2023年函数的表示（教师版）初升高数学暑假衔接

第2.4章函数的概念与性质

2.4.3函数的表示

度］溪理要求了iw求心中有修

1在实际情境中，会依据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析

法）表示函数；

高中要求

2通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；

3掌握求解函数解析式的方法.

3基础知识sasoi,■立完修知识体聚

1函数的表示方法

（1）表格法

表3.1-1我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况

年份y2006200720082009201020112012201320142015

恩格尔系数"（%）36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57

如上表，我们很简单看到y与r之间的函数关系.

在初中刚学画一次函数时，想了解其图像是一直线，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.

（2）图像法

如上图，很清楚的看到某天空气质量指数/与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.

数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.

（3）解析式

比方正方形周长C与边长a间的解析式为C=4a,圆的面积S与半径r的解析式S=兀八等.

求函数解析式的方法

①配凑法②待定系数法③换元法④构造方程组法⑤代入法

2分段函数

定义：有些函数在其定义域中，对于自变量支的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段

函数.

X>o

--1,X为奇数(u

Eg/(x)=|x|=X<of(K)=(-1/=1,X为偶数(xGN)-

-X,

卷经典例题

从典例中见n■能力

(题型1)求函数解析式

(典题1)已知函数/(x)是二次函数，假设f(0)=0,且f(x+l)=/Q)+x+l,求/(x)的解析式.

解析设f(*)=ax2+bx+c(a*0),

假设/(0)=0,且f(x+l)=/(x)+x+l,

•••c=0且a(x+I)2+b(x+1)+c=ax2+bx+c+x+l,

c=0a=2

.・.2a+b=b+l,解得，

、a+b+c=c+lb=l'

x2+x

f(x)=-2~-

(典题2)假设/(口+1)=工+口，则/(乃的解析式为()

A./(x)=x2-xB./(x)=x2-x(x>0)

C./(x)=x2-x(x>1)D./(x)=x2+x

答案C

解析函数/(G+l)=x+m，

设/+l=t,则tzi,.,忑=t-1,

■■■/(t)=(t-I)2+(t-1)=t2-t,

/(x)=x2-x,(x>1).应选:C.

变式练习

1.已知函数/(2x+l)=5x-6,且〃t)=9,则1=()

A.7B.5C.3D.4

答案A

el517517

角举木斤•••f(2x+l)=5x-6=2(2X+1)-y；：•f(%)=干

517

.-./(t)=2t-y=9;解得t=7.应选：4.

2.已知函数f(x)为一次函数，且/(3)=7/(5)=-1,则/(1)=()

A.15B.-15C.9D.-9

答案A

制=-4

解析设f(x)=kx+b,则朦";‘i，解=19

.-./-(X)=-4x+19,.-./(I)=-4+19=15.应选：A.

3.假设函数/(x)对于任意实数x恒有/(x)-2/(-x)=3x-1,则/(x)等于()

A.%4-1B.%1C.2%4-1D.3%+3

答案A

解析函数/(为对于任意实数%恒有八为2/(-x)=3x-1,

令％=-%，则：/(-x)-2/(%)=3(-x)-1.

刖［/W-2/(-x)=3x-1

则1/(-%)-2/(%)=3(-x)-「

解方程组得：/(x)=x+1.

应选：A.

4.已知/(口+1)=x+2\&,求/(x+1).

答案/(%+1)=%2+2%(%>0)

解析令t=G+1,则1,x=(t-l)2,

•••/(A/X+1)=X+2v'x

•••/(t)=(t-l)2+2(t-l)=t2-l(t21)(假设这里t的范围不能忽略)

:.f(x)=x2-1(x>1)

/(x+1)=(x+I)2-1=x2+2x(x>0)

5.已知函数y=/+x与y=g(x)与的图像关于(-2,3)对称，求g(x)的解析式.

答案=-x2-7x-6

解析设M(x,y)为y=g(x)上任一点，且M'(x',y')为M(x,y)关于点(-2,3)的对称点

"+X

则Try-，解得：俗二二;.

