2023-2024学年江苏省江阴南闸实验学校九年级上册数学期末检测模拟试题含解析

2023-2024学年江苏省江阴南闸实验学校九上数学期末检测模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图，已知等边AABC的边长为4,以AB为直径的圆交BC于点F,CF为半径作圆，D是。C上一动点，E是

BD的中点，当AE最大时，BD的长为（）

2.如图，直线“〃2,等腰RrABC的直角顶点C在4上，顶点A在上，若N£=14°,则Nc=（）

C.30°D.59°

3.已知的半径为3,点。到直线优的距离为d,若直线，〃与。公共点的个数为2个，则Q可取（）

A.0B.3C.3.5D.4

4.若两个相似三角形的周长之比是1：4,那么这两个三角形的面积之比是（）

A.1：4B.1：2C.1：16D.1：8

5.将抛物线y=x2平移得到抛物线丫=（x+2）2,则这个平移过程正确的是（）

A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位

C.向上平移2个单位D.向下平移2个单位

6.把抛物线丫=一;X。向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为（）

A.y=-g（x+l）2+lB.y=-J（x+1）2—1C.y=—（x—1）2+1D.y=-（x

7.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A

8.如图，在AABC中，AB=AC,D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，若CE=2,则四边形ADFE的周长为（

A

BFC

A.2B.4C.6D.8

a+c

9.已知a上=r上=4(6+470),则——=()

bdb+d

A.1B.2C.4D.8

10.已知函数y=ax2+bx+c(a#))的图象如图，下列5个结论,其中正确的结论有（）

①abcVO

②3a+c>0

③4a+2b+cV0

④2a+b=0

⑤b2>4ac

h

A.2B.3C.4D.5

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.已知。O的周长等于6ncm,则它的内接正六边形面积为_____cm2

12.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1,0）,B（1-a,0）,C（1+a,0)(a>0),点P在以D(4,4)为圆心,

1为半径的圆上运动，且始终满足NBPC=90°,则a的最大值是______.

14.分解因式：9a-a3=

15.在一个暗箱里放有，"个除颜色外其他完全相同的小球，这机个小球中红球只有4个，每次将球搅匀后，任意摸出

一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%,那么可以推算，〃大约是

16.在△ABC中，ZABC=90°,已知AB=3,BC=4,点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交直线AB

于点P,当APQB为等腰三角形时，线段AP的长为.

17.如图，△ODC是由aOAB绕点O顺时针旋转40。后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且NAOC=105°,则

zc=

2442

18.反比例函数y=—和y=一在第一象限的图象如图所示，点A在函数丫=一图像上，点B在函数y=一图像上,

XXXX

AB〃y轴，点C是y轴上的一个动点，则AABC的面积为.

三、解答题(共66分)

3

19.(10分)如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=20,sinA=-,CDA.AB,垂足为。.

(1)求80的长;

(2)设AC=a，8C="用表示

20.(6分)某便民超市把一批进价为每件12元的商品，以每件定价20元销售，每天能够售出240件.经过调查发现:

如果每件涨价1元，那么每天就少售20件;如果每件降价1元，那么每天能够多售出40件.

(1)如果降价，那么每件要降价多少元才能使销售盈利达到I960元？

(2)如果涨价，那么每件要涨价多少元才能使销售盈利达到1980元？

21.(6分)如图，AB是。O的直径，0。垂直弦AC于点E,且交。。于点O,尸是R4延长线上一点，若NCDB=NBFD.

(1)求证：FD//AC；

(2)试判断尸。与。。的位置关系，并简要说明理由；

(3)若A5=10,AC=S,求OF的长.

22.(8分)在平面直角坐标系中，已知AO=/W=5,8(6,0).

(1)如图1,求sinNAOB的值.

(2)把AOAB绕着点8顺时针旋转，点。、A旋转后对应的点分别为"、N.

①当M恰好落在84的延长线上时，如图2,求出点“、N的坐标.

②若点。是。8的中点，点P是线段MN上的动点，如图3,在旋转过程中，请直接写出线段CP长的取值范围.

