历年高考数学（理）知识清单-专题15 椭圆、双曲线、抛物线（考点解读）（原卷+解析版）

1专题15椭圆、双曲线、抛物线考情解读1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题.2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查.重点知识梳理知识点一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)定点F和定直线l，点F不在=d标准方程焦点在x轴上＋＝1(a>b>0)焦点在x轴上－＝1(a>0，b>0)焦点在x轴正半轴上y2=2px(p>0)几何性质范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥a，y∈Rx≥0，y∈R顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b2几何性质离心率e＝c=ae＝c=ae＝1准线x通径渐近线y=±x二、误区警示1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c2＝a2＋b2，双曲线中c2＝a2－b2的区别.2．注意焦点在x轴上与y轴上的双曲线的渐近线方程的区别.3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点.高频者点突破高频考点一椭圆的定义及其方程【变式探究】(2017·北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.【变式探究】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则() A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1D．m<n且e1e2<1 【变式探究】已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，A.＋＝1C.＋＝1-1)，则E的方程为()B.＋＝1D.1高频考点二椭圆的几何性质例2．【2019年高考北京卷】已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则A．a2=2b2B．3a2=4b2C．a=2bD．3a=4b【变式探究】已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1(a>b>0)的左焦点，A,B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（.）（ABC）34【变式探究】已知椭圆C1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.高频考点三双曲线的定义及标准方程例3．(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()－＝－＝BD【变式探究】(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为()BDC.x24【变式探究】x242D.23=1（b>0以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A=1C=1x242x434y2=13=1【变式探究】若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()高频考点四双曲线的几何性质y2b2x2a2y2b2x2a2=1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P，Q两点．若PQ=OF，则C的离心率为【变式探究】已知方程_=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范【变式探究】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△则E的离心率为()A.B．2C.D.高频考点五抛物线的定义及方程例5．【2019年全国Ⅱ卷】若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则p=C．4【变式探究】(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()【变式探究】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为()（ABCD）1【变式探究】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为()高频考点六抛物线的几何性质例6．已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(42)，求直线l与圆M的方程.【变式探究】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8【变式探究】已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为()－＝－＝真题感悟1.【2019年全国Ⅲ卷】设F1，F2为椭圆C:+=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为.2.【2019年全国Ⅲ卷】双曲线C：-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若PO=PF，则△PFO的面积为()423．【2019年浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是 24．【2019年江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2-=1(b>0)经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲.5.（2019·全国高考）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则p=()7A．21．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=()2．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线Cy2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A.B.33．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为()A．y=±xC．y=±xB．y=±xD．y=±x4．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为()C.D.5．(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()－＝－＝6．(2018·浙江卷)双曲线－y2＝1的焦点坐标是()A．(－，0)，(，0)B．(－2,0)，(2,0)C．(0)，(0，)D．(02)，(0,2)7．(2018·北京卷)若双曲线1(a＞0)的离心率为，则a＝.8．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()8A.B.C.D. 9．(2018·天津卷)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|= .(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：y＝kx(k＜0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值.10．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C1交于A，B两点，线段AB的中点为Mm)(m＞0).(1)证明：k＜－；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差.11.(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()－＝－＝1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16B．14C．122．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()33.【2017浙江，2】椭圆+=1的离心率是 94.