2022-2023学年河南省南阳市某校高二（下）期末数学试卷

20222023学年河南省南阳市六校高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知变量y关于x的线性回归方程为y=-0.7x+m且x=l，y=0.3-则x=2时，预测

y的值为（）

A.0.5B.0.4C.-0.4D.-0.5

S8-S5

2.己知等比数列｛飙｝的前〃项和为Sn,22=4,=8，则a\)

S5~S2

A.16B.8C.6D.2

2

3.已知。为坐标原点，A（初，yo）为一个动点.条件p：O,A,BL2,—）三点共线;

y0

条件/动点A在抛物线y2=-1上，则〃是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充耍条件D.既不充分也不必要条件

4.己知双曲线C：与片=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为八，F2,P为C的右

IF-Fol

支上一点.若Fr=洋，则双曲线C的渐近线方程为（）

|rrjI~Irr2I乙

A.3x±2y=0B.2x±3y=0C.x±2y=0D.2x±y=0

5.给出新定义：设/（x）是函数/Cv）的导函数，f（x）是/（x）的导函数，若方

程广（x）=0有实数解无o,则称点（xo,/（xo））为/1）的“拐点”，已知函数

1兀

（x）=sin2x+cos2xqx的一个拐点是p（xo,如），且W<0,则¥=()

兀「兀、兀

A.1----C.---D.--

241212

6.已知产为抛物线N=y的焦点,点尸〃(咒,(n=l,2,3,…）在抛物线上.若干〃+阴

-\PnF]=2,4=2,则yio=()

A.12B.16C.18D.20

7'已知金干，去昔

c=12,则（)

A.a<h<cB.c<a<hC.a<c<hD.h<a<c

8.已知直线/：x+y+2=0与x轴、y轴分别交于M,N两点，动直线/i：y=-nix(/wGR)

和/2：机厂冗-4小+2=0交于点P,则△MNP的面积的最小值为()

A.屈B.5-710C.2&D.2V7O-3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

(多选)9.已知向量n=(-2,3,1)是平面a的一个法向量，点尸(1,1,2)在平面a

内，则下列点也在平面a内的是()

A.(2,1,1)B.(0,0,3)C.(3,2,3)D.(2,I,4)

(多选)10.已知随机变量X服从正态分布N(0,。2)(a>0),a为大于0的常数，

则下列结论中正确的是()

A.P(X〈a)>0.5B.P(XW-a)>P(X2a+2)

C.。越大，P(-aWXWO)越小D.E(aX)>EX

(多选)11.己知数列｛为｝的每一项均为0或1,其前"项和为S”数歹!!｛a”•为｝的前"项和

为力”则下列结论中正确的是()

A.数列0,C12,。3,…,的所有可能情况共有”2种

B.若S"-SM(心2)为定值，则力,恒为0

C.若二-1”(心2)为定值，则｛为｝为常数列

D.数列｛S,,｝可能为等比数列

(多选)12.已知函数/(X)=x3-ax2-x(«GR),f(x)为f(x)的导函数，则下列结

论中正确的是()

A./(JC)恒有一个极大值点和一个极小值点

B.若在区间［0,1］上单调递减，则a的取值范围是［2,+8)

C.若/(1)=0,则直线y=-l与/(x)的图象有2个不同的公共点

D.若a=3,则/(/(x))有6个不同的零点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若(&总*)的展开式中小的系数为20，则实数“=.

14.如图是《中国生物物种名录》中记载的2013—2022年中国生物物种及种下单元的数量

变化图，从中依次不重复地抽取两个年份的数据进行研究，则在第一次抽到的年份对应

的物种及种下单元的总数超过90000的条件下，第二次抽到的年份对应的物种及种下单

元的总数也超过90000的概率为

15.已知正项数列｛3｝是公比为］的等比数列，数列出“｝的通项公式为言.若满足斯＞

瓦的正整数〃恰有3个，则m的取值范围为.

16.已知函数f(x)4x3-x2-x+eX—,/'(X)是/(X)的导函数，若VxeR,不等

SeX

式/(3,P-2a-1)W/'(x)+2%-1恒成立，则实数a的取值范围

是.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列｛〃“)的前〃项和为S”，且Si2=78,08=402.

