2014-2023年北京高考真题和模拟题：平面解析几何（选择填空题）（解析版）

大数据之十年高考真题(2014-2023)与优质模拟题(北京卷)

专题11平面解析几何(选择填空题)

真题汇总A/

1.12023年北京卷06】已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线久=-3的距离为5,则|MF|=

()

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

因为抛物线C:y2=8%的焦点尸(2,0),准线方程为x=-2,点M在。上，

所以M到准线％=—2的距离为|MF|,

又M到直线x=-3的距离为5,

所以|MF|+1=5,故|以F|=4.

故选：D.

2.【2022年北京卷03】若直线2x+y—1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴，则a=()

A.—B.—C.1D.-1

22

【答案】A

【解析】

由题可知圆心为(a,0),因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a+0-l=0,解得a=/

故选：A.

3.【2021年北京51双曲线C:^-3=1过点(注,再)，且离心率为2,则该双曲线的标准方程为()

A.产_竺=1B.^-y2=lC.%2一型=iD.运—y2=i

33z33J

【答案】A

e=£=2,则c=2a,b=y/c2-a2=>/3a^则双曲线的方程为三一三=1，

Qaz3az

将点(短声)的坐标代入双曲线的方程可得专一W=2=1，解得a=1,故6=6,

因此，双曲线的方程为小一”=1.

3

故选：A.

4.【2021年北京9】已知圆C:/+y2=%直线］：y=依+TH,当k变化时，/截得圆C弦长的最小值为2,

则m=()

A.±2B.+V2C.+V3D.+V5

【答案】C

由题可得圆心为(0,0),半径为2,

则圆心到直线的距离d=燥，

V/c2+l

则弦长为2

7fc2+i

则当k=0时，弦长取得最小值为2V4—m2=2,解得m=±百.

故选：C.

5.【2020年北京卷05】已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为().

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】

设圆心C(工,y),则y/(x-3)2+(y-4)2=1,

化简得(x-3/+(y-4尸=1,

所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，

当且仅当C在线段OM上时取得等号，

故选：A.

6.【2020年北京卷07】设抛物线的顶点为0,焦点为F,准线为2.P是抛物线上异于。的一点，过P作PQ1Z

于Q,则线段FQ的垂直平分线().

A.经过点。B.经过点P

C.平行于直线OPD.垂直于直线OP

【答案】B

【解析】

如图所示:

因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，\PQ\=\PF\,所以

线段FQ的垂直平分线经过点P.

故选：B.

%2

7.【2019年北京文科05】已知双曲线f•-）2=1（〃>0）的离心率是有，贝lj〃=（）

1

A.V6B.4C.2D.-

2

工2

【答案】解：由双曲线我-）三（心°）,得鼻,

c2a2+b2a2+l

又e=[=V5,得-7=5,即a2--5，

aMa2

解得Q2=1,=

4aL

故选：D.

x2y21

8.【2019年北京理科04］已知椭圆=+*=1（a>人>0）的离心率为一，则（）

a2b22

A.a2=2/?2B.3。2=4/C.a=2bD.3a=4b

c1c21a2—b21

【答案】解：由题意，—=；，得-7则；—=71

a2a24a24

4a2-4b2=a2,即3/=4/72.

故选:B.

9.【2016年北京文科05］圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线>=》+3的距离为（）

A.1B.2C.V2D.2>/2

【答案】解：；圆（x+1）2+）2=2的圆心为（-1,0）,

二圆（X+1）2+）2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：

V2

故选：C.

10.【2015年北京文科02】圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()

A.(x-1)~+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+-l)2=1

C.(jc+l)2+(>•+1)2=2D.(X-1)2+(y-1)2=2

【答案】解：由题意如圆半径厂或，

二圆的方程为(x-I)2+(y-1)2=2.

故选：D.

11.【2014年北京文科07】已知圆C：(x-3)2+(厂4)2=1和两点A(-m,0),B(m,

若圆C上存在点P,使得NAPB=90。，则机的最大值为()

A.7B.6C.5D.4

【答案】解：圆C：(x-3)2+(厂4)2=1的圆心C(3,4),半径为1,

•.•圆心C到。(0,0)的距离为5,

圆C上的点到点O的距离的最大值为6.

