2014-2023年北京高考真题与模拟试题：导数及其应用（解析版）

大数据之十年高考真题(2014-2023)与优质模拟题(北京卷)

专题04导数及其应用

真题汇总

1.【2021年北京14】已知函数f(x)=|lgx|-kx-2,给出下列四个结论:

①若k=0,则f(x)有两个零点;

②y<0,使得/(X)有一个零点;

③弘<0,使得/(x)有三个零点;

④弘>0,使得f(x)有三个零点.

以上正确结论得序号是

【答案】①②④

对于①，当k=0时，由/1(x)=|lgx|-2=0,可得工=焉或x=100,①正确;

对于②，考查直线y=fcx+2与曲线y=-lgx(0<x<1)相切于点P(t,-Igt),

.kt+2=—Igtt=-77

对函数y=—lgx求导得y'=-焉，由题意可得｛k=__L_，解得匕_1K，

dmo卜=丁也？

所以，存在k=一詈lge<0,使得f(x)只有一个零点，②正确:

对于③，当直线y=kx+2过点(1,0)时，k+2=0,解得k=-2

所以，当一詈Ige<k<-2时，直线y=kx+2与曲线y=-lgx(0<x<1)有两个交点,

若函数/(%)有三个零点，则直线y=fcx+2与曲线y=-Igx(0<x<1)有两个交点，

100,,9

直线y=/cr+2与曲线y=lg%(%>1)有一个交点，所以，｛e，此不等式无解,

fc+2>0

因此，不存在AV0,使得函数/(%)有三个零点，③错误；

对于④，考查直线y=kx+2与曲线y=lgx(x>1)相切于点P(tjgt),

1kt+2=Igtt=lOOe

对函数y=Igx求导得y'=7^石，由题意可得｛,_i,解得｛“_3，

xmiuK-........K.—

HnlO100e

所以，当0<k<黑时，函数f(x)有三个零点，④正确.

2.[2020年北京卷11]函数f(%)=^+Inx的定义域是.

【答案】(0,+8)

【解析】

由题意得•••”〉()

故答案为：(0,+8)

3.【2019年北京理科13】设函数="+超F(。为常数).若/(x)为奇函数，则。=—;若/(X)

是R上的增函数，则。的取值范围是—.

【答案】解：根据题意，函数f(x)=et+aex,

若/(x)为奇函数，则/(-x)=(x),即0-*+。/=-iex+aex'),变形可得。=-1,

函数/(x)=ex+aex,导数f(x)-aex

若f(x)是R上的增函数，则/(x)的导数/(x)="-ae一*20在R上恒成立，

变形可得：。忘6女恒成立，分析可得“W0,即。的取值范围为(-8,0]；

故答案为：-1,(-8,0].

支3—3x,xva

(—2x,x>a

①若a=0,则/(x)的最大值为;

②若f(x)无最大值，则实数。的取值范围是.

【答案】解：①若。=0,则一统，x-°.

1—2%,x>0

则/(X"严-3,』

(-2,x>0

当xV-1时。，f(x)>0,此时函数为增函数，

当x>-1时，/(x)<0,此时函数为减函数，

故当x=-1时，f(x)的最大值为2；

/-\巾xf3x2-3，x<a

@f(zx)=，

1—2/x>a

令，(x)=0,则工=±1,

a>-l

-2a>a3-3a,

{-2a>2

解得：aE(-°°,-1).

故答案为：2,(-°°,-1)

5.[2023年北京卷20】设函数/(x)=x-x3eax+b,曲线y=f(x)在点(1J⑴)处的切线方程为y=-x+l.

(1)求a,b的值；

(2)设函数g(久)=f'(x),求g(x)的单调区间；

(3)求f(x)的极值点个数.

【答案】(l)a=—l,b=1

(2)答案见解析

(3)3个

(1)因为/'(x)=x—x'eax+'x€R,所以/'(x)=1—(3/+ax3)eax+〃，

因为/(x)在(1,/(1))处的切线方程为y=-x+1,

所以/(I)=-1+1=0,<(1)=-1,

ifl—I3xea+b=0=-1

mJi41-(3+a)ea+b=-r解4=1'

所以a=—l,b=1.

