2023-2024学年江苏省南京师大附中仙林分校九年级（上）月考数学试卷（10月份）

第1页（共1页）2023-2024学年江苏省南京师大附中仙林分校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题2分，共12分）1．（2分）一元二次方程2x2﹣4x+3＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根2．（2分）用配方法解方程x2+2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝93．（2分）小明同学对数据26，36，46，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了（）A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数4．（2分）如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，则∠OAB的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．35°5．（2分）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，则这个正多边形的边数为（）A．5 B．10 C．12 D．206．（2分）如图是某商品标牌的示意图，⊙O与等边△ABC的边BC相切于点C，且⊙O的直径与△ABC的高相等，设⊙O与AC相交于点E，则AE的长为（）A． B．1 C．﹣1 D．二、填空题（每题2分，共20分）7．（2分）一元二次方程x2＝x的解是．8．（2分）已知⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是．9．（2分）某商品原价为288元，连续两次降价后售价为200元，设平均每次降价的百分率为x．10．（2分）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元，2元，1元．某天销售情况如图所示元．11．（2分）设x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m＝．12．（2分）现有一个圆心角为120°的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥（接缝忽略不计），底面半径为2cm．该扇形的半径为cm．13．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝4，则OC的长为．14．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，若∠ADC＝115°，则∠P＝°．15．（2分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，D为BC边的中点，则⊙O的半径为．16．（2分）如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时．三、解答题（共9大题，共88分）17．（10分）解下列方程：（1）3x2+2x﹣1＝0；（2）（x﹣3）2＝3x﹣9．18．（8分）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，∠A＝105°（1）求∠DBC的度数；（2）若⊙O的半径为3，求的长．19．（8分）某市射击队打算从君君、标标两名运动员中选拔一人参加省射击比赛，射击队对两人的射击技能进行了测评．在相同的条件下，两人各打靶5次（1）填写下表：平均数（环）中位数（环）方差（环2）君君80.4标标8（2）根据以上信息，若选派一名队员参赛，你认为应选哪名队员（3）如果标标再射击1次，命中8环，那么他射击成绩的方差会．（填“变大”“变小”或“不变”）20．（8分）如图，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑三条同样宽且垂直于矩形的边的道路（即阴影部分），要使草坪的面积达到760m2，道路的宽应为多少？21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k+3＝0的两根是x1，x2．（1）证明：无论k为何值，该方程总有两个实数根；（2）若该方程的一个根为1，求它的另一个根和k的值；（3）无论k为何值，方程总有一个不变的根为．23．（8分）某学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，但每棵树苗最低售价不得少于100元．（1）若购买树苗70棵，则每棵树苗的售价为元；（2）若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，则购买了多少棵树苗？24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°（不写作法，保留作图痕迹）（1）在图①中，⊙O过点C且与AB相切；（作出一个即可）（2）在图②中，D为AB上一定点，⊙O过点C且与AB相切于点D．25．（10分）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，E是BC上的一点，且BE＝BF（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r（r＞0）的⊙O和点P若r≤PO≤r，则称P为⊙O的“近外点”．（1）当⊙O的半径为2时，点A（4，0），B（﹣，0），C（0，3），D（1，﹣1）中，⊙O的“近外点”是；（2）若点E（3，4）是⊙O的“近外点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径为2时，直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点M，若线段MN上存在⊙O的“近外点”，直接写出b的取值范围．

