2023年高考数学模拟卷1（解析版）-2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

2023年高考模拟卷（一）

文科数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

1.已知集合A={xeN|x2-2x-340},B={xeR|log2023x<0},则AB=（）

A.(0,1]B.[0,1]C.{1}D.0

【答案】C

【详解】由/一2万-340,解得—14x43,

又因为xeN,所以A={0,l,2,3},

又由1呜023彳4°，可得bgiWgzd解得0<xVl,

所以8={xeR|0<x41},

所以AB={1},

故选:C.

2.若（l+i）2=（l-i）z,则乞在复平面内对应的点所在象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

所以之对应点为（7,-1）,在第三象限.

故选：C

3.的一个充要条件是（）

110）

ac2>bc2

A.-a<7bB.

C.log2a>log2bD.1.7">1.7”

【答案】D

【详解】A：若a>b,取。=12=7,则十年不成立，故A不符题意;

B：若a>b，取c=0,则ac?>历2不成立，故B不符题意；

C：函数y=k>g2x在(0,+°o)上单调递增，

山log2a>log?匕，得a>b>0,故C不符题意；

D：函数y=1.7'在R上单调递增，

由1.7">1.7〃，得a>b；由得1.7">1.7",

所以“1.7">1.7〃"是的充要条件,故D符合题意.

故选：D.

4.已知向量a=(l,㈤，b=(-1,0),且,一可="m+6,则同=()

A.75B.25/3

C.722D.2限

【答案】C

【详解】解：因为向量。=(1,，")，6=(-1,0)，

所以a-b=(2,，"),(/心=-1,

又因为卜一司=a,〃+6,

所以，2?+加=5，

解得痴=21,

所以同=\J\2+m2=-s/22.

故选：C

5.将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角a的终边绕原点逆时针转过;后，交单位圆于点

415

那么cosa的值为()

阻「70D.逑

A.-------RD.-------L・-----

1051010

【答案】A

【详解】由点尸在单位圆匕则(+y2=l,解得y=±g,

,3一(八兀、,,,,兀(7U3兀、„,4

由锐角。^［。，万>即则y=g，

“（兀13.（4

故8s[a+aJ=_《,sin[a+1J=1，

（兀兀、（兀）兀.（兀）兀3正4夜夜

I44jI4j4I4j4525210

故选：A.

6,中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题"今有女

子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？"译文是"今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺,

问每日各织布多少尺？"，则该女子第二天织布（）

A.9尺10155「

B.—尺aC.—D尺D.—尺

31311616

【答案】B

【详解】由题，设每日织布数的数列为｛。,,｝，则｛/｝为以2为公比的等比数列,

山题知驾[2=5,得4=（，所以第二天织布尺数为。2=于2=黑.

故选:B.

7.法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与桶圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我

29

们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆c：3+W=i（〃>/>>0）的蒙日圆方程为Y+/=/+凡现有

椭圆C:£+与=1的蒙日圆上一个动点M,过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P,Q两点,

a16

若」时尸。面积的最大值为41,则椭圆C的长轴长为（）

A.5B.10C.6D.12

【答案】B

【详解】椭圆C的蒙日圆的半径为寿=

因为所以PQ为蒙日圆的直径，

所以=2J4+16,所以+|Me|2=|PQ|2=4（/+16）.

因为明斗|蟆2|』历H=2（容+16），当|何H=|MQ|=4.JY+16时,等号成立,

所以一MPQ面积的最大值为：^\MP\-\MQ\=a2+\6.

巾工加尸。面积的最大值为41,得/+16=41,得a=5,

故椭圆C的长轴长为10.

故选：B

兀5兀

8.已知函数/（%）=sin（<wx+夕）（少>0）是在区间上的单调减函数，其图象关于直线户w对称,

18,36

7

且了（工）的一个零点是工=/兀，则①的最小值为（）

A.2B.12C.4D.8

【答案】C

【详解】因为函数"x）=sin（ox+9）的图象关于直线对称,

36

所以一切・工+°=色+〃兀，WGZ,所以9=7+爱+〃兀，/IGZ,

362<236)

injr-,兀3兀〃771D677C刃兀

根据后＜、言’则行＜3而，所以而+。＜8+夕＜而+8,

兀5兀

因为〃X）=sin（0X+0）是在区间上的单调减函数.