再由NAPB=90。可得，以为直径的圆和圆C有交点，

可得。0=948=机，故有“E6,

故选：B.

12.[2023年北京卷12]己知双曲线C的焦点为(一2,0)和(2,0),离心率为迎，则C的方程为

【答案】百一些=1

22

令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a,4显然双曲线C的中心为原点，焦点在X轴上，其半焦距c=2,

由双曲线C的离心率为得々=解得Q=则b=—Q2=y/^,

所以双曲线C的方程为日一1.

22

故答案为：次一生=1

22

13.【2022年北京卷12】已知双曲线y2+《=i的渐近线方程为”±日％,则爪=.

【答案】-3

【解析】

解：对于双曲线y2+兰=1,所以6<0,即双曲线的标准方程为y2—W=1,

则a=l,b=Q,又双曲线y2+\=1的渐近线方程为丫=±?力

所以2=立，即一==在，解得巾=一3；

b3V-m3

故答案为：一3

14.【2021年北京12】已知抛物线C:y2=4x,焦点为尸，点M为抛物线C上的点，且|尸”|=6,则M的横坐

标是;作MNlx轴于N,则S“MN=.

【答案】54V5

因为抛物线的方程为必=4x,故p=2n.F(l,0).

因为|MF|=6,工”+々=6,解得%”=5,故y”=±2遥，

所以SAFMN=：义(5-1)x2遍=4而，

故答案为：5,4V5.

15.【2021年北京13】若点P(cos0,sin。)与点<2(85(0+力,5也(。+》)关于、轴对称，写出一个符合题意的

6=—.

【答案】g(满足"驾+kTT,kez即可)

P(cos仇sin9)与Q(cos(B+，sin(H+》)关于,轴对称，

即仇8+3关于y轴对称，

6+-+0=IT+2kn,kEZ,

6

则。=/OT+工，kez,

当％=0时，可取。的一个值为等

故答案为：工(满足6=Mr+.,kez即可).

16.【2020年北京卷14】已知双曲线C:1—：=1,则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近

63

线的距离是.

【答案】(3,0)V3

【解析】

在双曲线C中，a=V6,b=®则c=Va2+b2=3,则双曲线C的右焦点坐标为(3,0),

双曲线C的渐近线方程为y=±号x,即*±何=0,

所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为岛=71

故答案为：(3,0)；V3.

17.【2019年北京文科11】设抛物线y2=4x的焦点为尸，准线为/,则以尸为圆心，且与/相切的圆的方程

为-.

【答案】解：如图，

抛物线/=4x的焦点为尸(I,0),

•••所求圆的圆心凡且与准线x=-I相切，，圆的半径为2.

则所求圆的方程为(x-1)2+y2=4.

故答案为：(X-1)2+J2=4.

%2y242y2

18.【2018年北京理科14】已知椭圆M：—4-77=1(«>/j>0),双曲线M丁一%=1.若双曲线N的

a2bzmzn2

两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率

为；双曲线N的离心率为

XVXv

【答案】解：椭圆M：丁+逅=1（a>b>0）,双曲线M―--—=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆

M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，

QC23c213

可得椭圆的焦点坐标（C,。）,正六边形的一个顶点丁,可得而+方=1,可得/+

4(专T)一L

可得8/+4=0,«£(0,1),

解得<?=V3—1.

同时，双曲线的渐近线的斜率为代，畔3

口n2m2+n2

可得：蔽=3,即uri7^=4,

可得双曲线的离心率为6=

故答案为：国—1；2.

19.【2018年北京文科10】已知直线/过点（1,0）且垂直于X轴.若/被抛物线尸=4融截得的线段长为

4,则抛物线的焦点坐标为.

【答案】解：・・,直线/过点（1,0）且垂直于工轴,

・・X=1t

代入到/=可得丁=4小显然4>0,

Ay=±2\/a,

・・・/被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,

4y/a=4,

解得a=l，

；・y2=4x,

・・・抛物线的焦点坐标为（1,0）,

故答案为：（1,0）

久2y2yTc

20.【2018年北京文科12］若双曲线二一一=1（〃>0）的离心率为二，则。=

a242

x2y2V5

【答案】解：双曲线方一二=1（4>0）的离心率为三，

a242

a2+45

可得：一丁=：，解得。=4.

a24

故答案为：4.

