平行线的性质（单元教学设计）大单元教学人教版七年级数学下册

5.3平行线的性质(单元教学设计)

一、【单元目标】

通过实际操作，引导学生动手画出两条平行线，再画出一条直线截取这两条平行线，然

后拿出量角器测量一下所形成的八个角，对比一下度数关系，就可以得到结论；通过学生的

自己动手操作，培养学生的思考能力，拓展基础知识的应用，加深学生对基础知识概念的理

解，激发学生的学习兴趣；

(D通过具体的实验操作，让学生发现同位角、内错角、同旁内角的度数关系，从而

上升到结论，得到平行线的性质，这样可以锻炼学生对概念的理解，从不断的试验过程中理

解平行线的性质，从而熟练运用平行线的性质；

(2)通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生

的数学抽象素养，进一步发展了学生的类比推理素养；

(3)通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑

推理素养；

(4)在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转

化的数学思想，同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；

(5)通过不断地试验，提高学生的观察事物的能力，同时激发学生的学习兴趣，提升

学生的人文素养；

二、【单元知识结构框架】

(两直线平行，同位角相等

平行线的性质(两直线平行，内错角互补

(两直线平行，同旁内角互补

命题、证明、定理

三、【学情分析】

1.认知基础

平行线的性质是运用平行线关系的基础，也是后面几何证明过程必须掌握的知识点；因

此通过试验的方式培养学生的动手能力，加强对概念的理解，可以帮助学生在之后的性质应

用上更加灵活；

2.认知障碍

平行线的性质可以通过试验的方式加强对概念的理解，但相对来说还是比较抽象，因此

学生在运用性质的时候，直接运用的比较熟练，一旦需要多次运用平行线的性质，或者需要

其他条件再用平行线的性质此类题型，学生会把握不住方向，从而导致证明过程无法继续；

四'【教学设计思路/过程】

课时安排：约2课时

教学重点：理解平行线的性质并会进行相关的证明，掌握平行线的性质与判定之间的

区别联系；

教学难点：平行线的性质与判定的综合运用；运用平行线的性质进行推理证明；了解

真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对命题举反例；

五、【教学问题诊断分析】

5.1.1平行线的性质验证

问题1:同学们，前面我们已经学过了平行线的判定，那两条平行线被第三条直线所截，

所形成的同位角、内错角和同旁内角又有什么样的关系呢？

【破解方法】通过画出两条平行线，再画出一条截线，我们可以通过拿量角器测量各个

角的度数，从而得到同位角、内错角和同旁内角的关系；

问题2：如图，AB//CD,BE//DF,NA65：求的度数.

【破解方法】已知平行线求角度，应根据平行线的性质得出同位角相等，内错角相等,

同旁内角互补.再结合已知条件进行转化.

【解析】'：AB//CD,：.ZBED=NB=65°.'：BE//FD,：.ΛBED+∠Z?=180°,：.乙D=

180o-NBED=I80°-65°=115°.

问题3：（平行线与角平分线的综合应用）如图，DB//FG//EC,NACE=36。`4户平分

NBAC,Z.PAG=W,求N/8D的度数.

【破解方法】（1）利用平行线的性质可以得出角之间的相等或互补关系，利用角平分线

的定义，可以得出角之间的倍分关系；（2）求角的度数，可把一个角转化为一个与它相等的

角或转化为已知角的和差.

【解析】•：FG//EC,.∙.ZCAG=ZACE=36°.：.ΛPAC=ΛCAG+ΛPAG=36°+12°=

48°「：AP平分NBAC,：./BAHZPAC=48°」；DB〃FG,：.ZABD^ZBAG=ZBAP+ZPAG

=480+12°=60°.

问题4:（平行线性质的探究应用）如图，已知N48C请你再画一个/比之,有DE"AB、

EF//BC,且如交8C边与点A探究：N/8C与N胶有怎样的数量关系？并说明理由.

【破解方法】画出满足条件的图形时，必须注意分情况讨论，即把所有满足条件的图形

都要作出来.

【解析】N4外与NO标的数量关系是相等或互补.理由如下：如图①，因为DE〃AB,

所以NZfW=又因为EF//BC,即以NDEF=NDPC,所以N∕86l=N阪如图②，因为

DE//AB,所以/48。+/〃阳=180°.又因为&_〃兜，斫以NDEF=NDPB,所以N48C+N叱

=180°.故N48C与N叱的数量关系是相等或互补.

