2023-2024学年浙江省江北区九年级数学第一学期期末统考模拟试题含解析

2023-2024学年浙江省江北区九年级数学第一学期期末统考模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:百，堤高BC=4m,则坡面AB的长度是（）

A.ɪmB.4√3mC.2√3∕πD.8根

3

2.关于X的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则g的取值范围是（）

A.qvl6B.q>16

C.g≤4D.q>4

3.若将半径为24Cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（）

A.3cmB.6cmC.12cmD.24cm

4.。。是半径为1的圆，点O到直线L的距离为3,过直线L上的任一点P作OO的切线，切点为Q；若以PQ为

边作正方形PQRS,则正方形PQRS的面积最小为（）

A.7B.8C.9D.10

5.如图，在2U8C中，点。、E分别是A3、AC的中点，若AAOE的面积为4,则∆A8C的面积为（）

A.8B.12C.14D.16

6.如图，AlBC中，。是AB的中点，DE//BC,连接8E.若AE=6,DE=5,NBEC=90。，则48CE的周长是

()

A.12B.24C.36D.48

7.若点（-2,yι）,（-1,y2）,（3,y3）在双曲线y=七（k<0）上，则y”y2,y3的大小关系是（）

X

A.yι<y2<j,3B.y3<y2<yjC.y2Vy1Vy3D.y3<y1<y2

8.在平面直角坐标系xθy中，经过点（sin45o,cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（）

A.相交B.相切

C.相离D.以上三者都有可能

9.如图，在。。中，弦48=6,半径。CLAB于尸，且尸为OC的中点，则AC的长是（）

A.2√3B.3C.4D.2√2

10.下面四组线段中不能成比例线段的是（）

A.3、6、2、4B.4、6、5、10C.?、&、A√6D.2√5>而、4、2√3

11.如图，平行于BC的直线DE把AABC分成面积相等的两部分，则些的值为（）

AD

2Q

12.如图，放ΔAOB中,NAOB=90°,顶点A,8分别在反比例函数>=一(x>0)与y=--(Λ<0)的图

XX

象上.则下列等式成立的是（）

A.sinZBAO=—B.cosZBAO=-C.tanZAAO=2D.sinZABO=-

524

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图,在AABC中,D,E分别是AC,BC边上的中点,则三角形CDE的面积与四边形ABED的面积比等于

14.关于X的一元二次方程（根一3"+χ+M-9=0有一根为0,则m的值为

15.如图，某园林公司承担了绿化某社区块空地的绿化任务，工人工作一段时间后，提高了工作效率.该公司完成的绿

化面积S（单位：∕√）与工作时间/（单位：〃）之间的函数关系如图所示，则该公司提高工作效率前每小时完成的绿化

面积是m2~.

16.如图，在A8C中，D、E分别是A3、AC的中点，点F在BC上,Eo是NAEP的平分线，若NC=80°,

则NEm的度数是

17.把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1）、（2,3）、（4,5,6）、（7,8,9,10）........若A〃=3,b）

表示正整数”为第。组第8个数(从左往右数)，如4=(4,1),则40=.

18.若关于X的一元二次方程2χZχ+m=0有两个相等的实数根，则m的值为.

三、解答题(共78分)

19.(8分)某商城销售一种进价为10元1件的饰品，经调查发现，该饰品的销售量N(件)与销售单价X(元)满

足函数y=-20x+100,设销售这种饰品每天的利润为W(元).

(1)求W与X之间的函数表达式；

(2)当销售单价定为多少元时，该商城获利最大？最大利润为多少？

(3)在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利75()元，该商城应将销售单价定为多少？

20.(8分)如图①在ΔΛBC中，AB=AC=3,NB4C=100°,D是BC的中点.

图②图③

小明对图僦行了如下探究：在线段AD上任取一点P,连接PB,将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°,点B的对

应点是点E,连接BE,得到ABPE.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可

能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

(1)当点E在直线AD上时，如图颤示.

®ABEP=;雒接CE,直线CE与直线AB的位置关系是.

(2)请在图③中画出Δβ∕>E,使点E在直线AD的右侧，连接CE,试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明

理由.

(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值.

21.(8分)某厂生产的甲、乙两种产品，已知2件甲商品的出厂总价与3件乙商品的出厂总价相同，3件甲商品的出

厂总价比2件乙商品的出厂总价多1500元.