21.【2017年北京理科09】若双曲线/一5=1的离心率为百，则实数胆=.

2

【答案】解：双曲线/一卷=1（m>0）的离心率为次,

-xaVl+mr-

可得：------V3,

1

解得m=2.

故答案为：2.

22.【2017年北京理科14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中4•的横、

纵坐标分别为第/名工人上午的工作时间和加工的零件数，点3的横、纵坐标分别为第，・名工人下午的工作

时间和加工的零件数，i=l,2,3.

（1）记R•为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q,。2,。3中最大的是.

（2）记必为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi,〃3中最大的是

一零件数（件）

A1

Bi

A*1

•Bi

A•3

°工作时间（小时）

【答案】解：（1）若。，为第，名工人在这一天中加工的零件总数，

。1=4的纵坐标+8i的纵坐标；

Qi=Ai的纵坐标+82的纵坐标，

。3=43的纵坐标+83的纵坐标，

由已知中图象可得：。1,。2,。3中最大的是。1，

（2）若仅为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，

则pi为中点与原点连线的斜率，

故pi,22,P3中最大的是P2

故答案为:Ql,P2

23.【2017年北京文科10】若双曲线/-哈=1的离心率为遮，则实数片

【答案】解：双曲线/-•卷=1（桁>0）的离心率为百，

解得"7=2.

故答案为：2.

XV

24.【2016年北京理科131双曲线f■-三■=1(a>0,6>0)的渐近线为正方形O42C的边OA,OC所在

a2b2

的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形O4BC的边长为2,则。=

【答案】解：•••双曲线的渐近线为正方形0A8C的边04,0C所在的直线，

...渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为

即a=b,

,：正方形OABC的边长为2,

：.OB=2V2,即c=2也

则a2+b2—ci—8,

即2/=8,

则/=4,a=2,

故答案为：2

25.[2016年北京文科12】已知双曲线混--=1(67>O,Z?>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(遍,

0),则a=,b=.

%2y2

【答案】解：；双曲线。一彳=1(a>0,/7>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(遍，0),

a2b2

(Va2+b2=V5

解得〃=1,b=2.

故答案为：1,2.

%2

26.【2015年北京理科10】已知双曲线和一/=1(a>0)的一条渐近线为遮x+y=0,则“=

az.

x

【答案】解：双曲线/一），2=1的渐近线方程为y=',

由题意可得工=V3,

a

解得许辛

故答案为：y.

27.【2015年北京文科12】已知（2,0）是双曲线/-彳=1*>0）的一个焦点，则6=

【答案】解：双曲线/-右=1（〃>0）的焦点为（万中，0）,（-VlTF7,0）,

由题意可得^/T不庐=2,

解得b-V3.

故答案为：V3.

y2

28.【2014年北京理科11】设双曲线C经过点（2,2）,且与二一/=1具有相同渐近线，则C的方程为：

4

渐近线方程为.

【答案】解：与一—，=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为一一/=加，（，时0）,

44

•.•双曲线C经过点（2,2）,

.••加=/—22=1-4=—3,

y2y2

即双曲线方程为乙一/=-3,即一一二=1,

4312

对应的渐近线方程为y=±2x,

x2y2

故答案为：~~y=±2x.

312

29.【2014年北京文科10】设双曲线C的两个焦点为（-五,0）,（V2,0）,一个顶点是（1,0）,则C的

方程为.

【答案】解：；双曲线C的两个焦点为（-V2,0）,（V2,0）,一个顶点是（1,0）,

C—V2,4=1,

.•.。的方程为/--«=1.