5.1.2平行线的性质与判定及其综合应用

问题5：（先用判定，再用性质）如图，C,。是直线熊上两点，Z1+Z2=180o,DE

平分乙CDF,EF//AB.

E'

(1)如与加"平行吗？为什么？

(2)若NDCF=I30°,求N际的度数.

【破解方法】根据题目中的数量找出各量之间的关系是解这类问题的关键.从角的关系得到

直线平行用平行线的判定，从平行线得到角相等或互补的关系用平行线的性质，二者不要混

淆.

【解析】(I)CE〃〃氏理由如下：∙.∙∠1+∠2=180o,Nt+NOCE=I8。°,N2=N

DCE,：.CE//DF-,

(2)-：CE//DF,NOCE=I30°,：.NCDF=∖8Q°-NOCE=I80°-130°=50°.；龙■平

1

分N⑺尸，.∙.NCDE=,/CDF=25°.；EF//AB,：.ZDEF=ZCDE=25°.

问题6：(先用性质，再用判定)如图，已知DF〃AC,NUN。，然与劭有怎样的位

置关系？说明理由.

【破解方法】解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内

【解析】宏〃能.理由如下：；分〃/4C,NO=N∕8ZZ∙.∙NC1=NA,N48D=NC,.∙.

CE//BD.

问题7：(平行线性质与判定中的探究型问题)如图，AB//CD,E,尸分别是48,CDN

间的两点，且NBAF=2NEAF,4CDF=2NEDF.

(1)判定Nfi4E,Ne如与N4口之间的数量关系，并说明理由；

(2)//也与/力出之间有怎样的数量关系？

D

【破解方法】无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题

分解到简单模型中，问题便迎刃而解.

【解析】（1）=N班E+N缈E理由如下：如图，过点、E蚱EGUAB.∙:AB"CD、：.

AB//EG//CD,：.NAEG=NBAE,NDEG=NCDE.'：NAED=NAEG+NDEG,NAED=NBAE

+ZCDE-,

（2）同（1）可得NAFgZBAF+NCDF.'：ZBAF=2AEAF,ZCDF=2NEDF,：.ZBAE+N

33333

CDE=-NBAF+-NCDF=~（ZBAF+NCDF）="AFD,.,.NAED=~ΛAFD.

5.1.3命题、定理、证明

问题8：（命题的判断）下列语句中，不是命题的是（）

A.两点之间线段最短

B.对顶角相等

C.不是对顶角不相等

D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线

【破解方法J0命题必须是一个完整的句子,而且必须做出肯定或否定的判断.疑问句、

感叹句、作图过程的叙述都不是命题；②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不

相等”“如果……那么……”.

【解析】根据命题的定义，看其中哪些选项是判断句，其中只有D选项不是判断句.故

选D.

问题9：（把命题写成“如果……那么……”的形式）把下列命题写成“如果……那么……”

的形式.

（1）内错角相等，两直线平行；

（2）等角的余角相等.

【破解方法】把命题写成“如果……那么……”的形式时，应添加适当的词语，使语句

通顺.

【解析】（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；

（2）如果两个角是相等的角，那么它们的余角相等.

问题10：（命题的条件和结论）写出命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条

件和结论.

【破解方法】每一个命题都一定能用“如果……那么……”的形式来叙述.在“如果”

后面的部分是“条件”，在“那么”后面的部分是“结论”.

【解析】把命题写成“如果……那么……”的形式：如果两条直线都与第三条直线平行，

那么这两条直线也互相平行.所以命题的条件是“两条直线都与第三条直线平行”，结论是

“这两条直线也互相平行”.

问题11：（命题的证明）求证：两条直线平行，一组内错角的平分线互相平行.

【破解方法】证明与图形有关的命题时，正确分清命题的条件和结论是证明的关键.应

先结合题意画出图形，再根据图形写出已知与求证，然后进行证明.

【解析】如图，已知AB//CD,直线必被直线椒所截，交点分别为只O,PG平分

/BPQ、QH平侵ZCQP,求证：PG//HO.