(1)求甲、乙商品的出厂单价分别是多少？

(2)某销售商计划购进甲商品200件，购进乙商品的数量是甲的4倍.恰逢该厂正在对甲商品进行降价促销活动，甲

商品的出厂单价降低了0%,该销售商购进甲的数量比原计划增加了2α%,乙的出厂单价没有改变，该销售商购进乙

的数量比原计划少了一％.结果该销售商付出的总货款与原计划的总货款恰好相同，求”的值.

22.（10分）如图，在长方形ABCr）中，AB6cm,AD=2cm,动点P、。分别从点A、C同时出发，点P以2

厘米/秒的速度向终点8移动，点。以1厘米/秒的速度向。移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动的

时间为3问:

⑴当Ul秒时，四边形BCQP面积是多少？

⑵当/为何值时，点P和点。距离是3cm?

（3）当r=时，以点p、Q、。为顶点的三角形是等腰三角形.（直接写出答案）

23.（10分）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形统计图（如图1）和不完整的扇形图（如图2）,

其中条形统计图被墨迹遮盖了一部分.

⑴求条形统计图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；

（2）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没有改变，则最多补

查了一人.

ra1M2

24.（10分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%,

经试销发现，销售量y（件）与销售单价X（元）符合一次函数y=依+〃，且x=65时，y=55;x=75时，y=45.

（1）求一次函数y=履+〃的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价X之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最

大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价X的范围.

25.（12分）如图，。。的弦AB、CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证PA=PC.

'P

26.在一个不透明的盒子中装有5张卡片，5张卡片的正面分别标有数字1,2，3,4，5,这些卡片除数字外，其

余都相同.

（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有偶数的卡片的概率是多少？

（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的4张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片上标有的数字之和

大于5的概率（画树状图或列表求解）.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、D

【分析】直接利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出答案.

【详解】：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：百，

BC1

‘前=国’

4_1

寂=忑'

解得：AC=4百，

故AB=JBC2+AC?=M+（4⑻2=8（m）,

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键.

2、A

【解析】V关于X的一元二次方程χ2+8x+q=0有两个不相等的实数根，

.∙.Δ>0,BP82-4q>0,

Λq<16,

故选A.

3、C

【分析】易得圆锥的母线长为24cm,以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2兀即为圆锥的底

面半径.

【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：27iχ24÷2=247i,

.∙.圆锥的底面半径为：247i÷27i=12(cm).

故答案为：C.

【点睛】

本题考查的知识点是圆锥的有关计算，熟记各计算公式是解题的关键.

4、B

【分析】连接OQ、OP,作O”JJ于H,如图，则OH=3,根据切线的性质得OQ_LPQ,利用勾股定理得到

PQ=y∣0p2-002=JoP2_],根据垂线段最短，当OP=OH=3时，OP最小，于是PQ的最小值为2血，即可得

到正方形PQRS的面积最小值L

【详解】解：连接OQ、OP,作O”_L1于H,如图，则OH=3,

VPQ为。的切线，

J.OQLPQ

222

在RtAPOQ中，PQ=y∣OP-OQ=yJθP-∖.

当OP最小时，PQ最小，正方形PQRS的面积最小，

当OP=OH=3时，OP最小，

2

所以PQ的最小值为λ∕3-l=2√2，

所以正方形PQRS的面积最小值为1

故选B

5、D

【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE〃BC,DE=TBC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案.

【详解】解：T在AABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，

ΛDE∕7BC,DE=ɪBC,

2

.∙.∆ADE<×>∆ABC,

..匹」

•BC-2,

S1

FJ4'

V∆ADE的面积为4,

,△ABC的面积为：16,

故选D.

【点睛】

考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出AADESAABC是解题关键.

6,B

【解析】试题解析：ZkABC中，。是48的中点，DE//BC,

.∙.E是AC的中点，

.,.AE=CE=6,

BC=2DE=∖0,

ZBEC=90o,

..BE=JBC2-CE?=8.

△BCE的周长=8C+CE+8E=10+6+8=24.

故选B.

点睛：三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半.

7、D

【解析】分析：直接利用反比例函数的性质分析得出答案.

