F(X)的两边对X求导,得f'(r)=r(χ),所以/'(T)=I,

将/(χ+4)-"x)=4的两边对X求导，得r(x+4)=r(χ)，

所以r(2023)=r(2019)=…=∕(T)=1,故正确.

故选：BCD

18.已知函数y=F(X-I)的图象关于直线户-1对称，且对VxeR有/(x)+∕(-x)=4.当x∈(0,2］时,

f(x)=X+2,则下列说法正确的是()

A./(x)的最小正周期是8B./(x)的最大值为5

C./(2022)=0D./(x+2)为偶函数

【答案】ACD

【分析】利用对称关系以及恒等式对等式进行变形，可以得到函数/U)的周期，即可判断选项A,由上述

过程中可得/(x+2)=/(-x+2),即可判断选项D,求出函数/*)在[-2,2]上的函数解析式，利用函数

y=/(x)的图象关于直线X=-2对称，研究一个周期中的最大值，即可判断选项B,利用函数的周期性以

及对称性求解/(2022),即可判断选项C.

【详解】解：因为函数y=∕(χ-D的图象关于直线X=-I对称，

故/O)的图象关于直线X=-2对称，

因为对VXeR有f(x)+/(-%)=4,

所以函数y=/(X)的图象关于点(0,2)成中心对称，

所以/(-2+X+2)=f[-2-(x+2)],BP/(x)=/(-4-X)=4-f(-x),

X∕(-4-X)+∕(Λ+4)=4,即/(T-X)=4-∕(X+4),

所以/(x+4)=/(-X),所以∕l(x+4)+4]=∕lTx+4)]=∕(x),

所以f(x+8)=∕(x),所以f(x)的周期为8,故A正确；

又一(x+2)=∕(-x+2),故函数/(x+2)为偶函数，故D正确；

因为当Xe(0,2]时，/(x)=x+2,且/(x)+∕(-X)=4,

则当xe[-2,0)时，-Xe(0,2],

所以f(τ)=-x+2=4-∕(x),所以/(x)=x+2,

故当xe[-2,2]时，/(x)=x+2,

又函数V=F(X)的图象关于直线X=-2对称，

所以在同一个周期[-6,2]上，/(x)的最大值为"2)=4,

故AX)在R上的最大值为4,故B错误：

因为“2022)=/(252x8+6)=/(6)=/(2+4)=/(-2)=4-/(2)=0,所以C正确.

故选：ACD.

19.已知函数“X)及其导函数/'(X)的定义域均为R,若/(2-x),r(∣-2x)均为奇函数，则()

A./(2)=0B.Γ(l)=Γ(0)C./(3)="2)D.尸(2022)=-尸㈠)

【答案】ACD

【分析】由题知/(2T)=∙√(2+x),尸(；一2%|=-尸］|+2*;进而得"2)=0,f(∣)=0可判断A；

再对/(2-x)=-∕(2+x)求导可得/'(x+l)=∙√'(x),进而得外x)为周期函数，周期为2,进而可得

,,,

∕(2022)=/(O)=-∕(-l),/'(I)=-∕(0)可判断BD；再根据∕{∣-2x)=-Jf(I+2x)得

F(I-2x)-2G=J(I+2x)-2。?，进而得G=C?时，/(2)=43)可判断C..

【详解】解：因为若f(2-x),/'(∣-2x)为奇函数，

所以/(2r)f(2+x),Oq=-f'(∣+2x)

令X=O得〃2)=-/⑵，《|)=H1}即/⑵=O,f(∣)=0，A选项正确;

所以，_/'(2_力=_/'(2+力，即r(2-x)=∕'(2+x),

所以，函数用X)关于x=2对称，gθ)对称，

所以,《|-十寸仔+-《|7),即r(%Tl-χ)

所以，Γ(x+l)=-∕,(x),

所以，∕,(x+2)=-∕,(x+l)=Γ(x),即函数附x)为周期函数，周期为2,

所以，r(2O22)=r(o)=—r(T),r(i)=—r(o),故D选项正确，B选项错误；

对于C选项，由/'(∣-2x)=--［∣+2x］可得-3/1|-2》)+^=-3/1|+2”+。2，其中6，。2为常数,

所以/(∣)-2G=∕(0-2G,所以G=C2，

故令X=；得/(2)-2G="3)-2G,即〃2)=/(3),故C选项正确.

