2023年上海市15区中考一模数学试题知识点汇编 图形的变化新定义含详解

2023年上海市15区中考数学一模汇编

专题06图形的变化，新定义（27题）

一.选择题（共1小题）

1.（2022秋•徐汇区期末）阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集：同样，如果引进'‘虚

数”实数集就扩展到“复数集”现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：/=i,P=-1,j3=τ,产=],户

=i,1=-1,?=-/,则严19=（）

A.1B.-1C.iD.-i

二.填空题（共26小题）

2.（2022秋•黄浦区校级期末）如图，图中提供了一种求Cotl5°的方法.作RIZ∖ABC,使∕C=90°,∕48C=30°,

再延长CB到点。，使BO=BA,联结A£>,即可得/0=15°.如果设AC=3则可得C£>=（2+√E）f,则CotI5°

3.（2022秋•黄浦区校级期末）如图，已知在aABC中，ZC=90o,BC=8,cosB=生点P是斜边AB上一点,

5

过点P作PMLAB交边AC于点M,过点P作AC的平行线，与过点M作AB的平行线交于点Q.如果点。恰

好在/4BC的平分线上，那么AP的长为.

4.（2022秋•嘉定区校级期末）点A、B分别在△/）£•尸的边。及EF且NE）EF=90°,DE=yAD（NEBA=45°

（如图），ZiABE沿直线AB翻折，翻折后的点E落在AQEF内部的点C,直线。C与边EF相交于点“，如果

FH=AD,那么COt。=.

5.（2022秋•徐汇区校级期末）在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数yι="∣（x+A∣）2+心与”="2（x+A2）

2

+k2的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数.如二次函数>■=

（x+l）2-l与y=（X-I）2+3互为梦函数，写出二次函数y=2（x+2）2+1的其中一个梦函数.

6.（2022秋•徐汇区校级期末）在RtZVlBC中，NC=90°,M为AB的中点，将RtZ∖A8C绕点M旋转，使点C与

点8重合得到aOEB,设边8E交边C4于点N.若BC=2,AC=3,则AN=.

7.（2022秋•浦东新区校级期末）如图，在RtZVlBC中，NC=90°,AB=10,AC=8,点。是AC的中点，点E

在边AB上，将aAQE沿。E翻折，使得点A落在点H处，当WELAB时，那么AE的长为

8.（2022秋•杨浦区校级期末）已知y是关于X的函数，若该函数的图象经过点PG,-t）,则称点P为函数图象

上的“相反点”，例如：直线y=2χ-3上存在“相反点”P（1,-1）.若二次函数y=∕+2g+"i+2的图象上存

在唯一“相反点”，则机=.

9.（2022秋•杨浦区校级期末）在RtZXABC中，ZC=90o,AB=5,SinB=旦，点。在斜边AB上，把aACO沿

5

直线CQ翻折，使得点A落在同一平面内的点4,处，当A3平行RtAABC的直角边时，Ao的长为.

10.（2022秋•浦东新区期末）如图，点E、F分别在边长为1的正方形ABC。的边A3、AD±,BE=2AE.AF=

2FD,正方形AEC。'的四边分别经过正方形ABCD的四个顶点，已知A'D'∕∕EF,那么正方形AHeZr的边长

11.（2022秋•浦东新区期末）如图，正方形A8C。的边长为5,点E是边CZ）上的一点，将正方形ABCQ沿直线AE

翻折后,点。的对应点是点。,联结C。交正方形ABCf）的边AB于点F,如果4尸=CE,那么A尸的长是.

12.（2022秋•闵行区期末）如图，在RtZVlBC中，ZACB=Wa,AB=9,CotA=2,点。在边AB上，点E在边

AC上，将AABC沿着折痕OE翻折后，点A恰好落在线段8C的延长线上的点尸处，如果∕3PO=/A,那么折

痕DE的长为.

13.（2022秋•闵行区期末）阅读：对于线段MN与点O（点O与MN不在同一直线上），如果同一平面内点尸满

足：射线OP与线段MN交于点Q,月旦2=工，那么称点P为点。关于线段MN的“准射点”.

