2023-2024学年广东省湛江市乐民中学高三数学理月考试题含解析

2023年广东省湛江市乐民中学高一数学理月考试题含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

.,,,,**1(x48,则f(x),h

(x)的奇偶性依次为()

A.偶函数，奇函数B.奇函数，偶函数

C.偶函数，偶函数D.奇函数，奇函数

参考答案：

D

考点：函数奇偶性的判断.

专题：函数的性质及应用.

分析：根据函数奇偶性的定义，根据绝对值的性质，判断f(-x)与f(x)的关系，可

以判断f(x)的奇偶性，分类讨论h(-X)与h(x)的关系，可以判断h(X)的奇偶性

解答：解：Vf(x)=|x+a|-|x-a(aWO),

/.f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-f(x)

Af(x)为奇函数；

，/、f-x2+x(x>0)

h(x)=<

x"+x(x40),

当x>0时，-x<0,

h(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=-h(x),

当x<0时，-x>0,

h(-x)=-(-x)2+(-x)=-x2-x=-h(x)

当x=0时，h(0)=0,也满足h(-x)=-h(x)

故h(x)为奇函数；

故选D

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，其中熟练掌握函数奇偶性的定义是解答的

关键

2.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()

俯视图HE(主)视图♦侧(左)视图-

A.9nB.10KC.11KD.12n

参考答案：

D

略

5兀

3.已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=3对称，则函数y=asinx+cosx的图象关于直线

()

712兀11兀

A.x=3对称B.x=3对称C.x=6对称D.x二五对称

参考答案：

C

【考点】正弦函数的对称性；两角和与差的正弦函数.

【分析】利用两角和的正弦函数化简函数y=sinx+acosx为y=T二^sin(x+4)),

5兀5兀.

tan4)=a,通过函数的图象关于x=3对称，推出3+@=k兀+2,k£z,可求得

7717兀M

6二k兀-6,由此可求得a=tane=tan(k-6)=-3,将其代入函数

y=asinx+cosx化简后求对称轴即可.

【角军答】解：y=sinx+acosx变为1+a2sin(x+6),(令tan6二a)

5兀

又函数的图象关于X=〒对称,

5兀717兀

3+@=k兀+2,k£z,可求得@—k五-6,

7兀返

由此可求得a=tan@=tan(k比-6)=-3,

_近距

函数y二3sinx+cosx=3sin(x+。),(tan0=-V3)

71

其对称轴方程是x+9=k冗+2,k£z,

71

即x=k冗+2—0

JT_

又tan。=-遂，故9=ki兀-3,ki£z

71715兀

故函数y=asinx+cosx的图象的对称轴方程为x=(k-ki)n+2+3=(k-ki)兀+6,

k-ki£z,

11兀

当k-ki=l时，对称轴方程为x=6

故选C.

4.已知函数〃力・(20・1),当用〉同时，/(«)</(«),则实数a的取值范围

是.

参考答案：

3

略

5.若g(x)=2x+l,f[g(x)]=x2+l,贝!Jf(1)=()

A.1B.-1C.3D.2

参考答案：

A

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【分析】利用已知条件求解函数的解析式，然后求解函数值即可.

【解答】解：若g(X)=2x+l,f[g(x)]=x2+l,

可得：f(2x+l)=x2+l,

当x=0时,上式化为：f(2X0+1)=02+l=l.

即f(1)=1.

故选：A.

JxE(x<l)

/(x).S

6.已知[-2A+3(x^1)；则/⑵=()

A、-7B、2C、-1D、5

参考答案：

C

略

7.已知的图象过点M(L2),则函数的反函数的图象必经过

点()

A、(2,1)B、(0,1)C、(2LDD、(2,3)

参考答案:

C

8.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分

钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则

H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是()

参考答案:

B

略

9.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12n,那么

这个正方体的体积是（）

A.«B.C.8

D.24

参考答案：

C

设球的半径为R,贝M尔’=12"，从而氏=石，所以正方体的体对角线为2、万，

故正方体的棱长为2,体积为少=8。

10.已知偶函数在区间单调递减，则满足/（2x-D＞与）的X取值范围是

A.（导B.49C.（第）

12

（-oo.-）U（-.-KJO）

参考答案：

A

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.若两个向量£与G的夹角为0,则称向量“£xi”为“向量积”，其长度

rrrrr——~——

|axb|=|a|?|b|?sin0?.已知网=1,|b|=5,a?k=-4,则|axb|=.

参考答案：

【考点】平面向量的综合题.

【分析】先由W吊=-4,可求向量的夹角仇再代入iWxEl=lW|*|E|"sin8中即可

【解答】解：laiIblcosQ

a'b__44

cos6二•

GllElF5

._3

sinAd——

••,0G[O,兀），••.5

0**§

GxE|Jal“b|・sine=lX5X亍=3

故答案为：3

12.已知Ia|=|b|=|c|=l,且al.b,则(a+b-c)?c的最大值是.

参考答案：

V2-1

【考点】平面向量数量积的运算.

【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；平面向量及应用.

【分析】|a|=|b|=|c|=l,且aLb,不妨设a=(1,0),b=(0,1),c=(cos9,

sine)(eE[o,2n)),代入化简利用三角函数的单调性最值即可得出.

【解答】解：•.11=吊Sa±b,

不妨设a=(L0),b=(0,1),c=(cos0,sin0)(。£[0,2兀))

则(a+b-c)?c=(1-cos0)?cos0+(1-sin9)?sin。=sin0+cos0-

1=回(呜)]<加],

/.(a+b-c)?c的最大值是«-1.