【2017天津，理5】已知双曲线22xy _a2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A）_=1（B）_=1（C）_=1（D）_=15.【2017北京，理9】若双曲线x2_=1的离心率为，则实数m=.6.【2017课标1，理】已知双曲线C：_=1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.7.【2017课标3，理5】已知双曲线C：_=1(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y=x,且与1有公共焦点，则C的方程为8.【2017山东，理14】在平面直角坐标系xOy中，双曲线xy _a2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2px(p>0)交于A,B两点，若AF+BF=4OF，则该双曲线的渐近线方程为.9.【2017课标1，理20】已知椭圆C：+=1（a>b>0四点P1（1,1P2（0,1P3（–1P4（1中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点. 10.【2017山东，理21】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)如图，动直线l：y=k1x一交椭圆E于A,B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且MC:AB=2:3，。M的半径为MC，OS,OT是。M的两条切线，切点分别为S,T.求经SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.11.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.(Ⅰ)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(Ⅱ)求证：A为线段BM的中点.A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为66213.【2017江苏，8】在平面直角坐标系xOy中,双曲线2x2 y3=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是▲.14.【2017江苏，17】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别 12为F1,F2 12,两准线之间的距离为8.点P在椭-圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线E的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.专题15椭圆、双曲线、抛物线考情解读1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题.2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查.知识点一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)定点F和定直线l，点F不在=d标准方程焦点在x轴上＋＝1(a>b>0)焦点在x轴上－＝1(a>0，b>0)焦点在x轴正半轴上y2=2px(p>0)几何性质范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥a，y∈Rx≥0，y∈R顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝c=ae＝c=ae＝1准线x通径渐近线y=±x二、误区警示1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c2＝a2＋b2，双曲线中c2＝a2－b2的区别.2．注意焦点在x轴上与y轴上的双曲线的渐近线方程的区别.3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点.高频者点突破高频考点一椭圆的定义及其方程x221x2【答案】BFB=nAF=2nFB=nAF=2nBF=AB=3n由椭圆的定义有BF1BF+BF2BFAF1AF.4n2 在中，由余弦定理推论得在在△AF1F2中，由余弦定理得3在.33FB=nAF=2nBFFB=nAF=2nBF=AB=3n2222 22c2x2程为32，故选B.【变式探究】(2017·北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为.2(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.(1)解：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，a＝2， =由题意得c解得c =所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n)，由题设知m≠±2，且n≠0.直线AM的斜率kAM故直线DE的斜率kDE所以直线DE的方程为y(x－m)，直线BN的方程为y＝(x－2).nn（4－m2）ym＋nn（4－m2）联立n解得点E的纵坐标yE＝－.y＝2－m（x－24－m2＋n2由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n.S△BDN＝|BD|·|n|，所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.【变式探究】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1D．m<n且e1e2<1【答案】A222e2选A.【变式探究】已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，A.＋＝1C.＋＝1-1)，则E的方程为()B.＋＝1D.1【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，＋＝＋＝①-②,得＋＝即b2y1＋y2y1－y2a2（x1＋x2x1－x2）∵AB的中点为(11)，1∴椭圆E的方程为1，故选D.【答案】D高频考点二椭圆的几何性质例2．【2019年高考北京卷】已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则A．a2=2b2B．3a2=4b2C．a=2bD．3a=4b【答案】B【变式探究】已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1(a>b>0)的左焦点，A,B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF」x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()（ABC）【答案】A【解析】由题意设直线l的方程为y=k(x+a)3434ka(a-c)a=2ka+c|OE|=ka.设OE的中点为N，则△OBN∽△FBM，则|ka(a-c)a=2ka+c 理，得=，所以椭圆C的离心率e=，故选A. 【变式探究】已知椭圆C1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.b＝1，a2＝b2＋c2【解析】(1)由题意得b＝1，a2＝b2＋c2故椭圆C的方程为＋y2＝1.设M(xM，0).因为m≠0，所以－1＜n＜1.直线PA的方程为y－1＝x.mm，0所以xM＝1－n，即M1－mm，0(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n).设N(xN，0)，则xN＝.“存在点Q(0，yQ)使得∠OQM=∠ONQ”，等价于“存在点Q(0，yQ)使得||||＝”，即yQ满足y＝|xM||xN|.因为xMxNn2＝1.所以y＝|xM||xN|2.所以yQ＝或yQ.故在y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，点Q的坐标为(0，)或(0).高频考点三双曲线的定义及标准方程例3．(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()－＝－＝【答案】C【解析】因为直线AB经过双曲线的右焦点且垂直于x轴，所以不妨取A(c，)，Bc取双曲线的一条渐近线为直线bx－ay＝0，由点到直线的距离公式可得d1d2＋＝=4，即＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为1，故选C.