(2)由(1)得g(x)=f'(x)=1—(3x2—%3)e-x+1(xER),

则g'(x)=—x(x2—6%4-6)e-x+1,

令——6x+6=0,解得k二3±遮，不妨设%i=3—V5,x2=3+y/3,则OV/Vx2，

易知eT+i>。恒成立，

所以令g'(x)vo，解得ovxv/或%>%2；令g'(x)>0，解得％vo或%ivx<血；

所以g(x)在(O,X1),(x2,+oo)上单调递减,在(一8,0),(x1,x2)上单调递增，

即g(x)的单调递减区间为(0,3—，5和(3+V3,4-0°),单调递增区间为(—8,0)和(3-V3,3+V3).

(3)由(1)^/(x)=x—x3e~x+1(xeR).f'{x)=1—(3xz—%3)e-x+1,

由(2)知((x)在(0,xJ,(X2,+8)上单调递减，在(一8,0),(小,孙)上单调递增，

当x<0时，f(-l)=1-4e2<0,尸(0)=1>0,即/''(一1)尸(0)<0

所以「(外在(一8,0)上存在唯一零点，不妨设为小，则一1<忘<0,

此时，当》<去时，f'(x)<0,则/(X)单调递减；当%3<刀<0时，/'(无)>0,则/(X)单调递增；

所以/(X)在(一8,0)上有一个极小值点；

当*6(0,/)时,f'(x)在(0,/)上单调递减，

则((X1)=r(3-V3)<f(l)=1-2<0,故/''(。斤十.)<0,

所以尸(x)在(0,xJ上存在唯一零点，不妨设为乙，贝U0<X4<X「

此时，当0cx<久4时，/(久)〉。，则/(x)单调递增；当尤4<万<%1时，尸(尢)<0,则/'(X)单调递减；

所以/■(%)在(0,%)上有一个极大值点；

当Xe(X1，X2)时，尸(X)在(尤1/2)上单调递增，

则/(物)=r(3+V3)>r(3)=1>0,故/'(X1)/'(X2)<0,

所以尸(X)在(久1，工2)上存在唯一零点，不妨设为苑，则》1<盯<工2，

此时,当X1<X<X5时，f'(x)<0，则f(x)单调递减;当为5<X<X2时，/(X)<0,则/(X)单调递增;

所以/"(X)在(右,彳2)上有一个极小值点；

当X>%2=3+百>3时，3x2—=%2(3-X)<0.

所以1(%)=1一(3/-X3)e-x+1>0,则f(x)单调递增,

所以/(X)在(%2,+8)上无极值点；

综上：/"(X)在(一8,0)和(右,“2)上各有一个极小值点，在(0/1)上有一个极大值点，共有3个极值点.

6.【2022年北京卷20】已知函数/•(x)=e、ln(l+x).

(1)求曲线y=/(乃在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)设g(x)=/(x),讨论函数g(x)在［0,+8)上的单调性；

(3)证明：对任意的s,t士(0,+8),有f(s+t)>f(s)+/(t).

【答案】(l)y=x

(2)g(x)在［0,+8)上单调递增.

(3)证明见解析

【解析】

⑴解：因为f(x)=:111(1+x),所以f(0)=0,

即切点坐标为(0,0),

又尸(x)=e*(ln(l+x)+士)，

.•.切线斜率k=尸(0)=1

**.切线方程为：y=%

(2)解：因为g(x)=:(x)=「(InQ+x)+士),

所以9'。)=e«ln(l+x)+捻一六)，

令人(乃=111(1+町+匕一高,

%2+1>

则九'(%)=_J________+0,

1+x(1+x)2(1+x)3(1+X)3

，九(久)在［0,+8)上单调递增,

：.h(x)>/i(0)=1>0

>。在［o,+8)上恒成立，

・“(%)在［0,+8)上单调递增.

(3)解：原不等式等价于f(s+0-f(s)>f(t)-/(0),

令m(x)=f(x+t)—/(x)，(x,t>0),

即证m(x)>m(0)>

x+tx

Vm(x)=f(x+t)—/(x)=eln(l+%+£)—eln(l+%),

x+tX

x+tz

m'(x)=eln(l+x+t)+-eln(l+x)-^=g(x+t)-g(x),

由(2)知g(x)=f'(x)=:(皿1+x)+W)在［。，+8)上单调递增,

，g(x+t)>g(x),

；・M(x)>0

在(0,+8)上单调递增，又因为x,t>0,

Am(x)>m(0)f所以命题得证.

7.(2021年北京19］已知函数f(x)=苦.

