河南省开封市信阳第四高级中学高二数学理上学期期末试卷含解析

河南省开封市信阳第四高级中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.2018年某地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（）A.0.48 B.0.6 C.0.75 D.0.8参考答案：C【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用条件概率公式能求出结果。【详解】一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，设随后一天空气质量为优良的概率为p，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有，，故选：C.【点睛】本题考查条件概率，属于基础题。2.节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】CF：几何概型．【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，要满足条件须|x﹣y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案．【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：=故选C3.下列四个函数：①；②；③；④，其中在处取得极值的是（

）A.①② B.②③ C.③④ D.①③参考答案：B【分析】分别判断四个函数单调性，结合单调性，利用极值的定义可判断在处是否取得极值.【详解】因为函数与函数都在上递增，所以函数与函数都没有极值，①④不合题意；函数与函数都在上递减，在上递增，所以函数与函数都在处取得极小值，②③符合题意，故选B.

4.已知集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可.【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，，，即，故选D.【点睛】本题主要考查集合的计算，利用图象确定集合关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.5.已知且、，则连接、两点的直线与单位圆的位置关系是（

）

A．相交

B．相切

C．相离

D．不能确定参考答案：B略6.以下四个命题中，正确的是（

）A.若，则三点共线B.若{a,b,c}为空间的一个基底，则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底C.|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|D.为直角三角形的充要条件是

参考答案：B略7.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为(

)A．79

B．69C．5

D．-5参考答案：D8.复数（1＋i）（1－ai）R，则实数a等于A、1B、－1C、0D、±1参考答案：A9.设四棱锥

的底面不是平行四边形,用平面

去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面A.不存在

B.只有1个

C.恰有4个

D.有无数多个参考答案：解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为、,直线、

确定了一个平面.作与

平行的平面,与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面

有无数多个．故选D．10.已知动直线y=k（x+1）与椭圆C：x2+3y2=5相交于A、B两点，已知点M(﹣，0)，则的值是（）A．﹣B． C．﹣D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合数量积的坐标运算求得答案．【解答】解：联立，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0，△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，，，∴=====．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数的值＝＿＿＿.参考答案：12.在棱长为1的正方体中，若，则的最小值为

．参考答案：略13.两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________.参考答案：【分析】设两球的半径分别为，根据列出关于，的方程组，解出方程组，根据球的体积公式可得结果.【详解】设两球的半径分别为，∵两个球的半径相差1，表面积之差为，∴，，解得，，∴它们的体积和为，故答案为.【点睛】本题主要考查了球的体积公式的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.14.某校高中生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现采取分层抽样抽取容量为45的样本,那么高一?高二?高三各年级抽取的人数分别为________.参考答案：15

10

2015.从一副去掉大小王的52张扑克中随机取出一张，用A表示取出的牌是“Q”，用B表示取出的牌是红桃，则

.参考答案：16.非负实数，满足，则的最大值_________.参考答案：略17.有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有________

参考答案：576种

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（m＞0）的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，F是其右焦点，P是椭圆C上异于A、B的动点．（1）求m的值及椭圆的准线方程；（2）设过点B且与x轴的垂直的直线交AP于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

参考答案：解：（1）因为椭圆的离心率为．所以，解得．所以椭圆的方程为 ……3分准线方程为 ……5分（2）由题可知，设．由椭圆的对称性，不妨设①若，则，方程为，AP方程为，以BD为直径的圆的圆心(5,1)，半径为1与直线PF相切； ……8分②若，则AP方程为令，得，则以BD为直径的圆的圆心，半径为……11分直线PF方程为，即圆心M到直线PF的距离……13分＝＝所以圆M与直线PF相切 ……15分综上所述，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．…………16分

19.(本题满分12分).函数，

（1）若在处取得极值，求的值；

（2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；参考答案：解：（1）.此时，满足x=2是取得极值-------5分（2）由已知，恒成立，或恒成立.若恒成立，即在恒成立，即若恒成立，即在恒成立，即令，则当时，；当或时，

或

-------12分略20.“”汶川大地震是华人心中永远的痛！在灾后重建中拟在矩形区域ABCD内建一矩形的汶川人民纪念广场（如图），另外内部有一废墟作为文物保护区不能占用。经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,如何设计才能使广场面积最大？

参考答案：解析：

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立如图所示的直角坐标系，则E（30，0），F（0，20）。∴线段的方程是在线段上取点，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为s，则s＝|PQ|·|PR|＝（100－）（80－）又∵，∴，∴。∴当＝5m时，s有最大值，此时.

21.已知函数f（x）=loga（）（0＜a＜1，b＞0）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数y=f（x）的值域是（﹣∞，1]．（1）确定b的值；（2）证明函数y=f（x）在定义域上单调递增，并求a的值；（3）若对于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，求k的取值范围．参考答案：（1）根据函数f（x）为奇函数，建立方程关系即可求出b；（2）运用单调性的定义，可得g（x）==﹣1+在（﹣1，1）递减，再由复合函数的单调性，可得f（x）在（﹣1，1）递增；由题意可得f（a）=1，解方程可得a的值；（3）由f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），f（x）在（﹣1，1）递增，可得t2﹣2t＞k﹣2t2，且﹣1＜t2﹣2t＜1，﹣1＜k﹣2t2＜1，可得k＜3t2﹣2t的最小值，运用二次函数的最值求法，可得最小值，即可得到k的范围．解：（1）∵函数f（x）=loga（）（0＜a＜1，b＞0）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴loga+loga=loga（?）=0，即?=1，∴1﹣x2=b2﹣x2，即b2=1，解得b=1（﹣1舍去），当b=1时，函数f（x）=loga为奇函数，满足条件．（2）证明：设x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，由g（x）==﹣1+，g（x1）﹣g（x2）=﹣=，x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，可得x2﹣x1＞0，（1+x1）（1+x2）＞0，则g（x1）﹣g（x2）＞0，即有g（x）在（﹣1，1）递减，由f（x）=logag（x），0＜a＜1可得，f（x）在（﹣1，1）递增；∴函数f（x）=loga在x∈（﹣1，a）上单调递增，∵当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，∴f（a）=1，即f（a）=loga=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1+；（3）对于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，即有f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），由f（x）在（﹣1，1）递增，可得t2﹣2t＞k﹣2t2，且﹣1＜t2﹣2t＜1，﹣1＜k﹣2t2＜1，可得k＜3t2﹣2t的最小值，由3t2﹣2t=3（t﹣）2﹣，可得t=，取得最小值﹣，可得k＜﹣．检验成立．则k的取值范围是（﹣∞，﹣）．22.（本题满分12分）

已知函数

(1)求的单调递减区间;(2)若f(x)在区间上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.参考答案：（12分）

解:(1)函数定义域为R,

……1分令解得x<-1或x>3

……3分所以函数的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).

……5分(2)因为在(-1,2)上,所以f(x)在[-1,2]上单调递增,由（1）可知f(x)在[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在x=-1处有极小值f(-1)=-5+a，

……