故答案为：

模拟好题

1.【北京市房山区2023届高三二模】已知双曲线C的方程为?-y2=i,点p,Q分别在双曲线的左支和右

支上，则直线PQ的斜率的取值范围是()

A.(一》》B.(-2,2)

C.(-8,-1)U(1/+8)D.(—00,-2)U(2,+8)

【答案】A

【详解】双曲线应—y2=i的渐近线方程为y=±;K，斜率为±；,

依题意，点P,Q分别在双曲线的左支和右支上，

所以直线PQ的斜率的取值范围是(一^,

故选：A

2.【北京大兴精华学校2023届高三高考适应性测试】实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等

轴双曲线的离心率为()

A.V2B.2C.V3D.3

【答案】A

【详解】依题意可得等轴双曲线中a=b,则c=Va2+b2=42a,

所以离心率e=-=V2.

a

故选：A

3.【北京市通州区2023届高三模拟考试】已知双曲线9-卷=1的一条渐近线方程为y=Rx，则其焦点坐

标为()

A.(0,±2)B.(±2,0)C.(O,±V2)D.(±V2,0)

【答案】B

【详解】令三—总=0,解得双曲线渐近线为y=±后x，即后=日,炉=1，

c=Va2+b2=2,由此可得双曲线焦点坐标为(±2,0).

故选：B

4.【北京市东城区2023届高三二模】已知点在圆C：/+y2=加上，过M作圆C的切线/,贝北的倾

斜角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【详解】由题意得m=1+3=4,

当I的斜率不存在时，此时直线方程为％=1,与圆C:/+y2=4相交，不合题意，

当2的斜率存在时，设切线/的方程为y-V3=fc（x-1）.

则号=2,解得k=一起,

y/1+k23

设，的倾斜角为o°we<180°,

故，的倾斜角为150。.

故选：D

5.【北京市东城区2023届高三二模】已知三条直线尤—2y+2=0,l2：x—2=0,G：x+ky=0将平面

分为六个部分，则满足条件的k的值共有（）

A.1个B.2个C.3个D.无数个

【答案】C

【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，

联立k：x—2y+2=0与—2=0,解得

则将｛*=夕弋入％：x+ky=0中，2k+2=0,解得k=—1,

当b：x+ky=0与，i：x-2y+2=0平行时，满足要求，此时k=一2,

当，3：%+ky=0与，2：%—2=0平行时，满足要求,此时k=0,

综上，满足条件的k的值共有3个.

故选：C

6.【北京市西城区2023届高三二模】已知抛物线C与抛物线外;轨关于y轴对称，则C的准线方程是（）

A.x=—2B.x=2

C.%=-1D.x=1

【答案】D

【详解】抛物线*=4x的准线方程为x=-1,因为抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称，所以两个

抛物线的准线也关于y轴对称，所以C的准线方程是x=1.

故选：D

7.【北京市人大附中2023届高三三模】若两条直线li：y=2x+m,，2：y=2x+n与圆/+y2—4x=0的

四个交点能构成正方形，则|m-n|=（）

A.4A/5B.2710C.2V2D.4

【答案】B

【详解】由题设知：要使4，B,C,。四点且构成正方形4BCD,

.•.正方形的边长等于直线%的距离小则6=甯，

若圆的半径为r,x2+y2—4x=0,即（x—2尸+y?=4,则r=2,

由正方形的性质知：d=y[2r=2企，

*''=2>/2,即有|m-n|=2V10.

故选：B.

8.【北京市通州区2023届高三考前查漏补缺】过直线y=x上的一点P作圆（x-5）2+（y-I）2=2的两条切

线i12,切点分别为4B,当直线k，%关于y=x对称时，线段P4的长为（）

A.4B.2V2C.V6D.2

【答案】C

【详解】如图所示，圆心为C（5,l）,连接CP,

因为直线，1，，2关于y=x对称，所以CP垂直于直线y=X，

故|6|=等=2&,而14cl=夜，

所以|P川=yj\CP\2-MCI2=V6.

故选：c

9.【北京市首都师范大学附属中学2023届高三下旬阶段性检测】已知Fi（-c,0）,F2（c,0）分别是双曲线C：

1一1=1（a>0,b>0）的两个焦点，P为双曲线C上一点，PF】_LPF2且“尸2七=,那么双曲线C

的离心率为（）

A.在B.V3C.2D.V3+1

2

【答案】D

【详解】设双曲线的半焦距为c>0,则国引=2c,

由题意可得：IPFJ=y[3c,\PF2\=c,

因为|PF/—IPF2I=V3c—c=2a，整理得e=；==百+1.

故选：D.