OP2

问题：如图，矩形ABCn中，AB=A,AD=5,点E在边Ao上，且AE=2,联结BE.设点F是点A关于线段

BE的“准射点”，且点F在矩形ABCD的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d,那么d的取值范围

14.（2022秋•徐汇区期末）如图，在等边三角形ABC中，D,E,尸分别是8C,AC,AB上的点，DEkAC,EFL

AB,FDYBC,若AABC的面积为48,则AQEF的面积为.

15.（2022秋•徐汇区期末）如图，在RtAABC中，ZA=90o,AB=AC=2,将线段BC绕点B逆时针旋转α°（0

<a<180）得到线段B。，S.AD//BC,则AO=.

16.（2022秋•青浦区校级期末）如图，在RtaABC中，NACB=90°,AC=LtanZCAB=2,将AABC绕点A旋

转后，点B落在AC的延长线上的点。，点C落在点E,OE与直线BC相交于点凡那么CF=.

17.（2022秋•黄浦区期末）如图，在矩形ABCD中，过点。作对角线AC的垂线，垂足为E,过点E作BE的垂线,

交边AQ于点F,如果4B=3,BC=5,那么。F的长是.

18.（2022秋•黄浦区期末）将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片,

如果所得四边形纸片A8C。如图5所示，其中NA=NC=90°,AB=7厘米，BC=9厘米，Cn=2厘米，那么

原来的直角三角形纸片的面积是平方厘米.

A

CB

19.（2022秋•徐汇区期末）在RtZXABC中，ZB=90°,NBAC=30°,BC=I,以AC为边在AABC外作等边4

ACD,设点E、尸分别是AABC和AACO的重心，则两重心E与尸之间的距离是.

20.（2022秋•徐汇区期末）如图，在RtZ∖ABC中，∕C=90°,A8=10,AC=8,。是AC的中点，点E在边AB

上，将aAOE沿。E翻折，使得点A落在点A'处，当A'ELAB时，则A'A=.

21.（2022秋•杨浦区期末）如图，已知在RtZ∖A8C中，NC=90°,AC=BC=I,点。在边BC上，将BC沿直

线AO翻折，使点C落在点C'处，联结AC',直线AC'与边CB的延长线相交于点尸.如果ND4B=NBA凡

22.（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知在AABC中，∕C=90°,AB=21,CotBq正方形OMG的顶点

G、F分别在AC、BC上，点。、E在斜边AB上，那么正方形。EFG的边长为.

23.（2022秋•青浦区校级期末）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形

ABCDψ,A8=10,BC=12,CD=5,tan2=旦，那么边A。的长为.

BC

24.（2022秋•金山区校级期末）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美

梯形”.如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2,下底等于4,那么它的周长为.

25.（2022秋•金山区校级期末）如图，已知在AABC中，ZC=90o,BC=8,cos8=支点P是斜边4?上一点，

5

过点P作AB交边AC于点M,过点P作AC的平行线，与过点M作A3的平行线交于点Q.如果直线CQ

±AB,那么AP的长为.

26.（2022秋•静安区期末）如图，绕点C逆时针旋转90°后得ADEC,如果点8、D、E在一直线上，且N

BOC=60°,BE=3,那么A、。两点间的距离是.

27.（2022秋•静安区期末）定义：把二次函数y=4（X+,〃）？+〃与y=-〃（χ-m）2一〃（介（），m、〃是常数）称作

互为“旋转函数”.如果二次函数y=∕+3⅛r-2与y=-/-Lv+c（氏C是常数）互为“旋转函数”，写出点P

24

（b,c）的坐标

2023年上海市15区中考数学一模汇编

专题06图形的变化，新定义（27题）

一.选择题（共1小题）

1.（2022秋•徐汇区期末）阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集：同样，如果引进'‘虚

数”实数集就扩展到“复数集”现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：/=i,P=-1,j3=τ,产=],户

=i,1=-1,?=-/,则严19=（）

A.1B.-1C.iD.-i

【分析】根据已知得出变化规律进而求出答案.

【解答】解："：il=i,i2=-h/3=-i,r4=l,z5=i,z6=-l,ij=-i,

每4个数据一循环，

V2019÷4=504∙∙∙3,

・；2019_；3_；

•∙I—I--I.