详解：Y点(T,yι),(-1,yι),(3,y)在双曲线y=-(k<0)上，

3X

：.(-1,yι),(-by1)分布在第二象限，(3,y3)在第四象限，每个象限内，y随X的增大而增大，

.,.y3<yι<yι∙

故选：D.

点睛：此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键.

8、A

【解析】试题分析：本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点有特殊角的锐角三角函数值、勾股定理的运用，

判定点A和圆的位置关系是解题关键.设直线经过的点为A,若点A在圆内则直线和圆一定相交；若点在圆上或圆外

则直线和圆有可能相交或相切或相离，所以先要计算OA的长和半径2比较大小再做选择.

设直线经过的点为A,

・；点A的坐标为(sin45o,cos30o),

'°A=j净'W产冬

Y圆的半径为2,

ΛOA<2,

二点A在圆内，

.∙.直线和圆一定相交.

故选A.

考点：1.直线与圆的位置关系；2.坐标与图形性质；3.特殊角的三角函数值.

9、A

【分析】根据垂径定理求出AP,根据勾股定理求出OP,求出尸C,再根据勾股定理求出即可.

'：AB=6,OCLAB,OCτtθ,

1

二AP=BP=-45=3,

2

设。。的半径为2R,则Po=PC=R,

在RtAOBl中，由勾股定理得：AO1=OP1+AP1,

(2R)2=Λ2+32,

解得：R=B

即OP=PC=√3,

在Rt∆CPA中，由勾股定理得：AC2=AP2+PC2,

AC2=32+(√3)2,

解得：AC=Iyli,

故选：A.

【点睛】

考核知识点：垂径定理.构造直角三角形是关键.

10、B

【分析】根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案.

【详解】A.2×6=3×4,能成比例；

B.4×10≠5×6,不能成比例；

C.l×√10=√2×√5.能成比例；

D.2×√15=√5×2√3.能成比例.

故选B.

【点睛】

本题考查了成比例线段的概念.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做

成比例线段.

11、C

【解析】由DE〃BC可得出AADESZkABC,利用相似三角形的性质结合SAADE=S四边形BCED,可得出42=壮2,结

AB2

合BD=AB-AD即可求出—的值.

AD

【详解】VDE#BC,

，NADE=NB,NAED=NC,

Λ∆ADE^∆ABC,

.∙.jADJSA%

\A3JSABC

,∙*S∆ΛDE=S四边形BCED,S∆ABC=S∆ΛDE÷S四边形BCED,

.AD√2

••--------9

AB2

.BDAB-AD2-√2∣-1

••---=---------------=—；=—=72-1,

ADAD√2

故选C∙

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

12、C

【解析】【分析】过A作AF垂直X轴，过B点作BE垂直与X轴，垂足分别为F,E,得出

ZAOB=ZBEO=ZAFO=90°,可得出一BEOOFA,再根据反比例函数的性质得出两个三角形的面积，继而

得出两个三角形的相似比，再逐项判断即可.

【详解】解：过A作AF垂直X轴，过B点作BE垂直与X轴，垂足分别为F,E,

由题意可得出ZAOB=ABEO=ZAFO=90°,

继而可得出BEOOFA

2Q

顶点A,B分别在反比例函数y=—（x〉0）与y=—2（χ<0）的图象上

XX

,

∙∙SBEO=4,S、AFo=I

.S.AFO_（-0）2_ɪ

∙∙sBEOOB4

,AO1

••---=一

BO2

：.AB=√5

A.SinZfiAO=-ɪɪ=-，此选项错误，

AB垂,5

B.CoSN840=42=3=好，此选项错误；

ABJ55

C.tanZBAO=—=2,此选项正确；

AO

D.sinZABO=—=—，此选项错误;

AB5

故选：C.

【点睛】

本题考查的知识点是反比例函数的性质以及解直角三角形，解此题的关键是利用反比例函数的性质求出两个三角形的

相似比.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、1:3

DF1

【分析】根据中位线的定义可得：DE为AABC的中位线，再根据中位线的性质可得DE〃AB,且——=-,从而证

AB2

S

出aCDEsaCAB,根据相似三角形的性质即可求出73,从而求出三角形CDE的面积与四边形ABED的面积比.

