2023年初中学业水平考试数学试题及答案

2023年初中学业水平考试（中考）数学试题及答案

注意事项：

1.本试题共24个题，考试时间120分钟.

2.请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答

题卡的指定区域内，写在其他区域不得分.

一、选择题（本大题共8个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请

把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）

L下列各数中，绝对值最小的数是（）

A.—5B.—C.—1D.∖p2

2.函数y=X三的自变量X的取值范围是（）

x-5

A.x≠5B.x>2,⅛x≠5C.x≥2D.x≥2^x≠5

3.在平面直角坐标系中，将点尸（-3,2）向右平移3个单位得到点P,则点关于X轴的对称点

的坐标为（）

A.(0,-2)B.(0,2)C.(-6,2)D.(-6,-2)

4.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示

在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（）

5.如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的

条件是（）

A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直平分

6.如图，将ABC绕点A顺时针旋转角ɑ,得到04）石，若点E恰好在CB的延长线上，则

ZBED等于（）

D

A

aC2

A.B.-ocC.αD.180°—。

23

7.等腰三角形的一边长是3,另两边的长是关于X的方程f-4x+k=0的两个根，则左的值为

()

A.3B.4C.3或4D.7

8.一次函数y=办+匕与二次函数"加+加+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是

二、填空题(本大题共6个小题，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内)

9.计算(6-4)(石+4)的结果是.

10.方程上的解是____.

XX-I

IL如图，在4?C中，NAeB=90。，点。为AB边的中点，连接C。，若3C=4,CD=3,

则cosZDCB的值为______.

12.从-1,2,-3,4这四个数中任取两个不同的数分别作为α"的值,得到反比例函数y=—,

X

则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是.

13.如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA=OB=2,OO与边AB相切于点。，则图中阴

影部分的面积为______.

14.如图，矩形ABCD中，AB=5,Ao=I2,点P在对角线30上，且BP=B4,连接AP并

延长，交OC的延长线于点。，连接8Q,则6Q的长为

AD

三、解答题（把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内∙）

(1.020

15.计算：2^'+1√6-31+2√3sin45°-(-2)2020.I-J.

C⑵)«-4

16.先化简，再求值:2a-------÷-------------其中。：两足，厂+2a—3=0.

a+2)tr+4α+4

17.如图，在，ABC中，NACB=90。，点E在AC的延长线上，EDLAB于点D,若BC=ED,

求证：CE=DB.

18.某兴趣小组为了测量大楼8的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点8处，然后在

点8处测得大楼顶点C的仰角为53。，已知斜坡AB的坡度为i=1:2.4,点A到大楼的距离AD

,434

为72米，求大楼的高度CO.（参考数据：sin53o≈∣,cos53o≈j,tan53o≈^）

19.某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽

取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x<70;B：70≤x<80;C：80≤x<90;D：90≤x<100,

并绘制出如下不完整的统计图.

(1)求被抽取的学生成绩在C：180≤x<90组的有多少人;

(2)所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；

(3)若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A：60≤x<70组的学生有多少人.

20.如图，一次函数V=履+A的图象与反比例函数y=’的图象相交于A。,2),B(〃,-1)两点.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)直线AB交X轴于点C,点尸是X轴上的点，若AACP的面积是4,求点P的坐标.

21.今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的

情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和键子作为活动器材.已知购买2根跳绳和5个耀

子共需32元；购买4根跳绳和3个段子共需36元.

(1)求购买一根跳绳和一个毯子分别需要多少元；

(2)某班需要购买跳绳和毯子的总数量是54,且购买的总费用不能超过260元；若要求购买

跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案.

22.如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的。0与BC相交于点O,过点。作。。的切

线交AC于点E.

(1)求证：DE±AC;

(2)若OO的半径为5,BC=16,求OE的长.

23.如图1,四边形ABCD对角线AC,Bo相交于点。，0A=0C,0B=0D+CD.

(1)过点A作AE//OC交BD于点E,求证：AE=BE-,

(2)如图2,将ZXABO沿AB翻折得到AASO.①求证：BD'HCD-,②若4)'∕∕BC,求证:

CD2=2ODBD.

24.如图，抛物线y=0χ2+fex-6与X轴相交于A,3两点，与＞轴相交于点C,OA=2,OB=4,

直线/是抛物线的对称轴，在直线/右侧的抛物线上有一动点。，连接AD，BD,BC,CD.

(1)求抛物线函数表达式；

9

(2)若点。在X轴的下方，当CD的面积是5时，求人钻。的面积；

(3)在(2)的条件下，点M是X轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N,使得

以点3,D,M,N为顶点，以3。为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐

标；若不存在，请说明理由.

2023年初中学业水平考试（中考）数学试题及答案

一、选择题

1.B【解析】|-5|=5,1=T=I,I闽=√Σ,∙.∙5>√∑>l><,.∙.绝对值最小的数是;;

故选B

r2>O

2.D【解析】由题意，得「一「一八,解得x≥2且XR5.故选D.