故选：D.

【点评】此题主要考查了新定义，正确理解题意是解题关键.

二,填空题（共26小题）

2.（2022秋•黄浦区校级期末）如图，图中提供了一种求Cotl50的方法.作RtAABC,使NC=90°,NABC=30°,

再延长CB到点。，使BD=BA,联结AD,即可得NQ=15°.如果设AC=t,则可得CD=（2+√3）t,则cotl5o

=Cot.用以上方法，则COt22.5°=_ʌ/ɜ+2.

【分析】利用题中的方法构建一个RtAAQC,使/0=15°,然后利用余切的定义求解.

【解答】解：作RtZ∑ABC,使∕C=90°,∕A8C=45°,再延长CB到点O,使BO=BA,联结AO,

"：AB=BD,

INBAD=ND,

'：NABC=NBAn+ND,

.•./。=上NABC=I5°,

2

设AC=/,则BC=Ff,AB=2t,

：.CD=BC+BD=2t+Mt=（V3+2）Z,

在RtZ∖ADC中，CotD=%=我+2,

AC

Λcotl5o=√3+2.

故答案为：√3+2.

【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.灵活应

用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键.

3.（2022秋•黄浦区校级期末）如图，已知在aABC中，ZC=90o,BC=8,cosB=2,点P是斜边AB上一点,

过点P作PMLAB交边AC于点过点P作AC的平行线，与过点M作AB的平行线交于点Q.如果点。恰

好在NABC的平分线上，那么AP的长为

【分析】根据直角三角形的边角关系可求出A8,AC,再根据相似三角形，用含有AP的代数式表示MC、NC、

MN,再根据角平分线的定义以及等腰三角形的判定得出BN=N。，进而列方程求出AP即可.

【解答】解：在44BC中，∕C=90°,BC=S,CoS8=2，

.∙.AB=*=10,AC=√AB2.BC2=6,

COSD

PMLAB,

：.ZAPM=90o=Nc

・・・XAPMsXACB,

.AP=PM=AM

*'ACBCAB,

设AP=3x,则尸M=4x,AM=5x,

.∙.MC=6-5%,

,

∖MN//ABf

.CM=CN=MN

**CACBAB,

.∙.CN=8-型x,MN=∖0-^-x,

。平分/ABC,MN//AB,

,/QBN=NBQN,

：.NQ=BN=BC-CN=",

・：MN//AB,PQ//AC,

四边形APQM是平行四边形，

：.QM=AP=3x,

：.MN=NQ+MQ=皎x+3X="x,

.管=1。号,

解得x=a,

9

.'.AP=3x--,

3

故答案为：5.

3

A

【点评】本题考查直角三角形的边角关系，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，

掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是解决问题的前提,用含有AP的代数式表示MC、NC、

MN是正确解答的关键.

4.（2022秋•嘉定区校级期末）点A、8分别在AQEF的边。E、EF上,且NQEF=90°,DE=yAD'NEBA=45°

（如图），BE沿直线4B翻折，翻折后的点E落在△£>£：/内部的点C,直线OC与边E/相交于点“，如果

FH=AD,那么COtD=_2

【分析】根据题意和翻折的性质可得AABE是等腰直角三角形，AABC是等腰直角三角形，所以AC//BE,得

—=—=-^∙,i⅛AC=AE=Ix,则HE=3x,AD=4x,所以尸E=7x,DE-6x,然后根据锐角三角函数即可解

DEHE3

决问题.

【解答】解：如图所示：

；NDEF=90°,NEBA=45°,

.•.△ABE是等腰直角三角形，

.".AE=BE,

YAABE沿直线AB翻折，翻折后的点E落在八DEF内部的点C,

•••△ABC是等腰直角三角形，

.∖AC∕∕BE,

•DA=AC=_2

"DEIffi^3

"：FH=AD,

设AC=AE=2x,

贝IJHE=3x,AD=4x,

：.FE=lx,DE=6x,

.DE_6

•∙—,

FE7

故答案为：1.

7

【点评】本题考查了翻折变换，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质.