13936

G兀、兀eIr

-----F02F2匕I,Z£Z

182

所以

5防，3瓦….丁

-------1■0V---F2%兀,kwZ

362

COJI

-----F—+—+/2］兀2工+2%兀，〃£Z.kGZ

18236J2

所以，

56971

-----+---1------F〃|兀4----F2攵兀,nGZ,Z£Z

36236)2

—+(—+—+/?|>—+2%,〃wZ,攵wZ

18(236)2

即《

5(0(1(D)/3〜r

36(236)2

角吊得12（2%—〃）＜GW6（2左一〃+1）,HGZ,jteZ,

因为。＞（）,所以2攵一〃=（）或2%-〃=1,

当2左一〃=0时，0＜co＜6,当2Z—九=1时，12WGW12；

元

由7T于75且7r/（X）的一个零点是x=76n'

lo/Z3o/Z

7兀

所以GX五+9=（2/%+1）兀,meZ,

所以gx元+（,+公+〃）兀=（2/%+1）兀，tneZ,〃wZ,

即0=8（2/一〃）+4,mwZ,neZ.

根据0＜046或12W/W12,可得cy=4,或G=12,所以。的最小值为4.

故选：C.

9.在“2,3,5,7,11,13,17,19〃这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率

是（）

【答案】C

【详解】这8个素数中，任取2个不同的数，有如下基本事件：

（2,3）,（2,5）,（2,7）,（2,11）,（2,13）,（2,17）,（2,19）,

（3,5）,（3,7）,（3,11）,（3,13）,（3,17）,（3,19）,

（5,7）,（5,11）,（5,13）,（5,17）,（5,19）,

（7,11）,（7,13）,（7,17）,（7,19）,

（11,13）,（11,17）,（11,19）,

（13,17）,（13,19）,

（17,19）,共有28个基本事件，

这两个数之和仍为素数的基本事件有：（2,3）,（2,5）,（2,11）,（2,17）共4个，

41

所以这两个数之和仍为素数的概率是丞=,，

故选:C.

10.已知函数/（x）=a（3T）+*的图象过点（0,1）与（3；）,则函数“X）在区间［1,4］上的最大值为（）

【答案】B

【详解】因为函数/（x）=a（3-x）+鼻的图象过点（0,1）与（3,（

9但，

所以“0）=1,/（3）=p贝I］44,

4［3a=\

解得a=~,b=3,

故函数的解析式为：/（-r）=-^-j+l.

而“加WJ+3（x+l）-3XI13

一+1

x+13~3

当且仅当x=2时取等号,

7

函数“X）在区间［1,4］上的最大值为不

故选：B.

11.已知三棱锥尸-MC的所有顶点都在球。的表面上，是边长为4石的等边三角形，若三棱锥

P-ABC体积的最大值是32石，则球。的表面积是（）

A.IOOTCB.16071C.200KD.320兀

【答案】A

【详解】设一4?C外接圆的半径为，则r=上6-=4,

2sin60°

设球。的半径为R,当三梭锥尸-ABC的高最大时，体积取最大值，高的最大值〃=VFK+R.

所吗?¥小扃X（JR2-42+/?）=32退,即1R-R=8,解得R=5.

故球O的表面积是4兀代=1007t.

故选：A.

12.若存在xe[l,+8）,使得关于x的不等式成立,则实数。的最小值为（）

1

A.2B.---C.In2-1D.------1

ln2ln2

【答案】D

【详解】由（1+一）Ne两边取对数可得（》+。）始（1+5）21①,

令l+」=f,则*=六，因为xe[l,+8）,所以fe（l,2],

11

因为Inz>0,a>----

In/T^T

因为存在x«l,+功，使得关于x的不等式(i+£|Ne成立，

所以存在rw(L2],〃之」--一!；成立，故求J--一、的最小值即可，

Inrt-\Inrt-\

令g(x)=7^-----^”(1,2]

Inxx-\

22

.g7X)______]+]_(Inx)-———(Inx)-x--4-2

“x-(lnx)2(x-1)2-x(x-l)2(lnx)2=-可*=(fan)

令人(x)=(Inx)2-X--+2,XG(1,2]

x

II21nx—x4—

/.hr(x)=--2Inx-l+—=-----------'

XXX

令°(x)=21nx-x+—,xc(l,2］,

x

,21—x2+2x—1—(x—1)~

/.(PM=一一1一一-=----A——=———<0,

XX"X厂

所以例X)在。,2］上单调递减,所以以X)〈奴1)=0,

f

：.h(x)<09所以〃(%)在(1,2］上单调递减，

所以A(x)</?(1)=0,gr(x)<0,

g(x)在(1,2］上单调递减，「.g(x)>g(2)=-^―-1,

In2

所以实数。的最小值为」-1

m2m2

故选：D

第n卷

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知|a|=2,161=26，a-i>=-4>贝U|a+8|=.