(1)若。=0,求y=f(x)在(1,/(1))处切线方程；

(2)若函数f(x)在％=-1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.

【答案】(1)4x+y—5=0；(2)函数f(%)的增区间为(—8,—1)、(4,+8),单调递减区间为(-1,4),最大

值为1,最小值为一;.

4

(1)当0=0时，/(X)=詈，则/(X)=等，•:f(1)=1，f'(1)=-4,

此时，曲线y=f(x)在点(14(1))处的切线方程为y-l=-4(x-l),即4x+y-5=0；

⑵因为f(x)=急，则尸。)=-2(产+。)-2%(3-2；0_2(0234a)

(x2+a)2(x2+a)2

由题意可得/(-1)=篇翁=0,解得a=4,

故/(》)=言，/(久)=爷早，列表如下:

X(-00)-1)-1(-1,4)4(4,+8)

/⑺+0—0+

/(X)增极大值减极小值增

所以，函数/(%)的增区间为(一8,-1)、(4,+00),单调递减区间为(一1,4).

当尤<|时,/(x)>0；当x>|时，f(x)<0.

所以，fCOmax=/(-I)=1，/(X)min=/(4)=一：.

8.【2020年北京卷19】已知函数f(x)=12—"2.

(I)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程；

(II)设曲线y=f(x)在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.

【答案】(I)2x+y-13=0,(II)32.

【解析】

(I)因为/(x)=12-X2,所以f'(x)=-2x,

设切点为(&,12-xo),则一2&=-2,即&=1,所以切点为(1,11),

由点斜式可得切线方程为：y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.

(11)显然tH0,

因为y=/(%)在点(£,12一户)处的切线方程为：y一(12-产)=-2t(X-t),

*-21Io

令x=0,得y=尸+12,令y=0,得X=.2t，

所以5(。="1+12)-*，

不妨设t>0(t<0时，结果一样),

则S(t)=*券竺=l(t3+24t+r)，

所以S，(t)=：(3产+24-詈)=Rf)

_3(t2-4)(t2+12)_3(t-2)(t+2)(t2+12)

=4t2=4t2'

由S，(t)>0,得t>2,由S，(t)<0,得0ct<2,

所以S(t)在(0,2)上递减，在(2,+8)上递增，

所以t=2时，S(t)取得极小值，

也是最小值为S(2)=竺户=32.

9.【2019年北京文科20］已知函数/CO=畜-7+工

(I)求曲线y=/(x)的斜率为/的切线方程；

(II)当在［-2,4］时，求证：x-6^/(x)Wx；

(III)设厂(x)=|/(x)-(x+a)|(tzGR),记尸(x)在区间［-2,4］上的最大值为M(a).当M(a)最

小时，求。的值.

【答案】解：(I)，(X)=,%2—2%+1,

由，(x)=1得x=0,

得看=0F%2-3,

一8Q

又/(0)=0,f(-)=27，

88

*»y=x和y-2y=%一手

HPy=x和y=R一舞；

(ID证明：欲证x-6W/(x)

只需证-6</(x)-x《0,

令g(x)=f(x)-x=^x3—x2,xE［-2,4］,

则g'(x)=|x2-2x=|x(x-1),

88

可知g'(x)在［-2,0］为正，在(0,-)为负，在q,4］为正，

88

：.g(x)在［-2,0］递增，在［0,?递减，在弓，4］递增，

1864

又g(-2)=-6,g(0)=0,g(-)=一方＞一6，g(4)=0,

-6Wg(x)WO,

•*.x-6Wf(x)Wx；

(III)由(II)可得，

F(x)=\f(x)-(x+a)|

—\f(x)-x-a\

=|g(x)-a\

:在［-2,4］±,-6Wg(x)WO,

令，=g(x)»h(t)=\t-a\,

则问题转化为当fR-6,0］时，/?(r)的最大值M(a)的问题了，

此时-a23,当a=-3时，M(a)取得最小值3：

②当a2-3时，M(a)=h(-6)=|-6-a|=|6+a|,

：6+介3,：.M(a)=6+a,

也是a=-3时，M(a)最小为3.

综上，当M(a)取最小值时a的值为-3.

10.【2019年北京理科19】已知函数=1x3-x2+x.

(I)求曲线y=/(x)的斜率为/的切线方程；

(II)当xW［-2,4］时，求证：x-6^/(x)Wx；

(III)设F(x)=\f(x)-(x+a)|(6ZGR),记F(x)在区间［-2,4］上的最大值为M(a).当M(a)最

小时，求〃的值.

