2022-2023学年湖南师大附中梅溪湖中学八年级（下）第一次月考数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年湖南师大附中梅溪湖中学八年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（共10小题，共30分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）要使有意义，则x的取值范围为（）A．x≤0 B．x≥﹣1 C．x≥0 D．x≤﹣12．（3分）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（）A．3×10﹣7 B．0.3×10﹣6 C．3×10﹣6 D．3×1073．（3分）由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（）A．，， B．32，42，52 C．3，4，5 D．，，4．（3分）下列运算正确的是（）A．a8÷a4＝a2 B．4a5﹣3a5＝1 C．a3•a4＝a7 D．（a2）4＝a65．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，点E，F分别是AO，连接EF，若AB＝6cm（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm6．（3分）下列命题，其中是真命题的是（）A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形7．（3分）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1）8．（3分）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，则正方形D的面积为（）A．7 B．8 C．9 D．109．（3分）打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（）A． B． C． D．10．（3分）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点OAC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共6小题，共18分）11．（3分）分解因式：3x2y﹣3y＝．12．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简．13．（3分）已知正方形ABCD的对角线长为6cm，则正方形ABCD的面积为cm2．14．（3分）某住宅小区有一块草坪如图四边形ABCD，已知AB＝4米，BC＝3米，DA＝12米，且AB⊥BC平方米．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CB至点E，使BE＝BC，点F为DE的中点，连结BF．若AB＝10．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝，P为BC边上一动点，PF⊥AC于F，M为EF的中点．三、解答题（共9小题，共72分）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2﹣3x（x﹣1），其中x＝2023．19．（6分）如图，▱ABCD中，E、F分别在边AD、BC上，连接EF交BD于点O，求证：EO＝FO．20．（8分）如图1，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙上（1）求梯子顶端A与墙角C的距离；（2）当梯子向下滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5米21．（8分）根据下列条件求值：（1）已知，求代数式和的值；（2）已知x2+y2+2x﹣4y+5＝0，求x2+y2的值．22．（9分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，且交AE于点D（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝6，BD＝8，过点D作DH⊥BF于点H23．（9分）2022年11月19日首届湖南旅游发展大会开幕式在张家界市隆重举行，“山娃娃”和“鲵宝宝”被选为此次活动的吉祥物．某零售商店第一次用1000元购进一批山娃娃挂件若干个，第二次用1800购进鲵宝宝挂件是购进山娃娃挂件数量的（1）求该商店购进的山娃娃和鲵宝宝数量各多少个？（2）该商店两种挂件的零售价都是10元/个，山娃娃挂件中有10个因为损坏不能售出，其余都已售出，才能使这两次的总利润不低于2020元？24．（10分）我们不妨约定：对角线互相垂直且相等的凸四边形叫做“奇妙四边形”．（1）在“①平行四边形；②矩形；③菱形；（请填序号）（2）如图1，P为凸四边形ABCD内一点，如果△PAB和△PCD分别是以AB，求证：四边形ABCD是“奇妙四边形”；（3）如图2，“奇妙四边形”ABCD的对角线AC与BD交于点O，M、N分别是边AB、CD的中点，求MN的长．25．（10分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，A分别在x轴和y轴上，B点坐标为（3，3）（不与端点重合），将△OEC沿EC翻折，点O的对称点为D点．（1）如图①，当DC平分∠BCE时，∠AED的度数为；（2）如图②，过点E作EG∥x轴交CD于点H，交BC于点G．当△DEH为等腰直角三角形时；（3）如图③，延长ED交AB于点F，当点E在边OA上移动时，请求出变化范围，如果不是