(1)求｛小｝的通项公式；

(2)若bs=一工，求数列｛仇｝的前"项和刀”

n3n

18.如图，在四棱锥P-ABC。中，AD//BC,5.ADLDC,平面PAD_L底面ABC。，△PAO

是边长为2的等边三角形，BC=l,CD=3,。为A。的中点，M是棱PC上靠近点C的

三等分点.

(1)求证：PQLCD-,

(2)求二面角A-QB-M的平面角的余弦值.

1乂2

Wg(x)=aln(x+1)(-叼-1).

(1)求g(X)的单调区间;

(2)若g(x)极大值=/(x)极小做+6,求实数6的取值范围.

20.淄博烧烤走红契合了公众“说走就走”的情绪.美食也是生活，更是社会情绪的折射.随

着城市间人口流动的日益频繁，给自己一个说走就走的旅行，是当下很多年轻人的选

择.为了解年轻人对淄博烧烤的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下

面的不完整的2X2列联表所示(单位：人)：

非常喜欢感觉一般合计

男性a

女性2“100

合计70

(1)求。的值，并判断是否有95%的把握认为年轻人对淄博烧烤的态度与性别有关.

(2)从样本中筛选出4名男性和3名女性共7人作为代表，这7名代表中有2名男性和

2名女性非常喜欢淄博烧烤.现从这7名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记

孑为这5人中非常喜欢淄博烧烤的人数，求J的分布列及数学期望E(?).

参考公式：又2=-；----、尸(aq-?c)、/----其中〃=4+/>+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据：

P(x2>fe)0.10.050.01

hi2.7063.8416.635

21.已知椭圆C：号三=l(a>b>0)的左顶点为A,上顶点为B,坐标原点O到直

线AB的距离为WfiR,△AOB的面积为•1.

102

(I)求椭圆c的方程；

(2)若过点(1,0)且不与x轴重合的直线/与椭圆C交于M,N两点，直线AM,AN

分别与y轴交于产，。两点，证明：|OP|・|OQI为定值.

22.己知函数/(x)—lnxn,+2ex'y-2x+m(/nGR).

(1)当机=2时，求曲线y=f(x)在点(1,/(I))处的切线方程；

(2)若关于x的不等式f(x)N/nr在［1,+°°)上恒成立，求机的取值范围.

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知变量y关于x的线性回归方程为y=-0.7x+〃，且x=l，y=0.31则x=2时，预测

y的值为()

A.0.5B.0.4C.-0.4D.-0.5

【分析】根据回归直线过点丘，y),代入回归方程计算得。的值，再将x=2代入回归

方程计算，即可得出答案.

解：：回归直线过点Q,7),

.♦.0.3=-0.7+a,解得a=l,

/.y=-0.7x+l,

.•.当x=2时，预测y的值为-0.7X2+1=-0.4.

故选：C.

【点评】本题考查线性回归方程，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于

基础题.

S8-S5

2.己知等比数列｛a“｝的前〃项和为S“，a=4,■-S-^-=8,贝ij”尸()

"S5-S2

A.16B.8C.6D.2

【分析】先利用等比数列前n项和公式及性质求出公比q,然后利用等比数列通项公式求

出首项即可.

解：设等比数列｛%｝的公比为4，

即气+凹+&633（软5+@4+43）

a+a+a

a5+a4+a3543

可得/=8,即9=2,

又〃2=4,所以&=刍2二2.

1q

故选：D.

【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题.

2

3.已知0为坐标原点，A（xo,yo）为一个动点.条件p：O,A,B（-2,丁）三点共线;

y0

条件q：动点A在抛物线炉=-x上，则2是9的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】由心。=%B列式整理可知p是q的充分条件，取原点验证可知p是q的不必要

条件，然后可得答案.

解：当动点4满足p时，直线。8的斜率存在，且不为0,有kAO=koB,

2

即迎=①，化简得j=-xo,P是4的充分条件；

X。-2

反之，抛物线y2=-x的顶点（0,0）并不满足p,P是4的不必要条件.

