新教材同步备课2024春高中数学课时分层作业18正态分布新人教A版选择性必修第三册

课时分层作业(十八)正态分布一、选择题1．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是()A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大B．σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C．σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等2．设随机变量X～N(μ，9)，若P(X<1)＝P(X>7)，则()A．E(X)＝4，D(X)＝9B．E(X)＝3，D(X)＝3C．E(X)＝4，D(X)＝3D．E(X)＝3，D(X)＝93．设随机变量X～N(μ，σ2)，若P(X≤1)＝0.3，P(1<X<5)＝0.4，则μ＝()A．1B．2C．3D．44．一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z(单位：mm)服从正态分布N(180，σ2)，且P(z≤190)＝0.9，P(z≤160)＝0.04，则P(190<z<200)＝()A．0.1 B．0.04C．0.05 D．0.065．(多选)若随机变量X，Y的正态密度函数分别为f(x)＝12πe-x-122，g(x)＝10.62πe-x+0.522×0.62，f(xA．P(X>1)＝PYB．σ1<σ2C．P(X>2)＝0.15865D．P(0.7≤Y≤1.3)＝0.0428二、填空题6．(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________．7．若随机变量ξ服从正态分布N(9，16)，则P(－3≤ξ≤13)＝________．参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973．8．(2023·河南郑州期末)在某次高三联考中，学生的数学成绩(单位：分)服从正态分布N(95，100)．已知参加本次考试的学生有100000人，则本次考试数学成绩大于105分的大约有________人．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．三、解答题9．有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20，4)，若这批零件共有5000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在24～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？10．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，P(ξ≤6)＝0.84，则P(ξ≤0)＝()A．0.16 B．0.34C．0.66 D．0.8411．甲、乙两类产品的质量(单位：kg)分别服从正态分布Nμ1，σA．甲类产品的平均质量小于乙类产品的平均质量B．乙类产品的质量比甲类产品的质量更集中于平均值左右C．甲类产品的平均质量为1kgD．乙类产品的质量的方差为212．(多选)若随机变量ξ～N(0，2)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，则下列等式成立的有()A．φ(－x)＝1－φ(x)B．φ(2x)＝2φ(x)C．P(|ξ|<x)＝2φ(x)－1D．P(|ξ|>x)＝2－2φ(x)13．设随机变量ξ服从正态分布N(φ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为12，则μ＝_____________14．某市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布N(168，16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164)，第2组[164，168)，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试估计该校高三年级男生的平均身高；(2)求这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数；(3)在这50名身高在172cm以上(含172cm)的男生中任意抽取2人，将该2人身高纳入全市排名(从高到低)，能进入全市前135名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．15．已知某训练营新兵50m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表：X456789频数122640292(1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)；(2)从这个训练营随机抽取1名新兵，求此新兵的50m步枪射击个人平均成绩在区间[7.9，8.8]的概率．参考数据：0.8≈0.9．课时分层作业(十八)1．D[对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确．对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B，C正确．D显然错误．故选D．]2．A[∵随机变量X~N(μ，9)，且P(X<1)＝P(X>7)，∴σ2＝9，μ＝1＋72＝4，∴E(X)＝4，D(X)＝9．故选3．