【答案】解：(I)/(x)=1X2-2X+1,

8

由rzV

fX?--o

k3

8

枢==-

o,X23

88

又/zfoJX-3/z(-\J--

vZx3X

27

88

-X--

3

27

_64

即y=x和y=x-27；

(II)证明：欲证x-6(/(x)<x,

只需证-6W/G)-xWO,

令g(x)=f(x)-x=^x3—x2,xe［-2,4J,

则g，(x)=1x2-2%=1x(x-|),

88

可知屋(x)在［-2,0］为正，在(0,-)为负，在［“4］为正，

88

：.g(x)在［-2,0］递增，在［0,?递减，在［“4］递增，

864

又g(-2)=-6,g(0)=0,g(-)=-27>-6,g(4)=0,

-6Wg(x)WO,

/•x-6Wf(x)Wx；

(III)由(II)可得，

F(x)=\f(x)-(x+a)|

=l/*(x)-x-a\

=lg(x)-a\

♦.•在［-2,4］上,-6Wg(x)WO,

令f=g令),h(r)=\t-a\,

则问题转化为当正［-6,0］时，h(r)的最大值M(a)的问题了,

此时-心3,当a=-3时,M(a)取得最小值3；

②当“2-3时，M(a)=h(-6)=|-6-a|=|6+a|,

•；6+a23,.,.M(a)=6+a,

也是a=-3时，M(a)最小为3.

综上，当M(a)取最小值时”的值为-3.

11.【2018年北京理科18】设函数/(x)=[a^~(4^7+1)x+4〃+3]/.

(I)若曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线与x轴平行，求出

(II)若/G)在x=2处取得极小值，求。的取值范围.

【答案】解：(I)函数/(x)=[ax2-(4〃+1)x+4〃+3]/的导数为

f'(X)=[(v?-(2〃+1)x+2]ex.

由题意可得曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线斜率为0,

可得Ca-2a-1+2)e=0,且f(1)=3eW0,

解得ci—1;

(II)f(x)的导数为/(x)=[ax2-(2a+l)x+2]ex=(x-2)(ax-1)，，

若a=0则%V2时，/(x)>0,f(x)递增；x>2,f(x)<0,/(x)递减.

x=2处f(x)取得极大值，不符题意；

若〃>0,且〃=宗则/(%)=1(x-2)2/20,f(x)递增，无极值；

若〃>一则一<2,f(x)在(一，2)递减；在(2,+8),(-oo,-)递增，

可得f(x)在x=2处取得极小值；

若0<aV，则工>2,f(x)在(2,-)递减；在(工，+8),(-8,2)递增,

2aaa

可得/(x)在x=2处取得极大值，不符题意;

111

若aVO,则-<2,/(x)在(一，2)递增；在(2,+~),(-8,一)递减,

aaa

可得f(x)在x=2处取得极大值，不符题意.

1

综上可得，。的范围是(-，+°°).

2

12.【2018年北京文科19】设函数/(%)=[«？-(3。+1)X+3。+2]心

(I)若曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线斜率为0,求的

(H)若/G)在工=1处取得极小值，求。的取值范围.

【答案】解：(I)函数fG)=[o?-(347+1)x+3n+2]F的导数为

f(x)=kzx2-(a+l)x+l]et

曲线y=f(x)在点(2,/(2))处的切线斜率为0,

可得(4a-2a-2+1)e2=0,

解得a=I；

x

(II)/(x)的导数为/'(x)=版2-(〃+1)x+\]e—(x-1)(ar-1)

若a=0则x<l时，/(x)>0,/(x)递增；x>l,/(x)VO,/(x)递减.

x=l处f(x)取得极大值，不符题意；

若a>0,且a=l,则，(x)=(x-1)2"20,f(x)递增，无极值；

111

若4>1,则一VI,f(X)在(一，1)递减；在(1,+8),(-oo,-)递增，

aaa

可得/a)在x=i处取得极小值；

111

若OVaVl,则一>1,f(x)在(1,-)递减；在(一，+8),(-8,1)递增,

aaa

可得/(x)在x=l处取得极大值，不符题意；

111

若a〈0,则一VI,f(x)在(一，1)递增；在(1,+8),(-8,-)递减，

aaa

可得/(x)在x=l处取得极大值，不符题意.

综上可得，。的范围是(I,+8).