故〃是q的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查四个条件、抛物线性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4.已知双曲线C：=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为Q,Fi,P为C的右

abz

|FIF2|屈

支上一点.若1n.•广粤,则双曲线C的渐近线方程为（）

Irr।|-|rf2I2

A.3x±2y=0B.2x±3y=0C.x±2y=0D.2x±y=0

【分析】根据题意可得£巫，然后由公式卢」可得t，即可得渐近线方程.

a2ayaa

解：设双曲线C的半焦距为c（c>0）.

由题可知质尸2|=2C,|PFI|-\PFi\^2a,

则7?♦锦可言哼所以E喈「哼

所以所以C的渐近线方程为x±2y=0.

故选：C.

【点评】本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属中档题.

5.给出新定义：设/(%)是函数/(x)的导函数，f"(x)是/(x)的导函数，若方

程((%)=0有实数解xo,则称点(xo,/(xo))为/(x)的“拐点”，已知函数

1兀

f(x);sin2x+cos2xqx的一个拐点是尸(无。，加)，且一“<x0<0,则yo=()

JT八兀「兀一冗

A.1------B.------C.11'D.-------

24241212

【分析】二次求导，根据拐点定义求得沏，然后代入函数/(x)可得.

解：由题可知(x)=2cos2x-2sin2x-*^»f(x)=-4sin2x-4cos2x,

兀

结合题意知-4sin2xo-4cos2xo=0,即sin2Xg+cos2Xg=V2sin(2xQ+~^~)=0»

TTTf

又X〈Xo<O,所以

-1171

所以y0=sin2x0+cos2xQ-^x0=yx0=-^-

故选：B.

【点评】本题主要考查了导数的计算，考查了两角和的正弦公式，属于基础题.

6.已知产为抛物线N=y的焦点，点P”(丸,yn)(〃=1,2,3,…)在抛物线上.若|尸"+1月

-\PnF\=2,13=2,则y\o=()

A.12B.16C.18D.20

【分析】根据抛物线方程可得F(0,1)，准线为y=［，结合抛物线的定义可得

|Pn+1F|=yn+1-^«|PnF|=yn+^.进而结合题意可得泗+「以=2,进而得到数列

｛泗｝是公差为2的等差数列，再结合等差数列的通项公式求解即可.

解：由抛物线尤2=»可得F(0,1),准线为y=1,

根据抛物线的定义可得，|Pn+iF|=yn+lT，|PnF|=yn+，

F

所以|pn+jl-lpnI=(%廿)-羯中=丫"17/2，

故数列｛泗｝是公差为2的等差数列，

因为13=2,

所以"=4,

所以加=4+2(n-3)=2n-2,

所以yio=18.

故选：c.

【点评】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

7・已知盘号缶号3则()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

【分析】由题可知坦，构造函数f(x)3更，利用/(X)的单调性求解.

12eex

解：由题可知三一二卫生.

12ee

设f(x)--nX-,x>0，则f'(x)JI,“，

XX

当0<工0时，f(x)>0,f(x)单调递增；

当时，f(x)<0,f(x)单调递减，

由/(%)的单调性可知/(e)>/(3)>/(4),

即Ine>ln3、ln4

e34

即一^〉工〉一一,

12e12e12e

故a<b<c.

故选：A.

【点评】本题考查利用函数的单调性比较大小，构造函数并利用导数研究函数的单调性,

化归转化思想，属中档题.

8.已知直线/：x+y+2=0与x轴、y轴分别交于M,N两点,动直线/i：y=-mx(zz/GR)

和/2：冲-x-4加+2=0交于点尸，则△MNP的面积的最小值为()

A.氏B,5H15C.2V2D.2710-3

【分析】根据小/2所过定点和位置关系可得点尸轨迹方程，然后利用点到直线的距离公

式和两点间的距离公式可得面积最小值.

