福建省泉州市永春县2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷

永春县2022-2023学年高二下学期期末考试

数学科试卷（2023.06）

考试时间：120分钟满分：150分试卷共4页

一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

2

L设集合A={T,0,1,2},B={x∣x-4<θ},则AB=()

A.{-1,0,1,2}B.{0,l,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,2)

2.己知复数z=∖4+a21,则Z在复平面内对应的点在（）

J-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.设非零向量m,〃满足同=2,忖=3,W+W=2√Σ,则”,在"上的投影向量为（）

A.&B.与r5

C.---nD.—n

881818

4.若曲线/(x)=e'+sinx+”?在X=O处的切线方程为2x-ny+l=0,则()

A.7n=1,7?=—1B.m=-1,n=l

C.m=0,∕ι=-lD./%=0,n=1

5.若等比数列｛q｝的公比为4,其前〃项和为S“，前”项积为q,并且0</<l<小,则下列正确的是（）

A.q>∖B.0<(2l<1

CS〃的最大值为反D.7；的最大值为n

6.中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构

示意图如图2所示,在结构示意图中，已知四边形A8C。为矩形，EF//AB,AB=2EF=2,YADE与LBCF

都是边长为1的等边三角形,若点A,B,C,D,E,F都在球。的球面上，则球。的表面积为（）

图1

Aw1lπCWr1iπ

B.-----D.—

8642

In31In2-ln7b>；C>J则(

7.若a=一Cl>一,t>=,(2c∙f=2^*)

6In2a67ln2⅛

∖.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.a<c<b

8.已知函数/（x）=αln（x+1）+l（α∈R）的图象恒过定点A,圆O:fy=4上的两点Pa,yj,Q（Λ⅛,力）满

足PA=/IAQ（XeR）,则∣2χ+y+7∣+∣2Λ2+为+7∣的最小值为（）

A.2√5B.7+√5

C.15-√5D.30-2√5

二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有两个

或两个以上选项是符合题目要求的。全部选对得5分，选对但不全得2分，有错选的得0分。

9.以下说法正确的是（）

A.89,90,91,92,93,94,95,96,97的第75百分位数为95

B.具有相关关系的两个变量X,y的一组观测数据（看,乙），（々，外），，（当，％），由此得到的线性回归

方程为5>=加+2,回归直线ggχ+G至少经过点（FyJ,（x2,y2）,,（乙,%）中的一个点

C.相关系数r的绝对值越接近于I,两个随机变量的线性相关性越强

D.已知随机事件AB满足P（A）>OP（B）>0,且P（BlA）=P（5）,则事件A与B不互斥

10.正方体ABC。-ABc。的棱长为2,N为底面ABCZ）的中心，P为线段AA上的动点（不包括两个端

点），M为线段AP的中点，则（）

A.CM与PN是异面直线B.平面RvVJ_平面3D"3∣

C.存在P点使得PNJ.4V

9

D.当P为线段AA中点时，过A、N三点的平面截此正方体所得截面的面积为5

?2

11.已知双曲线C:二-马=1（α>O,b>O）的左、右焦点分别为月,尺，直线y=H交双曲线C于4,8两点,

a^b^

点?为C上一动点记直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,若a，且F1到C的渐近线的距离为√2,

则下列说法正确的是()

A.双曲线C的离心率为√5

B.过右焦点的直线与双曲线C相交M,N两点，线段MN长度的最小值为4

C.若4尸鸟的角平分线与X轴交点为(g,0),则S=2后

D.若双曲线C在P处的切线与两渐近线交于R两点，则S0βR=也

12.已知函数/(x)和g(x)及其导函数/'(X)和g'(x)的定义域均为R,若/(x+3)=g(τ)+4,

/'(x)+g'(l+x)=0,且g(2x+l)为偶函数,则()

A.g'(l)=0B.函数/(x)的图象关于直线x=2对称

I(P3

C.函数尸(6的图象关于直线X=I对称D.ɪf,W(k)=1

A:=1

三.填空题(每空5分，共20分)

13.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从

乙袋中任取2球，则取出的全是红球的概率为.

14.已知函数"x)=∣2SinWX+s)+l|(0>O,阚圉的图象经过点(0,2),若"x)在区间(-与,引上单调

递增，则。的取值范围是.