13.【2017年北京理科19】已知函数/(X)="cosx-x.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

71

(2)求函数/(x)在区间[0,万]上的最大值和最小值.

【答案】解：(1)函数/(x)=88就-x的导数为，(X)=ex(cosx-sinx)-1,

可得曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线斜率为％=e0(cosO-sinO)-1=0,

切点为(0,e°cos0-0),即为(0,1),

曲线y=/G)在点(0,/(0))处的切线方程为y=l；

(2)函数/(x)=，cosx-x的导数为了(x)(cosx-sinx)-1,

令g(x)="(cosx-sirir)-1,

则g(x)的导数为g'(x)=ex(cosx-siav-sinx-cosx)=-2/,sinx,

n

当xE［0,—］,可得g'(x)=-2",sinxW0,

即有g(x)在［0,g递减，可得g(x)Wg(0)=0,

则f(x)在［(),)递减,

即有函数/(x)在区间［0,y］上的最大值为/(0)=e°cos0-0=l；

_,.兀加兀兀71

最小值为f—e2cosy

14.【2017年北京文科20］已知函数f(x)="cosx-x.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

TC

(2)求函数/(x)在区间［0,上的最大值和最小值.

【答案】解：(1)函数f(x)=evcosx-x的导数为/'(x)=ex(cosx-sinx)-1,

可得曲线y=/(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为％=e°(cosO-sinO)-1=0,

切点为(0,c°cos0-0),即为(0,1),

曲线y=/(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=l；

(2)函数/(x)="cosx-x的导数为/(x)=，(cosx-sinx)-1,

令g(x)="(cos.r-sinx)-1,

则g(x)的导数为g'(x)—ex(cosx-sinx-siar-cosx)=-2/・sinx,

TC

当,诧|0,-J,可得g'(x)=-2ev*sinx<0,

即有g(x)在［0,递减，可得g(x)Wg(0)=0,

n

则/(1)在［0,鼻］递减，

TC仆

即有函数/(x)在区间［0,3上的最大值为“0)=e°cosO-0=1；

nnTCTCn

最小值为/(")=e2cos5——=——.

15.【2016年北京理科18】设函数/G)=xeax+bx,曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程为)，=

(e-1)x+4,

(I)求mb的值；

(H)求/(x)的单调区间.

【答案】解：(1),：y=f(x)在点(2,/(2))处的切线方程为尸(e-1)x+4,

.•.当x=2时，y=2(e-1)+4=2e+2,即/(2)=2e+2,

同时/(2)=e-1,

'：f(x)=x，fx,

：.f(x)=ec,x-xec,x+b,

1(2)=2ei+2b=2e+2

'l1(2)=e0-2—2ea~2+b=e-1

即a=2,h=e；

(II),:a=2,b=e；

.*./(x)—xe1x+ex,

:.f(x)x-xe1x+e—(1-x)e2x+e—(1-x+ev*)e2x,

•"Ao,

1-x+exl与，(x)同号，

令g(x)=1-x+ex1,

贝jig'(x)=-l+e「l

由g'(x)<0,得x<l,此时g(x)为减函数，

由g'(x)>0,得x>l,此时g(x)为增函数，

则当x=l时，g(x)取得极小值也是最小值g(1)=1,

则g(x)(1)=1>0,

故，(x)>0,即/(x)的单调区间是(-8,+8),无递减区间.

16.【2016年北京文科20】设函数/(x)^x^a^+bx+c.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)设”=3=4,若函数/(x)有三个不同零点，求c的取值范围；

(3)求证：3匕>0是/(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.

【答案】解：(1)函数/(x)uR+af+^x+c,的导数为/(x)—3^+lax+b,

可得y=/(x)在点(0,/(0))处的切线斜率为％=/(0)=b,

切点为(0,c),可得切线的方程为y=bx+c；

(2)设〃=/?=4,即有f(x)=『+4/+4JV+C,

由f(x)=0,可得-。=『+4/+41，

由g(x)=i+4/+4工的导数g'(x)=3/+8x+4=(x+2)(3尤+2),

当或x<-2时，g'(x)>0,g(x)递增；

当-2<xV—机寸，g'(x)<0,g(x)递减.

即有g(x)在x=-2处取得极大值，且为0；

g(X)在大=一:处取得极小值，且为一券.

