湖南省邵阳市朝仪乡中学2022年高二数学理下学期摸底试题含解析

湖南省邵阳市朝仪乡中学2022年高二数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线则实数为（）A． B． C． D．参考答案：D略2.复平面内，点(0,－1)表示的复数为（

）A．－1

B．0

C．i

D．－i参考答案：D由复数的几何意义得点(0,-1)表示的复数为0+(-1)×i=-i.故选D.

3.复数表示复平面内的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式，即可推出结果．【解答】解：=，故它所表示复平面内的点是．故选A．4.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的焦点坐标为（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：C5.已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意x∈R，都有f(x)＝f(2－x)成立，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0(其中f′(x)为f(x)的导数).设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c三者的大小关系是A.a<b<c

B.c<a<b

C.c<b<a

D.b<c<a参考答案：B由f(x)＝f(2－x)可得，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(3)＝f(－1).又当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，即f′(x)>0，则f(x)在(－∞，1)上单调递增.所以f(－1)<f(0)<f.即c<a<b，故选B.6.已知，若，则A. B. C. D.参考答案：C7.给定两个命题p、q，若是的必要而不充分条件，则是的（

）

A充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略8.某同学通过英语听力测试的概率为，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值是(

)A.3 B.4 C.5 D.6参考答案：B【分析】由题意利用次独立试验中恰好发生次的概率计算公式以及对立事件发生的概率即可求得结果．【详解】由题意可得，，求得，∴，故选B．【点睛】本题主要考查次独立试验中恰好发生次的概率计算公式的应用，属于基础题．9.已知函数R)，则下列错误的是（

）

A．若，则在R上单调递减B．若在R上单调递减，则C．若，则在R上只有一个零点D．若在R上只有一个零点，则参考答案：D略10.?x1∈（1，2），?x2∈（1，2）使得lnx1=x1+，则正实数m的取值范围是（）A． B． C．[3﹣3ln2，+∞） D．（3﹣3ln2，+∞）参考答案：B【考点】2H：全称命题．【分析】由题意得到lnx1﹣x1=m﹣mx2，设h（x）=lnx﹣x在（1，2）上的值域为A，函数g（x）=mx3﹣mx在（1，2）上的值域为B，根据函数的单调性求m的取值范围．【解答】解：由题意，得lnx1﹣x1=，设h（x）=lnx﹣x在（1，2）上的值域为A，函数g（x）=mx3﹣mx在（1，2）上的值域为B，当x∈（1，2）时，h′（x）=﹣1=＜0，函数h（x）在（1，2）上单调递减，故h（x）∈（ln2﹣2，﹣1），∴A=（ln2﹣2，﹣1）；又g'（x）=mx2﹣m=m（x+1）（x﹣1），m＞0时，g（x）在（1，2）上单调递增，此时g（x）的值域为B=（﹣，），由题意A?B，且m＞0＞﹣1，∴﹣≤ln2﹣2，解得m≥﹣（ln2﹣2）=3﹣ln2；∴正实数m的取值范围是[3﹣ln2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的单调递增区间是

.

参考答案：略12.5名同学去听3个课外讲座，且每个学生只能选一个讲座，不同的选法有

种．参考答案：24313.函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的截距式方程．【分析】欲求在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到直线方程，最后令即可求得在x轴上的截距．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f'（x）=3x2+4，当x=1时，y'=7得切线的斜率为7，所以k=7；所以曲线在点（1，10）处的切线方程为：y﹣10=7×（x﹣1），令y=0得x=．故答案为：．【点评】本小题主要考查直线的斜率、直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14.函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