【变式探究】(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为()C.2D.23【解析】取渐近线y＝x，化成一般式bx－ay＝0，圆心(2，0)到直线的距离为【答案】A【变式探究】已知双曲线-=1（b>0以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A-=1B-=1【答案】D2【变式探究】若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()=9，故选B.【答案】B高频考点四双曲线的几何性质22xy a2b2为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P，Q两点．若PQ=OF，则C的离心率为【答案】A【解析】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ」x轴，:PA为以OF为直径的圆的半径，∴|OA|=，:P,，又P点在圆x2+y2=a2上，:+=a2，即=a2,:e2==2.:e=，故选A.【变式探究】已知方程22表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范 x-m22-n【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x轴上，所以m2+n+3m2-n=4，解得m2=1，因为方程(-1,3)，故选A.【变式探究】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△则E的离心率为()A.B．2C.D.【解析】如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°,∴|BM|=|AB|＝2a，∠MBN＝60°,∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin60°=a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos60°=2a.将点M(x1，y1)的坐标代入1，可得a2＝b2，∴e选D.【答案】D高频考点五抛物线的定义及方程例5．【2019年全国Ⅱ卷】若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则p=C．4【答案】D【解析】因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点(,0)是椭圆3p-p=()2，解得p=8，故选D.【变式探究】(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()【解析】由题知MF：y＝(x－1)，与抛物线y2＝4x联立得3x2－10x＋3＝0，解得x1x2＝3，所以M(3，2).因为MN⊥l，所以N(－1，2).又F(1，0)，所以直线NF的方程为y(x－1).故点M到直线NF的距离是＝2.【答案】C【变式探究】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为()（ABCD）1【答案】C【解析】设P(2pt2,2pt),M(x,y)（不妨设t>0则=(|2pt2- FP3) FP3),,,12|2pt|2pt(p2p2p,:|x-2=3t-,:(2p2p:: 1,2,:kOM= 1,2 ，2故选C.【变式探究】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.B.C.【解析】设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2.∴A点坐标为(2，2)，则直线AB的斜率k2.∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，即为2x－y－2＝0，则点O到该直线的距离为d＝.y2＝4x，y＝2（x－1消去y得，2x2－5x＋2＝0，=××=.【答案】C高频考点六抛物线的几何性质例6．已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(42)，求直线l与圆M的方程.(1)证明：设l：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y2＝2x，联立得y2＝2x，Δ=4m2＋16恒大于0，y1＋y2＝2m，y1y24.1x2＋y1y2=(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2=(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4=-4(m2＋1)＋2m·2m＋4＝0，(2)解：由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径rm2＋2）2＋m2.－4)·(x2－4)＋(y1＋2)·(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可得y1y24，x1x2＝4，所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m.当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10. 当m时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为4 圆M的半径为4，圆M的方程为4＋2＝16. 圆M的半径为4，圆M的方程为4＋2＝16.【变式探究】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】如图,设抛物线方程为y2=2px,AB,DE交x轴于C,F点,则AC=2,即A点纵坐标为2,则A点横坐标为,即OC=,由勾股定理知DF2+OF2=DO2=r2,AC2+OC2=AO2=r2,即()2+()2=(2)2+()2,解得p=4,即C的焦点到准线的距离为4,故选B.【变式探究】已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为()－＝－＝【解析】双曲线1的渐近线方程为y=±x，又渐近线过点(2，)，所以即2b＝a，①抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，由已知，得＝，即a2＋b2＝7②,联立①②解得a2＝4，b2＝3，所求双曲线的方程为－＝1，选D.【答案】D真题感悟1.【2019年全国Ⅲ卷】设F1，F2为椭圆C:+=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为.=FF又S△MF1F2=x4x8222=4,：4y0=4，解得y0=，：0+2：0+22.【2019年全国Ⅲ卷】双曲线C：一=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若PO=PF，则△PFO的面积为()【答案】A PO=PF：x,P2又P在C的一条渐近线上，不妨设为在y=x上，则yP=.xP=x=，△PFO3．【2019年浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为x土y=0，所以a=b，则c==a，4．【2019年江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2一=1(b>0)经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲.5.（2019·全国高考）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆xy +3pp=1的一个焦点，则p=()【答案】D【解析】因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点(,0)是椭圆3p-p=()2，解得p=8，故选D.1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，【答案】Dy2＝4x，【解析】由题意知直线MN的方程为y2＝4x，消去y并整理，得x2－5x+4＝0.解得xN＝1，xM＝4.所以yN＝2，yM＝4.又抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，所以＝(3,4)(0,2)．所以FM·FN＝3×0＋2×4＝8.故选D.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线Cy2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A.B.3【答案】B【解析】由已知得双曲线的两条渐近线方程为y=±x.