由函数/(x)有三个不同零点，可得一分V—cVO,

解得0<cV券，

32

则c的取值范围是(0,—);

27

(3)证明：若/(x)有三个不同零点，令/(l)=0,

可得/(x)的图象与x轴有三个不同的交点.

即有/(x)有3个单调区间，

即为导数/(x)=3/+2以+6的图象与x轴有两个交点,

可得△>(),即4a2-12匕>0,即为。2-3尻>0；

若/-3方>0,即有导数/'(x)=3/+2以+6的图象与x轴有两个交点,

当c=0,“=b=4时，满足J-36>0,

即有/(x)=x(x+2)2,图象与x轴交于(0,0),(-2,0),则/(x)的零点为2个.

故a2-3b>0是/(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.

17.【2015年北京理科18】已知函数/(x)=Zn—,

(I)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程:

(II)求证，当(0,1)时，f(x)>2(x+号);

(Ill)设实数％使得/(x)>依乂+1)对在(0,1)恒成立，求k的最大值.

【答案】解答：(1)因为/(x)=加(1+x)-In(1-x)所以

，。=+1+自1，「(。)=2

又因为/(0)=0,所以曲线)，=/(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.

(2)证明：令g(x)=/(x)-2(x+y),则

g'(x)=f(x)-2(1+x2)=1当2,

因为g'(x)>0(0<x<l),所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.

所以g(x)>g(0)=0,xG(0,1),

即当(0,1)时，f(x)>2(x+y).

(3)由(2)知，当iIW2时，f(x)>k(x+1)对(0,1)恒成立.

当火>2时，令〃(%)=/(x)-A:(x+y),则

h'(x)=/(x)-k(1+x2)=.4H2),

J1-x2

所以当OVxV，牛时,h'(x)<0,因此〃(x)在区间(0,［毕)上单调递减.

当0VxV芈7时,h(x)<h(0)=0,即/(x)</c(x+y).

所以当左>2时，f(x)>k(x+5并非对在(0,1)恒成立.

综上所知，&的最大值为2.

丫2

18.【2015年北京文科19］设函数f(x)=y-klnx,k>0.

(1)求/(X)的单调区间和极值；

(2)证明：若/(x)存在零点，则/(X)在区间(1,孤］上仅有一个零点.

【答案】解：(1)由/(X)=^-fc/nx(fc>0)

0/、kx2-k

f(x)=x——=-------

JXX

由了(x)=0解得工=遮

/(x)与f(x)在区间(0,+8)上的情况如下：

X(0,Vk)瓜(Vfc,4-00)

f(x)-0+

f(x)IMl-bik)f

2

所以，/(x)的单调递增区间为(瓜,+8),单调递减区间为(0,Vfc)；

/(X)在x=4处的极小值为/(4)=处普，无极大值.

(2)证明：由(1)知，/(x)在区间(0,+8)上的最小值为/(4)=底1潸).

因为/(x)存在零点，所以“1丁)W0,从而

当&=e时，f(x)在区间(1,y/e)上单调递减，且/(五)=0

所以工=正是/(x)在区间(1,Ve)上唯一零点.

当A>e时，/(x)在区间(0,正)上单调递减，且/⑴=^>0,式《)=瞪<0,

所以/(x)在区间(1,五)上仅有一个零点.

综上所述，若f(x)存在零点，则/(x)在区间(1,屈］上仅有一个零点.

19.【2014年北京文科20】已知函数/(》)=2?-3x.

(I)求/(x)在区间［-2,1］上的最大值；

(II)若过点P(1,r)存在3条直线与曲线y=/(x)相切，求，的取值范围；

(III)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=/(x)相切？(只需写出

结论)

【答案】解：(I)由/(x)=2？-3x得/(x)=6?-3,

令/(%)=0得，x=—孝或x=¥，

V/(-2)=-10,/(-^)=V2./(^)=-V2,/(1)=-1,

•♦・/(元)在区间［-2,1］上的最大值为企.

(II)设过点P(1,f)的直线与曲线y=f(x)相切于点(xo,)u),

则yo=2瑞-3x0,且切线斜率为k=6xQ-3,

，切线方程为y--vo=(6%o—3)(x-xo),

**.t-yo=(6%o—3)(1-xo)>

B|J4XQ-6%O+f+3=0,

设g(x)=44-6/+r+3,

则“过点P(1,/)存在3条直线与曲线y=/(x)相切”，等价于“g(x)有3个不同的零点”.