23.(8分)近年来某市大力发展绿色交通，构建公共、绿色交通体系，将“共享单车”陆续放置在人口流量较大的地方,

琪琪同学随机调查了若干市民用“共享单车''的情况，将获得的数据分成四类，A：经常使用；偶尔使用；C：了

解但不使用；D：不了解，并绘制了如下两个不完整的统计图.请根据以上信息，解答下列问题：

使用••共享单车”的情况人数统计图使用“共享单车”的情况扇形统计图

(1)这次被调查的总人数是人,“C：了解但不使用”的人数是人，“。：不了解”所占扇形统计图

的圆心角度数为.

(2)某小区共有1(XX)()人，根据调查结果，估计使用过“共享单车”的大约有多少人？

(3)目前“共享单车”有黄色、蓝色、绿色三种可选，某天小张和小李一起使用“共享单车”出行，求两人骑同一种颜色

单车的概率.

24.(8分)如图，已知菱形A3。，对角线AC、BO相交于点O,AC=6,BD=1.点E是43边上一点，求作矩形

EFGH,使得点F、G、H分别落在边5C、CD、4。上.设AE=m.

(1)如图①，当机=1时，利用直尺和圆规，作出所有满足条件的矩形EFGH；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)写出矩形EPG/7的个数及对应的"，的取值范围.

25.(10分)⑴解方程：x2+4x-1=0

(2)计算：—cos300+——sin45°

22

26.(10分)解下列方程:

(1)(j-1)2-4=1；

(2)3X2-x-1=1.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、B

【分析】点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F,根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得F是

BC的中点，从而得到EF为aBCD的中位线，根据平行线的性质证得CDJLBC,根据勾股定理即可求得结论.

【详解】解：点D在。C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F,

连接CD,

•••△ABC是等边三角形，AB是直径，

/.EF±BC,

.•.F是BC的中点，

YE为BD的中点，

AEF为△BCD的中位线，

.♦.CD〃EF,

.,.CD±BC,BC=4,CD=2,

故BD=y]BC2+CD2=V16+4=275»

故选：B.

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质，圆周角定理，三角形中位线的性质以及勾股定理，熟练并正确的作出辅助圆是解题

的关键.

2、A

【分析】过点B作BD〃h,,再由平行线的性质即可得出结论.

【详解】解：过点B作BD//1”贝!）Na=NCBD.

•・•/t///2,

ABD///,,

.•.NB=NDBA,

VZCBD+ZDBA=45°,

二Na+N8=45°,

•••"=14°

Za=45°-NP=31°.

故选A.

【点睛】

本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键.

3、A

【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论.

【详解】•••直线m与。。公共点的个数为2个，

.•.直线与圆相交，

.•.dV半径，

.,.d<3,

故选：A.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设。O的半径为r,圆心O到直线1的距离为d：

①直线1和0O相交odVr®直线I和OO相切od=r,③直线1和。O相离od>r.

4、C

【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得答案.

【详解】解：•••相似三角形的周长之比是1：4,

二对应边之比为1：4,

二这两个三角形的面积之比是：1：16,

故选c

【点睛】

此题主要考查了相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似

比的平方.

5、A

【解析】试题分析：根据抛物线的平移规律即可得答案，故答案选A.

考点：抛物线的平移规律.

6、B

【解析】试题分析：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，可直接求得平移后的抛物线的解析式为：

1

y=——(x+1)2-1.

2

7、B

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】4、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

8、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中

心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

8、D

【分析】根据三角形的中点的概念求出AB、AC,根据三角形中位线定理求出DF、EF,计算得到答案.

【详解】解：•••点E是AC的中点，AB=AC,

.♦.AB=AC=4,

是边AB的中点，

.,.AD=2,

•••D、F分别是边、AB、BC的中点，

.,.DF=—AC=2,

2

同理，EF=2,

:.四边形ADFE的周长=AD+DF+FE+EA=8,

故选：D.

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

9、C

【分析】根据比例的性质得出a=4),c=4d再代入要求的式子，然后进行解答即可.