15.已知A,B,C,。为抛物线Ef2=2px(p>0)上不同的四点，直线48,CQ交于点Q(4,θ),直线AO

经过E的焦点尸，若直线4。的斜率为直线BC斜率的4倍，则P=.

16.已知函数/(x)=x(α-lnx)-α,若存在唯一整数为,使得/[)>l-2InXO成立，则实数”的取值

范围为.

四.解答题(70分，解答应写出演算步骤，证明过程)

17.(10分)已知锐角他。的内角4,8,<7的对边分别为4肌,回边上的高|8|为1,且c?=欣os。

(1)求证：--—+---=---；

tanAtan^tanC

(2)求IABl的最小值.

b=Lb=L

18.(12分)已知数列｛""｝的前〃项和为S",%=1,且〃4+∣=2S,,,数列也)满足'-5,~W,V∕j∈N*,

都有*=6也+2.

(1)求数列｛4｝、论,｝的通项公式;

（2）设l,=E?e,∀n∈N∙,即（+为6,>2（力1+32）恒成立，求实数4的取值范围.

/=1

19.（12分）如图1,在直角梯形ABC。中，ZADC=90o,CD//AB,AB=4,AD=CD=2,M为线段48

的中点.将aAQC沿AC折起，使平面AOCj_平面ABC,得到几何体。-ABC,如图2所示.

20.（12分）猜灯谜是我国一种民俗娱乐活动.某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动，工作人员给每位

答题人提供了10道灯谜题目，答题人从中随机选取4道灯谜题目作答，若答对3道及以上灯谜题目，答题

人便可获得奖品.已知甲能答对工作人员所提供的10道题中的6道.

（1）求甲能获得奖品的概率；（2）记甲答对灯谜题目的数量为X,求X的分布列与期望.

22

C―Z-+ʒ-=l（fl>/?>0）

21.（12分）已知椭圆b-的长轴长为4,A,B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A,

（1）求椭圆C的方程；

（2）若尸为直线x=4上一点，PA,PB分别与椭圆交于C,。两点.

①证明：直线CZ）过椭圆右焦点用；

②椭圆的左焦点为耳，求.<6。的内切圆的最大面积.

22.（12分）已知函数"x）=e'+3sinrT,xe[0,用）.

（1）当4=0时，求/（X）的单调区间；（2）若/（x）对恒成立，求。的取值范围.

永春县2022-2023学年高二下学期期末考试

数学科参考答案（2023.06）

一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.C2.A3.C4.D5.D6.D7.A8.C

二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有两个或两

个以上选项是符合题目要求的。全部选对得5分，选对但不全得2分，有错选的得0分。

9.ACD10.BD11.ACD12.ABC

三.填空题（每空5分，共20分）

5（4（ɪln3+l

13.—14.n0,-15.216.---

1419」（23」

四.解答题（70分，解答应写出演算步骤，证明过程）

viŋIz`ɑe∣,

17.(1)证明：c2=4∕?Ce)Sc/.sin2C=SirLASinBCOSC=-:-------=---

SinAsinBsinC

sin(A+B)_cosC=sinAcosB+CosAsinB_cosC

SinAsinBSinCSinAsinBSinC

111

-------1-------=-------

tanAtanBtanC

(2)由题意知Sabc=ɪeɪ=^absinC=>abs∖nC=c,

c2=abcosC,1

由V,可知C=----且---/+∕/-IabcosC=abcosC,

absinC=ctanC

.,.cosC=°+°>=—,仅当α=〃时等号成立，此时0<tanC≤—,

3ab3ab32

.c>2__245—逆

∙∙c≥百-阴)”5

18.(1)因为〃％=2S,,所以当〃≥2时，(/T)q=2S,τ,两式相减得〃％一("-l)a,,=2«,,,

所以w⅞,+l=(n+l)α,,,即刍言=—,

又因为g=2S∣=2,则々=4,满足%=组，

2n+1n

所以，数列为常数列，故r=4=1,则α,,="("eN*),

因为数歹∣J{4}满足4=g,8=(,VnwN*,都有Y+∣=2AJ+2,

所以，数列｛2｝是首项为9公比为%=;的等比数列,

=D("cN)