,；g'(x)-12A2-\2x—\2x(x-1),

»(无)与8'(x)变化情况如下：

x(-8,0)0(0,1)1(1,+8)

S'(X)+0-0+

g(X)/什3Xr+1/

'-g(0)=什3是g(x)的极大值，g(1)=t+\是g(x)的极小值.

当g(0)=f+3W0,即fW-3时，g(x)在区间(-8,1］和(1,+8)上分别至多有一个零点，

故g(x)至多有2个零点.

当g(1)=f+l20,即时，g(X)在区间(-8,0］和(0,+8)上分别至多有一个零点，

故g(x)至多有2个零点.

当g(0)>0且g(1)<0,即-3</<-1时，\"g(-1)=/-7<0,g(2)=/+11>0,

：.g(x)分别在区间［-1,0),［0,1)和［1,2)上恰有1个零点，

由于g(x)在区间(-8,0)和［1,+8)上单调，

故g(X)分别在区间(-8,0)和口，+8)上恰有1个零点.

综上所述，当过点过点P(1,/)存在3条直线与曲线)，=/a)相切时，■的取值范围是(-3,-1).

(III)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切；

过点8(2,10)存在2条直线与曲线(x)相切；

过点C(0,2)存在1条宜线与曲线)，=/(x)相切.

慢把好题

■

1.【北京市东城区2023届高三一模】过坐标原点作曲线y=e"2+l的切线，则切线方程为()

A.y=xB.y—2.xC.y=—xD.y=ex

【答案】A

【详解】由函数丫=铲-2+1,可得y，=e*-2,

设切点坐标为(t,e-2+1),可得切线方程为y-(e・2+1)=et-2(x_t),

把原点(0,0)代入方程，可得O-(e，-2+i)=et-2(o-t),即(t一i)e-2=「

解得t=2,所以切线方程为y—(e°+l)=e°(%-2),即丫=x.

故选：A.

2.【北京市东城区2023届高三二模】设a=e001,b=1.01,c=lnl.01,其中e为自然对数的底数,

则（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD,a>c>b

【答案】A

[详解]令/(%)=ex—(x+1),则尸(%)=ex-1,

当x>0时，/'(%)>0,f(x)单调递增,

所以/(0.01)=e001一1.01>/(0)=0,即e。">1.01,

令g(x)=in%-则g'(x)=：-1=W，

当x>l时，g'(%)<0,g(%)单调递减，

所以g(l・01)=lnl.01-1.01<g(l)=-1<0,即lnl.01<1.01

所以a>b>c.

故选：A

3.【北京市通州区2023届高三考前查漏补缺】函数f(%)的定义域为。，若存在闭区间[Q,切WD,使得函数

/(%)同时满足：f(x)在几句上是单调函数且/(%)在[4加上的值域为>0),则称区间&切为/(%)的

“k倍值区间”.现有如下四个函数:①九(%)=e*,②噂(%)=%2,③/3(%)=ln(x+1),@4(x)=sinx,x6

.那么上述四个函数中存在“2倍值区间''的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【详解】①左出=/为增函数，若函数/1a)=e*存在“2倍值区间”[a,句，贝心二e：二