2023-2024学年江苏省南京师大附中仙林分校九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共12分）1．（2分）一元二次方程2x2﹣4x+3＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根【解答】解：∵2x2﹣7x+3＝0，∴Δ＝b5﹣4ac＝（﹣4）5﹣4×3×8＝16﹣24＝﹣8＜0，∴该方程无实数根，故选：A．2．（2分）用配方法解方程x2+2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9【解答】解：由原方程，得x2+2x＝5，x2+2x+2＝5+1，（x+7）2＝6．故选：A．3．（2分）小明同学对数据26，36，46，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了（）A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，与被涂污数字无关．故选：C．4．（2分）如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，则∠OAB的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．35°【解答】解：∵∠AOC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝30°，故选：C．5．（2分）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，则这个正多边形的边数为（）A．5 B．10 C．12 D．20【解答】解：如图，作正多边形的外接圆，BO，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴这个正多边形的边数为＝10．故选：B．6．（2分）如图是某商品标牌的示意图，⊙O与等边△ABC的边BC相切于点C，且⊙O的直径与△ABC的高相等，设⊙O与AC相交于点E，则AE的长为（）A． B．1 C．﹣1 D．【解答】解：连接OC，过点O作OF⊥CE于F，∵△ABC为等边三角形，边长为4，∴△ABC的高为2，即OC＝，∵⊙O与BC相切于点C，∴OC⊥BC，又∵∠ACB＝60°，∴∠OCF＝30°，在Rt△OFC中，FC＝OC•cos30°＝×＝，∵OF过圆心，且OF⊥CE，∴CE＝2FC＝3cm，∴AE＝4﹣3＝1cm．故选：B．二、填空题（每题2分，共20分）7．（2分）一元二次方程x2＝x的解是x＝0或x＝．【解答】解：∵x2＝x，∴x4﹣x＝0）＝0，∴x＝0或x﹣＝0，解得：x＝0或x＝，故答案为：x＝0或x＝．8．（2分）已知⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是相离．【解答】解：∵圆半径r＝3，圆心到直线的距离d＝4．故r＝7＜d＝4，∴直线与圆的位置关系是相离．故答案为：相离．9．（2分）某商品原价为288元，连续两次降价后售价为200元，设平均每次降价的百分率为x288（1﹣x）2＝200．【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为288（1﹣x）2，即方程为288（3﹣x）2＝200，故答案为：288（1﹣x）2＝200．10．（2分）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元，2元，1元．某天销售情况如图所示2.25元．【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是5×10%+3×15%+2×55%+1×20%＝2.25（元），故答案为：2.25．11．（2分）设x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m＝3．【解答】解：∵x1、x2是方程x7﹣5x+m＝0的两个根，∴x8+x2＝5，x7x2＝m．∵x1+x5﹣x1x2＝5﹣m＝2，∴m＝3．故答案为：4．12．（2分）现有一个圆心角为120°的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥（接缝忽略不计），底面半径为2cm．该扇形的半径为6cm．【解答】解：圆锥的底面周长是：2π×2＝5π（cm），设扇形的半径是r，则＝4π，解得：r＝6，∴该扇形的半径为5cm．故答案为：6．13．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝4，则OC的长为．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，∴CE＝DE＝CD＝4，设OC＝r，则OE＝OA﹣AE＝r﹣1，在Rt△COE中，（r﹣1）7+22＝r2，解得r＝，即OC的长为．故答案为．14．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，若∠ADC＝115°，则∠P＝40°．【解答】解：如图，连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴点O在AB上，∵四边形ABCD内接于⊙O，且∠ADC＝115°，∴∠OBC+∠ADC＝∠OBC+115°＝180°，∴∠OBC＝180°﹣115°＝65°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝65°，∴∠POC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∴∠P＝90°﹣∠POC＝40°，故答案为：40．15．（2分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，D为BC边的中点，则⊙O的半径为．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE＝OF；在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，∴由勾股定理，得BC＝8；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+CD•AC，解得OE＝，∴⊙O的半径是，故答案为．16．（2分）如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时2﹣2．