5.(2022秋•徐汇区校级期末)在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数yι="ι(x+Λ∣)2+&］与”=&(x+fe)

2

+k2的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数.如二次函数y=

(x+I)2-1与y=(χ-l)2+3互为梦函数，写出二次函数y=2(jt+2)2+1的其中一个梦函数y=2(χ-2)

2+2(答案为不唯一).

【分析】由一对梦函数的图象的形状相同，并且对称铀关于y轴对称，可团|=〃2,加与例互为相反数；

【解答】解：二次函数y=2(x+2)2+1的一个梦函数是y=2(X-2)2+2；

故答案为：y=2(X-2)2+2(答案为不唯一).

【点评】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，得出变换的规律是解题的关键.

6.(2022秋•徐汇区校级期末)在RtZ∖4BC中，ZC=90o,例为AB的中点，将RtAABC绕点例旋转，使点C与

点B重合得到设边BE交边CA于点N.若BC=2,AC=3,贝IJAN=也.

一6一

【分析】根据旋转的性质用同一个未知数表示出有关的边，根据勾股定理列方程计算.

【解答】解：=MA=MB=ME,

NABE=NE,

又,：乙E=ZA,

.∖ZABE=ZA,

JAN=NB,

设CN=x,则AN=N3=3-X,

在RtZ∖C4N中，AN2=AC1+CN2,即(3-χ)2=4+7,

解得x=∙∑,即CN=e.

66

.∙.AN=3-金=卫

66

故答案为：lɜ.

6

【点评】本题考查旋转变换，等腰三角形的判定和性质等知识，根据旋转的性质得到对应角和对应边之间的关系

是解题的关键.

7.（2022秋•浦东新区校级期末）如图，在RtZ∖ABC中，ZC=90o,AB=10,AC=8,点。是AC的中点，点E

在边AB上，将AAOE沿。E翻折，使得点A落在点A处，当AELAB时，那么AE的长为_2殳或

55

【分析】分两种情形分别求解，作。FLAB于F.证明FZ）S^AC2,由相似三角形的性质及勾股定理可求出

答案.

'：ADAF=ABAC,ZAFD=ZC=WO,

XAFDs∕∖ACB,

.DFADAF

^'BCɪɔʌe'

•DF4AF

••-二一一=9

6108

.∙.OF=乌AF=lθ,

55

VA,ELAB,

：.ZAEA'=90°,

由翻折不变性可知：ZAED=45°,

EF=QF=卫，

5

：.AE=A'E=£+也=%

555

如图，作。口LAB于凡当EA'_LAB时，同法可得AE=A'E=蛇』∙=2

555

B

故答案为：丝或2.

55

【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助

线，构造直角三角形解决问题.

8.(2022秋•杨浦区校级期末)已知y是关于X的函数，若该函数的图象经过点P(f,7),则称点P为函数图象

上的“相反点”，例如：直线y=2χ-3上存在“相反点”P(1,-1).若二次函数＞=7+2皿+雨+2的图象上存

在唯一“相反点''，则〃?=+近.

2-

【分析】将P(f,-r)代入y=/+2mx+加+2中得尸+2""+H+2=-3即∕2÷(2加+1)/+τw+2=0,将二次函数y=

/+2加什m+2的图象上存在唯一“相反点”，转化为方程有两个相等的实数根，Δ=0,求解即可.

【解答】解：将P(3-/)代入y=∕+2"优+〃?+2中，

得P+2mt+m+2=-6即/2+(2w+l)/+m+2=0,

•・・二次函数y=∕+2∕τu+m+2的图象上存在唯一“相反点”，

，方程有两个相等的实数根，

.∙.Δ=(2zπ+l)2-4×l×(∕Π+2)=0,

解得m=

故答案为：+近.

一2

【点评】本题考查了二次函数、一元二次方程根的判别式，解题的关键是将函数问题转化为方程问题.

9.(2022秋•杨浦区校级期末)在RtBC中，∕C=90°,AB=5,SinB=卷，点。在斜边AB匕把AACO沿

直线CD翻折，使得点A落在同一平面内的点A'处，当A'。平行RtAABC的直角边时，AD的长为1或3.