令g(x)=e*-2%,则g'(x)=e*-2,所以当x<ln2时g'(x)<0,当％>ln2时g'(x)>0,

所以g(x)在(一8/n2)上单调递减，在(ln2,+8)上单调递增，

又g(ln2)=eln2-21n2=2-21n2>0,所以g(x)>0恒成立，

即g(x)=铲一2x无零点，所以/i(x)=e，不存在“2倍值区间"，故①错误；

对于②七(%)="在[0,+8)上单调递增，

若函数/(4)=产存在“2倍值区间”[a,b],则[a,b]£[0,+oo),

所以匕嘿吃=3解得｛Ml

5(b)==2b3=2

所以函数七(x)=/存在“2倍值区间”[0,2],故②正确；

对于③%(x)=ln(x+1)函数在定义域(-1,+8)上单调递增，

若函数为⑺=ln(x+1)存在“2倍值区间"a,切,贝切嘿:吃:七非，

1/31。)—in(。-TiJ-Lu

1

令/i(x)=ln(x+1)-2x,则/i'(x)=士一2=二j：；,所以当—1<x<—泄八'(%)>0,当x>—1时/i'(x)<0,

所以/1a)在(-1,-3上单调递增,在(-3+8)上单调递减，

又/!(-》=in(-(+1)-2X(-j)=-ln2+1>0,旗0)=0,

/i(e-10-1)=ln(e-10-1+1)-2(e-10-1)=Ine-10-2(e-10-1)=-10-2e-10+2=-8-2e-10<0,

所以/i(x)在-I,-：)上存在一个零点，

所以九(外在定义域上存在两个零点，

方程匕嘿=吃MU：有解，其中b=。，ae(e-10-l,-1),

所以函数；3(x)=ln(x+1)存在“2倍值区间”，故③正确；

对于④%(x)=sinx,xG(-=,=),函数在(一]5)上单调递增，

若函数%(x)=sinx.xe(-或,存在“2倍值区间”[a,b],则腐;二:黑二北,

令m(x)=sinx—2久，x6(-：,]),则m'(x)=cosx—2<0,

所以m(x)在(一，5上单调递减，故巾G)在(一5彳)上不可能存在两个零点，

所以函数%G)=sinx,x€(-不存在“2倍值区间”，故④错误；

故选：B

4.【北京市第一0一中学2022-2023学年高三下学期统练】设函数/(x),g(x)在R上的导函数存在，且/'(x)<

g'(x),则当》693)时()

A./(x)<gMB.f(x)>g(x)

C.f(x)+g(a)Vg(%)+f(a)D.f(%)+g(b)Vg(x)+f(b)

【答案】C

【详解】对于AB,不妨设f(x)=-2x,g(x)=L则/(%)=-2,g'(%)=0,满足题意,

若x=-lw(a,b),则/(x)=2>1=g(x),故A错误,

若％=0W(a,b),则f(%)=0<1=g(x),故B错误；

对于CD,因为/(%),g(x)在R上的导函数存在，且尸(x)<g'(x),

令九(x)=/(x)-g(x),则九'(x)=/'(%)-grM<0,

所以九(第)在R上单调递减，

因为％6(a,b),即a<x<b,所以/i(b)<h(x)<九(a),

由Zi(x)<h(a)得f(x)-g(x)</(a)-g(a),则/(%)+g(a)Vg(x)+/(a),故C正确；

由h(b)<九O)得/'(b)-g(b)<f(x)-g(%),则f(%)4-g(b)>g(x)+/(6),故D错误.

故选：C.

5.【中学生标准学术能力诊断性测试2023届高三上学期12月测试〕记函数f(x)=sin(3%+9)(3>0,0<

(P<n)的最小正周期为T，/'(x)为/(x)的导函数.若/'(§=0，y=/(x+3为偶函数，则3的最小值为().

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】由/(%)=a)cos(a)x+9)且7=多则/%)=/(2)=3cosc+0)=0，

又0VgVn,故：<；+乎<?，则：+9=三，得0=3，

由y=+§为偶函数，即/■(》+》=sin(3X+等+》为偶函数，

所以W+：=三+ATT且AcZ,则a)=2+8k>0,fc6Z»

842

当々=0时3的最小值为2.

故选：B

6.【北京市门头沟区2023届高三综合练习】已知函数f(x)=eL若存在%。G[一1,2]使得/«)=&+/(&)—「

恒成立，贝昉=/(0)一t的取值范围()

A.+1]B.[&+1,/-21

C.[1,;+1]D.[l,e2-2]

【答案】D

【详解】由/(1)=&+/(%0)-3可得f(1)+1=%0+/(%0)，

设函数九(%)=f(x)4-%=ex+%,则/i'(x)=ex4-1>0在R上恒成立，

x

所以h(x)=e+%单调递增，所以t=xQ,

则b=f(&)-t=f(t)-t=eJ3te[—1,2],

令g(t)=e»-3tG[-1,2],则g'(t)=e，一l,当t=0时，g'Q)=0,

令g'(£)>0得：t€(0,2],令g'Q)V0得：CW[—1,0),

所以g(t)min=g(。)=e°-0=1,又g(—1)=e-1+1,g(2)=e2-2,其中e?-2>e-14-1»

所以实数b的取值范围是[l,e2-2].

故选：D.

7.【北京市中关村中学2023届高三三模】给定函数/(久)，若数列｛Xn｝满足马+1=力-铲;，则称数列｛Xn｝

2

为函数“久)的牛顿数列.已知｛&｝为f(%)=x—x—2的牛顿数列，an=ln--y,且%=1,xn>2(n6N+),

数列的前几项和为治•则52023=(