【详解】解：•；，=二=4,

ba

a=4b,c=4d,

Q+C4b+4d/

:.-----=--------=4,

b+db+d

故选C.

【点睛】

此题考查了比例的性质，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键，是一道基础题.

10、B

【解析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.

b

【详解】①由抛物线的对称轴可知：一二>1,.•.就VI.

2a

•抛物线与y轴的交点可知：c>L1,故①正确；

b

(2)V------=1,.,.b=-2a,.,.由图可知x=-l,J<1,».y=a-b+c=a+2a+c=3a+c<l,故②错误；

2a

③由(-1,1)关于直线x=l对称点为(3,1),(1,1)关于直线x=l对称点为

(2,1),'.x=2,J>1,.,.y=4a+2b+c>l,故③错误；

④由②可知：2a+b=l,故④正确；

⑤由图象可知：A>1,*.b2-4ac>l,^.b2>4ac,故⑤正确.

故选B.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、2

2

【分析】首先过点O作OH_LAB于点H,连接OA,OB,由。O的周长等于6;rcm,可得。。的半径，又由圆的内接

多边形的性质，即可求得答案.

【详解】解：如图，过点O作OHJLAB于点H,连接OA,OB,

1

.,.AH=-AB,

2

V0O的周长等于67rcm,

二。。的半径为：3cm,

1

VZAOB=-X360°=60°,OA=OB,

6

...△OAB是等边三角形，

AB=OA=3cm,

.3

..AH=—cm,

2

：•°H=7(9A2-AH2=-，

.、、136_27石

S正六边形ABCDEF=6SAOAB=6X—z\J----------------

222

故答案为：生8.

2

【点睛】

本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的半径与边长相等是解答此题的关键.

12、1

【分析】首先证明AB=AC=a,根据条件可知PA=AB=AC=a,求出(DD上到点A的最大距离即可解决问题.

【详解】VA(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),

/.AB=1-(1-a)=a,CA=a+l-l=a,

/.AB=AC,

■:ZBPC=90°,

APA=AB=AC=a,

如图延长AD交。D于P。此时AP，最大，

VA(1,0),D(4,4)，

.♦.AD=5,

；.AP'=5+1=1,

Aa的最大值为1.

故答案为1.

【点睛】

圆外一点到圆上一点的距离最大值为点到圆心的距离加半径，最小值为点到圆心的距离减去半径.

13、扇lOn

【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积即可得答案.

【详解】圆锥的侧面展开图是一个扇形，

圆锥的侧面积=兀rl=7rx2x3=67r,

底面积为万/=4兀，

•■•全面积为6n+4n=10n.

故答案为：扇，10”

【点睛】

本题考查圆锥的侧面展开图及侧面积的计算，熟记圆锥侧面积公式是解题关键.

14、a(3+a)(3-a)

【解析】分解因式的方法为提公因式法和公式法及分组分解法.原式=)9-尸a(3+a)(3-a).

15、1

【分析】由于摸到红球的频率稳定在25%,由此可以确定摸到红球的概率为25%,而机个小球中红球只有4个，由

此即可求出m.

【详解】•••摸到红球的频率稳定在25%,

,摸到红球的概率为25%,

而m个小球中红球只有4个，

.••推算，”大约是4・25%=1.

故答案为：L

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，其中解题时首先通过实验得到事件的频率，然后利用频率估计概率即可解决问题.

16、*或1.

3

【解析】当APQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论:①当点P在线段AB上时，如图1所示.由三角形相

似(AAQP^AABC)关系计算AP的长；

②当点P在线段AB的延长线上时，如图2所示.利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP.

【详解】解:在RtAABC中，AB=3,BC=4,由勾股定理得：AC=5.

为钝角，

...当APQB为等腰三角形时，

当点尸在线段A3上时，如题图1所示：

•.•NQP5为钝角,

...当4PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ,

由⑴可知,A4QPSA45C,

.PAPQ3-PBPB4

即---,解得：PB=二,

ACBC543

45

:.AP=AB—PB=3——=-；

33

当点尸在线段45的延长线上时，如题图2所示：

•••NQ3P为钝角，

当4PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ.