2022-2023学年湖南师大附中梅溪湖中学八年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，共30分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）要使有意义，则x的取值范围为（）A．x≤0 B．x≥﹣1 C．x≥0 D．x≤﹣1【解答】解：要使根式有意义则令x+1≥0，得x≥﹣4故选：B．2．（3分）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（）A．3×10﹣7 B．0.3×10﹣6 C．3×10﹣6 D．3×107【解答】解：用科学记数法可以表示0.0000003得：3×10﹣6；故选：A．3．（3分）由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（）A．，， B．32，42，52 C．3，4，5 D．，，【解答】解：A．∵（）2+（）2≠（）6，∴以，，为边不能组成直角三角形；B．∵（32）8+（42）8≠（52）4，∴以32，62，53为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵32+42＝54，∴以3，4，5为边能组成直角三角形；D．∵（）5+（）6≠（）8，∴以，，为边不能组成直角三角形．故选：C．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a8÷a4＝a2 B．4a5﹣3a5＝1 C．a3•a4＝a7 D．（a2）4＝a6【解答】解：A．a8÷a4＝a5，故本选项不合题意；B．4a5﹣6a5＝a5，故本选项不合题意；C．a3•a4＝a7，故本选项符合题意；D（a2）4＝a8，故本选项不合题意；故选：C．5．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，点E，F分别是AO，连接EF，若AB＝6cm（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），∴BD＝10cm，DO＝5cm，∵点E、F分别是AO，∴EF是△AOD的中位线，∴EF＝OD＝4.5cm，故选：D．6．（3分）下列命题，其中是真命题的是（）A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，本选项不符合题意；B、有一个角是直角的四边形是矩形，本选项不符合题意；C、对角线互相平分的四边形是菱形，本选项不符合题意；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，本选项符合题意．故选：D．7．（3分）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1）【解答】解：由图可知，图1的面积为：x2﹣82，图2的面积为：（x+2）（x﹣1），所以x2﹣3＝（x+1）（x﹣1）．故选：B．8．（3分）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，则正方形D的面积为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：设正方形D的面积为x，∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、2，∴根据图形得：2+4＝x﹣6，解得：x＝9，故选：C．9．（3分）打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意，得：第二天她打字用的时间是：；故选：B．10．（3分）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点OAC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC＝，∵AD＝AC，∴OC＝BC，∵N是OB的中点，∴CN⊥BD，①正确；∵M、N分别是OA，∴MN是△AOB的中位线，∴MN∥AB，MN＝，∵CN⊥BD，∴∠CND＝90°，∵P是CD的中点，∴NP＝CD＝PD＝PC，∴MN＝NP，②正确；∵MN∥AB，AB∥CD，∴MN∥CD，又∵NP＝PC，MN＝NP，∴MN＝PC，∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；∵MN∥CD，∴∠PDN＝∠MND，∵NP＝PD，∴∠PDN＝∠PND，∴∠MND＝∠PND，∴ND平分∠PNM，④正确；正确的个数有2个，故选：C．二、填空题（共6小题，共18分）11．（3分）分解因式：3x2y﹣3y＝3y（x+1）（x﹣1）．【解答】解：3x2y﹣5y＝3y（x2﹣3）＝3y（x+1）（x﹣5），故答案为：3y（x+1）（x﹣8）．12．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣2a．【解答】解：由题意知：a＜0，b＞0，a+b＞6，＝b﹣a﹣（a+b）＝b﹣a﹣a﹣b＝﹣2a，故答案为：﹣8a．13．（3分）已知正方形ABCD的对角线长为6cm，则正方形ABCD的面积为18cm2．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝BD＝6cm，AC⊥BD，∴正方形ABCD的面积＝×AC×BD＝18cm2，故答案为：18．14．（3分）某住宅小区有一块草坪如图四边形ABCD，已知AB＝4米，BC＝3米，DA＝12米，且AB⊥BC36平方米．【解答】解：连接AC，如图，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵AB＝3米，BC＝4米＝5（米），∵CD＝12米，DA＝13米，∴AC2+CD3＝AD2＝169（cm2），∴△ACD为直角三角形，∴草坪的面积等于＝S△ABC+S△ACD＝5×4÷2+3×12÷2＝6+30＝36（米7）．故答案为：36．