新教材同步备课2024春高中数学第7章随机变量及其分布微专题3二项分布与超几何分布的综合应用教师用书新人教A版选择性必修第三册

微专题3二项分布与超几何分布的综合应用1．建立模型袋子中有大小相同的N个球，其中有M个红球、N－M个白球，令p＝MN，设X表示摸出的n摸球方式X的分布E(X)D(X)放回摸球二项分布B(n，p)npnp(1－p)不放回摸球参数为N，n，M的超几何分布npnp(1－p)N2．二项分布与超几何分布的联系与区别(1)由古典概型得出超几何分布，由n重伯努利试验得出二项分布，放回摸球是二项分布，不放回摸球是超几何分布．(2)对于同一个模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，说明超几何分布中随机变量的取值更集中于均值附近．(3)对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，可近似认为是独立的．此时，超几何分布可以用二项分布近似．从方差的角度看，由于N-nN(4)在确定分布列时，超几何分布必须同时知道N和M，而二项分布只需要知道p＝MN类型1二项分布的综合应用【例1】(2023·河南开封尉氏三中月考)在一次测试中，第22，23，24题为选做题，规定每名考生必须从中选做一题，设5名考生选做这三题中任意一题的可能性均为13(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；(2)设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望及方差．[解](1)设事件A1表示甲选做第22题，A2表示甲选做第23题，A3表示甲选做第24题，B1表示乙选做第22题，B2表示乙选做第23题，B3表示乙选做第24题，依题意知P(Ai)＝P(Bi)＝13，i＝1，2，3，记甲、乙两人选做同一题为事件M，则M＝A1B1＋A2B2＋A3B3，易知A1与B1，A2与B2，A3与B3∴P(M)＝P(A1B1＋A2B2＋A3B3)＝P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝13×13×(2)ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5．∵5名考生选做这三题中任意一题的可能性均为13∴P(ξ＝k)＝C5k13k1-135-k＝C5k·25-k∴ξ的分布列为ξ012345P32808040101∴E(ξ)＝5×13＝5D(ξ)＝5×13×1(1)解题的关键是判定随机变量ξ服从二项分布，确定参数n和p的值．(2)根据二项分布的概率列出分布列．(3)利用定义或二项分布的性质求二项分布的均值和方差．类型2超几何分布的综合应用【例2】某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如表所示．表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为25性别中文英语数学体育男n1m1女1111现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同)．(1)求m，n的值；(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列、均值及方差．[解](1)设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”，由题意，可知数学专业的同学共有(1＋m)名，则P(A)＝1+m10＝25，解得m因为m＋n＋6＝10，所以n＝1．(2)设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，则P(B)＝C31C(3)由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的可能取值为0，1，2，3．P(ξ＝0)＝C33CP(ξ＝1)＝C71C32P(ξ＝2)＝C72C31P(ξ＝3)＝C73C103所以ξ的分布列为ξ0123P17217∴数学期望E(ξ)＝0×1120＋1×740＋2×2140＋3×7方差D(ξ)＝0-2110解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列，利用均值、方差的定义求出随机变量的均值和方差．类型3二项分布与超几何分布的综合应用【例3】某高校通过自主招生方式招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个．已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为23(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪名被录取的可能性更大？[解](1)由题意得，甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：P＝C41C(2)设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝C41C22C63＝15，P(X＝2)＝C42C2E(X)＝1×15＋2×35＋3×15D(X)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，由题意知Y～B3，23，E(Y)＝3×23＝2，D(Y)＝3×E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，∴学生甲被录取的可能性更大．(1)根据题意，确定是二项分布还是超几何分布模型．(2)根据超几何分布与二项分布的分布列和性质求出随机变量的均值和方差．(3)利用均值与方差的意义进行决策判断．微专题强化练(三)二项分布与超几何分布的综合应用1．一个袋子中有60个大小相同的球，其中有20个黄球、40个白球，从中随机地摸出10个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．(1)有放回地摸球，求X的分布列；(2)不放回地摸球，求X的分布列．[解](1)对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为13，且各次试验之间的结果是独立的，因此X～B10，13，X的分布列为P(X＝k)＝C10k×13k×23(2)对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为P(X＝k)＝C20kC4010-kC6010，k＝2．某学校组织党史知识竞赛，竞赛规则是：两人组成一个“组合”，进行多轮竞赛，每一轮竞赛中，一个“组合”的两人分别各答3道题，若答对的题目总数不少于5道题，此“组合”获得20分．已知小华和小夏两人组成“华夏组合”，小华、小夏每道题答对的概率分别是45和3(1)求“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率；(2)若每轮竞赛互不影响，“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行多少轮竞赛？[解](1)设小夏和小华答对的题目个数分别为a1和a2，则所求的概率P＝P(a1＝2，a2＝3)＋P(a1＝3，a2＝2)＋P(a1＝3，a2＝3)＝C324故“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率为297500(2)依题意知“华夏组合”在竞赛中得分的轮数X满足X～B(n，p)，由(1)得p＝297500，据此，由20np≥100⇒297500n≥5⇒n≥5×所以“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行9轮竞赛．3．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)[解](1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为1550＝0.3(2)由题图可知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C．所以ξ的所有可能取值为0，1，2．P(ξ＝0)＝C22C42＝16，P(ξ＝1)＝C21C21C4所以ξ的分布列为ξ012P121故ξ的数学期望E(ξ)＝0×16＋1×23＋2×16(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．4．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．[解](1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．(2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布．P(X＝0)＝C282C402＝63130，P(X＝1)＝C121C281C40∴X的分布列为X012P632811∴X的均值为E