【分析】如图，当4Q〃BC,根据平行线的性质得到∕A'DB=NB,根据折叠的性质得到A'D=AD,ZA'=

ZA,根据三角形的面积公式得到CEq崇•=誉，由相似三角形的性质即可得到结论；如图2,当A'D∕∕AC,

根据折叠的性质得到AO=A'D,AC=A'C,ZACD=ZA'CD,根据平行线的性质得到NA'DC=ZACD,

于是得到NA'DC=ZA,CD,推出A'D=A'C,于是得到AQ=AC=8.

【解答】解：RtZ∖ABC中，ZC=90o,AB=5,SinB=之，

5

・'•AC=3'BC=VAB2-AC2=4'

①如图，当BC,

D

：.ZA,DB=NB,

•；把aACD沿直线CO折叠，点A落在同一平面内的A'处,

：.A'D=AD,

：.ZA,=ZA,

：.ZA,+ZA,DB=90°,

ΛΛ,C±Aβ,

ACBC12

；•CE=

AB^5^

•'•A'E=3-12_^3

~5~"5

∖^A'D∕∕BC,

：.∆A,DES∕∖CBE,

3_

.AyDA,E∏∏AyD,5

BCCE4空

5

：.A'D=I,

."O=1；

②如图，当AZ)〃AC,

•；把aACO沿直线C。折叠，点A落在同一平面内的A'处,

.∖AD=A'D,AC=A'C,ZACD=ZA'CD,

VZA,DC=ZACD,

：.ZA,DC=ZA1CD,

.∙.A'D=A'C,

：.AD=AC=3,

综上所述：AD的长为：1或3,

故答案为：1或3.

【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

10.（2022秋•浦东新区期末）如图，点E、F分别在边长为1的正方形ABC。的边AB、AD±,BE=2AE.AF=

2FD,正方形AbC,D'的四边分别经过正方形ABCO的四个顶点，已知4D,〃EF,那么正方形AbeTj的边长是

3辰

【分析】通过证明AAEFsZWAB,可求AÆ的长，同理可求AO的长，即可求解.

【解答】解：＜BE=2AE∖AF=2FD,AB=AO=I,

：.BE=2,AE=-,AF=-,DF=-,

3333

,EF=VAE2+AF2=咚，

0

∖'A'D"∕∕EF,

：.ZA'AB=ZAEF,

又∙.∙NA'=∕E4/=90°,

XAEFSIAB,

.AA'AB

"AE'EF

“J72=&

疾5

3

同理可求：AO=Z匹，

5

.∙.A77=∙^∙,

5

...正方形AbC。的边长为百,

5

故答案为：主叵.

5

【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键.

11.（2022秋•浦东新区期末）如图，正方形ABC。的边长为5,点E是边CO上的一点，将正方形ABCO沿直线AE

翻折后,点D的对应点是点D',联结CO交正方形ABCD的边AB于点F,如果AF=CE,那么AF的长是空

-2一

【分析】根据翻折的性质得，DE=D1E,可得NEDD'=ZED'D,证明四边形AECF是平行四边

形，贝IJAF=CE,AE//CF,可得CFJ_£>£>',根据等角的余角相等可得∕EO'C=ND'CE,则。'E=CE=

DE,即可求解.

.∙.NEDD'=NED'D,

四边形ABC。是正方形，

.∖AB∕∕CD,

'：AF=CE,

：.四边形AECF是平行四边形，

：.AF=CE,AE//CF,

.∖CF±DD',

：.ZEDD1+ZD'CE=ZED'D+ED'C=90o,

；.NED'C=/O'CE,

.,.DlE=CE=DE,

：正方形ABCD的边长为5,

.∙.CE=ACD=,

222

.∖AF=5,

2

故答案为：1.

2

【点评】本题是考查了翻折变换的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质等

知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题.

12.（2022秋•闵行区期末）如图，在RtZXABC中，NACB=90°,AB=9,CotA=2,点。在边AB上，点E在边

AC上，将aABC沿着折痕OE翻折后，点A恰好落在线段BC的延长线上的点P处，如果NBPO=NA,那么折

痕DE的长为2品.

