新教材同步备课2024春高中物理第8章机械能守恒定律素养提升课5变力做功和机车启动问题教师用书新人教版必修第二册

素养提升课(五)变力做功和机车启动问题1．掌握变力做功的求解方法，并能解决实际问题。2．理解公式P＝Fv的意义，并用来分析牵引力与速度的关系。3．会利用P＝Fv结合动力学知识分析机车启动问题。求变力做功的几种方法W＝Flcosα，此公式中F为恒力，如果物体受到变力作用，变力做的功可按下列方法进行计算：1．化变力为恒力(1)分段法：力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功。(2)平均力法：当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，即F是位移l的线性函数，则平均力F＝F1+F22，由W＝例如：弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝kx1(3)微元法：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可。例如，滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，可把运动过程细分，其中每一小段都是恒力做功，整个运动过程中所做的总功是各个阶段所做功的和，即力与路程的乘积。例如：质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功WFf＝FfΔx1＋FfΔx2＋FfΔx3…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3…)＝Ff·2πR。(4)转换研究对象法：如图所示，人站在地上以恒力拉绳子，使小车向左运动，求绳子拉力对小车所做的功。绳子拉力对小车来说是个变力(大小不变，方向改变)，但仔细研究，发现人拉绳的力却是恒力，于是转换研究对象，用人拉绳的力所做的功来求绳子拉力对小车做的功。2．图像法(1)若作用在物体上的力只是大小变化，而方向始终与位移在同一直线上，外力做功就不能用矩形表示。不过可以将位移划分为等距的小段，当每一小段足够小时，力的变化很小，就可以认为是恒定的，该段过程所做功的大小即为此小段对应的小矩形的面积，整个过程外力做功的大小就等于所有小矩形面积之和，如图甲所示。(2)如图乙所示，l轴上方的“面积”表示力对物体做正功的多少，用正数表示，l轴下方的“面积”表示力对物体做负功的多少，用负数表示。总功为上、下两“面积”的代数和。【典例1】如图所示，假设驴拉磨的平均作用力大小为500N，运动的半径为1m，则驴拉磨转动一周所做的功为()A．0 B．500JC．500πJ D．1000πJD[由于F的方向与作用点的速度方向保持一致，因此F做功不为零。把圆周划分成很多小段研究，如图所示，当各小段的弧长Δsi足够小(Δsi→0)时，在Δsi内F的方向几乎与该小段的位移方向重合，故驴拉磨转动一周所做的功为WF＝F·Δs1＋F·Δs2＋F·Δs3…＝F·2πR＝1000πJ，故A、B、C错误，D正确。][跟进训练]1．一物体所受的力F随位移l变化的图像如图所示，在这一过程中，力F对物体做的功为()A．3J B．6JC．7J D．8JB[力F对物体做的功等于l轴上方梯形“面积”所表示的正功与l轴下方三角形“面积”所表示的负功的代数和。W1＝12×(3＋4)×2J＝7J，W2＝－12×(5－4)×2J＝－1J，所以力F对物体做的功为W＝7J－1J＝6J，故选项B2．用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第1次相同，那么第二次钉子进入木板的深度是()A．(3－1)d B．(2－1)dC．5-1d2B[铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，可利用平均力法来处理。根据题意可得第一次做功W＝F1d＝kd2d。第二次做功W＝F2d′＝kd+kd+d'2d′，联立解得d′＝(23．如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑环，用轻绳系着滑环绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑环从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则()A．W1＞W2B．W1＜W2C．W1＝W2D．无法确定W1和W2的大小关系A[由于用轻绳系着滑环绕过光滑的定滑轮，所以轻绳对滑环的拉力做的功与拉力F做的功相等。从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中，根据几何关系可知轻绳对滑环的拉力与光滑竖直杆的夹角α越来越大。已知AB＝BC，即滑环从A点上升至B点的位移等于从B点上升至C点的位移。轻绳拉着滑环的拉力是恒力，夹角α越来越大，则cosα越来越小，因为F大小恒定，故F在竖直方向上的分量Fcosα随α的增大而减小，显然滑环从A点上升至B点过程中轻绳对滑环做的功大于从B点上升至C点的过程中轻绳对滑环做的功，所以W1＞W2，故A正确。]机车的两种启动方式1．