CAB

【详解】解：：D,E分别是AC,BC边上的中点,

ΛDE为AABC的中位线

且空」

ΛDE∕∕AB,

AB2

Λ∆CDE^∆CAB

S四边形ABED4-13

故答案为：1:3.

【点睛】

此题考查的是中位线的性质和相似三角形的判定及性质，掌握中位线的性质、用平行证相似和相似三角形的面积比等

于相似比的平方是解决此题的关键.

14、In=T

【解析】把x=0代入方程(m-l)χ2+x+ι∏2-9=0得m2-9=0,解得mι=l,mɔɪ-l,然后根据一元二次方程的定义确定m

的值.

【详解】把x=0代入方程(m-l)x2+x+m2-9=0⅛m2-9=0,解得mι=l,m2=-l,

而m-l≠(),

所以m的值为-1.

故答案是：-L

【点睛】

考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.也考查了一元二次方

程的定义.

15、100

【分析】利用待定系数法求出提高效率后S与/的函数解析式，由此可得1=2时，S的值，然后即可得出答案.

【详解】由题意，可设提高效率后得S与/的函数解析式为S=灯+。

14%+万=500

将(4,500)和(5,65。)代入得弘+,“5。

Z=150

解得

方=—100

因此，S与［的函数解析式为S=15()/—I(X)

当/=2时，S=150x2—100=200

则该公司提高工作效率前每小时完成的绿化面积—=100。/)

故答案为：1()0.

【点睛】

本题考查了一次函数的实际应用，依据图象，利用待定系数法求出函数解析式是解题关键.

16、100°

【分析】利用三角形中位线定理可证明DE//BC,再根据两直线平行，同位角相等可求得NAED,再根据角平分线的

定义可求得NDEF,最后根据两直线平行，同旁内角互补可求得NEFB的度数.

【详解】解：丫在AABC中，D、E分别是AB、AC的中点，

二DE是AABC的中位线，

ΛDE√BC,

ΛZAED=ZC=80o,ZDEF+ZEFB=180o,

又ED是NAEF的角平分线，

：.NDEF=NAED=80。，

：.NEFB=I80°-NDEF=I()0°.

故答案为：100。.

【点睛】

本题考查三角形中位线定理，平行线的性质定理，角平分线的有关证明.能得出DE是ABC中位线，并根据三角形的

中位线平行于第三边得出DE〃BC是解题关键.

17、(6,5)

【分析】通过新数组确定正整数n的位置，A,,=(α,"表示正整数"为第。组第6个数(从左往右数)，

所有正整数从小到大排列第"个正整数，第一组(1),1个正整数，第二组(2,3)2个正整数，第三组(4,5,6)三个

正整数，…，这样1+2+3+4+...+a>n,而l+2+3+4+...+(a-l)<n,能确第a组”个数从哪一个是开起，直到第8个数(从

左往右数)表示正整数«

A7表示正整数7按规律排l+2+3+4=10>7,l+2+3=6<7,说明7在第4组，第四组应有4个数为(7,8,9,10)而7是这组

的第一个数，为此P7=(4,1),

理解规律A20,先求第几组排进20,l+2+3+4+5+6=21>20,由1+2+3+4+5=15,第六组从16开始，按顺序找即可.

【详解】Azo是指正整数20的排序，按规律l+2+3+4+5+6=21>20,说明20在第六组，而l+2+3+4+5=15<20,第六组

从16开始，取6个数即第六组数(16,17,18,19,20,21),从左数第5个数是2(),故A20=(6,5).

故答案为：(6,5).

【点睛】

本题考查按规律取数问题，关键是读懂An=(a,b)的含义，会用新数组来确定正整数n的位置.

C1

18、—

8

【解析】根据“关于X的一元二次方程2χ2-x+m=0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一

次方程，解之即可.

【详解】根据题意得：

Δ=l-4×2m=0>

整理得：l-8m=0,

解得：m=g,

O

故答案为：—.

O

【点睛】

本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)W=—2f+120x-1000;(2)销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元；(3)单价定为25

元

【分析】(1)利用利润=每件的利润X数量即可表示出卬与X之间的函数表达式；

(2)根据二次函数的性质即可求出最大值；

(3)令W=75(),求出X值即可.

【详解】解：(1)W=(-2x+100)(x-10)=-Ix1+120x-1OOO

(2)由⑴知，W=-2X2+120x-1OOO=-2(x-30)2+800

V-2<0,

二当x=3()时，W有最大值,最大值为800元

即销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元.

