辽宁省大连市第二十一中学2022-2023学年高二数学理下学期摸底试题含解析

辽宁省大连市第二十一中学2022-2023学年高二数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我们把离心率之差的绝对值小于的两条双曲线称为“相近双曲线”，已知双曲线，则下列双曲线中与是“相近双曲线”的为

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B2.某班周四上午有4节课，下午有2节课，安排语文、数学、英语、物理、体育、音乐6门课，若要求体育不排在上午第一、二节，并且体育课与音乐课不相邻，（上午第四节与下午第一节理解为相邻），则不同的排法总数为（）A．312 B．288 C．480 D．456参考答案：A【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，对体育课的排法分2种情况讨论：①、若体育课排在上午第三、四节和下午第一节，②、若体育课排在下午第二节，每种情况下分析音乐和其他4门课程的排法数目，计算可得每种情况的排法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，体育不排在上午第一、二节，则体育课只能排在上午第三、四节和下午第一、二节，分2种情况讨论：①、若体育课排在上午第三、四节和下午第一节，体育课有3种排法，音乐与体育课不相邻，体育课前后2节课不能安排音乐，有3种排法，将剩下的4门课全排列，安排其余的4节课，有A44=24种排法；此时有3×3×24=216种排法；②、若体育课排在下午第二节，音乐与体育课不相邻，音乐课不能排在下午第一节，有4种排法，将剩下的4门课全排列，安排其余的4节课，有A44=24种排法；则此时有4×24=96种排法；故不同的排法总数为216+96=312种；故选：A．3.当θ是第四象限时,两条直线和的位置关系是（

）

A．平行

B．垂直

C．相交但不垂直

D．重合参考答案：B4.过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于P、Q两点，F2为右焦点，若△PQF2为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），根据已知条件容易判断|PQ|与2c的关系，列出方程即可求出离心率．【解答】解：如图，设F1（﹣c，0），△PQF2为等边三角形，可得：?=2c，∴2ca=b2=（a2﹣c2），可得2e=﹣，解得e=∴该椭圆离心率为：．故选：B．5.已知集合，，则A∩B=（

）A.{－1,0,1} B.{－1,0} C.{0,1} D.{－1,1}参考答案：B【分析】先求集合，然后求.【详解】因为，所以，选B.【点睛】本题考查了集合的交集.6. 函数的图象在处的切线的倾斜角为（

） A． B． C． D．参考答案：D略7.过双曲线的右焦点作直线与双曲线交A、B于两点，若，这样的直线有（

）A.一条

B.两条

C.三条

D.四条参考答案：C略8.某公司的班车在7∶30，8∶00，8∶30发车，小明在7∶50至8∶30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A．

B．

C．

D．参考答案：D设小明到达时间为y，当在7：50至8：00，或8：20至8：30时，因为小明等车时间不超过分钟，故，故选D．考点：几何概型概率公式．9.已知抛物线的焦点坐标是，则它的标准方程为（

）(A)

（B）

(C)

(D)参考答案：D10.若，则 （

）A．－1 B． C．－7 D．7参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知线段面，，，面于点，，且在平面的同侧，若，则的长为

参考答案：略12.已知x＞0，y＞0，+=2，则2x+y的最小值为．参考答案：4【考点】基本不等式．【分析】由题意可得2x+y=（+）（2x+y）=（4+++），运用基本不等式即可得到最小值．【解答】解：∵x＞0，y＞0，+=2，∴2x+y=（+）（2x+y）=（4+++）≥（4+2）=4，当且仅当y=2x=2时取等号．故答案为：4．13.抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为N.设，AN与MF相交于点B，若，△ABM的面积为，则p的值为

．参考答案：314.已知是常数，且是区间内任意实数，当时，函数的最大值为＿＿＿＿．参考答案：略15.已知实数x、y满足，则z=2x+y的最大值是

．参考答案：10【分析】画出不等式组表示的平面区域，根据图形得出最优解，由此求出目标函数的最大值．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；根据图形知，由解得A（4，2）；目标函数z=2x+y过点A时，z取得最大值为zmax=2×4+2=10．故答案为：10．16.已知点满足，则其落在区域的概率等于

．参考答案：17.一物体在力

（单位:N）的作用下，沿与力F相同的方向，从处运动到处.（单位：m）.力所作的功为

参考答案：40略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，直线PE、PF与圆（x﹣1）2+y2=r2（）相切于点E、F，又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R．求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．参考答案：【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；J3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设点M（x，y），由题意可得，利用斜率计算公式即可得出．化简即可．（II）把x=1代入曲线C的方程，可得点P（）．由于圆（x﹣1）2+y2=r2的圆心为（1，0），利用对称性可知直线PE与直线PF的斜率互为相反数．设直线PE的方程为，与椭圆的方程联立可得（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，由于x=1是方程的一个解，可得方程的另一解为．同理．可得直线RQ的斜率为kRQ=．把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得x2+tx+t2﹣3=0．利用弦长公式可得|RQ|．再利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线RQ的距离为d．利用和基本不等式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设点M（x，y），，∴．整理得点M所在的曲线C的方程：（x≠±2）．（Ⅱ）把x=1代入曲线C的方程，可得，∵y＞0，解得，∴点P（）．∵圆（x﹣1）2+y2=r2的圆心为（1，0），∴直线PE与直线PF的斜率互为相反数．设直线PE的方程为，联立，化为（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，由于x=1是方程的一个解，∴方程的另一解为．同理．故直线RQ的斜率为=．把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得x2+tx+t2﹣3=0．∴|RQ|==．原点O到直线RQ的距离为d=．∴==．当且仅当t=时取等号．∴△OQR的面积的最大值为．19.设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．参考答案：【考点】3R：函数恒成立问题；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈?，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为；

（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号．由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或，解得x≤﹣或x≥，故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．20.(本小题满分12分)已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC－sinBsinC=0.5.(1)求A；(2)若，b+c=4，求△ABC的面积.参考答案：解：(Ⅰ)∵，∴，又∵0<B+C<π，∴，∵A+B+C=π，∴.(Ⅱ)由余弦定理a2=b2+c2－2bccosA，得，

即：，∴bc=4，∴.21.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点F与点的距离为2。(1)求椭圆的方程；(2)斜率的直线与椭圆相交于不同的两点M,N满足,求直线l的方程。

参考答案：解：（1）依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为 ，由，得，即，解得。又∵，∴，即椭圆方程为。

(4分)（2）方法一:由知点在线段的垂直平分线上，由消去得即

（*）

(5分)由,得方程(*)的,即方程(*)有两个不相等的实数根。

(6分)设、，线段MN的中点，则，，，即

，∴直线的斜率为，

(9分)由，得，∴，解得：，

(11分)∴l的方程为或。

(12分)方法二:直线l恒过点(0,-2),且点(0,-2)在椭圆上,∴不妨设M(0,-2),则|AM|=4

(6分)∴|AN|=4,故N在以A为圆心,4为半径的圆上,即在的图像上.

联立化简得,解得

(8分)当y=-2时,N和M重合,舍去.

当y=0时,,因此

(11分)∴l的方程为或。

(12分)

略22.已知函数f（x）=（a∈R）（1）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（2）求f（x）在（0，1]上的最大值．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）问题转化为a≤x2﹣lnx，令g（x）=x2﹣lnx，求出函数g（x）的导数，得到g（x）的最小值，从而求出a的范围；（2）先求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，通过讨论a的范围，求出f（x）的最大值即可．【解答】解：（1）f（x）≤1即：a≤x2﹣lnx，令g（x