(2)因为(:叫+44+…+α也=；+2x(；)+3x(；)++"xg)①，

所以m+2x(9++(1)x(3+〃x(£T②，

由①-②得K出+0++⅛)-n×(i)fɪ步［写，

2

所以］,=2-*∙

又S,=当W,所以不等式加q+2⅛S,>2(助+3包)，

即为力(2—詈［+^∣^<2］∕l"+∣r］,即(1一彳)/+(1一2几)〃一6<0恒成立,

构造函数/(")=(1-a),2+(i-2∕)”-6("∈N*),

当4=1时，/(〃)=一〃一6<0恒成立，则4=1满足条件；

当/<1时，由二次函数性质知/(〃)<0不恒成立；

当久›1时，由于-9<0,则/(〃)在［l,÷w)上单调递减，

L-A

则/5)≤/(1)=_32_4<0恒成立，则4>1满足条件，

综上所述，实数/1的取值范围是

19.(1),直角梯形ABCD中，因为NADC=90。，且4)=OC=2,则AC=2√∑,

所以/04。=/004=45。，则NC4B=45。，又因为A3=4,由余弦定理可得,

AC2+AB2-BC2√28+16-BC2

cos45°=也即解得BC=2近，

IAC-AB2-2×2√2×4

所以AC=BC=2√∑,从而AC2+BC2=AJ32,故AClBC,

D

取AC中点。连接。0,则。。_LAC,又面A£)C_L面ABC,

面AOCn面ABC=AC,DOc®ACD,从而。DJ_平面ABC,

.∙.OO_LBC又AC_L8C,ACCiOD=O,AC,OOU平面AC£),

平面ACD

(2)建立空间直角坐标系。-町，Z如图所示，

则M(O,√Σ,O),C(-√Σ,O,O),D(0,0,√2),所以CΛ∕=(0,√%O),

CD=(√2,0,√2),

设4=(x,y,z)为面CDM的法向量,

nCM=0V2x+λ∕2y=0y=-x

则〈v,即3-'解得

%CD=0Z=-X

令X=T,可得n1=(-1,1,1)

又叼=(0,1,0)为面ACD的一∙个法向量,

_Π∙n_1_ʌ/ɜ

Λ∞s(n,nΛ2

12∣½∣∣n2∣石3

，二面角A-CD-M的余弦值为立

3

或+C；C；15+8019

20.(1)由题可知，甲能获得奖品的概率尸=

21042

(2)由题可知，X的取值可能为0,1,2,3,4,

422

P1Cr∣ΛCCaC3父

则P(X=O)===一，P(X=D==P(X=2)=^7A=二，P(χ=3)=⅛^=±

CO210C；。35C：。7C：。21

P(X=4)=舁1

jo14

X的分布列为

X01234

14281

P

2W3572114

L∕v∖C1I4C3C8/112

(X)=OX------F1×-----F2χ—F3×----F4X—=—

1721035721145

21.(1)由已知得：G=2,A(—2,0),B(2,0),

设M(%,为K⅞N±2),

因为M在椭圆上，所以从%=4〃①

),0X>_X：=3

因为勺MWMZJ

XQ+2,Xg—2XQ—44

将①式代入，得4b2-b2x^=n-34，

所以从=3,

.£-0tt—0t

⑵①设∕W)(E),则L=E=i%=口Y

62

所以/%“=7卜_2,/相：彳=7>+2,

6.

χ=-y-2_I8r54-2产

t,

联立方程得先=27+r2'XC=∑-

[3x2+4y2-12=027+fC27+/

54-2/⑻

则C

27+»'27+/

7

2C

χ=-y+2-βt2r2-6

联立方程t，得知=七7,XD=

3X2+4∕-12=0I03+*

2/-6-6t

则。57F,W

椭圆的右焦点为8a,。）,

"27-3r18/]__f_9—6t

FC=

2、27+产2TTFJ,2

mx>27—3t~-Gt18f厂—9„

因为------×-----r---------r×-----7=0,

27+/53+/27+Z23+产

说明C,D,鸟三点共线，即直线CQ恒过5点.

②因为直线CO恒过入点，

所以CK。的周长为IbII+1C闾+1Sl+∣*∣=4α,

设.C"。内切圆的半径为，

所以CK。的面积SCTID=gx4αxr,

所以gx2cx∣yc-y0∣=2αxr,即4「=|比一%|,

若内切圆的面积最大，即