故选：ACD.

20.己知函数/(》)、g(x)的定义域均为R,为偶函数，且f(x)+g(2τ)=l,g(x)-∕(x-4)=3,

下列说法正确的有()

A.函数g(x)的图象关于X=I对称B.函数f(x)的图象关于(TT)对称

C.函数〃x)是以4为周期的周期函数D.函数g(x)是以6为周期的周期函数

【答案】BC

【分析】利用题中等式以及函数的对称性、周期性的定义逐项推导，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，因为〃x)为偶函数，所以/(r)=∕(x)∙

由/(x)+g(2-x)=l,可得f(-x)+g(2+x)=l,可得g(2+x)=g(2-x),

所以，函数g(x)的图象关于直线x=2对称，A错；

对于B选项，因为g(x)-f(x-4)=3,则g(2-x)—，(一2-x)=3,

又因为F(X)+g(2-x)=l,可得/(x)+"-2τ)=-2,

所以，函数〃X)的图象关于点(TT)对称，B对；

对于C选项，因为函数为偶函数，且/(x)+"-2-X)=-2,

则/(x)+∕(x+2)=—2,从而/(x+2)+∕(x+4)=-2,贝∣J/(x+4)=∕(x),

所以，函数/(x)是以4为周期的周期函数，C对；

对于D选项，因为g(x)-∕(x-4)=3,且f(x)=∕(x-4),.∙.g(x)-/(X)=3,

又因为/(x)+g(2-X)=1,所以，g(x)+g(2-x)=4,

又因为g(2-x)=g(2+x),贝IJg(X)+g(x+2)=4,所以，g(x+2)+g(x+4)=4,

故g(x+4)=g(x),因此，函数g(x)是周期为4的周期函数，D错.

故选：BC.

【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：

(1)若函数〃x)的图象关于直线X=。和χ=b对称，则函数的周期为7=2Ia-小

(2)若函数F(X)的图象关于点(。,0)和点伍,0)对称，则函数F(X)的周期为7=2,-小

(3)若函数Fa)的图象关于直线X=。和点(6,0)对称，则函数/(x)的周期为T=4∣α-*

21.已知定义在R上的函数/(x)满足〃T)=/(x),/(2-X)=-/(x),且当XW(T0］时，/(x)=—Ir,

则()

A."x)的图像关于点(TO)对称

B.〃x)在区间［5,6］上单调递减

C.若关于X的方程/(x)="在区间［0,6］上的所有实数根的和为?，则布=-日

ɔɔ

D.函数y=f(χ)T∏N有4个零点

【答案】ACD

【分析】对于A,由/(2-x)=-∕(x),结合偶函数性质，可得答案;

对于B,根据偶函数的对称性和函数图像的中心对称性，可得答案；

对于C,根据函数与方程的关系，结合对称性，可得答案；

对于D,根据函数的图像性质，函数值域之间的比较，可得答案.