【答案】2夜

【详解】由|。卜2,|切=2后，〃m=-4，

可得［a+bl=«a+b)2+b'+2a-b=5/4+12+2x(-4)=272，

故答案为：2后

41

14.已知x，y都是正数，且x+y=2,则--+—；的最小值为

x+2y+\

9

【答案】-##1.8

【详解】因为乂了都是正数，且x+y=2,则(x+2)+(y+l)=5,

41141

则百齐7=#+2)+(k1-+衣)

冬+空+苦斗5+2、悭察

5x+2y+\5Nx+2y+15

当且仅当里空2=±±!,结合x+y=2,即X=］,时取等号，

x+2y+133

9

故答案为：j

15.已知圆Y+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是

【答案】-13<c<13

【详解】因为圆/+炉=4工行且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,

所以原点到直线12x-5y+c=0的距离为d<r_1=2-1=1,

由点到直线的距离公式可得J%2+（_5）2

解得T3vc<13,

故答案为：-13<c<13.

[x—y=m+\

16.己知f=d一2X+4,x,y满足<,，贝h的取值范围是

“[x+y=3m+3

【答案】[3,12]

x-y=fn+\x=2m+2

【详解】团,解得

x+y=3m+3y=m+l

1ax=2y,

又回-14”1,则-24x42,

对于f=f-2x+4,可知二次函数开口向上，对称轴x=l,

故当x=l时，取至IJ最小值%n=l-2+4=3；

当x=—2时，取到最大值*,=4+4+4=12；

故34dl2,即f的取值范围是[3,12].

故答案为：[3,12].

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.如图，在二A3C中，点尸在8c边上，ZPAC=6O°,PC=4,AP+AC=8.

⑴求边AC的长；

(2)若ZvlPB的面积是8百，求sinNBAP的值.

【详解】(1)在中，设AC=x,

由余弦定理得PC2=AP2+AC2-2AP-AC-cosAPAC,

则42=X2+(8-X)2-2X-(8-X)・；，

整理得3f-24x+48=0,

解得x=4,故AC=4.

(2)因为AC=4,AP+AC=8,

所以AP=4,所以△APC为等边三角形，则/BB4=120。,

所以;•AP・8P-sinNBPA=8&,解得BP=8.

在△AP3中，由余弦定理得44=8尸+A尸-2・4PAPcosNBP4=112,得AB=4出,

RPAD8_4币]

在△APB中，由正弦定理得.二n=.即Sin/"AP=环,解得sin/34P=±i.

18.为了检测甲、乙两名工人生产的产品是否合格，一共抽取了40件产品进行测量，其中甲产品20件，

乙产品20件，分别称量产品的重量（单位：克），记重量不低于66克的产品为〃合格〃，作出茎叶图如图:

甲乙

39130

68758010459

7754371248799

874133616

6329565

⑴分别估计甲、乙两名工人生产的产品重量不低于80克的概率；

（2）根据茎叶图填写下面的列联表，并判断能否有90%的把握认为产品是否合格与生产的工人有关？

甲乙合计

合格

不合格

合计

【详解】（1）设工人甲生产的产品重量不低于80克的概率为与，则扁=—=；.

工人乙生产的产品重量不低于80克的概率为纭，则攵=玲

（2）根据茎叶图得列联表如下：

甲乙合计

合格121729

不合格8311

合计202040

^^40x(12x3-17x8/^i35>

20x20x11x29

故判断有90%的把握认为产品是否合格与生产的工人有关.

19.四棱锥E—ABCO中，面EBC,AD=ED,底面ABCQ中，AD//BC,=NCSA=90。,

AB=BC=2AD.

⑴若点F在线段8c上，试确定尸的位置，使面面A8C3,并给出证明;

(2)若£/="，求四棱锥E-ABC。的体积.

【详解】(1)当点尸是BC的中点时，面。£户，面ABCD证明如下:

由点F是8c的中点，得BF=:8C,又ADHBC,BC=2AD,

2

所以AD//BF,AD=BF,四边形AOFB是平行四边形.

根据N8AQ=NCR4=90。，得四边形ADFB是矩形，故BCLDF.