证明：∙.Y8"α）（已知），

：2BPQ=ZC8（两直线平行，内错角相等）.

又∙.∕G平分Z882,0〃平分NGe（已知），

11ɪ

：./GPg]∕BPQ'/〃。々,/，"（角平分线的定义）,

.,.ZGPO=/〃8（等量代换），

.∙.PG〃//0（内错角相等，两直线平行）.

问题12：（举反例）举反例说明下列命题是假命题.

（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；

⑵若a6=0,则a+6=0.

【破解方法】举反例时，所举的例子应当满足题目的条件，但不满足题目的结论.举反

例时常见的几种错误：①所举例子满足题目的条件，也满足题目的结论；②所举例子不满足

题目的条件，但满足题目的结论；③所举例子不满足题目的条件，也不满足题目的结论.

【解析】（1）两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；

（2）当a=5,6=0时,ab=O,但a+6手0.

六、【教学成果自我检测】

1.课前预习

设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.

1.如图，点E,B,C,。在同一条直线上，AA=ZACF,NOCF=55。，则/ABE的度

【答案】C

【分析】根据NA=NACF证得AS〃CF,求出/A8C,利用邻补角定义求出-ABE.

【详解】解：ZA=ZACF,

.∙.AB//CF,

.∙.ZABC=ADCF=55°,

：.NASE=180°-ZABC=125°,

故选：C.

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记性质是解题的关键.

2.如图，已知AB〃OE,ZB=20°,/0=130。，那么NBC。等于（）

【答案】B

【分析】过点C作CF〃AB,根据C尸〃AB,得出A8〃C尸〃DE,根据平行线的性质求

出NSCF=N5=20°,ZZX7F=180o-ZD=180o-130o=50o,即可得出答案.

【详解】解：过点C作CF〃AB,如图所示：

.∙.AB//CF//DE,

：.NBCF=ZB=20。,ZDCF=180°-ZD=180°-130°=50°,

.∙.NBCD=ABCF+NDCF=20°+50°=70°,故B正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两直线平行内

错角相等；两直线平行同旁内角互补.

3.如图，直线A8平行直线CO,ZEFD=102°,EG平分ZBEF,则NEGF=（）

A.38oB.39oC.48oD.49°

【答案】B

［分析】根据ABCZ）可知NBEF+NEFD=180°,进而求出ZBEF,再根据EG平分ZBEF

可/BEG,再根据平行线的性质知NEGF=NBEG.

【详解】解：ABCD,

.∙.ZBEF+ZE∕τ>=180°（两直线平行，同旁内角互补），

.∙.NBEF=180o-ZEFD=180o-102°=78°.

EG平分ZBEF,

.∙.NBEG='NBEF=39°.

2

ABCD,

.∙.ZEG尸=ZBEG=39。（两直线平行，内错角相等）.

故选B.

【点睛】本题考查平行线的性质，和角平分线的定义.熟练掌握相关知识点是解题的关键.

［分析］利用平行线的性质证明/D=ZAED=39。,NB+NC=180°,再利用余角的含义求解

NC,从而可得答案.

【详解】解：∙.∙A8〃CDZAE£）=39。，

.∙.ZD=ZAED=39o,ZB+ZC=180°,

∙.∙∕C和NO互余，

ZC+ZD=90o,

.∙.Z.C=90o-39o=51o,

.∙.ZB=180o-ZC=180o-51o=129o.

故答案为：129。.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，互为余角的含义，证明

ND=NAED=39。,Zfi+ZC=I80°是解本题的关键.

5.将一个含有45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个45°角的顶点落在直线a上,

含90°角的顶点落在直线6上.若N2=N15°,则N3的度数为°

【答案】75

【分析】由余角的定义进行计算，即可求出答案.

【详解】解：根据题意，

,.∙Z2+Z3=90o,N2=15°,

z3=90o-15o=75o；

故答案为：75

【点睛】本题考查了余角的定义，解题的关键是掌握余角的定义进行计算.

6.如图，已知Nl=∕2,N3=∕4,Z5=ZA,试说明：BE//CF.