【详解】由题意，得/(2+x)=-∕(-x)=—/(x),所以/(4+x)="x),所以/(x)是以4为周期的函数,

i⅛∕(-2-x)=∕(4-2-x)=∕(2-x)=-∕W>所以"x)的图像关于点(TO)对称，故选项A正确；

由A可知：当x∈(-1,()]时，f(x)=-1—X,当xe[—2,—1)时，—2—x∈(-1,()],

F(X)=-F(-2-x)=-[-l-(-2-x)]=-l-x.即当x∈[-2,0]时，/(x)=-l-x,

又"-x)="x),所以为偶函数，则当Xe(0,2]时，-%∈[-2,0],

[—1—Y—2≤γ≤0

/(x)=∕(-x)=x-l,所以〃X)=.根据/(x)的周期性，

当x∈(2,4]时，x-4∈(-2,0],则f(χ)=∕(χ-4)=-1—(x—4)=3—X,

同理，当xe(4,6],〃x)=x—5,得/(x)=｛一八，

[X—3,4<X≤O

所以“X)在区间[5,6]上单调递增，故选项B错误；

根据上述结论，函数/(x)在[0,6]上的图像如下：

求方程/(力=相等价于函数/(x)的图像与V="?的图像相交点的横坐标，如图，

设从小到大依次为玉，演，匕，其中三歪=4,其和2x4+x∣=g,解得%=ge(0,l),代入/(x)=x-l,

12

↑^m=--∖=--,故选项C正确；

求函数y=/(x)-ln∣R的零点个数，即求曲线y=∕(χ)与y=ln∣H的公共点个数.

当x>0时，y=ln∣χ=lnx在点(1,0)处的切线方程为y=x-1,故y=x-l(x∈(0,2])与y=lnx只有一个公共

点(1,0).由In2<l,ln6>l,得xw(2,∙∏o)时，y=1川目与y=∕(x)有一个交点，故当x>0时，y=∕(x)与

y=ln∣x∣有2个公共点.由y=∕(x)与y=ln∣x∣均为偶函数，得当XCO时，y=f(x)与.y=ln∣Λ^∣有2个公共

点，故函数y=√(x)-ln∣x∣有4个零点.如下图.

故选项D正确.

故选：ACD.

22.设函数/(x)定义域为R,/(X-D为奇函数，/(x+l)为偶函数，当XW(TJ时,/(x)=-x2+l,则下

列结论正确的是()

ʌ-4⅛4

B./(x+7)为奇函数

C.f(x)在(6,8)上为减函数

D.方程/(x)+Igx=O仅有6个实数解

【答案】ABD

【分析】利用函数奇偶性以及特值可以得到/(T)=-?，选项A正确；利用函数奇偶性可以得到函数的

周期性选项B正确；利用函数奇偶性以及周期性得出函数图象可得选项C错误；通过数形结合可选项D

正确.

【详解】对于选项A：f(x+D为偶函数,故洋x+l)=f(τ+D,令K=］得：∕φ=∕(-∣+D=∕(-∣),

1ɜ11

又/(XT)为奇函数，i⅛/(X-1)=-/(-X-D,令X=；得：/(-*=-/W-I)=-/(-；)，其中

zH)=4+ι=r

所以修)=〃-§Tm

故选项A正确；

对于选项B：因为/C"D为奇函数，所以/O)关于(To)对称，

又/(x+l)为偶函数，则/(χ)关于x=l对称,所以/(x)周期为4x2=8,

故/(x+7)=∕(x-l),所以/(f+7)=/(T-I)T(X-1)=-/(x—1+8)=-/(x+7),

从而/(x+7)为奇函数，

故选项B正确；

对于选项C：F(X)=-X2+1在Xe(-1,0)上单调递增，又Ax)关于(-1,0)对称，所以AX)在(-2,0)上单调递

增，且/CO周期为8,故F(X)在(6,8)上单调递增，

故选项C错误；

对于选项D：根据题目条件画出/")与>=Tgx的函数图象，如图所示：

其中y=-lgx单调递减且-Igl2<-1,所以两函数有6个交点，故方程/(x)+lgx=0仅有6个实数解，

故选项D正确.

故选：ABD

23.定义在R上的函数Ax)与g(x)的导函数分别为f'(x)和g'(χ),若g(x+l)-∕(2-x)=2,∕,(x)=g,(x-l),

且g(x+2)为奇函数，则下列说法中一定正确的是()

A.g(2)=0B.函数f(x)关于x=2对称

2023

C.函数/(X)是周期函数D.Zg(Z)=O

ft=l

【答案】ACD

【分析】由g(x+2)为奇函数可得g(2)=0,由g(x+l)-∕(2-x)=2取导数可得/(x+l)+r(2-x)=0,

>>0”

结合条件可得r(x+2)+∕'(2-x)=0,判断B,再由条件判断函数/(X),g(x)的周期，由此计算£8(左)，

A=I

判断C,D.