解：直线/i：mx+y=0过定点O(0,0),

由直线自my-x-4w+2=0,得〃？(y-4)+2-x=0,则直线过定点B(2,4),

VwX(-1)+lXm=0,...无论山取何值，都有/」/2,

...点P在以08为直径的圆上，且圆心坐标为(1,2),半径为/|08|=>后，

设尸(x,y),则点P的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=5,

圆心到直线/的距离为I花2I居之,则到直线/的距离的最小值为粤

P

由己知可得M(-2,0),N(0,-2),则|脏1|=2&，

.,.△MNP的面积的最小值为/X242X卢夕一年)=5-V10-

故选:B.

【点评】本题考查直线与直线、直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档

题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

(多选)9.已知向量1=(-2,3,1)是平面a的一个法向量，点尸(1,1,2)在平面a

内，则下列点也在平面a内的是()

A.(2,1,1)B.(0,0,3)C.(3,2,3)D.(2,I,4)

【分析】记选项中的四个点依次为A,B,C,D,结合数量积的坐标运算验证而，而，

PC)而是否与W垂直即可.

解：记选项中的四个点依次为4B,C,D,

则荏=(1,0,-1).PB=(-1,-1,1)，

PC=(2,1,1)，PD=(1,0,2)，

又二=(-2,3,1)，

•'•PAn=lX(-2)+0X3+(-1)Xl=-3?^0-故原与：不垂直,故A错误；

PBn=(-1)X(-2)+(-1)X3+1X1=0>故说与嗝垂直,故8正确；

PCn=2X(-2)+lX3+lX1=0-故正与，垂直,故C正确；

PDn=lX(-2)+0X3+2X1=Q.故而与W垂直,故。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查向量坐标运算法则、平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题.

(多选)10.已知随机变量X服从正态分布N(0,。2)(。>0),〃为大于。的常数，

则下列结论中正确的是()

A.P(XO>0.5B.P(XW-a)>P(X2a+2)

C.o越大，P(-aWXWO)越小D.E(aX)>EX

【分析】根据正态分布的定义及对称性求解即可.

解：由题意，X服从正态分布N(0,。2)(o>0),正态分布曲线的对称轴为X=0,

对于A,因为“大于0,所以P(XWa)>P(XWO)=0.5,故A正确；

对于8,因为尸(XW-a)=P(X2a),而「(X2a)>P(X2a+2),

所以P(XW-a)>P(X2a+2),故B错误；

对于C,。越大，正态分布曲线越矮胖，表示总体的分布越分散，故P(-aWXWa)越

小，故C正确;

对于。，由题可知E(X)=0,故E(aX)=aE(X)=0,故。错误.

故选：AC.

【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.

(多选)11.已知数列｛小｝的每一项均为0或1,其前"项和为数列｛“"•*｝的前"项和

为力”则下列结论中正确的是()

A.数列0,。2,43,…，如的所有可能情况共有〃2种

B.若(心2)为定值，则北恒为0

C.若二-1-(〃》2)为定值，则｛为｝为常数列

D.数列｛%｝可能为等比数列

【分析】由分步乘法计数原理可判断A；S,-S,」为定值，即a“为定值，则%=0或a„

=1,分别讨论a”=0或a.=l,求出方可判断&-7k1为定值，即为定值，结

合题意分析知只有斯=0能满足要求可判断C；取特值可判断D.

解：对于选项A,由分步乘法计数原理可知s(i=l,2,­•■,n)的值为0或1,共2

种情况，

所以数列G,42,。3,…，-的所有可能情况共有2"种,

故选项4错误；

对于选项B,已知为定值，

即如为定值，

由题可知a„=0或an=1,

++

当斯=0时，T„=0,当时，T=S1+S9-S=l+2+...fn」"」；+D，

故选项B错误；

对于选项C,已知Tn-T,,.\为定值，

即期$为定值，

由题可知2/511”彳为0或1，

当G=1时，

则4「Sl=a2-S2=l,此时。2无满足题意的解,

故只有a,i=0能满足要求，

所以｛斯｝为常数列，

故选项C正确；

对于选项。，当｛〃")为1,0,0,…时，Sn=1,

则｛S,｝是公比为1的等比数列，

故选项。正确.

故选：CD.

【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等比数列的定义，

属中档题.

