新教材同步备课2024春高中数学第8章8.2一元线性回归模型及其应用8.2.1一元线性回归模型8.2.2第1课时一元线性回归模型及参数的最玄乘估计教师用书新人教A版选择性必修第三册

第1课时一元线性回归模型及参数的最小二乘估计学习任务1．了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义．(数学抽象)2．了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．(数学抽象)3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．(数据分析、数学运算)某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下数据：第x年1234567污染指数y6.15.24.54.73.83.43.1作出这些成对数据的散点图，判断污染指数y与x是否线性相关？在知道y与x线性相关的前提下，你能找出近似描述y与x之间关系的一次函数表达式吗？根据所得到的关系式，你能估计出该地区第8年的污染指数吗？知识点1一元线性回归模型Y=bx+a+e，Ee=0，De=σ2，为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量．a和b1．具有相关关系的两个变量，其样本点散布在某一条直线y＝bx＋a的附近，可以用一次函数y＝bx＋a来描述两个变量之间的关系吗？[提示]不能．知识点2经验回归方程(1)有关概念y＝bx＋a称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b，a叫做(2)计算公式b＝＝，a＝(1)经验回归直线过点(x，y)，不一定过成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(2)经验回归直线的截距a和斜率b都是通过样本估计而得的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果的偏差．(3)经验回归方程y＝ax＋b中的b表示x增加1个单位时，y的平均变化量为b，而a表示2．正相关、负相关与b的符号有何关系？[提示]Y与X正相关的充要条件是b>0，Y与X负相关的充要条件是b<0．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)随机误差是一个随机变量． ()(2)经验回归方程最能代表观测值x，y之间的线性关系，且回归直线过样本点的中心(x，y)． ((3)求经验回归方程前可以不进行相关性检验． ()(4)利用经验回归方程求出的值是准确值． ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2．下列有关经验回归方程y＝bx＋a①反映y与x之间的函数关系；②反映y与x之间的函数关系；③表示y与x之间不确定关系；④表示最接近y与x之间真实关系的一条直线．①④[y＝bx＋a表示y与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系，但它反映的关系最接近y与3．某地区近十年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合y＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．12.1[∵y＝0.8x＋0.1，∴y＝0.8×15＋0.1＝12.1(亿元)．]类型1一元线性回归模型的理解【例1】在一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，下列说法正确的是()A．Y＝bx＋a＋e是一次函数B．响应变量Y是由解释变量x唯一确定的C．响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生C[对于A中，一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，方程表示的不是确定性关系，因此不是一次函数，所以A说法错误；对于B中，响应变量Y不是由解释变量x唯一确定的，所以B错误；对于C中，响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生，所以C正确；对于D中，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，所以D错误．故选C．]明确一元线性回归模型的含义是解题的关键，其中a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．[跟进训练]1．关于一元线性回归模型Y=bx+a+e，①表达式Y＝bx＋a＋e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系；②bx＋a反映了由于x的变化而引起的Y的线性变化；③误差项e是一个期望值为0的随机变量，即E(e)＝0；④对于所有的x值，e的方差σ2都相同．其中正确的是________(填序号)．①②③④[根据一元线性回归模型的含义可知，以上说法均正确．]类型2求经验回归方程【例2】随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的成交量x(单位：件)与店铺的浏览量y(单位：次)之间的对应数据如表所示：x/件24568y/次3040506070(1)根据表中数据画出散点图；(2)根据表中的数据，求出y关于x的经验回归方程；(3)当这种商品的成交量突破100件(含100件)时，预测这家店铺的浏览量至少为多少．[解](1)散点图如图所示．(2)根据散点图可得，变量x与y之间具有线性相关关系．根据数据可知，代入公式得b＝＝1390-5×5×50145-5故所求的经验回归方程是y＝7x＋15．(3)根据上面求出的经验回归方程，当成交量突破100件(含100件)，即x＝y-157≥100时，y≥715求经验回归方程的基本步骤(1)画出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；(2)(3)代入公式求出y＝bx＋a(4)写出经验回归方程并对实际问题作出估计．提醒：只有在散点图大致呈线性时，求出的经验回归方程才有实际意义．[跟进训练]2．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如表所示．年份x20182019202020212022储蓄存款额y/千亿元567810为了计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－2017，z＝y－5，得到下表．t12345z01235(1)作z关于t的散点图，求z关于t的经验回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程．[解](1)作散点图，直观看z与t具有线性相关关系．