Λ-5≠O

3.A【解析】∙.∙将点尸（-3,2）向右平移3个单位，.∙.点P，的坐标为：（0,2）,

•••点P关于X轴的对称点的坐标为：（0,-2）.故选A.

4.A【解析】从正面看所得到的图形为A选项中的图形.故选A∙

5.C【解析】根据题意画出图形如下：

答：AC与BD的位置关系是互相垂直.

证明：Y四边形EFGH是矩形，

ΛZFEH=90o,

又∙.∙点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，

.∙.EF是三角形ABD的中位线，

ΛEF√BD,

ΛZFEH=Z0MH=90o,

又Y点E、H分别是AD、CD各边的中点，

ΛEH是三角形ACD的中位线，

ΛEH√AC,

ΛZOMH=ZC0B=90o,

即AC±BD.

故选C.

6.D【解析】由旋转的性质，得NBAD=α,ZΛBC=ZADE,

∙/NABC+NABE=180°,

ΛZADE+ZABE=180o,

∙/ZABE+ZBED+ZADE+ZBΛD=360o,ZBAD=«

ΛZBED=180o-α,故选D.

7.C【解析】①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△=(-4)Mk=O,解得k=4,

此时，两腰的和=X∣+X2=4>3,满足三角形三边的关系，所以k=4；②当3为等腰三角形的腰，

则x=3为方程的解，把x=3代入方程得9-12+k=0,解得k=3；

综上，k的值为3或4,故选C.

8.B1解析】A、∙.∙二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，.∙.a>0,bV0,.,.一次函数图

象应该过第一、三、四象限，A错误；B、∙.∙二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，

Λa>0,b>0,.∙.一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；C、∙.∙二次函数图象开口向

下，对称轴在y轴右侧，.∙.a<0,b>0,.∙.一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；

D、二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，.∙.aV0,bV0,.,.一次函数图象应该过第

二、三、四象限，D错误.故选B.

二、填空题(本大题共6个小题，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内)

9.-13【解析】(G-4)(6+4)=62-42=3-16=-13.

10.X=；【解析】方程两边都乘以X(XT),得：(x-l)2=x(x+l),

解得:X=葭

12

检验：x=§时，x(%-l)=--≠0,

所以分式方程的解为％=；,

2

11.y【解析】VZACB=90o,BC=4,CD=3,点D是AB边的中点，

ΛDC=DB,ΛZDCB=ZB,AB=2CD=6,

：∙cos/DCB=cos/B=—―=—=—,

AB63

2

12.y【解析】从-1,2,-3,4中任取两个数值作为明匕的值，其基本事件总数有：

-12-34

∕l∖∕l∖∕∣∖∕∣∖

234-134-124-12-3

共计12种；其中积为负值的共有：8种，.∙.其概率为：⅛=∣

13.2√3-Λ-【解析】如图，连接OD,

OAB是切线,则ODXAB,

在菱形Q4BC中，

.∙.AB=OA-OB=2,

...△A0B是等边三角形，

ΛZA0B=ZA=60o,

Λ0D=2×sin60o=√3,

，SΔAOB=^×2×√3=√3,

...扇形的面积为60°"x(√⅞=工，

36002

.∙.阴影部分的面积为2x(百-9=2百-%；

14.3√∏解析∙.∙四边形ABCD是矩形，AB=5,AD=I2,

ΛZBAD=ZBCD=90o,AB=CD=5,BC=AD=12,AB〃CD,

∙,∙BD=yjAB2+AD2=13，又BP=BA=5,

ΛPD=8,

VΛB√DQ,

•BP=-A-B=---A--B--即---5--=—5

∙∙PDDQCD+CQ''5+CQ8

解得CQ=3,

在RtaBCQ中，BC=12,CQ=3,

2122

BQ=y]BC+CQ=√12+3=3√∏.

三、解答题

2020

15.解：27+|m-3|+27^山45。一(—2)2°2°∙(J

4÷(3-√6)+2√3×^-(-2X1)≡°

=ɪ+3-ʌ/ð+ʌ/ð—1

_5

^2,

2∕+4412〃a-4

16.解:原式=(

。+2a+2(a+2)2

2cτ—8aa—4

a+2(a+2)2

_2a(a-4)(a+2)2

a+2a-4

=2a(a+2)

=2a2+4a.

Va2+2a-3=0,

∙,.a~+2a=3.

.∙.原式=2(a2+2a)=6.

17.证明：VEDVAB,

：.ZADE=90o,

,.∙ZACB=90°,

ΛZACB=ZADE,

在ΔAED和ΔABC中

ZACB=ZADE

<NA=NA,

BC=ED

：.ΔAEZ)≤ΔABC,

ΛΛE=ΛB,AC=AD,

/.AE-AC=AB-AD,即EC=BD.