(3)令W=750,BP-2√+120x-IOOO=750

解得x=25或无=35

因为要确保顾客得到优惠

所以x=35不符合题意，舍去

所以在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，该商城应将销售单价定为25元

【点睛】

本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

20、(1)000；@EC//AB；(2)AB//EC；(3)AE的最小值3.

【解析】(1)①利用等腰三角形的性质即可解决问题.②证明NABC=40°，ZECB=40°,推出ZABC=NECB即

可.

(2)如图③中，以P为圆心，PB为半径作。p.利用圆周角定理证明ZBCE='NBPE=40°即可解决问题.

2

(3)因为点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，所以当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时

AE的最小值=AB=3.

【详解】(D①如图②中，

VZfiPE=80∖PB=PE,

：.ZPEB=ZPBE=50°，

②结论：AB//EC.

理由：VABAC,BD=DC,

.∙.ADlBC,

∙∙∙NBDE=90",

∙∙∙NE8r>=90°-50°=40',

TAE垂直平分线段BC,

：.EB=EC,

：.Z.ECB=ZEBC=40°，

VAB=AC,ZBAC=100°.

.,∙ZABC=ZACB=40°，

：.ZABC=NECB,

：.AB//EC.

故答案为50,AB//EC.

(2)如图③中，以P为圆心，PB为半径作。P.

：.PB=PC,

LNBCE=LNBPE=40°,

2

TZABC=40°,

.∙.AB//EC.

・；点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动,

...当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值=AB=3.

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基

本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题.

21、(1)甲商品的出厂单价为900元/件，乙商品的出厂单价为600元/件；(2)。的值为1.

【分析】(D设甲商品的出厂单价是X元/件，乙商品的出厂单价为y元/件，根据题意列出方程组，解之即可得出结

论；

(2)根据总价=单价X数量结合改变采购计划后的总货款与原计划的总货款恰好相同，即可得出关于a的一元二次方

程，解之取其正值即可得出结论.

【详解】解：(1)设甲商品的出厂单价为X元/件，乙商品的出厂单价为y元/件，根据题意，可得，

2x=3y[%=900

∖,解得《.

[3Λ-2y=1500[y=600

答：甲商品的出厂单价为900元/件，乙商品的出厂单价为600元/件.

(2)根据题意，可得，

900(1-0%)X200(1+24%)+600x4χ200x(1—需％)=200×900+4×200X600,

令4%=1,化简，得一20/+3r=0,

解得f∣=0.15,U=O(舍去

.∙.α%=0.15,即α=15.

答：。的值为L

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系，正确列出二元一次方程组

与一元二次方程.

22、(1)5厘米2；(2)空叵秒或左口5秒；(3)士2匡秒或1.2秒或小也秒或秒.

33322

【分析】(1)求出BP,CQ的长，即可求得四边形BCQP面积.

(2)过Q点作QH_LAB于点H,应用勾股定理列方程求解即可.

(3)分PD=DQ,PD=PQ,DQ=PQ三种情况讨论即可.

【详解】(D当t=l秒时,BP=6-2t=4,CQ=t=l,

.∙.四边形BCQP面积=g(4+l)x2=5厘米V

（2）如图，过Q点作QHJ_AB于点H,贝!]PH=BP-CQ=6-3t,HQ=2,

根据勾股定理，得32=22+（6-3炉，解得公矢叵.

.∙.当/=91好秒或r=9二公秒时，点P和点Q距离是3cm.

33

(3)YPD2=22+(2r)2=4+4r2,Dβ=6-∕,Pβ2=22+(6-3∕)2=9Z2-36∕+40,

当PD=DQ时，4+4r=(6-r)2,解得/=-6+；屈或屈(舍去)；

当PD=PQ时，4+4*=9/_36r+40,解得f=1.2或/=6（舍去）；

当DQ=PQ时，（6-1）2=9/-36/+40,解得r=士丁或f==g.

综上所述，当.=-6+2屈秒或1=]2秒或，=如且秒或f=三也秒时,以点P、Q、D为顶点的三角形是等

322

腰三角形.

23、（1）被遮盖的数是9,中位数为5；（2）1.

【分析】（1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4