两种启动过程对比两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动P-t图像和v-t图像牵引力的变化图像OA段过程分析v↑⇒F＝P不变v↓⇒a＝a＝F-FfmP＝Fv↑直到P额＝Fv1运动性质加速度减小的加速直线运动匀加速直线运动，维持时间t0＝vAB段过程分析F＝Ff⇒a＝0⇒Ff＝Pv↑⇒F＝P额v↓⇒a＝运动性质以vm做匀速直线运动加速度减小的加速直线运动BC段—F＝Ff⇒a＝0⇒Ff＝P额vm，以2．几个重要关系式(1)无论哪种运行过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vmax＝PFmin＝PFf(式中Fmin(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝PF<vmax＝P(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。(4)P＝Fv中F为机车的牵引力而不是合力。【典例2】在平直路面上运动的汽车的额定功率为60kW，若其总质量为5t，在水平路面上所受的阻力为5×103N。(1)求汽车所能达到的最大速度；(2)若汽车以0.5m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多长时间？(3)若汽车以额定功率启动，则汽车车速v′＝2m/s时其加速度为多大？[思路点拨](1)汽车速度达到最大的条件是a＝0，即F＝Ff。(2)汽车以恒定加速度a匀加速运动的“收尾”条件是：P＝P额，此时的速度为匀加速运动的最大速度。(3)汽车速度为v′时牵引力F′＝Pv[解析](1)当汽车速度达到最大时，牵引力F＝Ff则由P＝Fv得汽车所能达到的最大速度vmax＝PFf＝60×10(2)设汽车以恒定的加速度a做匀加速运动，能够达到的最大速度为v，则有Pv－Ff＝得v＝PFf+ma＝60由v＝at得这一过程维持的时间t＝va＝80.5s＝(3)当汽车以额定功率启动达到2m/s的速度时，牵引力F′＝Pv'＝60×1032N由牛顿第二定律得汽车的加速度a′＝F'-Ffm＝3×[答案](1)12m/s(2)16s(3)5m/s2用公式P＝Fv处理机车启动问题时应注意的问题(1)公式P＝Fv中的F指的是机车的牵引力，而不是合外力。(2)只有机车匀速运动时，牵引力F才等于它受到的阻力Ff大小。(3)机车以恒定加速度启动时，匀加速结束时的速度并没有达到最终匀速运动的速度vm。[跟进训练]4．(多选)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v-t图像如图所示，已知汽车的质量m＝2×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，(g＝10m/s2)则()A．汽车在前5s内的牵引力为6×103NB．汽车的额定功率为120kWC．汽车的最大速度为vm＝30m/sD．当汽车速度为20m/s时，汽车加速度大小为2m/s2BD[汽车在前5s内做匀加速直线运动，由题图像可知加速度a＝3m/s2，由牛顿第二定律F－f＝ma，得F＝f＋ma＝(0.1×2×103×10＋2×103×3)N＝8×103N，A错误；汽车在5s末功率达到额定功率P＝Fv＝8×103×15W＝120kW，B正确；当牵引力等于阻力时，汽车达最大速度，则最大速度vm＝Pf＝120×1032×103m/s＝60m/s，C错误；当汽车速度为20m/s时，则F1＝Pv1＝120×10320N＝6×103N，F1－5．(2022·江西南昌十中高一期末)京沪高铁采用CR400系列“复兴号”列车运行。假设一列16节车厢的高铁列车总质量m＝800t，发动机的额定功率P＝8×103kW，设列车在水平轨道上行驶时所受阻力Ff是车重的0.01倍，g＝10m/s2。求：(1)高铁列车在水平轨道上行驶的最大速度；(2)若列车在水平长直轨道上从静止开始，保持0.5m/s2的加速度做匀加速运动，这一匀加速过程维持的最长时间t为多少。[解析](1)当F＝Ff时，列车行驶速度达到最大，由P＝Fvm，Ff＝0.01mg则vm＝PF＝PFf，解得vm(2)设保持匀加速运动所需牵引力为F1，由牛顿第二定律有F1－Ff＝ma匀加速能达到的最大速度v1＝P匀加速运动的时间t＝v代入数据计算得t≈33.3s。[答案](1)100m/s(2)33.3s素养提升练(五)变力做功和机车启动问题一、选择题1．汽车由静止开始运动，若要使汽车在开始运动的一小段时间内保持匀加速直线运动，则()A．不断增大牵引力和牵引力的功率B．不断减小牵引力和牵引力的功率C．保持牵引力不变，不断增大牵引力功率D．不能判断牵引力功率怎样变化C[汽车保持匀加速直线运动，所受合力不变，其中牵引力也不变，但速度增大，牵引力的功率增大，C对，A、B、D错。]2．“嫦娥五号”上升器在月面点火，顺利将携带月壤的上升器送入预定环月轨道。“嫦娥五号”上升器以3000W的恒定功率上升，发动机工作6分钟做的功约为()A．1×104J B．1×105JC．1×106J D．1×107JC[功率恒定，加速上升，因此牵引力减小，为变力做功，根据题干信息得W＝Pt＝3000×6×60J≈1×106J，故选项C正确。]3．如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以某一初速度在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，若小方块恰能全部进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为()A．12μMgl B．C．32μMgl D．