根据z关于t的表格数据，得t＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3z＝15(0＋1＋2＋3＋5)＝2.2且∴b＝＝45-5×a＝z－bt＝2.2－1.2×3所以z关于t的经验回归方程为z＝1.2t－1.4．(2)z＝1.2t－1.4，代入t＝x－2017，z＝y－5，得y－5＝1.2(x－2017)－1.4，即y＝1.2x－2416.8．故y关于x的经验回归方程为y＝1.2x－2416.8．类型3利用经验回归方程进行预测【例3】(源自湘教版教材)一个车间为了估计加工某种新型零件所花费的时间，进行了10次试验，测得的数据如表所示：零件个数x102030405060708090100加工时间y/min626875818995102108115122(1)y与x之间是否具有相关关系？(2)如果y与x之间具有相关关系，求经验回归方程(结果保留三位小数)．(3)据此估计加工110个零件所用的时间．[解](1)x＝10+20+30+40+50+60+70+80+90+10010＝55y＝62+68+75+81+89+95+102+108+115+12210＝91.7i＝55950-10×55因此y与x之间具有显著的正相关关系．(2)设所求的经验回归方程为y＝则b＝＝55950-10×a＝y－bx＝91.7－0.668×55即所求的经验回归方程为y＝0.668x＋54.96．(3)当x＝110时，y的估计值y＝0.668×110＋54.96＝128.44．因此，估计加工110个零件所用的时间为128.44min．(1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图．(2)求经验回归方程，注意运算的正确性．(3)根据经验回归方程进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差．[跟进训练]3．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得如表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程y＝(3)试根据求出的经验回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．参考公式：b＝，a＝y－bx．[解](1)散点图如图所示．(2)x＝6+8+10+124＝9，y＝2+3+5+64＝iib＝158-4×a＝y－bx＝4－0.7×9故经验回归方程为y＝0.7x－2.3．(3)由(2)中经验回归方程可知，当x＝9时，y＝0.7×9－2.3＝4，即预测记忆力为9的同学的判断力为4．1．某样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的经验回归方程为y＝0.5x＋0.7，当x＝8时，y的实际值为4.5，则当x＝8时，预测值与实际值的差值为()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4B[当x＝8时，y的预测值y＝4.7，4.7－4.5＝0.2．故选B．]2．对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，8)，其经验回归方程为y＝16x＋a，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝6，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝9，则a的值为(A．－2 B．2C．－1 D．1D[x＝68＝34，y＝98，由于经验回归直线方程过样本中心点，将343．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的经验回归方程：y＝0.254x＋0.321．由经验回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．0．254[由于y＝0.254x＋0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元．]4．如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与x之间的经验回归方程为y＝bx＋1，则b＝________．0.8[由题图知x＝0+1+3+44＝2，y＝0.9+1.9+3.2+4.44＝2.6，将(2，2.6)代入y＝bx回顾本节知识，自主完成以下问题：1．经验回归直线一定过哪个点？提示：经验回归直线一定过样本中心点(x，y2．y与x正、负相关的充要条件各是什么？提示：y与x正相关的充要条件是b＞0，y与x负相关的充要条件是b＜0．3．b的实际意义是什么？提示：当x增大一个单位时，y增大b个单位．“回归”一词的由来统计学中的“回归”一词，是统计学家高尔顿引入的．早在19世纪80年代，高尔顿就开始了亲代与子代(即父母亲与子女)之间相似特征(身高、性格等)的研究．他收集了一些亲代的身高x与子代的身高y的成对数据，并作出了散点图，发现y与x的关系可以借助一次函数来近似表示，而且总体上亲代的身高增加时，子代的身高也增加．但是，高尔顿在研究过程中，发现了一个有趣的现象．他收集的数据显示，总体上亲代的平均身高为68英寸(约为172.72cm)，子代的平均身高为69英寸，子代的平均身高比亲代的平均身高大1英寸(约为2.54cm)．于是，一个自然的推想是：平均身高为63英寸的亲代，其子代的平均身高应约为64英寸；平均身高为72英寸的亲代，其子代的平均身高应约为73英寸．但实际数据显示：平均身高为63英寸的亲代，其子代的平均身高为67英寸，增加量为4英寸；平均身高为72英寸的亲代，其子代的平均身高为71英寸，增加量为－1英寸．也就是说，平均身高不同的亲代，其子代的平均身高增加量并不相等，但子代的平均身高有回归于中心(即总体平均值)的趋势．正是由于这种现象的存在，高尔顿引入了“回归”一词．虽然不是所有相关关系中都会发生类似的现象，但从那以后，“回归”就成了相关关系讨论中一个约定俗成的词了．课时分层作业(二十)一元线性回归模型及参数的最小二乘估计一、选择题1．对于经验回归方程y＝bx＋a(b>0)，下列说法错误的是()A．当x增加一个单位时，y的值平均增加b个单位B．点(x，y)一定在y＝bx＋C．当x＝t时，一定有y＝bt＋aD．当x＝t时，y的值近似为bt＋aC[经验回归方程是一个模拟函数，它表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其大致变化规律，故有些散点不一定在经验回归直线上．]2．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得经验回归方程可能为()A．y＝0.4x＋2.3B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5D．y＝－0.3x＋4.4A[由x与y正相关，排除选项C，D．将x＝3，y＝3.5代入选项A，B3．根据如下成对样本数据得到的经验回归方程为y＝bx＋a，则()x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0B[画出散点图，知a>0，b<0．]