【分析】先求出NAOE=45°,由等腰直角三角形的性质可得DE=√5fW,由锐角三角函数可求。〃的长，即

可求解.

【解答】解：如图，过点E作AB于"，

・・・将aABC沿着折痕OE翻折，

：.AD=DP,ZADE=ZPDE,

9：ABPD=ΛA,ZA+ZB=90σ,

.∙.NBPD+NB=90°,

o

ΛZBDP=90=ZADPf

ΛZADE=45o,

VEHlAB,

：.NDEH=NEDH=45°,

：.DH=EHf

：・DE=®DH,

丁cotA=2=COtNBP£)=,

HEBD

：.AH=2HE,DP=IBD1

：・AD=DP=3DH,

IBD=3DH,

2

∖,AB=9=BD+AD=*DH+3DH,

2

:∙DH=2,

DE=2∙^2,

故答案为：2近.

【点评】本题考查了翻折变换，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题

的关键.

13.（2022秋•闵行区期末）阅读：对于线段MN与点。（点O与MN不在同一直线上），如果同一平面内点P满

足：射线OP与线段MN交于点Q,且毁=上，那么称点P为点。关于线段MN的“准射点”.

OP2

问题：如图，矩形ABC。中，AB=4,AD=5,点E在边Ao上，且AE=2,联结BE.设点F是点A关于线段

BE的“准射点”，且点F在矩形ABCD的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d,那么d的取值范围为

-^^-≤√≤√17

【分析】设A尸交BE于点Q,根据点尸是点A关于线段BE的“准射点”，可得理■=1,所以AQ=FQ,过点

AF2

F作GH〃BE交AD,8C于点G,H,根据平行线分线段成比例定理可得AE=EG=2,AQ,=Q'F1,所以点

F在线段G”上，连接CG,根据勾股定理求出CG的长，可得点F在A。上时与点G重合，此时CG的长即为

1的最大值，过点C作CM_LG〃于点M,根据三角形面积求出CM的长，此时CM的长即为d的最小值，进而

可得”的取值范围.

【解答】解：如图，设AF交BE于点Q,

；点尸是点A关于线段BE的“准射点”，

•-•AQ_-1,

AF2

：.AQ=FQ,

过点尸作GH〃BE交4。，BC于点G,H,

.∖AE=EG=2,AQ'=Q'F1,

.∙.点/在线段GH上，

连接CG,

'：DG=AD-AG=5-4=l,CD=AB=4,

ΛCG=7CD2+DG2=V42+l2z=λ^,

过点C作CM-LGH于点M,

•：EG〃BH,BE//GH9

：.四边形BHGE是平行四边形，

；・BH=EG=2,

：・HC=BC-BH=5-2=3,

'∙"BE=HG=寸AB2+AE2~V42+22=2娓'

,SAGHC=工XHG∙CM=工XCH∙DC,

22

.∖2V5C∕W=3×4,

5

,；点F在矩形ABCD的内部或边上，点C与点尸之间距离为d,

：.d的取值范围为空应＜4≤JF.

5

故答案为:-^-≤J≤√17.

5

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，

矩形的性质，三角形面积，解决本题的关键是熟知垂线段最短.

14.（2022秋•徐汇区期末）如图，在等边三角形ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，DELAC,EFl.

AB,FDLBC,若AABC的面积为48,则△/）EF的面积为16.

【分析】利用等边三角形的性质可得NA=NB=NC=60°,根据垂直定义可得NAFE=NBDF=NQEC=90°,

从而利用直角三角形的两个锐角互余可得/AEF=∕BFf>=/Ef>C=30°,然后利用平角定义可得/OfE=/

FDE=NDEF=60°,从而可得△£>「£：是等边三角形，进而可得OF=ER∆ΛθC^∆DEF,最后在RtZ∖B∕）厂和

RtZiAFE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AF：DF-.BF=I:√3：2,从而可得近，进而利

AB3

用相似三角形的性质，进行计算即可解答.