I—=3

•・,点,y)在y=g(%)上：•y,=x2+x'

把。二J］，，代入得：6-y=(-x-4)2+(-x-4),整理得y=-/_7x-6,

9(x)=-x2-7%-6.

（题型2）分段函数

|,%<0

（典题1）已知函数/（%）=-%0《xV2.

六一3,%）2

1乙

(1)求W(2))；(2)假设f(m)=-l,求m的值;(3)作出函数八》)的图象.

解析(0/(0)=0/(2)=|x2-3=-2,/./(/(2))=/(-2)=^=-1.

(2)当m<0时，f(m)=~=-•*-m=-2,

当0《TH<2时，f(jri)=-m=-1,m=1,

当时，/(m)=-3=-1,m=4,

综上所述，m的值为-2或1或4.

(3)函数/(%)的图象,如下图，

变式练习

解析函数/（》）=%+?=8

作出函数图象为:

2.已知函数〃鼓管假设f(x)=5,则x的值是()

A.-2B.2或-|C.2或一2D.2或一2或-|

答案A

解析由题意，当xWO时，/(%)=%2+1=5,得*=±2,又xWO,所以x=-2；

当x>0时，/(X)=—2%=5,得x=-|,舍去.

应选：A.

3.设/(x)={f[Kx+赤线小则/⑸的值为()

A.10B.11C.12D.13

答案B

解析••・/)=Gw+”6瑞?瑞，

•••”5)=/[/(")]="9)=/V(15)]=-13)=11.应选:B.

4.已知/(x)={,：卷?0则不等式％+Q+2)/(x+2)<5的解集是.

答案{x|xw3/

解析①当》+220时，B|Jx>-2,/(x+2)=l,

由x+(x+2)/(%+2)<5可得x+x+2<5,

33

•*-X<2BP-2<X<

当X+2V0即XV_2时，f(x+2)=_1,

由x+(%+2)/(%4-2)<5可得％.(%4-2)<5,即_2工5,Ax<_2,

综上不等式的解集为{小<|}.

5.已知函数-X)=产2+意t索弟XW°)与X轴有3个交点，则实数a的取值范围是

答案（J.1）

解析①当&=0,/"（乃={2，+4/£；犷°）与谢有1个交点，不满足题意;

②当a<0时，y=ax-3,（x>0）与x轴没有交点，不可能满足题意;

③当a>0时，y=a%-3,（乂>0）与工轴有工个交点,

假设要满足题意，则y=ax2+2x+1在（-2,0）上与x轴有2个交点,

(a>0

a(-2产+2(-2)+1>033

1解得彳<a<l,故答案为（不1）.

-2<-a<°

△=4-4a>0

（题型3）函数的简单应用

（典题1）如图，将水注入下面四种容器中，注满为止.如果注水量U与水深九的函数关系的图象如下图,

那么容器的形状是（)

解析依据题意，考虑当向高为H的容器中注水为高为，一半时，

注水量U与水深％的函数关系.

如下图，此时注水量V与容器容积关系是：V<容器的容积的一半.

变式练习

1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以

上事件吻合得最好的图象是（）

答案C

解析考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，

由此知，此函数图象肯定是下降的，由此排解4

再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一

段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排解。，

之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比拟快，由此可确定C正确，B不正

确.应选：C.

2.某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了成团，觉得有点累,

就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm（b<a）,当他记起诗句“不到长城

非好汉"，便调转车头继续前进.则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为（）

答案C

解析依据他先前进了akm,得图象是一段上升的直线，

由觉得有点累，就休息了一段时间，得图象是一段平行于F轴的直线，

由想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm（b<a）,得图象是一段下降的直线,

由记起诗句“不到长城非好汉〃，便调转车头继续前进，得图象是一段上升的直线，

综合，得图象是C,应选：C.

初轻松训练通过好与，艰■修力

1.某人去上班，先快速走，后中速走.如果y表示该人离单位的距离，”表示出发后的时间，那么以下图象

中符合此人走法的是（）

答案D

解析当久=0时，距离学校最远，不可能是0,排解4C,

先快速走，距离学校的距离原来越近，而且变化速度较快，排解B,

应选：D.