4．(多选)数据(x，y)的5组测量值(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5)，已知i=1若y对x的经验回归方程记作y＝bx＋a，则()A．b＝1.2B．a＝0.2C．y与x正相关D．x＝8时，y的估计值为7ABCb＝＝112-5×4a＝y－bx＝5－1.2×4＝0.2，所以经验回归方程为y＝1.2x＋0.2．因为b＝1.2>0，所以y与x5．(多选)中国女排的影响力早已超越体育本身的意义，不仅是时代的集体记忆，更是激励国人持续奋斗、自强不息的精神符号．以下是某届世界杯比赛最终结果的相关数据，记前6名球队中，每个队的胜场数为变量x，积分为变量y(只列出了前6名)．排名123456胜场数x11108766积分y322823211918若y与x之间具有线性相关关系，根据表中数据可求得y关于x的经验回归方程为y＝2.59x＋a，则下列说法正确的有()A．a的值为2.78B．a的值为2.14C．若整队在此次比赛中获胜的场数是4，根据经验回归方程其得分约为13分D．由经验回归方程可知，当某个队伍胜场增加1场时，其积分约增加2.59分ACD[由题意知，x＝8，代入经验回归方程y＝2.59x故A正确，B不正确；将x＝4代入经验回归方程y＝2.59x＋2.78，得y＝13.14≈13，故C正确；经验回归方程中x的系数是2.59，故D正确．]二、填空题6．若根据5名儿童的年龄x(单位：岁)和体重y(单位：kg)的数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的经验回归方程是y＝2x＋18，已知这5名儿童的年龄分别是3，5，2，6，4，则这5名儿童的平均体重是________kg．26[由题意：x＝3+5+2+6+45＝4，由于经验回归方程过样本的中心点(x，y)，所以y＝27．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，根据收集到的数据可知x＝20，由最小二乘法求得经验回归方程为y＝0.6x＋48，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝________．300[∵经验回归直线过点(x，y∴将x＝20代入经验回归方程得∴y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5y＝300．]8．某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如表：广告费用x/万元3456销售额y/万元25304045根据上表可得经验回归方程y＝bx＋a中的b为7，据此模型，若广告费用为10万元，则预计销售额为________万元．73.5[由题意得x＝3+4+5+64＝4.5，y＝25+30+40+454＝∵经验回归方程y＝bx∴35＝7×4.5＋a，解得a＝3.5，∴y＝7x＋3.5．∴当x＝10时，y＝7×10＋3.5＝73.5(万元)．]三、解答题9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x/元88.28.48.68.89销量y/件908483807568(1)求经验回归方程y＝bx＋a，其中b＝－20；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[解](1)由于x＝16×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5y＝16×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80所以a＝y－bx＝80＋20×8.5＝250，从而经验回归方程为y＝－(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x·(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－8.25)2＋361.25．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．10．若某地财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过()A．9亿元 B．9.5亿元C．10亿元 D．10.5亿元D[因为财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，所以Y＝0.7x＋3＋e．当x＝10时，得Y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤Y≤10.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元．]11．(多选)湖北潜江素有“中国小龙虾之乡”之称，是我国小龙虾的主要产区．已知某种饲料的投放量x(单位：吨)与小龙虾的产量y(单位：吨)的统计数据如表：投放量x/吨23456产量y/吨3142526473由表中的数据，得到经验回归方程为y＝10.6x＋a，则下列结论正确的是()A．a＝9B．产量y与投放量x正相关C．经验回归直线y＝10.6x＋a过点(4，52.4)D．当x＝8时，小龙虾产量的预测值是93.8BC[由表可知，投放量x的均值x＝2+3+4+5+65＝4小龙虾的产量y的均值y＝31+42+52+64+735＝52.4所以经验回归直线恒过定点(4，52.4)，故选项C正确；代入经验回归方程y＝10.6x＋a经验回归方程为y＝10.6x＋10，故选项B正确；当x＝8时，y＝10.6×8＋10＝94.8，故选项D错误．]12．某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知经验回归方程为y＝6.3x＋6.8，下列说法正确的是()x23456y1925★4044A．看不清的数据★的值为33B．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨C．据此模型预测产量为8吨时，相应的生产能耗为50.9吨D．经验回归直线y＝6.3x＋6.8恰好经过点(4，★)D[对于A，因为x＝2+3+4+5+65＝4将x＝4代入y＝6.3x＋6.8，故y＝6.3×4＋6.8＝32，∴★＝32×5－(19＋25＋40＋44)＝32，故A错误；对于B，回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗大约增加6.3吨，故B错误；对于C，当x＝8时，y＝6.3×8＋6.8＝57.2，故C错误；对于D，因为x＝4，y＝32，故y＝6.3x＋6.8必经过点(4，32)13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为________；用经验回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时