【解答】解：:ZVlBC是等边三角形，

ΛZΛ=ZB=ZC=60o,

,JDEVAC,EFLAB,FDLBC,

：.NAFE=NBDF=NoEC=90°,

.,.ZΛEF=90o-N4=30°,NBFD=90°-ZB=30o,NEDC=90°-ZC=30o,

二NOFE=180°-ZAFE-ZBFD=60o,ZFDF=180o-NBDF-NEDC=6Q°,NDEF=I80°-ZDEC-

NAEF=60°,

NDFE=NFDE=/DEF=60°,

：.ADFE是等边三角形,

：.DF=EF,XABCsXDEF、

在RtZ∖BO尸和RtZ∖AFE中，ZBFD=ZAEF==30°,

：.BD：DF：BF=L√3:2,AF：EF=I:√3,

：.AF：DF：BF=I:VS：2,

.DF.√3

•∙,

AB3

∖∙MABCSXDEF,

sA≡=(ɪ)2=(近)2=工

S∙∆ABCAB33

「△ABC的面积为48,

/.ZVJEF的面积=16,

故答案为：16.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的

关键.

15.(2022秋•徐汇区期末)如图，在RtaABC中，ZA=90o,AB=AC=2,将线段BC绕点8逆时针旋转α°(0

<a<180)得到线段BZX且A£>〃BC,则AO=_遍-&或述

【分析】根据要求画出图形，分两种情形分别解直角三角形求出BE,BF即可解决问题.

作4∕:∖LBC于尸，DELBCTE.则四边形AFEO是矩形.

：.AF=DE,NDEB=90°,

'：AB=AC,/8AC=90°,AFlBC,

：.BF=CF,

：.AF=^BC,

2

•：BC=BD,AF=DE,

；.DE=LBD,

2

；.NDBE=30°,

"：BD=BD',

：.NBDD'=NBD'0=30°,

：.ZD'B'0=120°,

：.NDIBC=ND'BD+NDBE=120°+30°=150o,

.∙.满足条件的a的值为30°或150°.

∖,AB=AC=2,

：.BC=N

J.AF=BF=DE=42,

:.BE=MDE=E,

/.AD=Vs-V2,AD'=2(√6-V2)=Vβ+,∕2.

故答案为：血-我或遍啦.

【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构

造直角三角形解决问题.

16.(2022秋•青浦区校级期末)如图，在RtAABC中，NACB=90°,AC=I,tan∕C4B=2,将AABC绕点A旋

转后，点B落在AC的延长线上的点。，点C落在点E,Z)E与直线BC相交于点F,那么CF=_近二1_.

【分析】根据已知条件得到BC=AC∙tan∕CAB=2,根据勾股定理得到康ɪ=√g,根据旋转的性

质得到AO=AB=√至，ND=NB,根据三角函数的定义即可得到结论.

【解答】解：如图，丫在RtZ∖ABC中，∕AC8=90°,AC=I,tan∕C48=2,

SC=AC∙tanZCAB=2,

ΛΛB=VAC2+BC2=娓,

：将AABC绕点A旋转后，点B落在AC的延长线上的点D,

ΛAD=AB=√5,ND=NB,

VAC=L

/.CD=Vs-1,

VZFCD=ZACB=90o,

ΛtanD=tanZC4β=-^5.=2,

CF

：.CF=娓Y,

2

故答案为：返二1.

2

【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正确的画出图形是解题的关键.

17.（2022秋•黄浦区期末）如图，在矩形ABC。中，过点。作对角线AC的垂线，垂足为E,过点E作BE的垂线,

交边AD于点F,如果AB=3,BC=5,那么。尸的长是_9_.

【分析】利用矩形的性质求出AC,利用三角形的面积、勾股定理求出OE、CE的长，再利用等角的余角相等说

明N84E=∕AOE∖NAEB=NDEF,得ADEFsABEA,最后利用相似三角形的性质得结论.

【解答】解：：四边形ABeQ是矩形，

.∙.∕A8C=NAOC=90°,AB=CD=3,BC=AD=5,AB//CD,

.∙.AC=^AB2+BC2=^32+52=√34.

'.'S^ADC=-AD∙CD=^AC∙DE,

22

...O

34

,JDEVAC,

.3而可?=M一咛）2=呼

J.AE=AC-CE^25λ^-.

34

,,,AB∕∕CD,

.".ZBAE=ZDCA.