(多选)12.己知函数/(x)=x3-ax2-x(a€R),f(x)为八x)的导函数，则下列结

论中正确的是()

A./(%)恒有一个极大值点和一个极小值点

B.若f(x)在区间［0,1］上单调递减，则。的取值范围是［2,+8)

C.若广(1)=0,则直线y=-l与/(x)的图象有2个不同的公共点

D.若。=3,则/(x))有.6个不同的零点

【分析】利用导数讨论单调性，然后可得极值点，可判断4根据二次函数性质讨论导

函数符号即可判断3利用导数讨论单调性，作图分析可判断C；先解方程/(X)=0,

然后根据二次函数性质可判断D.

解：由题可知/'(x)=3x2-lax-1,

因为△=(-2。)2-4X3X(-1)=4〃+12>0,

所以(x)=3/-2oc-1恒有两个异号的实根如

不妨设XI<X2,

则当xe(-8,M)时，f(x)>0,f(x)单调递增，

当XW(X|,X2)时，f(x)<0,f(X)单调递减，

当(X2，+8)时，f(X)>0,f(X)单调递增，

所以/"(X)恒有一个极大值点XI和一个极小值点X2,故A正确；

因为一(X)在区间［0,I］上单调递减，

所以对任意的友［0,1］,f(x)W0恒成立，

所以£”二-140,解得心1,故3错误；

If7(l)=3-2a-l<0

若f(1)=0,则3-2〃-1=0,解得。=1,

此时，(x)=3x2-2x-1=(x-1)(3x+l),

则当x£(-8,时，f(x)>0,/(x)单调递增，

当x£(A，1)时，f(X)<0.f(X)单调递减，

当在(1,+8)时，f(x)>0,f(x)单调递增，

所以/(X)极小值=f(1)=-1,

又当X--8时，f(x)--oo,

所以直线)，=-1与/(x)的图象有2个不同的公共点，故C正确;

因为f(x)=X3-3X2-X=X(X2-3X-1)=x(x-^—(x-^'

所以/(x)的3个零点为制逗，0,笆逗，

又/(x)=3(x-1)2-42-4,且-4〈女尸-,

所以当，(x)分别为岂H亘，0,对亘时，均有2个不同的x的值与其对应，

22

所以/"(/'(x))有6个不同的零点，故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于

中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

15

13.若卷x)的展开式中工2的系数为20,则实数a=2.

【分析】利用二项展开式的通项公式求解.

2

解：由题可知含/的项为吟(一,a3=5.a3x2,则/的系数为羡a?,

222

即合=20,解得“=2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题.

14.如图是《中国生物物种名录》中记载的2013—2022年中国生物物种及种下单元的数量

变化图，从中依次不重复地抽取两个年份的数据进行研究，则在第一次抽到的年份对应

的物种及种下单元的总数超过90000的条件下，第二次抽到的年份对应的物种及种下单

元的总数也超过90000的概率为2.

-9-

【分析】利用条件概率公式计算即可.

解：由图可知，这10年中物种及种下单元的总数超过90000的年份为2017—2022年,

共6年，

设事件A为“第一次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000”，

事件5为“第二次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000”，

.2

则P(BIA)-P(研)-hk巨•

P(B|A)-p(A)6-9

元

故答案为：卷

【点评】本题考查条件概率公式，属于基础题.

15.已知正项数列｛〃”｝是公比为3•的等比数列，数列他“｝的通项公式为言.若满足以＞

儿的正整数〃恰有3个，则g的取值范围为(6,161

【分析】根据数列｛%｝,｛d｝的单调性列出不等式组求解即可.

解：由题可知数列｛3｝单调递减，｛仇｝单调递增,

故历，。2＞岳，〃3＞历，an《bn(n》4,n€N*)»

o

aqb2ajX(y)>—,

故只需彳/即可,

EpJ3解得6VaiW16.

a4^b4

atx(y)42,

故答案为：(6,16].

【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及数列单调性的应用，属于基础题.

16.已知函数f(x)[xa-x'-x+eX-g，/'(x)是/(x)的导函数，若VxeR,不等

§ex

式/(3浮-2a-1)Wf(x)+2x-1恒成立，则实数a的取值范围是_[-J,1]_.