【详解】因为g(x+2)为奇函数，所以g(x+2)=—g(—x+2),

取x=0可得g(2)=0,A对，

因为g(x+l)_/(2_x)=2,所以g[x+l)+尸(2-x)=0

所以g'(x)+∕'(3-X)=0,又f'(x)=g'(x-D,即r(x+l)=g'(x),

T(x+l)+r(3-x)=0,故((x+2)+1(2—x)=0,

所以函数尸(x)的图象关于点(2,0)对称，B错，

因为尸(X)=g'(x-1)，所以[/(x)-g(x-l)]'=0

所以“x)-g(XT)=c，C为常数，

因为g(x+l)-∕(2-x)=2,所以g(3-x)-"x)=2,

所以g(3^~x)-g(x^~l)=2+c,取x=2可得C=—2,

所以g(x7)=g(3-x),X^(x+2)=-g(-x+2),即g(x+l)=-g(r+3),

所以g(χ+ι)=-g(χ-ι),所以g(χ)=-g(χ-2),

所以g(x+4)=-g(x+2)=g(x),故函数g(x)为周期为4的函数，

因为g(x+2)=-g(x),所以g(3)=-g(l),g(4)=-g⑵=0,

所以g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=0,

2023

所以Zg(A)=M⑴+g(2)+g(3)+g(4)]+[g(5)+g⑹+g⑺+g(8)]+-∙

k=l

+[g(2017)+g(2018)+g(2019)+g(2020)]+g(2021)+g(2022)+g(2023),

2()23

所以∑g(A)=505X0+g(2021)+g(2022)+g(2023)=g⑴+g(2)+g(3)=-g(4)=0,

k=l

2023

故E>(A)的值为0,D正确；

Λ=l

因为g(3r)T(X)=2,BP∕ω=g(3-x)-2

故函数/(x)也为周期为4的函数，C正确.

故选：ACD.

【点睛】本题的关键在于结合g(x+D-/(2r)=2,f'(x)=g'(x-↑),且g(x+2)为奇函数三个条件,得到

函数f(x),g(x)的周期，利用对称性和周期性判断各个选项.

24.已知函数/G)及其导函数/'(X)的定义域均为R,记g(x)=∕'(x),/(2x-l)+∕(3-2x)=∕(-2),

g(lτ)+g(-3x)=gbg),则()

A./(4)=0B.g(2)=g(T)

C.^[-ɪ]=0D.g(2022)=g(0)

【答案】ACD

【分析】代入x=-g,找到含有/(4)的等式可判断A正确，令f=2x-1,建立等式并求导，可得到g(x)关

于x=l对称,利用g(j)=g(l+x),用-X换X得到方程组解得g(-3x)=g(3x),可知g(x)为偶函数，进

而可判断周期为2,容易判断D正确，利用g(x)为周期为2的偶函数，结合选项变换函数值，可求得

g(-；)=0,判断g(2),g(-l)不一定相等.

【详解】f(2x-l)+f(3-2x)=∕(-2),

令X=-；，得〃一2)+〃4)=〃—2)

../(4)=0,所以A正确.

令f=2x-l,贝IJJC)+/(2—。=/(一2)

求导数得，r(t)-f'(2τ)=0,即g(f)=g(2τ)

所以g(x)关于X=I对称，；•g(l-X)=g(l+X)

⅞(l-x)+g(-3x)=^(--)

又因为g(-3x)=g(3x)

g(l+x)+g(3x)=g(-/)

所以g(x)为偶函数.

∙∙∙g(x)=g(-x)=g(2-x),g(x)的周期为2.

因为g(x)为周期为2的偶函数，

所以g(2)=g(0),g(T)=g(l)

令X=O时，g(2)+g(-ɪ)=g(l)+g(0)=g(-g)

133I

令X=一万，↑⅜g(^)+⅛(ɪ)=g(~~)

g(T)=g(-；)∙∙∙g(-g)=O,所以B不正确，C正确.

因为g(x)的周期为2,