10.【北京市海淀区2023届高三二模】已知动直线2与圆O:/+y2=4交于4,8两点，且乙4OB=120。.若

I与圆(X-2产+y2=25相交所得的弦长为3则t的最大值与最小值之差为()

A.10-4V6B.1C.4V6-8D.2

【答案】D

【详解】由题意可知圆(x—2)2+y2=25的圆心(2,0)在圆O:/+y2=4上，

则当动直线经过圆心，即点4或B与圆心(2,0)重合时，如图1,

此时弦长t取得最大值，且最大值为tmax=2x5=10；

设线段48的中点为C,

在ZkAOB中,由04=0B=2,且4408=120。,则OC=1,

则动直线，在圆合+y2=1上做切线运动，

所以当动直线I与X轴垂直，且点C的坐标为(-1,0)时，如图2,

此时弦长t取得最小值，且最小值为tmin=2XV52-32=8-

所以t的最大值与最小值之差为2.

11.【北京市人大附中2023届高三三模】已知F1，尸2分别为双曲线C：盘右焦

点，过尸2作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M,N两点.若COSNM&N=卷，则C的离心率为()

A.2B.迤C.V5D.-

23

【答案】c

【详解】易知关于X轴对称，令4MQF2=a，cos2a=（，

♦2l/i,5\9.4…242

..cosa=-14—=—,sm2&a=一,..tan4a=..tana=

2\13/131393

故选:c.

12.【北京市海淀区北京大学附属中学2023届高三三模】已知圆O:/+y2=i,直线3x+4y-10=0上动

点P,过点P作圆。的一条切线，切点为4,则|P川的最小值为（）

B.V2C.V3

【答案】C

【详解】圆。：/+y2=i中，圆心O（0Q）,半径r=l

设P（Xo，yo），则3q+4%—10=0,

则|P4|=J|PO|2-12=^x2+y2-1=；J25瑶-60%+84,

当a=1^=（时，|P川min=：/36-60X+84=iV48=V3»

NIn4Y54

故选：c

13.【北京市通州区2023届高三考前查漏补缺】已知F],6分别为双曲线：2一^=1色>0,6>0）的上,

下焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若PFJPF2,tan/PFiF2=1,则双曲线的离心率为（）

【答案】B

【详解】因为PF1IPF2，。为招尸2的中点,

所以|a。|=\OP\,乙Pg=乙F、PO,

所以“。尸2=2”&尸2，又tan"F/2=-•tanzPOF2=

所以e=£=R点==*

故选：B.

14.【北京大兴精华学校2023届高三高考适应性测试】若点P是圆。/+丫2-2%=0上的动点，直线+

丫+1=0与％轴、y轴分别相交于M,N两点，则NPMN的最小值为()

A.—12Ba--6JC-4UD--3

【答案】A

圆C的标准方程为(x-l)2+y2=i,圆心为半径为r=l,

易知直线I交X轴于点所以|MC|=2,

由图可知，当直线PM与圆C相切，且切点位于x轴下方时，4PMN取最小值,

由圆的几何性质可知CP1MP,且|CP|=1则NCMP=g

2o

故4PMN>乙OMN--=H--=—.

64612

故选：A

15.【北京市第四中学2023届高三数学保温测试】已知抛物线Oy?2Px(p>0)的焦点为产，准线为I,点4

是抛物线C上一点，4DJLE于。.若4F==60。，则抛物线C的方程为()

A.y2=8xB.y2=4x

C.y2=2xD.y2=x

【答案】C

抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F&0),准线，:x=-^

又抛物线的定义可得|4F|=|4。|,又ND4F=60。，所以△DAF为等边三角形，

所以|DF|=\AF\=2,Z.DFM=60°

所以在Rt△/)/=1”中，\DF\=2\MF\=2p=2,则p=1,所以抛物线C的方程为y?=2x.

故选：C.

16.[2023届北京市海淀区教师进修学校附属实验学校高考三模】若双曲线3=1的渐近线的方程为y=

±2x,贝ijm=.

【答案】4

2

【详解】因为双曲线方程为匕一/=1，所以m>0,

m

则渐近线方程为y=±giix,所以，记=2,则m=4.

故答案为：4

17.【北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2023届高三零模】已知抛物线C经过第二象限，且其焦点

到准线的距离大于2,请写出一个满足条件的C的标准方程.