2A[由于小方块受到的滑动摩擦力Ff从零开始均匀增大至μMg，故可作出如图所示的Ff-x图像进行求解，其图线与横轴围成图形的面积即滑动摩擦力做功的大小，即12μMgl，故选项A正确。]4．如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点O处的小物块，在水平拉力F的作用下沿x轴正方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示。已知纵、横坐标轴单位长度代表的数值相同，纵、横坐标单位均为国际单位，曲线部分为半圆，则小物块运动到x0处时拉力所做的功为()A．Fmx0B．12(Fm＋F0)xC．π4(Fm－F0)x0＋F0xD．π4x0C[F-x图像与x轴所围的“面积”等于拉力做功的大小，则得到拉力做的功W＝F0x0＋12π(x02)2＝F0x0+π8x02，由题图乙看出，Fm－F0＝x02，故W＝π4(Fm5．(多选)质量为m的汽车由静止开始以加速度a做匀加速运动，经过时间t，汽车达到额定功率，则下列说法正确的是()A．at是汽车额定功率下的速度最大值B．at不是汽车额定功率下的速度最大值C．汽车的额定功率是ma2tD．题中所给条件求不出汽车的额定功率BD[汽车在额定功率下的最大速度是a＝0时，vm＝P额F＝P额Ff，故A项错误，B项正确；汽车的功率是牵引力的功率，不是合力的功率，故C项错误；由F－Ff＝ma可知，F＝Ff＋ma，因Ff未知，则求不出6．一辆汽车以功率P1在平直公路上匀速行驶，驾驶员突然减小油门，使汽车的功率减小为P2并继续行驶。若整个过程中阻力恒定不变，汽车发动机的牵引力将()A．保持不变B．不断减小C．突然减小，再增大，后保持不变D．突然增大，再减小，后保持不变C[由P1＝Fv知，当汽车以功率P1匀速行驶时，F＝Ff，加速度a＝0，若突然减小油门，汽车的功率由P1减小到P2，则F突然减小，整个过程中阻力Ff恒定不变，即减小油门后F＜Ff，所以汽车将减速，由P2＝Fv知，此后保持功率P2不变继续行驶，v减小，F增大，当F＝Ff时，汽车不再减速，而以一较小速度匀速行驶，牵引力不再增大。选项C正确。]7．(多选)如图所示，小球质量为m，悬线的长为L，小球在位置A时悬线水平，放手后，小球运动到位置B，悬线竖直。设在小球运动过程中空气阻力f的大小不变，重力加速度为g，关于该过程，下列说法正确的是()A．重力做的功为mgLB．悬线的拉力做的功为0C．空气阻力f做的功为－mgLD．空气阻力f做的功为－π2ABD[如图所示，因为拉力T在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即WT＝0，重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为A、B两点连线在竖直方向上的投影，为L，所以WG＝mgL，故A、B正确；将整个运动过程分成无数小段，空气阻力所做的总功等于每段小圆弧上f所做功的代数和，即Wf＝－fΔx1+fΔx2…＝－π8．汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶。下面四个图像中，能正确表示从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系的是()ABCDC[汽车在匀速行驶时牵引力等于阻力，而当功率减半时速度不变，由此可知牵引力减半，故阻力大于牵引力，车将减速，因功率恒定，而牵引力变大，由a＝Ff-Fm知加速度逐渐减小，故做变减速运动。当牵引力等于阻力后，汽车将做匀速运9．放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6s内其速度与时间关系图像和水平拉力的功率与时间关系图像如图甲、乙所示。下列说法正确的是()A．0～6s内物体的位移大小为20mB．0～6s内拉力做功为100JC．滑动摩擦力的大小为5ND．0～6s内滑动摩擦力做功为－50JD[由题图甲可知，在0～6s内物体的位移大小为x＝12×(4＋6)×6m＝30m，故A错误；由题图乙可知，P-t图线与时间轴围成的面积表示拉力做功的大小，则0～6s内拉力做功为WF＝12×2×30J＋10×4J＝70J，故B错误；在2～6s内，v＝6m/s，P＝10W，物体做匀速运动，摩擦力Ff＝F＝Pv＝53N，故C错误；在0～6s内物体的位移大小为30m，滑动摩擦力做负功，即Wf＝－53×30J＝－10．(多选)如图所示是汽车牵引力F和车速倒数1v的关系图像，若汽车质量为2×103kg，由静止开始沿平直公路行驶，阻力恒定，最大车速为30m/s，则以下说法正确的是(A．汽车的额定功率为6×104WB．汽车运动过程中受到的阻力为6×103NC．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动D．汽车做匀加速运动的时间是5sAD[由题图像可知，汽车先做牵引力恒定的匀加速运动，再做功率恒定的变加速运动，P额＝F·vm＝2×103×30W＝6×104W，A正确，C错误；当汽车速度最大时牵引力F＝f＝2×103N，B错误；汽车做匀加速运动的加速度a＝F'-fm＝2m/s2，汽车刚达到额定功率时的速度v′＝P额F'＝10m/s，所以汽车做匀加速运动的时间t＝二、非选择题11．若汽车的质量为2×103kg(可视为质点)，正以10m/s的速度向右匀速运动(如图甲所示)，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v-t图像如图乙所示(在t＝15