【分析】利用基本不等式判断出，(X)＞0,则/(x)在R上递增，求得/(x)+2%

-1的最小值，由此化简不等式/(3/-2a-1)Wf(x)+2x-1,进而求得a的取值

范围.

两处等号不能同时取到，

所以/（%）>0,

则/（无）在R上单调递增.

f'（x）+2x-l=x2+e"-2>x2+2Je*—^-2=x2^0,

exVex

当且仅当x=0时等号同时成立，

所以/（3。2-2。-I）WO.

又f（0）=0,

所以3a2-2a-IWO,

解得一^〈a（1.

故答案为：[―），1]-

【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列｛为｝的前〃项和为S”且Sn=78,制=442.

（1）求｛“”｝的通项公式；

（2）若b“=fa,求数列｛瓦｝的前"项和

n3n

【分析】（1）根据等差数列求和公式和通项公式列方程组求首项和公差，然后可得通项

公式：

（2）由错位相减法求和即可.

解：（1）设｛小｝的公差为”.

因为Sl2=78,”8=4〃2,

⑵「"Iy1'78

所以《

aj+7d=4(aj+d)

al=1

解得4

d=l

所以a〃=l+(n-1)X1=n,

即｛。〃｝的通项公式为“〃=小

n

所以Tnqr管+…嗑，①

贝偿1号■号…+含②

—(I—

3nn+1

①-②得2T=—4-^-4--+-i-—_3n^3-2n-3

3n3g23ngn+1」~小厂2.31tH

3

3nH-2n-3

则Tn

4-3n

【点评】本题考查了等差数列求和公式和通项公式的求法，重点考查了错位相减法求和，

属中档题.

18.如图，在四棱锥尸-A8CD中，AD//BC,5.ADLDC,平面尸4£>_L底面ABC。，△PAD

是边长为2的等边三角形，BC=1,C£>=3,。为4。的中点，M是棱PC上靠近点C的

三等分点.

（1）求证：PQLCD-,

（2）求二面角A-QB-M的平面角的余弦值.

【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可证明；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值.

解：（1）证明：在中，PA=PD,。为AO的中点，

所以PQLAD.

因为平面PA£>_L底面ABCQ,且平面PAOA底面ABCD=AD,

所以PQL底面A8CD

又COu平面ABCD,

所以PQLCD.

(2)在直角梯形ABCC中，AD//BC,BC—AD，。为AO的中点,

所以BC//DQ且BC=DQ,

所以四边形BCDQ为平行四边形,

所以BQ〃OC.

因为AO_LQC,

所以

由(1)可知平面ABC。,

所以，以Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

0),B(0,3,0).

易知平面AQ8的一个法向量n=(0,0,1).

因为M是棱PC上靠近点C的三等分点,

所以点M的坐标为(-晟，2,亨)，

所以瓦=(0,3,0)，而=([,2,

设平面MQB的法向量为m=(x,y,z),

m*QB=3y=0

财m«QM=-1x+2y^-z=0，

令x=3,可得\=(3,0,273).

Irrm|_2247

设二面角4-QB-M的平面角为。，则

COSInIImIV77

由图可知，二面角A-QB-M的平面角为钝角,

所以二面角A-QB-M的平面角的余弦值为必2.

7

【点评】本题考查空间中垂直关系的判定，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考

查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养,

属于中档题.

3222

19.已知函数f(x)g(x)=aln(x+1)aE(~°°,7).

J乙乙QCt

(1)求g(x)的单调区间；

(2)若g(x)极大值=/(x)极小值+近求实数b的取值范围.

【分析】(1)利用导数分析单调性即可求解；

(2)由(1)可知g(x)的单调性，从而求得g(x)极大值，进而利用导数分析/(x)的

单调性，从而求得f(x)极小值，可得h=aln(-a),构造函数h(x)=xln(-x),利

用导数分析其单调性，进而求解.

解：(1)由题可知g(x)的定义域为(-1,+8),

/ax(x+a+1)

g=x+l~X~a=~~

当“<-l时，

'：xe(-1,0)时，g'(x)<0,

xG(0,-a-1)时，g'(x)>0,

xG(-a-1,+8),g'(x)<0,

：.g(x)的单调递减区间为(-1,0),(-a-1,+8),单调递增区间为(0,-a

-1).