故答案为：V2-1.

【点评】本题考查了三角函数的单调性最值、向量的坐标运算数量积运算性质，考查了推

理能力与计算能力，属于中档题.

13,函数/㈤=如&>0且a*1)恒过定点▲.

参考答案：

।2,11

14.若X"2是方程『+2X-2007-的两根，试求下列各式的值：

(1)'.+W(2)&七(3)(Xi-5)(xa-5)

参考答案:

%I：刀#»一¥展=-2

©*3B；=4+向九4工-必刍=午+4,“'4

Al」犷1

g)%4*:*57^7,7'叼

④区心—力―)+"二3产4加2

略

已知向量15.4=。,4),5=(血《85#,且£_(_I，则tana=

参考答案：

-3

16.已知等比数列满足三=二4,叼=1,数列g»)的前3项和工；，则工‘6

参考答案：

63

~2

17.在AA8C中，内角TSU的对边分别为a,"c,若C=&F,且女曲=25-c\则

i^ABC的面积最大值为.

参考答案：

三力

16

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.求值或化简

(1)求值：sin2120°+cosl80°+tan45°-cos2(-330°)+sin(-210°)

/1+sina11-sinCI

(2)已知a是第三角限的角，化简11-sina_Vl+sina.

参考答案：

【考点】三角函数的化简求值.

【分析】(1)利用诱导公式及特殊角的三角函数，即可得出结论；

(2)利用同角三角函数关系，可得结论.

返Vs11

【解答】解：(1)原式=(2)2-1+1-(T)2-2=-彳；

1+sinCl1-sind2sina

(2)原式二Icosa|-|cos百|=-cosQ-=-2tana.

19.(本小题12分)

1<<31

已知4BC三点的坐标分别是430}口a》Ctcosasina),其中，T.

⑴若网=回，求a的值；

(2)若而•而--1,求27的值.

参考答案:

.解：（本小题12分）B由4（30:5（。3tC（8SC6sina）.得

月。=(cosa-3Wna),BC=(cosessncz-3)..........2分

::

vL4C=BC>二(8sa-3)：-sin：a=cosa(sina-3)f

/.cosa=sina,/.tana=1.,4分

兀3兀5兀

<a<—，，a=---•15分

4

(2)由(1)矢口月。・5C'=(cosa-3sin仪乂80asina-3)

=(cosa-3>cosa-snc£T(sina-3)

=cos-a-3cosa-0tra-3sina

=1-3(cosa-t-sina)».................................7分

vACUBC--1,/.I-3(cosa-sina)=-l,

/.cosa-sin(Z=-8分

3

;.aa

]sin—cos-

(2sin:a-sin2aItan--12sin-a-2sintzcosal--=-------—

a,।a.a.…12分

%!,cos—sin—

\4J

4(sina-cos(z)=号

■3

20.证明：对于任意的口，瓦Gde&,恒有不等式（ac+*ys（J+*）（c'+#）

参考答案：

证明：设F=（aM，y=（c，d）,则河="+刎,同=♦+/拒|=也'+/

而0=KW|cos8,|硼=|冈闾cosjA囱回

即I西归因风得卜C+网4荷+*如+/

：(皿+")2s(J+户)(/+/)

右日『sinx+cosx』

21.已知OVxV打，且满足13.

求:

(i)sinx?cosx；

5sinx+4cosx

(ii)15sinx-7cosx#

参考答案:

【考点】同角三角函数基本关系的运用.

49

【分析】(i)由(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx=169,能求出sinx?cosx.

—<x<H兽、

(ii)由(i)知2,sinx?cosx=-169.从而求出sin-cosx,进而求出

1255sinx+4cosx

sinx=13,cosx=-13,由此能求出15sinx-7cosx.

【解答】解：(i)VO<X<JI,且满足smx+cosxw.

49

/.(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx=169,

60

/.sinx?cosx=-169.

(ii)由⑴知今'<x<兀sinx?cosx=-

匚-------------,]12017

Asin-cosx=V(sinx-cosx)=71-2sinxcosx=Vlh169=13,

sinx+cosx-

125

sinx-cosx,：_17

联立13,解得sinx=13,COSX=-13,

5xlh4X台

5sinx+4cosx15X+7X

"15sinx_7cosx1i=i.

22.(10分)对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”；若f[f

(x)]=x,则称x为f(x)的“周期点”，函数f(x)的''不动点”和“周期点”的集

合分别记为A和B即A=《x|f(x)=x},B={x|f[f(x)=x]}.

(1)求证：A?B

(2)若f(x)=ax2-1(a^R,x6R),且A=B#?,求实数a的取值范围.

参考答案:

考点：集合的包含关系判断及应用.

专题：新定义.

分析：(I)分A二?和AW?的情况，然后根据所给“不动点”和“稳定点”的定义来证

明.

(II)理解A=B时，它表示方程ax?-1=x与方程a(ax2-1)2-1=*有相同的实根，根据

这个分析得出求出a的值.

解答：证明：(1)?x£A,即f(x)=x.

则有f[f(x)]=f(x)=x,xGB

AA?B

(2)Vf(x)=ax2-1

/.f[f(x)]=a(ax2-1)2-1

若f[f(x)]=x,贝!Ja(ax2-1)2-1-x=Oa(ax2-1)2-1-x=a(ax2-1)2-ax2+ax2-x

-l=a[(ax2-1)2-x2]+ax2-x-l=a(ax2-x-1)(ax2+x-1)+ax2-x-1=