【答案】x2=8y(或/=my(m>4)或y?=nx(n<—4)任写一个即可).

【详解】设抛物线的标准方程为"=2py(p>0),

由题意知，焦点到准线的距离P>2,

所以2P>4,可取2P=8,

则抛物线的标准方程为/=8y.

故答案为：x2—8y(或/-my(m>4)或/_nx(n<—4)任写一个即可).

18.【北京市通州区2023届高三模拟考试】抛物线C：y2=4x的焦点为凡点4(x。/。)在抛物线C上，且

点A到直线x=-4的距离是线段4F长度的2倍，则殉=.

【答案】2

【详解】由题意可得：抛物线C：y2=4乂的焦点为尸(1,0),准线为％=-1,

注意到X。>0,可得|4F|=X。+1,点4到直线x=-4的距离为X。+4,

则&+4=2(x0+1),解得沏=2.

故答案为：2.

19.【北京市丰台区2023届高三二模】在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹

均可近似看作是抛物线的一部分.这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分

(如图中虚线所示)，称该条抛物线为安全抛物线.若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米，碎片

距离爆炸中心的最远水平距离为80米,则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为米.

【详解】以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面为x轴，建立平面直角坐标系,

设抛物线方程为/=-2py,

由题意得/(80,-40),将其代入抛物线方程得6400=80p,

20.【北京市第一。一中学2023届高三三模数学统考】已知分别是双曲线C：2—9=l(aK0)的左右焦

点，P是C上的一点，且|P"|=2|PFz|=16,则APF1F2的周长是.

【答案】34

【详解】因为|P&|=2\PF2\=16,所以|PR|=16,|P尸2I=8,

故|PFJ—|PFzl=16—8=8=2a,则a=4,

又Z?2-9,故c?=a2+b2=25,则c-5,F/zl=2c=10.

所以△P&F2的周长为|PFJ+\PF2\+\FrF2\=16+8+10=34.

故答案为：34.

21.【北京市人大附中2023届高三三模】已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与该抛物

线交于A,B两点，\AB\=10,AB的中点横坐标为4,则「=.

【答案】2

【详解】由抛物线定义知：|4B|=/+&+p=10,而A8的中点横坐标为4,即若里=4,

所以8+p=10,即p=2.

故答案为：2

22.【北京市陈经纶中学团结湖分校2023届高三零模】双曲线C：/-马=1的渐近线与直线x=1交于A,

b2

8两点，且|AB|=4,那么双曲线C的离心率为.

【答案】V5

【详解】由双曲线的方程可得a=1,且渐近线的方程为：y=±bx,

与x=1联立可得y=+b,所以|AB|=\2b\,

由题意可得4=2|b|,解得闻=2,又c2=a2+b2,

所以双曲线的离心率e=：=J孚=芹=店

故答案为：V5-

23.【北京市朝阳区2023届高三一模】经过抛物线/=4y的焦点的直线与抛物线相交于A,B两点，若|AB|=4,

则△OAB(O为坐标原点)的面积为.

【答案】2

【详解】由题意知，抛物线/=4y的焦点F(0,l),设AQi，yi),B(x2,y2),直线A8：y=kx+l,

联立方程｛［二L消去x可得y2-(2+4i)y+1=0,A=(2+4k2)2-4=16/c4+16k2>0,

2

韦达定理得yi+y2=2+4k,y1y2=1,

2

因为|AB|=\AF\+\FB\=yi+y2+2=24-4k+2=4,所以H=o,即k=0,

所以直线A8：y=l,所以点。到直线A8的距离为|OF|=1,

所以又如=1|OF|•|4B|=：x1X4=2.

故答案为：2

24.【北京市海淀区2023届高三一模数学试题查漏补缺】已知双曲线C:^-，=1的一条渐近线方程为旷=

V3x，则双曲线C的离心率为.

【答案】2

【详解】双曲线。1―4=1的渐近线方程为丫=±^x,

a2b2a

所以3=百，所以双曲线c的离心率为e=；=J1+©)2=万百=2・

故答案为：2.