C[由于随机变量X~N(μ，σ2)，满足P(X≤1)＝0.3，P(1<X<5)＝0.4，因此P(X≥5)＝1－P(X≤1)－P(1<X<5)＝1－0.3－0.4＝0.3＝P(X≤1)，根据正态曲线的对称性可知μ＝1＋52＝4．D[因为生产的零件尺寸z(单位：mm)服从正态分布N(180，σ2)，所以P(z>190)＝1－P(z≤190)＝0.1，P(z≥200)＝P(z≤160)＝0.04，所以P(190<z<200)＝P(z>190)－P(z≥200)＝0.1－0.04＝0.06．]5．AC[由解析式可得，μ1＝1，σ1＝1，μ2＝－0.5，σ2＝0.6，故A选项正确，B选项错误；P(X>2)＝12[1－P(0<X<2)]≈12×(1－0.6827)＝0.15865，故C选项正确；P(0.7≤Y≤1.3)＝P(－0.5＋2×0.6<Y≤－0.5＋3×0.6)≈12×(0.9973－0.9545)＝0.0214，故D6．0.14[由题意可知，P(X>2)＝0.5，故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.14．]7．0.84[∵随机变量ξ服从正态分布N(9，16)，∴对称轴方程为x＝μ＝9，σ＝4，则P(－3≤ξ≤13)＝P(μ－3σ≤ξ≤μ＋σ)＝12[P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＋P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ≈12(0.9973＋0.6827)＝0.84．8．15865[设本次联考中学生的数学成绩为X分，由题意知X~N(95，100)，∴μ＝95，σ＝10，∴P(85≤X≤105)≈0.6827，∴P(X>105)≈1-0.68272＝0.15865，∴本次考试数学成绩大于105分的大约有100000×0.15865＝15865(人9．解：(1)∵X~N(20，4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，故尺寸在18~22mm间的零件所占的百分比大约是68.27%．(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在24~26mm间的零件所占的百分比大约是99.73%-95.45%2∴这批零件中不合格的零件大约有5000×2.14%＝107(个)．10．A[由题意得随机变量ξ的样本均值为3，所以P(ξ≤0)＝P(ξ≥6)，又P(ξ≤6)＝0.84，所以P(ξ≥6)＝1－P(ξ≤6)＝1－0.84＝0.16，所以P(ξ≤0)＝0.16．]11．A[由题图可知，甲类产品的平均质量为μ1＝0.5kg，乙类产品的平均质量为μ2＝1kg，甲类产品质量的方差明显小于乙类产品质量的方差．故甲类产品的质量比乙类产品的质量更集中于平均值左右，故A正确，B、C错误；由正态密度函数的解析式f(x)＝1σ可知当x＝μ时，f(x)取得最大值，∴1σ2π＝4，∴σ∴σ2＝132π≠2，故D故选A．]12．ACD[因为ξ~N(0，2)，所以其正态曲线关于直线x＝0对称，因为φ(x)＝P(ξ≤x)，x>0，所以φ(－x)＝P(ξ≤－x)＝1－φ(x)，A正确；因为φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，所以φ(2x)＝2φ(x)不一定成立，B不正确；因为P(|ξ|<x)＝P(－x<ξ<x)＝1－2φ(－x)＝2φ(x)－1，C正确；因为P(|ξ|>x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝2－2φ(x)，D正确．]13．4[因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为12，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝12＝1－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝12，所以μ＝14．解：(1)由频率分布直方图可知，该校高三年级男生的平均身高约为(162×0.05＋166×0.07＋170×0.08＋174×0.02＋178×0.02＋182×0.01)×4＝168.72(cm)．(2)由频率分布直方图知，后3组的频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数为10．(3)全市100000名男生的身高X服从正态分布N(168，16)，则P(168－3×4≤X≤168＋3×4)＝P(156≤X≤180)≈0.9973．由正态曲线的对称性可知，P(X≥180)≈1-0.99732＝0.00135，且0.00135×100000故全市约前135名男生的身高在180cm及以上．这50人中身高在180cm及以上的人数为50×0.01×4＝2．随机变量ξ的可能取值为0，1，2，则P(ξ＝0)＝C82C102＝2845，P(ξ＝1)＝C81故E(ξ)＝0×2845＋1×1645＋2×15．解：(1)由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为(用频率估计概率)：X456789P0.010.020.260.400.290.02E(X)＝4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋9×0.02＝7，方差D(X)＝(4－7)2×0.01＋(5－7)2×0.02＋(6－7)2×0.26＋(7－7)2×0.40＋(8－7)2×0.29＋(9－7)2×0.02＝0.8．用样本的均值