因为切_1面功(?，BCu面EBC,所以BC_L£D,

因为。Fc£Q=。，DFu面DEF,EDu面DEF,

于是8c工面OEF,由于BCu面ABC。，因此面。EFLflMBC。.

(2)因为面£)“尸"L面ABC。，面DEFc面ABC。=。/，

所以过点E作EOLDF于点O,EOu面DEFEOJ_面48。9,£。的长就是四棱锥E-ABCD的高.

因为即_1_面EBC.所以£DJ_EF,在RtZ\£>EF中，EF=&DF=AB=2AD=2ED，

由勾股定理，得EF?+ED?=DF?，所以3+££>2=4E£)2,

于是E£>=1,DF=2,根据即。尸=四后，得£。=也.

2

根据钻=。尸=2,以及8C=A8=2,AD=-AB=l,ZBAD=ZCBA=90°,

2

得四边形ABCD的面积为SABCD=g(AO+BC)•AB=gx(1+2)x2=3,

因此四棱锥E-ABCD的体积峰ABCD=-SABCDXE0='X3X是=B.

_

c/ID<_3322

20.己知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点415，亍)与点8(2,0),过点(1,0)的直线/与椭圆C交于P,

。两点，直线3P,8。分别交直线x=3于E,F两点.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵PEQ尸是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

【详解】(1)设椭圆C的方程为座2+江=1(m>0,〃>0,且，什〃)，

tn15〃

1,解得，

因为椭圆C过点A与点8(2,0),所以1416

4〃？=1

所以椭圆C的标准方程为—+/=1.

(2)设直线/：x=)+l,P(x，yJ,Q(w，%)

x=ty+\

由I/，得(9+1f+4丫2-4=0，

—+V-=1

4

即(r+4“+2。，-3=0,则%+%=_岛,y通=_*.

直线8P,BQ的方程分别为y=」、(x-2),y=上7(x-2).

玉一2w—2

令x=3,则E3.

则4=—

一d)

QF=3f尸」=2-ty2,

X%(2-"J(2一伙)

所以尸E•。尸=（2—劣）（2-"J+

-1)(^2-1)

=[-％_2心+必)+4]1+

「yy2T(y+%)+1

/2+4

_3”2产

r2+4+r2+4+>

_5/+16_5(1+4)-4_5___1

4(产+4)4,2+4)4t2+4

因为产+4,所以。<*《』，［七5

<-

4

即PE.QF的取值范围为《

所以PEQ户存在最小值，且最小值为1.

21.已知函数+2（，"+l）x-2，〃lnx,xe（0,+oo）.

⑴讨论〃x）的单调区间；

⑵当机20时，试判断函数f（x）的零点个数解：

【详解】（1）求导得八4）=一2""口’.

X

当以40时，由制x）>0可知0—由r（x）<0可知x>l；

当0<〃?<1时，由/，X）>0可知〃7cx<1；由/'（x）<0可知X>1或0<X<〃7;

当，〃=1时，f'（x）40；

当山>1.时,由第x）>0可知1cx<m；由r（x）<0可知m<x或0vx<l.

综上可得，当心40时，f（x）的单调递增区间为（0,1）,单调递减区间为。,物）；

当0<加<1时，“X）的单调递增区间为（〃川，单调递减区间为（0,加），（1,+«））；

当机=1时，f（x）的单调递减区间为（0,+8）,无单调递增区间：

当R>1时，“X）的单调递增区间为（1,，〃），单调递减区间为（04），（也包）.

(2)①当〃?=0时，/(x)=-x2+lx,令y(x)=O,得x=2或0,

又x>0,所以〃x)仅有1个零点；

②当机=1时，f(x)在(0,+8)上单调递减，又/⑴=3>0,/(4)=-21n4<0,

所以〃x)仅有1个零点；

③当0<加<1时，〃6在(0,间，(1,”)上单调递减，在(皿1)内单调递增，

又f(〃2)=，〃2+2〃?-2，〃ln"7>0,f(2m+2)=-2m\n(2m+2)<0,所以函数/(x)仅有1个零点；

④当">1时.，f(x)在(0,1),(九物)上单调递减，在(1,加)内单调递增，又/(1)=2机+1>0,

f(2m+2)=-2m\n(2m+2)<0,所以〃x)仅有1个零点，

综上可知，，心0时，函数〃x)有且仅有1个零点.

请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计

分.

fx=cosa-sina

22.在平面直角坐标系X。)中，曲线C的参数方程为1.为参数)，以。为极点，x轴的正