设两条渐近线的夹角为2α,则有tanα=所以α=30°.所以∠MON＝2α=60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α=·tan60°=3.故选B.3．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为()A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x【答案】A【解析】因为所以＝3，所以所以渐近线方程为y=±x.故选A.4．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为()C.D.【答案】C【解析】设双曲线C的一条渐近线的方程为bx－ay＝0，则直线PF2的方程为ax＋by－ac＝0.由可得Pc，c.由F1(－c,0)及|PF1|＝|OP|，得c2＋c2＝×c2＋c2，ax可得Pc，c.由F1(－c,0)及|PF1|＝|OP|，得c2＋c2＝×c2＋c2，bx－ay＝05．(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()－＝－＝【答案】A ，－【解析】如图，不妨设点A在点B的上方，则Aa，Ba.其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d22b＝6，所以b＝3.又由e2知a2＋b2＝4a2，所以a＝.所以双曲线的方程为1. ，－6．(2018·浙江卷)双曲线－y2＝1的焦点坐标是()A．(－，0)，(，0)B．(－2,0)，(2,0)C．(0)，(0，)D．(02)，(0,2)【答案】B【解析】因为a2＝3，b2＝1，所以c2＝4，所以c＝2，又焦点在x轴上，所以B项正确．故选B.7．(2018·北京卷)若双曲线1(a＞0)的离心率为，则a＝.【答案】4【解析】设焦距为2c，则即c2＝a2.由c2＝a2＋4得a2＝a2＋4，所以a2＝16，所以a＝4.8．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为a2＝b2＋c2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以e. 9．(2018·天津卷)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|= .(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：y＝kx(k＜0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值.【解析】(1)设椭圆的焦距为2c，由已知得又由a2＝b2＋c2可得2a＝3b.由|AB|从而a＝3，b＝2，所以椭圆方程为1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，由题意，x2＞x1＞0，点Q的坐标为(－x1y1)．由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍可得|PM|＝2|PQ|，从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.易知直线AB的y＝kx方程为y＝kx消去y可得x2＝.由方程组＝1，消去y可得x1=.由x2＝5x1可得＝5(3k＋2)，两边平方整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k或k.当k时，x29＜0，不合题意，舍去；当k时，x2＝12，x1符合题意，所以k的值为－.10．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C1交于A，B两点，线段AB的中点为Mm)(m＞0).(1)证明：k＜－；数列的公差.【解析】(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两式相减，并由＝k得x1x2＋y1y2·k＝0.于是k.①由题设得0＜m故k.(2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0).由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3(y1＋y2)2m＜0.又点P在C上，所以m于是|F|＝.x1－12＋y=..x1－12＋3=2－.=|x1－x2|=.②将m＝代入①得k1，所以l的方程为yx代入C的方程，并整理得7x2－14x0.代入②解得|d|＝.所以该数列的公差为或－.11.(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()－＝－＝【答案】C【解析】因为直线AB经过双曲线的右焦点且垂直于x轴，所以不妨取A(c，)，Bc，－，取双曲线的一条渐近线为直线bx－ay＝0，由点到直线的距离公式可得d1d2＋＝kk=4，即＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为1，故选C.kk1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16B．14C．12【答案】A【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4)，直线l1的方程为y=k1(x-1)，联立方程-2k-4kk2p=k4 +4 +kkk k2．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()3【答案】A【解析】以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，3.【2017浙江，2】椭圆+=1的离心率是 【答案】B4.【2017天津，理5】已知双曲线22xy -a2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为【答案】B5.【2017北京，理9】若双曲线x2-=1的离心率为，则实数m=.【答案】26.【2017课标1，理】已知双曲线C：-=1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.【答案】【解析】如图所示，作AP」MN，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线y=x上的点，且A(a,0)，而AP」MN，所以ZPAN=30。，AM=b22aAN=b，,PA PA a3b3a3b37.【2017课标3，理5】已知双曲线C：-=1(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y==1有公共焦点，则C的方程为x,且与【答案】B【解析】双曲线C：-=1=3,:c2=a2-b2=9,c=345故选B.8.【2017山东，理14】在平面直角坐标系xOy中，双曲线抛物线x2=2px(p>0)交于A,B两点，若AF+BFOF,则该双曲线的渐近线方程为.【答案】【解析】p+2p+2AF+BF=yA牵yA+yB=p，因为{2-2pb22牵a2y2-2pb2y+a2b2=0牵，所以yA+y2pb22a9.【2017课标1，理20】已知椭圆C：+=1（a>b>0四点P1P4（1中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【解析】（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设11，解得{.a24b2（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知t子0，且t<2，可得A，B的坐标分别为（t，（t，-）.44-t22.设A（x1，y1B（x2，y2则x1+x2=一，x1x2=.22)=.x 10.【2017山东，理21】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)如图，动直线l：y=k1x一交椭圆E于A,B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且MC:AB=2:3，。M的半径为MC，OS,OT是。M的两条切线，切点分别为S,T.求经SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.x22x22【解析】（I）由题意知e==，因此椭圆E的方程为+y2=1.联立方程{2y=k1x-,x22k1，所以AB=x1-x2=.由题意可知圆M的半径r为r= 因此直线OC的方程为y=x.2x2 x2 联立方程{2y=4k1x,得x2=,y2=，x22x2r