参考答案：略15.设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为

。参考答案：1016.设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠?，则实数m的取值范围是．参考答案：[，2+]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意可把问题转换为圆与直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，进而联立不等式组求得m的范围．【解答】解：依题意可知，若A∩B≠?，则A≠?，必有，解可得m≤0或m≥，此时集合A表示圆环内点的集合或点（2，0），集合B表示与x+y=0平行的一系列直线的集合，要使两集合不为空集，需至少一条直线与圆有交点或点在某一条直线上，①m=0时，A={（2，0）}，B={（x，y）|0≤x+y≤1}，此时A∩B=?，不合题意；②当m＜0时，有||＜﹣m或||＜﹣m；则有﹣m＞﹣m，或﹣m＞﹣m，又由m＜0，则（﹣1）m＜，可得A∩B=?，不合题意；③当m≥时，有||≤m或||≤m，解可得：2﹣≤m≤2+，1﹣≤m≤1+，又由m≥，则m的范围是[，2+]；综合可得m的范围是[，2+]；故答案为[，2+]．17.双曲线﹣=1的离心率为，则m等于．参考答案：9【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线可得a2=16，b2=m，又离心率为，则，解得m=9．故答案为9．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数(Ⅰ)判断的奇偶性；(Ⅱ)判断在上的单调性并用定义证明；（Ⅲ）求在区间上的最小值．参考答案：（Ⅰ）

是奇函数

…………2分（Ⅱ）在内是增函数.

证明：设

且则=

即故在内是增函数

.…………8分（3）由（1）知

是奇函数，由（2）知在内是增函数.在上是增函数当时，有最小值为……………12分略19.不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围参考答案：略20.已知直线l1：3x+4y﹣2=0和l2：2x﹣5y+14=0的相交于点P．求：（Ⅰ）过点P且平行于直线2x﹣y+7=0的直线方程；（Ⅱ）过点P且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程．参考答案：【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）联立两直线的方程即可求出交点P的坐标，求出直线2x﹣y+7=0的斜率为2，所求直线与直线2x﹣y+7=0平行得到斜率相等都为2，根据P的坐标和斜率2写出直线方程即可；（Ⅱ）根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1求出所求直线的斜率，根据P和斜率写出直线方程即可．【解答】解：由解得，即点P坐标为P（﹣2，2），直线2x﹣y+7=0的斜率为2（Ⅰ）过点P且平行于直线2x﹣y+7=0的直线方程为y﹣2=2（x+2）即2x﹣y+6=0；（Ⅱ）过点P且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程为即x+2y﹣2=0．【点评】此题考查学生会利用两直线的方程求两直线的交点坐标，掌握两直线平行及垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道综合题．21.（10分）已知椭圆C：+y2=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：（x﹣3）2+（y﹣1）2=3相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若不过A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且=0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（I）圆M的圆心为（3，1），半径．直线AF的方程为x+cy﹣c=0，由直线AF与圆M相切，得c2=2，a2=c2+1=3，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：由，知AP⊥AQ，设直线AP的方程为y=kx+1，直线AQ的方程为．联立，整理得（1+3k2）x2+6kx=0，求得点P，点Q，由此能证明直线l过定点．（Ⅱ）法二：由，知AP⊥AQ，设直线l的方程为y=kx+t（t≠1），联立，整理得（1+3k2）x2+6ktx+3（t2﹣1）=0．由，利用韦达定理证明直线l过定点．【解答】（I）解：圆M的圆心为（3，1），半径．…（2分）由题意知A（0，1），F（c，0），直线AF的方程为，即x+cy﹣c=0，…（4分）由直线AF与圆M相切，得，解得c2=2，a2=c2+1=3，故椭圆C的方程为．…（6分）（Ⅱ）证法一：由知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y=kx+1，直线AQ的方程为．联立，整理得（1+3k2）x2+6kx=0，…（7分）解得x=0或，故点P的坐标为，同理，点Q的坐标为，…（9分）∴直线l的斜率为，…（10分）∴直线l的方程为，即．…（11分）所以直线l过定点．…（12分）（Ⅱ）证法二：由，知AP⊥AQ，从而直线PQ与x轴不垂直，故可设直线l的方程为y=kx+t（t≠1），联立，整理得（1+3k2）x2+6ktx+3（t2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，（*）由△=（6kt）2﹣4（1+3k2）×3（t2﹣1）＞0，得3k2＞t2﹣1．…（9分）由，得，将（*）代入，得，…（11分）所以直线l过定点．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程