VZDCA+ZCDE^ZCDE+ZADE=90o,

ΛZBAE=NADE.

•：BELFE,DEVAC,

；.NFEA+NAEB=NDEF+NFEA=90°.

：.ZAEB=ZDEF.

.'.∆DEF^∆BEA.

.DF=DE=I

"ABAE?,

.∙.DF=-×3^-.

55

故答案为：1.

5

【点评】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性质与判定、三角形的内角和定理及勾股定理是解决本

题的关键.

18.（2022秋•黄浦区期末）将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片,

如果所得四边形纸片ABC。如图5所示，其中NA=NC=90°,AB=7厘米，BC=9厘米，CQ=2厘米，那么

原来的直角三角形纸片的面积是54或毁平方厘米.

3—

【分析】分两种情况讨论，由勾股定理求出4。长，由三角形面积公式求出四边形ABCD的面积，由相似三角形

的性质，即可解决问题.

【解答】解：(1)分别延长CD,BA交于M,连接50,设aMBC的面积是S(CM?),

U

I、

：ZC=ZDAB=90°,

∙.DC2+BC2=AB2+AD2=BD2,

∙.22+92=72+ΛD2,

,.AD=6(cm),

•.△AOB的面积=工AQ∙A3=∙1X6X7=21(CHI2),ZV)C8的面积=」OC∙BC=∙lx2X9=9(cm2),

2222

,.四边形ABCZ)的面积=21+9=30(cm2),

♦.△DMA的面积=(S-30)(c∕n2),

：ZM=ZM,ZMAD=ZMCB,

,.∕∖MDA^^MBC,

⅛=φ2=⅛)2=f

bΛMBCBC39

•S-30-4

∙-S-9^'

∙.S=54(cw2).

(2)分别延长AZ),BC交于N,设ANAB的面积是S'(Cm2),

由(1)知四边形ABCC的面积=30(CTM2),

"."ZN=ZN,ZNCD=ZA=90°,

：.ANCDsANAB,

.∙.⅛L=(吗2=(Z)2=2

SZkNABAB749

.S'-30L4

..-S7-49^1

ΛS,=—(CTn2),

3

/.原来的直角三角形纸片的面积是54”?或毁a??.

3

故答案为：54或强.

3

【点评】本题考查相似三角形的应用，关键是应用相似三角形的性质，分两种情况讨论.

19.(2022秋•徐汇区期末)在RtZXABC中，/8=90°,ZBAC=30o,BC=I,以AC为边在aABC外作等边4

ACD,设点E、尸分别是AABC和AACO的重心，则两重心E与F之间的距离是近.

一3一

【分析】取AC中点0,连接OB、OD、BD、EF.根据含30度角的直角三角形的性质求出AC=28C=2,利用

勾股定理得出AB=JE,根据等边三角形的性质得出CZ)=AZ)=AC=2,NcAo=60°,那么NBAz)=/BAC+

ZCAD=90°,利用勾股定理求出30=J7.然后证明AEOFS2∖8OO,得出EF=』8Z)=近.

33

【解答】解：如图，取AC中点0,连接OB、OD,BD、EF.

在RtZiABC中，/8=90°,NBAC=30°,BC=I,

.".AC-2BC=2,AyAC2_二,2=«2_

∙∙,Z∖A8是等边三角形，

：.CD=AD^AC^2,

：.ZCAD=60°,

：.NBAD=NBAC+NC4O=90°,

MBD=JAB2+AD2=43+4=V7.

；点E、F分别是AABC和AACZ)的重心，

•OE^OF

"OBOD3"

又NEoF=NBOD,

：.丛EOFS丛BoD,

•EF=OE=OF=1

^,BDOBOD3^,

：.EF=LBD=®.

33

故答案为：YZ.

3

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形重

心的定义与性质，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键.

20.（2022秋•徐汇区期末）如图，在RtZXABC中，NC=90°,AB=10,AC=S,。是AC的中点，点E在边AB

上，将AAOE沿OE翻折，使得点A落在点A'处，当A'ELAB时，则4'A=空巨或生反.

—5—5―

【分析】分两种情形分别求解，作。于巴连接AA'.