4B

完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：

∙.23=∕4（已知）

AAE//______（______）

JNEDC=N5（______）

∙.∙Z5=ZA（已知）

AZEDC=______（等量代换）

.∙.DC//AB（）

ΛZ5+ZAβC=180o（）

即N5+N2+Z3=18O。

VZ1=Z2（已知）

.∙.Z5+Zl+Z3=180o（）

即N3b+N3=180°

ΛBE//CF（）.

【答案】BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；NA；同位角相等,

两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行.

【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可.

【详解】解：∙.∙∕3=N4（已知）

AAE//BC（内错角相等，两直线平行）

..ZEDC=G（两直线平行，内错角相等）

VZ5=ZA（已知）

,NEDC=ZA（等量代换）

DC//AB（同位角相等，两直线平行）

ΛZ5+ZABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）

BPZ5+Z2+Z3=180o

,.'Z1=Z2（已知）

Z5+Zl+Z3=180o（等量代换）

SPZBCF+Z3=180°

■.BE//CF（同旁内角互补，两直线平行）.

故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；/A;同位角相等，

两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行.

【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答此题的

关键.

2.课堂检测

设计意图：例题变式练.

【变式1】如图，ab,设/I=。，，+©）。，/4=7外,正确的选项是（）

1

2

A.若∕2=N3,则/2=(3团-10)。

B.若N1=N4,则N3=(m+30)o

C.若Nl=2/2=2/3,贝IJ/2=(3，〃)°

D.若Nl=N2=N3,则/2=(5加+20)。

【答案】D

【分析】如图，利用平行线的判定和性质进行求解即可.

【详解】解：如图：NI,Z2,N3,N4的顶点分别为A8,C。，延长AB交直线匕与点E,

当∕2=∠3,则AE〃8,

ZAED=Z4,

".'ab,

ZAED=Zl,

Zl=ZA,即：3zn+40=7∕n,解得：Zn=I0,

.∙.NI=N4=70°；

A、无法求出N2的度数，选项错误，不符合题意；

B、无法求出N3的度数，选项错误，不符合题意；

C、3∕n=30,2/2=60。WNl,选项错误，不符合题意；

D、Z2=(5∕π+20)0=5×10+20=70°=Zl,选项正确，符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.

【变式2】一条两边沿互相平行的围巾按图所示折叠，已知N%8-N48U8°,且DFCG,

贝∣]N"庚2N48C()度.

A.130B.131C.132D.133

【答案】B

【分析】将围巾展开，利用折叠的性质和平行线的性质推导即可.

【详解】解：如图，将围巾展开，

则N4W=N孙ZKCMZBCN,

设N48C=X,则NZM生Λ+8°,

CDAB,

：.ZADM^ZDA^NADeX+8°,

■：DFCG,

：.∕FDC=4KCG≡2x,

，：乙FDC+ZFDM=180",

即2x+2(.×+8°)=180°,

解得产41°,

.∙.ΛDAB^2ΛABO(Λ+8o)+2x=13Γ.

故选：B.

【点睛】本题考查折叠的性质与平行线的性质，根据NRJC+NFDM=1800列方程是解题

的关键.

【变式3】如图，直线“b,Zl=28o,Z2=50o,贝∣]N3=—度，Z3+N4+Z5=—度.

【答案】78360

【分析】过/3的顶点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质，不难发现：？3?1?2,

N3+N4+N5=360°

【详解】解：如图，过N3的顶点作c〃a,

.a∖b,

:.ah∖ct

.∙.Z1=Z6,Z7=Z2,

又N3=N6+Z7,

.∙.Z3=Z1+Z2=78o；

又N4+N6=Z7+Z5=180o,

.∙.z3+Z4+Z5=360o.

【点睛】本题考查了平行线的性质，注意此类题中常见的辅助线：构造已知直线的平行线.根

据平行线的性质发现并证明：？3?1?2；N3+∕4+Z5=36θo.

【变式4】如图，已知Nl=NBQGZ2+Z3=180o.

(1)求证：A£)〃CE；

⑵若DA平分NBL>C,于点4NEAB=55。，求/ABE>的度数.

【答案】(1)见解析

(2)HOo

【分析】(1)根据同位角相等，两直线平行可判定A8〃8,得到N2=ZADC,等量代

换得出NADC+N3=180。，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；

(2)由CEJLAE,AD〃CE得出NZMF=NCM=90°,再根据平行线的性质即可求出

ZADC=N2=35。，再根据角平分线的定义即可得解.