25.【北京大兴精华学校2023届高三高考适应性测试】已知抛物线顶点在原点，焦点为F(l,0),过F作直线

，交抛物线于4、B两点，若线段2B的中点横坐标为2,则线段AB的长为

【答案】6

【详解】尸(1,0)是抛物线y2=4x的焦点,

••.准线方程％=-1,

设4(%1g1),8(*2，、2)线段AB的中点横坐标为2,•••xx+x2=4.

\AB\=\AF\+\BF\=%+1+&+1=6,二线段48的长为6.

故答案为：6.

26.【2023届北京市海淀区教师进修学校附属实验学校高考三模】抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=

值(％-1)与C交于A,B两点，则|4F|:|BF|的值为.

【答案】3雪

【详解】抛物线C:y2=4x的焦点F(l,0),准线为x=—l,

(y2=4x整理得3*2一io*+3=o,

ly=V3(x-1)

解之得x=3或尤=[,则4(3,2百),80,一：b)或40，一|b),8(3,2行)

则MF|=3+1=4,\BF\=1+1=(或|4月=g+1=g,|BF|=3+1=4,

贝=3或|4F|:|BF|=：

故答案为：3或1

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27.【北京市北京师范大学附属实验中学2023届高三数学零模】已知双曲线左-标=19>0,"0)与直线

y=2x没有公共点，则该双曲线的离心率e的最大值是.

【答案】西

2

【详解】由双曲线方程写一马=l(a>0,b>0)可得其渐近线方程为y=±凯

若双曲线与直线y=2x没有公共点，则须满足2式会即0<34点

所以离心率e=；=手孚=口号^口1=字

即双曲线的离心率e的最大值是它.

2

故答案为：在

2

28.【北京市中国人民大学附属中学2023届高三统练】设双曲线E：q=l(a>0,b>0)的两个焦点为&、

F2，点P是圆％2+y2=4a2与双曲线E的一个公共点，4尸止尸2=60。，则该双曲线的离心率为.

【答案】V2

【详解】由题意知，点P在双曲线E上，不妨取设|PF/=m,仍无|=n

则由双曲线的定义知，m-n=2a,①

因为。为F1B的中点，

所以2万=丽+恒，

所以4万2=两”+耐2+2两•%，

又因为点P在圆/+y2=4a2上，所以|PO|=2a,

所以4x4a2=m2+n2+2mncos600,

即：16a2=(m—n)2+3nm,②

又因为在APFIFZ中，由余弦定理得：cos/FiPF?—cos60°="V:二管-，即：(m—n)2+mn=4c2>③

由①②③得c2=2。2,所以6=£=症.

a

故答案为：V2-

29.【北京市第八十中学2023届高三热身考试】对于平面上点P和曲线C,任取C上一点Q,若线段PQ的长

度存在最小值，则称该值为点P到曲线C的距离，记作d(P,C).下列结论中正确的是.

①若曲线C是一个点，则点集。=｛P|d(P,C)W2｝所表示的图形的面积为4n；

②若曲线C是一个半径为2的圆，则点集。=｛P|d(P,C)<1｝所表示的图形的面积为9ir；

③若曲线C是一个长度为2的线段，则点集。=仍同(「,041｝所表示的图形的面积为11+4；

④若曲线C是边长为9的等边三角形，则点集。=｛P|d(P,C)<1｝所表示的图形的面积为54+7T-36.

【答案】①③④

【详解】设点P(x,y),

对于①，若曲线C表示点(a,b),则d(P,C)=y/(x-a)2+(y-b)2<2，

化简可得(x-a)2+(y-b)2<4,

所以，点集。=?|4(2,042｝所表示的图形是以点(见与为圆心，半径为2的圆及其内部,

所以，点集。=｛尸|或。，032｝所表示的图形的面积为“*22=471,①对；

对于②，若曲线C表示以点M(a,b)为圆心，半径为2的圆，

设Q为曲线C上一点，当点P在曲线C内时，

画|^[MQ-MP\>\MQ\-\MP\=2-|研，

当且仅当Q、P、M三点共线时，等号成立，

所以，d(P,C)=2-\MP\<1,可得此时141Mpi<2；

当点P在曲线C外时，|所|=\MQ-MP\>\MP\-\MQ\=\MP\-2,

当且仅当Q