【解答】解：连接MD，如图，∵D为EF的中点，∴MD⊥EF，∴∠ODM＝90°，∴点D在以A点为圆心，2为半径的圆，当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小﹣3，即CD的最小值为2﹣4．故答案为：2﹣5．三、解答题（共9大题，共88分）17．（10分）解下列方程：（1）3x2+2x﹣1＝0；（2）（x﹣3）2＝3x﹣9．【解答】解：（1）3x2+4x﹣1＝0，（6x﹣1）（x+1）＝7，∴3x﹣1＝5或x+1＝0，∴x6＝，x7＝﹣1，（2）（x﹣3）4＝3x﹣9，（x﹣3）2﹣3（x﹣8）＝0，（x﹣3）（x﹣7﹣3）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣6＝8，∴x1＝3，x4＝6．18．（8分）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，∠A＝105°（1）求∠DBC的度数；（2）若⊙O的半径为3，求的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠DCB+∠BAD＝180°，∵∠A＝105°，∴∠C＝180°﹣105°＝75°，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠C＝75°；（2）连接BO、CO，∵∠C＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°，∴∠BOC＝60°，故的长l＝．19．（8分）某市射击队打算从君君、标标两名运动员中选拔一人参加省射击比赛，射击队对两人的射击技能进行了测评．在相同的条件下，两人各打靶5次（1）填写下表：平均数（环）中位数（环）方差（环2）君君880.4标标892.8（2）根据以上信息，若选派一名队员参赛，你认为应选哪名队员（3）如果标标再射击1次，命中8环，那么他射击成绩的方差会变小．（填“变大”“变小”或“不变”）【解答】解：（1）填写下表：平均数（环）中位数（环）方差（环2）君君840.4标标292.2故答案为：8，9，5.8；（2）选君君，理由：∵两人的平均值相等，成绩更稳定，∴选君君；（3）如果标标再射击1次，命中4环．故答案为：变小．20．（8分）如图，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑三条同样宽且垂直于矩形的边的道路（即阴影部分），要使草坪的面积达到760m2，道路的宽应为多少？【解答】解：设道路宽为x，则种草坪部分的长为（40﹣x）m，由题意建立等量关系，得（40﹣x）（22﹣x）＝760．整理得：x2﹣62x+120＝0，解得：x8＝2，x2＝60（舍）．答：道路的宽为3m．21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∴∠B＝∠C，又∵AD∥BC，且AD≠BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝CD．22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k+3＝0的两根是x1，x2．（1）证明：无论k为何值，该方程总有两个实数根；（2）若该方程的一个根为1，求它的另一个根和k的值；（3）无论k为何值，方程总有一个不变的根为x＝﹣1．【解答】（1）证明：∵方程x2+（k+4）x+k+6＝0，a＝1，c＝k+3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（k+3）2﹣4×5×（k+3）＝k2+7k+4＝（k+2）8≥0，∴无论k为何值，该方程总有两个实数根．（2）解：把x＝1代入方程x6+（k+4）x+k+3＝6，得1+k+4+k+3＝0，解得k＝﹣4，∴方程x3﹣1＝0，解得x2＝1，x2＝﹣5，故k＝﹣4，另一个根为﹣1．（3）解：∵方程x3+（k+4）x+k+3＝5，a＝1，c＝k+3，∴Δ＝b7﹣4ac＝（k+4）4﹣4×1×（k+2）＝k2+4k+5＝（k+2）2≥6，∴∴x1＝﹣1，x＝﹣k﹣7，此时方程总有一个不变的根为x＝﹣1；故答案为：x＝﹣1．23．（8分）某学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，但每棵树苗最低售价不得少于100元．（1）若购买树苗70棵，则每棵树苗的售价为8050元；（2）若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，则购买了多少棵树苗？【解答】解：（1）70[120﹣0.5（70﹣60）]＝70×115＝8050（元），故答案为：8050；（2）因为60棵树苗售价为120×60＝7200元＜8800元，所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣6.5（x﹣60）]＝8800，解得：x1＝220，x5＝80．当x＝220时，120﹣0.5×（220﹣60）＝40＜100，∴x＝220（不合题意，舍去）；当x＝80时，120﹣5.5×（80﹣60）＝110＞100，∴x＝80．答：该校共购买了80棵树苗．24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°（不写作法，保留作图痕迹）（1）在图①中，⊙O过点C且与AB相切；（作出一个即可）（2）在图②中，D为AB上一定点，⊙O过点C且与AB相切于点D．【解答】解：（1）如图所示，⊙O即为所求；（2）如图所示，⊙O即为所求．25．（10分）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，E是BC上的一点，且BE＝BF（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图1，连接DF，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∵BF＝BE，∴AB﹣BF＝BC﹣BE，即AF＝CE，∴△DAF≌△DCE（SAS），∴∠DFA＝∠DEC，∵AD是⊙O的直径，∴∠DFA＝90°，∴∠DEC＝90°∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如