湖南省衡阳市三0一子弟中学高二数学理测试题含解析

湖南省衡阳市三0一子弟中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，l?α，则l∥β；

④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数是(

)A、1

B、2

C、3

D、4参考答案：B略2.若关于的不等式的解集是,则关于的不等式的解集是（）A．

B．

C.

D．参考答案：D3.“a≥2”是“直线l：2ax﹣y+2a2=0（a＞0）与双曲线C：﹣=1的右支无焦点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出直线l：2ax﹣y+2a2=0（a＞0）与双曲线C：﹣=1的右支无焦点的充分必要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：∵直线l：2ax﹣y+2a2=0（a＞0）与双曲线C：﹣=1的右支无焦点，∴直线l的斜率不小于双曲线C的渐近线y=x的斜率，即2a≥，∵a＞0，∴a≥1，故a≥2是a≥1的充分不必要条件，故选：A．4.定义在R上的函数f(x)满足：则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（

）A.

B. C.

D.参考答案：A【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【详解】设，则，函数在定义域上单调递增，，，又，，故选：A．5.若函数（）在上为减函数，则的取值范围为

（

）A．(0,3]

B．[2,3]

C．(0,4]

D．[2,+∞)参考答案：B6.（2016?栖霞市校级模拟）已知命题p：对任意x∈R，总有3x≤0；命题q：“x＞2”是“x＞4”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q参考答案：B【考点】复合命题的真假．【专题】转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】先判断命题p与q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．【解答】解：对于命题p：对任意x∈R，总有3x＞0，因此命题p是假命题；命题q：“x＞2”是“x＞4”的必要不充分条件，因此命题q是假命题．因此命题￢p与￢q都是真命题．则下列命题为真命题的是（￢p）∧（￢q）．故选：B．【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、指数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（

）A．20

B．－20

C．24

D．－24参考答案：B的展开式中，二项式系数最大的项是其系数为-20．8.如图，在三棱柱中，若、分别为、的中点，平面将三棱柱分成体积为、的两部分，那么为（

）A．3：2

B．7：5

C．8：5

D．9：5参考答案：B9.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是A．b=10，A=，C=，

B．a=30，b=25，A=，

C．a=7，b=8，A=，

D．a=14，b=16，A=.参考答案：D10.如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）A． B．4 C． D．参考答案：D【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由正视图得到三视图的高，也即其侧视图的高；底面正三角形的高即为侧视图的宽，据以上分析可求出此三棱柱的侧视图的面积．【解答】解：由已知正三棱柱及其正视图可知：其侧视图是一个高与正视图的相同、宽是底面正三角形的高的矩形．由三棱柱的正视图的高为2，可得其侧视图的高也为2．∵底面是边长为2的正三角形，∴其高为．∴此三棱柱侧视图的面积=2×=．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，若，则=____.参考答案：【答案】略12.设复数，若为实数，则x=

参考答案：

13.设等比数列{}的公比q＝2，前n项的和为，则的值为_____________．参考答案：14.不等式

解集为

．参考答案：15.设P是直线上的一个动点，过P作圆的两条切线，若的最大值为60°，则b=

．参考答案：16.设为随机变量，，若随机变量的数学期望，则

．(结果用分数表示)参考答案：

17.在四面体ABCD中，E，F分别是AC、BD的中点，若AB=CD=4，EF⊥AB，则EF与CD所成之角

参考答案：600三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}中，a1=2，对任意的p,q∈N*，有ap+q=ap+aq.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)若数列{bn}满足:an=－+－+…+(－1)n+1(n∈N*)求数列{bn}的通项.(3)设Cn=3n+λbn(n∈N*)是否存在实数λ，当n∈N*时，Cn+1>Cn恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，说明理由.参考答案：(1)取p=n,q=1，则an+1=an+a1=an+2∴an+1－an=2（n∈N*)∴{an}是公差为2，首项为2的等差数列.∴an=2n……………（4分)(2)－+－+…+(－1)n+1=an(n≥1)…①∴－+…+(－1)n=an－1(n≥2)…②①－②得：(－1)n+1=an－an－1=2(n≥2)∴bn=(－1)n+1(2n+1+2)(n≥2)当n=1时，a1=，∴b1=6满足上式∴bn=(－1)n+1(2n+1+2)

(n∈N*)(3)Cn=3n+(－1)n+1(2n+1+2)λ(n∈N*)

假设存在λ，使Cn+1>Cn(n∈N*)

3n+1+(－1)n+2(2n+2+2)λ>3n+(－1)n+1(2n+1+2)λ

[(－1)n+2(2n+2+2)－(－1)n+1(2n+1+2)]λ>3n－3n+1=－2·3n

当n为正偶数时，（2n+2+2n+1+4)λ>－2·3n

(3·2n+1+4)λ＞－2·3n恒成立

即λ>=

当n=2时，=－，∴λ>－当n为正奇数时，－(3·2n+1+4)λ>－2·3n恒成立λ<当n=1时，=综上，存在实数λ，且λ∈(－,)19.（1）求与直线3x+4y-7=0垂直，且与原点的距离为6的直线方程；（2）求过A(1,2)和B(1,10)且与直线x-2y-1=0相切的圆的方程。参考答案：(1)(2)或20.过点P(-3,1)作圆的两条切线，求这两条切线的倾斜角。参考答案：解析：k=，倾斜角分别为30°和150°。（心线距法或几何法）21.设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明；（2）将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），（a22，a23），（a24，a25，a26），（a27，a28，a29，a30）；…分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b2018﹣b1314的值．参考答案：【分析】（1））得到数列递推式，代入计算可得结论，猜想an的表达式，再用数学归纳法证明，（2）因为an=2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20，同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20，利用等差数列的通项公式即可；【解答】解（1）∵点（n，）在函数f（x）=x+的图象上，∴=n+，∴Sn=n2+an．令n=1得，a1=1+a1，∴a1=2；令n=2得，a1+a2=4+a2，∴a2=4；令n=3得，a1+a2+a3=9+a3，∴a3=6．由此猜想：an=2n，用数学归纳法证明如下：①当n=1时，由上面的求解知，猜想成立．②假设n=k（k≥1）时猜想成立，即ak=2k成立，则当n=k+1时，注意到Sn=n2+an（n∈N*），故Sk+1=（k+1）2+ak+1，Sk=k2+ak．两式相减得，ak+1=2k+1+ak+1﹣ak，所以ak+1=4k+2﹣ak．由归纳假设得，ak=2k，故ak+1=4k+2﹣ak=4k+2﹣2k=2（k+1）．这说明n=k+1时，猜想也成立．由①②知，对一切n∈N*，an=2n成立，（2）因为an=2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b2018是第505组中第2个括号内各数之和，b1314是第329组中第2个括号内各数之和．由分组规律知，各组第1个括号中所有数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第2个括号中所有第1个数、所有第2个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第2个括号中各数之和构成等差数列，且公差为40．记b2，b6，b10，…b4n+2，．．，为{dn}，则dn为等差数列且公差为40，因为b2018=d505，b1314=d329，所以b2018﹣b1314=×40=7040．22.如图，在△ABC中，点D在边AB上，，，，.（1）求BC的长：（2）求△ABC的面积．参考答案：（1）；（2）【分析】（1）在中利用余弦定理可求