(2)由(1)知

g(x)极大值=g(-a-1)=aln(-a)—+a(a+l)=aln(-a)

由已知可得/(x)(x-1),

Vxe(-8,0)时，/(x)>0

xe(0,1)时，，(x)<0,

xG(1,+8)时，f'(x)>0,

.,.f(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

]a2

(X)极小值=f

由g(%)极大值=/(X)极小值+6,可得A=g(x)极大值-f(x)极小值=。勿(-。),

设h(x)=xln(-x),则//'(x)=ln(-x)+1,

VxG(--I),h1(x)>h'(-1)=l>0,

：.h(x)在(-8,-i)上单调递增，

：.h(x)<h(-1)=0,又当xf-8时，h(x)f-8.

:.b的取值范围为(-8,0).

【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转

化思想，是中档题.

20.淄博烧烤走红契合了公众“说走就走”的情绪.美食也是生活，更是社会情绪的折射J随

着城市间人口流动的日益频繁，给自己一个说走就走的旅行，是当下很多年轻人的选

择.为了解年轻人对淄博烧烤的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下

面的不完整的2X2列联表所示(单位：人)：

非常喜欢感觉一般合计

男性a

女性2〃100

合计70

(1)求”的值，并判断是否有95%的把握认为年轻人对淄博烧烤的态度与性别有关.

(2)从样本中筛选出4名男性和3名女性共7人作为代表，这7名代表中有2名男性和

2名女性非常喜欢淄博烧烤.现从这7名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记

己为这5人中非常喜欢淄博烧烤的人数，求己的分布列及数学期望Eq).

参考公式：y2-------4-Qd=----------其中”="+/>+c+d.

XQ+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据:

Px22公)0.10.050.01

ko2.7063.8416.635

【分析】(1)根据表中数据求得“，然后可完成列联表，由卡方公式计算可得;

(2)由排列组合与古典概型公式求概率，可得分布列，再由期望公式可解.

解：(1)由题可知2“+70-a=100,解得a=30.

2X2列联表如下：

非常喜欢感觉一般合计

男性7030100

女性6040100

合计13070200

2_n(ad-bc)2200X(70X40-30X60)\.

X一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)--130X70X100X100"""Q2.198<3.841

所以没有95%的把握认为年轻人对淄博烧烤的态度与性别有关.

(2)设进一步交流的男性中非常喜欢淄博烧烤的人数为相，女性中非常喜欢淄博烧烤的

人数为〃，

则>〃?+〃，且S的所有可能取值为2,3,4.

尸1尸2J-«1i-l1

P(g=2)=P(m=l,)=C3C2=3'

r2rlrlrlr1rl2r.2

nr-1-oV匕2^2匕2%^2u2b21

P(g=3)=P3=2,n-1)+p(m1,n2)=----z-z一i一厂厂=>

p乙F。「乙乙o

V4V3广3

r2r1r.2

_c、21

P(t=4)=P(m=2,n')=q?=八

C4C36

所以J的分布列为:

234

P

1~2

则E«)=2X巨3X%吟吟.

【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，独立性检验，考查运算求解

能力，属于中档题.

21.已知椭圆C：号占=l(a>b>0)的左顶点为A,上顶点为8,坐标原点O到直

线AB的距离为百叵，△4OB的面积为孑.

102

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点(1,0)且不与x轴重合的直线/与椭圆C交于M,N两点，直线AM,AN

分别与y轴交于P,。两点，证明：|0丹・|0。|为定值.

【分析】(1)根据三角形面积公式和两点间距离公式，列关于m〃的方程组求解可得；

(2)分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设M(xi,yi),N(及，”)，利用点

M,N坐标表示出P,。坐标，结合韦达定理可得.

解：(1)由题意知A(-a,Q),B(0,b).

因为AAOB的面积为日，

所以SAA0B卷ab孝).

|AB|=Va2+b2,

因为点。到直线AB的距离为山叵，

10

所以|g|3折="+b23折=3②.

211102102

由