2.如下图的四个容器高度都相同，将水沉着器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止.用下面对

应的图象显示该容器中水面的高度〃和时间t之间的关系，其中不正确的有()

解析对于一个选择题而言，求出每一个图中水面的高度力和时间，之间的函数关系式既无必要也不可能,

因此可结合相应的两个图作定性分析，即充分利用数形结合.

对第一个图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；

对于第二个图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此高度变化趋势愈加平缓,

正确；

同理可分析第三个图、第四个图都是正确的.

故只有第一个图不正确，因此选人

3.已知/(口+2)=x,则有()

A./(%)=(x-2)2(X>0)B./(%)=(x-2)2(x>2)

C./(%)=(x+2)2(X>0)D.f(x)=(x+2)2(X>2)

答案B

解析设+2=t,t>2,则x=(t-2)2,

•••f(t)=(t-2)2,t>2,.-./(x)=(x-2)2,(x>2).应选：B.

4.假设xeR,f(x)是y=2y=%这两个函数中的较小者，则/(x)的最大值为()

A.2B.1C.-1D.无最大值

答案B

解析由题目可猎取的信息是：

①两个函数一个是二次函数，一个是一次函数；

②/（X）是两个函数中的较小者.

解答此题可先画出两个函数的图象，然后找出/（X）的图象，再求其最大值.

在同一坐标系中画出函数y=2-/,y=x的图象，如图，依据题意，坐标系中实线局部即为函数/（X）

故X=1时，f(x)max=应选B.

答案：B

1(x>0)

5.设函数/(%)=21,假设〃a)=a,则实数a的值为

x(x<0)

答案-1

解析由题意知，/(a)=a；

当a20时，有)-1=a,解得a=-2,(不满足条件，舍去)；

当a<0时，有，=a，解得a=1(不满足条件，舍去)或a=-1.

所以实数Q的值是：a=-1.

6.已知/(%-1)=X2+3X-10,则/(%)=0的解集为.

答案{-6,1}

解析v/(%-1)=%24-3%-10,

令％-1=t,则x=t+1,

・・.f(t)=(t+l)2+3(t+1)-10=产+5t-6,

・'•fM=x24-5x-6,

由/(x)=0,得%2+5%-6=0,解得％=-6或x=l,

・・・/(%)=0的解集为{-6,1}・

7.已知函数f(x)=蓝°,则不等式/(x)24的解集为.

答案(-8,-2yf2]U[2,+OO)

解析X0O时，/(X)=X2-4>4,解得*22/或XW-2#,

因为工40,故工工-2也；

%>0时，/-(x)=2z>4,解得x22,

综上所述，不等式/(x)>4的解集为(-8,_2或]U[2,+8)

故答案为：%_2#]“2,+8).

8.设“乃是一次函数，且/[f(x)]=4x+3,求/。)的解析式.

答案/(%)=2x4-1或/(%)=-2x+3

解析设/(%)=以+b(a丰0),

则/[/(x)]=a/(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+Qb+b

(a2=4[a=2.da=-2

-[ab-hb=3b=lb=3'

:./(x)=2x+1或f(x)=-2x+3.

9.已知函数/0)=，2&6：上：《点0,假设互不相等的实数打，右，％3满足/(打)=/(冷)=/。3),求皿+

乂2+4的取值范围.

答案(y，6)

解析函数/。)=/216：［，］］。的图象，如图,

不妨设X1VX2V%3，则％2,工3关于直线X=3对称，故%2+%3=6,

7

且满足-§V%1V0;

_7

则+外+久3的取值范围是：-§+6V%I+%2+%3V0+6;

即打+%2+%3E4，6).

'3-X2(X>0)

10.已知函数/(%)=2(%=0).

1-2x(%<0)

(1)画出函数/(%)图象；

(2)求f(f(3)),/(/+l)(aGR)的值；

(3)当f(%)之2时，求》的取值范围.

3-x2(x>0)

解析(1)函数/(%)=2(%=0)的图象如图,

1一2x(%<0)

⑵/(/(3))=/(-6)=13,/(a2+1)=3-(a2+l)2=-a4-2a2+2；

(3)方法1由图象可知，当/(x)22时，