,:BP=BQ,工NBQP=NP,

VZBQP+ZAQB=90,NA+NP=90,

：.ZAQB=ZA,

：.BQ=AB,

：.AB=BP,点5为线段AP中点，

.•.AP=2A8=2x3=1.

综上所述，当△P08为等腰三角形时川产的长为|或1.

故答案为g或1.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于

中考常考题型.

17、45°

【分析】先根据NAOC的度数和NBOC的度数，可得NAOB的度数，再根据AAOD中，AO=DO,可得NA的度数,

进而得出△ABO中NB的度数，可得NC的度数.

【详解】解：TNAOC的度数为105°,

由旋转可得NAOD=NBOC=40°,

/.ZAOB=105°-40°=65°,

,.•△AOD中，AO=DO,

.*.ZA=-(180°-40°)=70°,

2

.,.△ABO中，ZB=180°-70°-65°=45°,

由旋转可得，NC=NB=45°,

故答案为：45°.

【点睛】

本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答.

18、1

【分析】设A(m,B(m,-),则AB=q-2,△ABC的高为m,根据三角形面积公式计算即可得答案.

mmtnm

42

【详解】•:A、B分别为＞=一、y=一图象上的点，AB〃y轴，

xx

42

・••设A(m,—),B(m,一),

mtn

.1,42、

••SAABC=—(-)m=l.

2mtn

故答案为：1

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上点的坐标都满足反比例函数的解析式是解题关键.

三、解答题（共66分）

19、(1)9；⑵£-与

2525

【分析】（1）根据解直角三角形，先求出CD的长度，然后求出AD,由等角的三角函数值相等，有tanNDCB=tan/A,

即可求出BD的长度;

（2）由（1）可求AB的长度，根据三角形法则，求出AB，然后求出

【详解】解：(1)VCD1AB,

.,.ZADC=ZBDC=90°,

,...CD

在RtAACD中，sinA=----,

AC

3

:.C£>=AC・sinA=20x二=12.

5

AD=7AC2-CD2=A/202-122=16,

..CD3

•.tanA=-----=—.

AD4

VZACB=90°,

:.ZDCB+ZB=ZA+ZB=90°,

AZDCB=ZA.

3

・・・BD=CDtanZDCB=CD-tanA=12x-=9；

4

（2）•••■=">+03=16+9=25,

・一。_16

••=,

AB25

又•:AB=AC+BC=a-b>

.16，_1616,

•.AD——ABo——a-----b.

252525

【点睛】

本题考查了解直角三角形，向量的运算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形求三角形的各边长度.

20,（1）每件要降价1元才能使销售盈利达到1960元；（2）每件要涨价1元或3元才能使销售盈利达到1980元.

【分析】（1）设每件要降价x元，根据盈利=每件的利润x销售量即可列出关于x的方程，解方程即可求出结果；

（2）设每件要涨价y元，根据盈利=每件的利润x销售量即可列出关于y的方程，解方程即可求出结果.

【详解】解：(D设每件要降价X元，根据题意，得(20-12-6(240+40力=1960,

解得：玉=々=1,

答：每件要降价1元才能使销售盈利达到1960元.

(2)每件要涨价y元，根据题意，得(20+y-12)(240-20y)=1980,

解得：X=1，必=3,

答：每件要涨价1元或3元才能使销售盈利达到1980元.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键.

20

21、(1)证明见解析；(2)尸。是。。的切线，理由见解析；(3)DF=—.

【分析】(1)因为Na)8=NCA8,NCDB=NBFD,所以NCAB=NBFD,即可得出FD//AC,

(2)利用圆周角定理以及平行线的判定得出NFDO=90。，进而得出答案；

(3)利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长.

【详解】解：

(1)VZCDB=ZCAB,NCDB=NBFD,

；.NCAB=NBFD,

：.FD//AC,

(2)VZAEO=90°,FD//AC,

；.NFDO=9Q°,

...尸。是。。的一条切线

(3)VAB=10,AC=8,DO1.AC,

:.AE=EC=4,A0=5,

：.EO=3,

,JAE//FD,

.,.△AEOs△foo,

.AEEO

••=9

FDDO

.3_J_

•■—9

5FD

20

解得：DF^—.

