等比关系 练习题

等比关系练习题等比关系练习题问题一若$a$、$b$、$c$成等比数列，且$a+b+c=7$，$abc=\frac{35}{27}$，则数列$a$、$b$、$c$的公比$q$等于多少？解答设$a=kq^2$、$b=kq$、$c=k$，其中$k\neq0$且$q\neq0$。则$a+b+c=kq^2+kq+k=(k+1)(q^2+q)$，且$abc=k^3q^3$。由题意得，$$\begin{cases}kq^2+kq+k=7\\\k^3q^3=\dfrac{35}{27}\end{cases}$$解得$k=\dfrac{3}{q}$，代入第一个式子得$$\dfrac{3}{q^3}+\dfrac{3}{q^2}+\dfrac{3}{q}=7$$化简得$$3q^3-7q^2+3q=0$$解得$q=\dfrac{1}{3}$或$q=3$，舍去$q=3$的情况，因为$a$、$b$、$c$三数互不相等。综上所述，数列$a$、$b$、$c$的公比$q=\dfrac{1}{3}$。问题二在$\triangleABC$中，$AD$是中线，$E$点在$DC$产生延长线$DE$与$AB$相交于点$F$，$F$点把$AB$边分为$AF:FB=3:1$，设$\dfrac{CE}{ED}=k$，则$k$的取值范围是什么？解答首先联想到中线的性质，得$$AD^2=\dfrac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}$$因为$AD=\dfrac{BC}{2}$，所以代入得$$\dfrac{BC^2}{4}=\dfrac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}$$即$$AB^2+AC^2=\dfrac{5}{4}BC^2\\cdots(*)$$接下来分别考虑$\triangleADC$和$\triangleAFE$。在$\triangleADC$中，根据塞瓦定理得$$\dfrac{AE}{EC}\cdot\dfrac{BD}{AD}\cdot\dfrac{CF}{FB}=1$$代入$AD=\dfrac{BC}{2}$，$BD=\dfrac{BC}{2}$，$\dfrac{CF}{FB}=3$，得$$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{1}{2}$$在$\triangleAFE$中，根据梅涅劳斯定理得$$\dfrac{CD}{DE}\cdot\dfrac{BF}{FA}\cdot\dfrac{AE}{EC}=1$$代入$$\dfrac{BF}{FA}=\dfrac{1}{3}$$和$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{1}{2}$，得$$\dfrac{CD}{DE}=2$$所以$\dfrac{CE}{ED}=k$，即$\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{k}{k+1}$。代入$(*)$，得$$AB^2+AC^2=\dfrac{5}{4}(AD^2+CD^2+2\cdotAD\cdotCD)$$即$$AB^2+AC^2=\dfrac{5}{4}\left(\dfrac{5}{4}CD^2+2\cdotCD^2+2\cdotAD\cdotCD\right)$$代入$$AB=\dfrac{3}{4}AD$$得$$\dfrac{9}{16}AD^2+AC^2=\dfrac{25}{16}CD^2+\dfrac{25}{8}AD\cdotCD$$将$\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{k}{k+1}$代入得$$\dfrac{9}{16}AD^2+AC^2=\dfrac{25}{4}AD^2\cdot\dfrac{k}{k+1}$$即$$\dfrac{AC^2}{AD^2}=\dfrac{25-36k}{9k}\\cdots(**)$$所以$k\in\left(\dfrac{25}{36},+\infty\right)$或$k\in\left(-\infty,\dfrac{25}{36}\right)$，但因为$\dfrac{CE}{ED}=k$，所以$k>0$，故$k\in\left(\d