18.解：如下图，过点B作BE，AD于点E,作BF_LCD于点F,

在RtAABE中,ΛB=52,

V/=1:2.4

BE1

.∙.tanNBAE=—=—

AE2.4

ΛAE=2.4BE,

又∙.∙BE2+AE2=AB2,

ΛBE2+(2.4BE)2=522,

解得：BE=20,

ΛAE=2.4BE=48;

VZBED=ZD=ZBFD=90o,

.∙.四边形BEDF是矩形，

.,.FD=BE=2O,BF=ED=AD-AE=72-48=24；

在RtABCF中，

CF

tanZCBF=-----,

BF

CF4

即：tan53o=—=-

BF3

4

ΛCF=-BF=32,

3

ΛCD=CF+FD=32+20=52.

答：大楼的高度CD为52米.

19.解：（1）由图可知：B组人数为12；B组所占的百分比为20%,

本次抽取的总人数为：12÷20%=60（人），

，抽取的学生成绩在C：80Mx<90组的人数为：60-6-12-18=24（人）；

（2）∙.∙总人数为60人,

.∙.中位数为第30,31个人成绩的平均数，

∙.∙6+12=18<30,且6+12+24=42>30

.∙.中位数落在C组；

(3)本次调查中竞赛成绩在A：60≤x<70组的学生的频率为：ɪɪɪ,

6010

故该学校有1500名学生中竞赛成绩在A：60≤x<70组的学生人数有：15OoXA=I50(人).

rn

20.解：(1)将点A(1,2)坐标代入y=-中得:m=l×2=2,

X

2

.∙.反比例函数的表达式为y=4,

X

2

将点B(n,-D代入y=*中得：

X

—1=一,.∙.n=-2,

n

ΛB(-2,-1),

将点A(1,2)、B(-2,-1)代入y=h+匕中得：

k+b=2k=l

解得:

-2k+b=-lb=l

.∙.一次函数的表达式为y=χ+i;

(2)设点P(x,0),

∙.∙直线AB交X轴于点C,

由0=x+l得:X=-L即C(T,0),

ΛPC=Ix+1I,

∙.∙ZVlCP的面积是4,

Λ^×∣x+l∣×2=4

解得：XI=3,/=-5,

.∙.满足条件的点P坐标为(3,0)或(-5,0).

21.解：(1)设购买一根跳绳需要X元，一个诞子需要y元,

依题意,

x=6

解得《

7=4

答：购买一根跳绳需要6元，一个健子需要4元;

(2)设学校购进跳绳m根，则购进穰子(54-m)根，

根据题意，得：6加+4(54-〃。≤260,

解得:m≤22,

又m>20,且m为整数，

Λm=21或22,

•••共有两种购买跳绳的方案，方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根.

22.解:连接OD,如图：

VAB=AC,

.∙.ZB=ZC,

VOB=OD,

.,.ZB=ZODB,

ZB=ZODB=ZC,

ΛOD√AC,

VDE是切线，

Λ0D±DE,

ΛAC±DE;

(2)连接AD,如(1)图，

OAB为直径,AB=AC,

.∙.AD是等腰三角形ABC的高，也是中线,

,CD=BD=LBC=L16=8,ZADC=90o,

22

VΛB=AC=2×5=10,

由勾股定理，得：AD=√102-82=6>

,.∙S4m=2x8x6=L10x£)E,

tAv⅛Gi√22

：.DE=4.8；

23.解：（1）连接CE,

YAE//DC,

：.NOAE=NoCD,

'：ΛOAE=AOCD,OA^OC,ZAOE=ZCOD,

Λ∆OAE^∆OCD,

ΛAE=CD,

.∙.四边形AECD为平行四边形，

ΛAE=CD,OE=OD,

∙.∙OB=OD+CD=OE+BE,

ΛCD=BE,

AE=BE;

(2)①过A作AE〃CD交BD于E,交BC于F,连接CE,

由(1)得，AE=BE,

：.ZABE=ZBAE,

由翻折的性质得ZD,BA=ZABE,

ZlyBA=NBAE,

：.BD,HAF,

：.BD'//CD；

(2)VAD'HBC,BD'HAF,

.∙.四边形AEe。'为平行四边形，

.∙.Ziy=ZAFB,BD'^AF,

：.AF=BD,

•：AE=BE,

ΛEF=DE,

Y四边形AECD平行四边形，

/.CD=AE=BE,

VΛF√CD,

：./BEF=/CDE,

VEF=DE,CD=BE,/BEF=NCDE,

Λ∆BEF^∆CDE(SAS),

：./BFE=NCED,

'：/BFE=/BCD,

：.ZCED=ZBCD,

又∙.∙NBDC=NCDE,

ΛΔBCD^∆CDE,

.CDDE,

••=="，hBπjCD2=BDxPE,

BDCD

VDE=20D,

/.CD2=2ODBD.

24.解：(1)VOA=2,0B=4,

ΛA(-2,0),B(4,0),

将A(-2,0),B(4,0)代入y=0√+⅛r-6得：

4a-2b-6=0

16。+4〃-6=0'

解得：a=^3-,b=~3

42

抛物线的函数表达式为γ=→2-→-6；

42

33

(2)由(1)可得抛物线y=—χ-6对称轴1：χ=l,C(0,-6),

42

设直线BC：y=