3

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理以及平行线的判定，掌握相似三角形的判定与性质、

垂径定理、圆周角定理以及平行线的判定是解题的关键.

4I72437249

22、(1)(2)@M(—②N(W，7);(3)-<CP<9

【解析】(D作AHLOB,根据正弦的定义即可求解；

(2)作MCJ_OB,先求出直线AB解析式，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义求出M点坐标，根据MN〃OB,

求出N点坐标；

(3)由于点C是定点，点P随△ABO旋转时的运动轨迹是以B为圆心，BP长为半径的圆，故根据点和圆的位置关

系可知，当点P在线段OB上时，CP=BP-BC最短；当点P在线段OB延长线上时，CP=BP+BC最长.又因为BP的

长因点D运动而改变，可先求BP长度的范围.由垂线段最短可知，当BP垂直MN时，BP最短，求得的BP代入

CP=BP-BC求CP的最小值；由于BM>BN,所以点P与M重合时，BP=BM最长，代入CP=BP+BC求CP的最大值.

【详解】(1)作AH_LOB,

VAO=AB=5,B(6,0).

AH(3,5)

二AH=3,AH=S]AO2-OH2=4

AH4

:.sinNAOB=------=—

AO5

(2)由(D得A(3,4),又8(6,0)

4

求得直线AB的解析式为：y=—§x+8

•.•旋转，/.MB=OB=6,

作MC_LOB,VAO=BO,

二ZAOB=ZABO

424

:.MC=MBsinZABO=6x-=——

55

24I?

即M点的纵坐标为三，代入直线AB得x=不

1224

M(—,—)

55

•:NNMB=NAOB=NABO

，MN〃OB,又MN=AB=5,

贝37

1-2一

55

+5

37

M一24

•5一

・5

(3)连接BP

,••点D为线段OA上的动点，OA的对应边为MN

...点P为线段MN上的动点

...点P的运动轨迹是以B为圆心，BP长为半径的圆

,:C在OB上，且CB=-OB=3

2

当点P在线段OB上时,CP=BP-BC最短;当点P在线段OB延长线上时,CP=BP+BC最长

如图3,当BP_LMN时，BP最短

SANBM=SAABO,MN=OA=5

11

-MNBP=-OBy

22A

OBy.6x424

二BP=-------=------------=——

MN55

；.CP最小值=2]4_3=g9

当点P与M重合时，BP最大，BP=BM=OB=6

:.CP最大值=6+3=9

9

/.线段CP长的取值范围为1<CP<9.

【点睛】

此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法的运用、旋转的性质、三角函数的应用.

23、（1）200,50,108（2）450（）人；（3）-

;3

【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的信息，即可求解；

（2）由小区总人数x使用过“共享单车”的百分比，即可得到答案；

（3）根据题意，列出表格，再利用概率公式，即可求解.

【详解】（1）504-25%=200（人），

200x（1-30%-25%-20%）=50（人），

360°x30%=108°,

答：这次被调查的总人数是200人，“C：了解但不使用”的人数是50人，“。：不了解”所占扇形统计图的圆心角度

数为108。.

故答案是：200,5（）,108；

（2）10000X（25%+20%）=4500（人），

答：估计使用过“共享单车”的大约有4500人；

（3）列表如下：

小张

黄色蓝色绿色

小李

黄色（黄色，黄色）（黄色，蓝色）（黄色，绿色）

蓝色（蓝色，黄色）（蓝色，蓝色）（蓝色，绿色）

绿色（绿色，黄色）（绿色，蓝色）（绿色，绿色）

由列表可知：一共有9种等可能的情况，两人骑同一种颜色有三种情况：（黄色，黄色），（蓝色，蓝色），（绿色，绿色）

・p

■•「（两人骑同一颜色）-29-—13°

【点睛】

本题主要考查扇形统计图和条形统计图以及简单事件的概率，列出表格，得到事件的等可能的情况数，是解题的关键.

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