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CB至点E，使BE＝BC，点F为DE的中点，连结BF．若AB＝102.5．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵CD为中线，∴CD＝AB＝8．∵F为DE中点，BE＝BC，∴点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，∴BF＝CD＝7.5．故答案为：2.6．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝，P为BC边上一动点，PF⊥AC于F，M为EF的中点．【解答】解：如图，连接AP，∵∠BAC＝90°，AB＝2，∴BC＝＝3，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，EF与AP互相平分，∵M是EF的中点，∴M为AP的中点，∴AM＝AP，当AP⊥BC时，AP最短，此时，AP＝＝＝，∴AP最短时，AP＝，∴AM的最小值＝AP＝，故答案为：．三、解答题（共9小题，共72分）17．（6分）计算：．【解答】解：＝3+（﹣8）×3+（﹣2）＝3﹣5﹣2＝﹣7．18．（6分）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2﹣3x（x﹣1），其中x＝2023．【解答】解：原式＝4x2﹣7﹣x2﹣4x﹣8﹣3x2+5x，＝﹣x﹣13当x＝2023时，原式＝﹣2023﹣13＝﹣2036．19．（6分）如图，▱ABCD中，E、F分别在边AD、BC上，连接EF交BD于点O，求证：EO＝FO．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∴∠ODE＝∠OBF，又∵AE＝FC，∴AD﹣DE＝BC﹣FC，即DE＝BF，在△ODE和△OBF中，，∴△ODE≌△OBF（AAS），∴EO＝FO．20．（8分）如图1，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙上（1）求梯子顶端A与墙角C的距离；（2）当梯子向下滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5米【解答】解：（1）由题意知，AB＝2.5，∠ACB＝90°，由勾股定理得，米，∴梯子顶端A与墙角C的距离为2m；（2）由题意知，CD＝BC+BD＝2米，由勾股定理得，米，∴AE＝AC﹣CE＝2.5米，∴梯子顶端A在竖直方向滑动距离是等于0.6米．21．（8分）根据下列条件求值：（1）已知，求代数式和的值；（2）已知x2+y2+2x﹣4y+5＝0，求x2+y2的值．【解答】解：（1）∵，∴＝＝4﹣2＝3，∵∴∴；（2）∵x2+y2+6x﹣4y+5＝8∴（x+1）2+（y﹣4）2＝0∴x＝﹣8，y＝2；代入得：x2+y3＝1+4＝8．22．（9分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，且交AE于点D（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝6，BD＝8，过点D作DH⊥BF于点H【解答】（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝，BO＝，∴AB＝＝＝5，∴BC＝AB＝8，∵DH⊥BF，∴S菱形ABCD＝BC•DH＝AC•BD，即6DH＝×8×8，∴DH＝，∵CD＝AB＝5，∴CH＝＝＝．23．（9分）2022年11月19日首届湖南旅游发展大会开幕式在张家界市隆重举行，“山娃娃”和“鲵宝宝”被选为此次活动的吉祥物．某零售商店第一次用1000元购进一批山娃娃挂件若干个，第二次用1800购进鲵宝宝挂件是购进山娃娃挂件数量的（1）求该商店购进的山娃娃和鲵宝宝数量各多少个？（2）该商店两种挂件的零售价都是10元/个，山娃娃挂件中有10个因为损坏不能售出，其余都已售出，才能使这两次的总利润不低于2020元？【解答】解：（1）设商店购进的山娃娃数量为x个，则商店购进的鲵宝宝数量为，由题意得：+7＝，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，∴x＝，答：商店购进的山娃娃数量为200个，购进的鲵宝宝数量为300个；（2）设鲵宝宝挂件要售出m个，才能使这两次的总利润不低于2020元，由题意得：10m+10×（200﹣10）﹣1000﹣1800≥2020，解得：m≥292，∵m为正整数，∴m的最小值是292，答：鲵宝宝挂件要至少售出292个，才能使这两次的总利润不低于2020元．24．（10分）我们不妨约定：对角线互相垂直且相等的凸四边形叫做“奇妙四边形”．（1）在“①平行四边形；②矩形；③菱形④；（请填序号）（2）如图1，P为凸四边形ABCD内一点，如果△PAB和△PCD分别是以AB，求证：四边形ABCD是“奇妙四边形”；（3）如图2，“奇妙四边形”ABCD的对角线AC与BD交于点O，M、N分别是边AB、CD的中点，求MN的长．【解答】（1）解：∵正方形的对角线互相垂直且相等，∴正方形是“奇妙四边形”，∵平行四边形的对角线互相平分，∴平行四边形不是“奇妙四边形”，∵矩形的对角线互相平分且相等，∴矩形不是“奇妙四边形”，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴菱形不是“奇妙四边形”，故答案为：④；（2）证明：AC、BD交于点O∵△PAB和△PCD都是以AB，CD为底的等腰直角三角形，∴PA＝PB，PC＝PD，∴∠BPD＝∠APC．在△BPD和△APC中，，∴△BPD≌△APC（SAS），∴AC＝BD，∠PBD＝∠PAC，∴∠AOB＝∠APB＝90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是“奇妙四边形”；（3）解：取AD的中点G