【详解】(1)证明：Nl=NBDC,

.∙.AB//CD,

：.A2=ZADC,

,：Z2+Z3=180o,

.∙.ZADC+N3=180°,

.∙.AD//CE；

(2)解：：CEJ_AE于£,

.∙.ZCEF=90°,

由(1)知A

：.ZDAF=ZCEF=90°,

.∙.ZAIX=Z2=ADAF-ΛFAB,

,：ZFAB=55°,

：.ZADC=35°,

•：DA平分ZBDC,Zl=ZBDC,

.∙.Zl=ABDC=2ZADC=70°,

.∙.ZABD=180o-70o=110o.

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础.

3.课后作业

设计意图：巩固提升.

1.如图，若AD〃BC,ZB=25°,平分/ADE,则NOEC=()

A.25oB.30oC.40oD.50°

【答案】D

【分析】由4"∕8C,N5=25°,根据平行线的性质，可得N/g25°,又由加平分

可求得N力然的度数，继而求得答案.

【详解】解：∙∙∙4V∕8C,N后25°,

.∙.ZXP5=∠β=25o.

,：DB平6乙ADE,

二N>4峪2N初5=50°,

•：AD//BC,

：.NDEC≡∕ADF5Q".

故选D.

【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义.此题难度不大，注意掌握数形结合

思想的应用.

2.如图，将线段CD向上平移到AB的位置，若Nl=134。，则NEoC的度数为（）

A.46oB.54oC.560D.44°

【答案】A

【分析】先求出Nl的对顶角/力勿，在利用两直线平行同旁内角互补，即可求出N⑦C的度

数.

【详解】解：如图，

VZ1=134",

，N4除134°,

∙.∙CD//AB,

.∙.Nfi9α∙2aa80°,

.∙.ZfCZt180o-134°=46°.

故选：A.

【点睛】本题考查了对顶角的性质，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等，内

错角相等，同旁内角互补是解题关键.

3.如图，ABCD,AC平分Ql平分NBC。，点E在4。的延长线上，连接

EC.NECD=NCED,下列结论：®BC//ADi②ZB=NCoA；③AC_LEC；④

ZB=3ZCED.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据平行线的判定定理与性质定理进行逐一判断即可.

【详解】'CAB//CD,

：.Z1≈Z2,N济4BCD=∖80°,

：47平分/仍〃，CA斗假乙BCD、

N2=N3,NI=N4,

Z1=Z2=Z3=Z4,

.,.NB=NCDA,

.∙.NGΩ4+N8aa80°,

.∙.BC∕∕AD∙,

故①②正确；

•：BC//AD,

：.NBC步NCDA=I8Q°,

,:aCDQLEC史乙CED,2ECk4CED,

：.2ZECD≡2ZCE加ZCDA,

'：CA平分/BCD、

：.NI=N4,

.∙.=∣HBC屏ZCDA）=TXl80°=90°,

C-ACS-EC,

故③正确；

'：乙氏乙CDA、2ZCEALCDA、

：「：乙斤2ACED,

故④错误，

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定定理与性质

定理.

4.已知直线“〃%将一块含30°角的直角三角板（NB4C=3O。）按如图所示方式放置,

并且顶点4C分别落在直线a,6上，若/1=20。，则N2的度数是.

【答案】400

【分析】过点8作劭〃a,根据平行线的判定及平行线的性质得到Nl=N48。N2=NC8D,

从而求出度数即可.

【详解】解：如图，过点8作做〃a,

.∙."NABD,

；N1=20°,

.∙.NW=20°,

∙.∙ΛABC≡6Q°,

.∙.ZDBOZABC-ZABD≡AQ°,

■：a//b,

.∖BD∕∕b,

.∙.N2=NO8C40°.

故答案为：40°.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解

题的关键.

5.如图，在长方形中，点E厂分别在力久8C边上，沿直线&折叠后，C、〃两点分

别落在平面内的C'和W处，若N1=70°,贝∣]N2=.

【答案】125°

【分析】根据矩形的性质可得力。〃宓，再利用平行线的性质可得NbW=70°,从而利用

平角定义求出=110°,然后根据折叠的性质可求出Ne任的度数，最后利用平行