新教材同步备课2024春高中数学微专题强化练3二项分布与超几何分布的综合应用新人教A版选择性必修第三册

微专题强化练(三)二项分布与超几何分布的综合应用1．一个袋子中有60个大小相同的球，其中有20个黄球、40个白球，从中随机地摸出10个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．(1)有放回地摸球，求X的分布列；(2)不放回地摸球，求X的分布列．2．某学校组织党史知识竞赛，竞赛规则是：两人组成一个“组合”，进行多轮竞赛，每一轮竞赛中，一个“组合”的两人分别各答3道题，若答对的题目总数不少于5道题，此“组合”获得20分．已知小华和小夏两人组成“华夏组合”，小华、小夏每道题答对的概率分别是45和3(1)求“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率；(2)若每轮竞赛互不影响，“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行多少轮竞赛？3．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)4．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．微专题强化练(三)1．解：(1)对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为13，且各次试验之间的结果是独立的，因此X～B10，13，X的分布列为P(X＝k)＝C10k×13k×23(2)对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为P(X＝k)＝C20kC4010-kC6010，k＝2．解：(1)设小夏和小华答对的题目个数分别为a1和a2，则所求的概率P＝P(a1＝2，a2＝3)＋P(a1＝3，a2＝2)＋P(a1＝3，a2＝3)＝C324故“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率为297500(2)依题意知“华夏组合”在竞赛中得分的轮数X满足X~B(n，p)，由(1)得p＝297500，据此，由20np≥100⇒297500n≥5⇒n≥5×所以“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行9轮竞赛．3．解：(1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为1550＝0.3(2)由题图可知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C．所以ξ的所有可能取值为0，1，2．P(ξ＝0)＝C22C42＝16，P(ξ＝1)＝C21所以ξ的分布列为ξ012P121故ξ的数学期望E(ξ)＝0×16＋1×23＋2×16(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．4．解：(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．(2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布．P(X＝0)＝C282C402＝63130，P(X＝1)＝C121∴X的分布列为X012P632811∴X的均值为E(X)＝0×63130＋1×2865＋2×11130(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件