第08讲整式乘法（讲义与练习）-中考数学复习(解析版)

第08讲整式乘法(核心考点讲与练)

院聚焦考点

同底数基的乘法

(1)同底数幕的乘法法则：同底数基相乘，底数不变，指数相加.

d"∙a"=am+"(如〃是正整数)

(2)推广：a"'∙a,,∙ap=am+n+p(机，n,P都是正整数)

在应用同底数募的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25,(χ-y)2与(χ-y)3等;

②α可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加.

(3)概括整合：同底数暴的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在运用

时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底

数幕.

二.幕的乘方与积的乘方

(1)幕的乘方法则：底数不变，指数相乘.

(√π)n=amnCm,〃是正整数)

注意：①哥的乘方的底数指的是事的底数：②性质中“指数相乘”指的是事的指数与乘方的指数

相乘，这里注意与同底数累的乘法中“指数相加”的区别.

(2)积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘.

(H)"="%"(〃是正整数)

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的

意义，计算出最后的结果.

三.单项式乘单项式

运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含

有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③

不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立.

四.单项式乘多项式

(1)单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项，

再把所得的积相加.

(2)单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：

①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式：②用单项式去乘多项式中的每一项时,

不能漏乘；③注意确定积的符号.

五.多项式乘多项式

(I)多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

(2)运用法则时应注意以下两点：

①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合

并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.

匕名师点睛

同底数幕的乘法(共5小题)

1.(2021•瑞安市开学)计算/•(-°)的结果是()

A.a4B.-a4C.a2D.-«2

【分析】同底数幕的乘法法则：同底数系相乘，底数不变，指数相加.

【解答】解：α3∙(-a)—-ct,∙a--α4.

故选：B.

【点评】本题考查了同底数基的乘法，掌握累的运算法则是解答本题的关键.

2.(2021秋•平阳县期中)已知IO'=根，10v=n,则1(/+?等于()

A.2m+3nB.∕n2+π3C.mnD.rn1ιτl

【分析】利用同底数累的乘法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值即可.

【解答】解：∙∙T0'=mIS'=〃，

.∙.10”

=ισ'∙ιov

故选：C.

【点评】本题主要考查同底数越的乘法，解答的关键是灵活运用同底数基的乘法的法则.

3.(2021秋•冷水滩区期末)计算：

(1)X∙%5+Λ2∙%4;

⑵(-L)×(-±)2×(-J-)3.

222

【分析】(1)根据同底数基的乘法法则，计算即可；

(2)根据同底数塞的乘法法则，计算即可.

［解答］解：(1)原式=χ6+χ6=2χ6;

(2)原式=(一-L)1+2+3=(JL)6=J_.

2281

【点评】本题考查了同底数幕的乘法，掌握同底数幕的乘法法则是解题的关键.

4.(2021春•宝应县月考)计算：(a-b)2∙(ft-α)3+(α-⅛)4∙Cb-a)

【分析】首先根据偶次幕的性质变成同底数基，再计算同底数罂的乘法，最后合并同类项即可.

【解答】解：原式=(/>-a)ɔ*(.b-a^)3+(b-α)(h-α),

=(⅛-a)5+(⅛-a)5,

=2(⅛-。)5.

【点评】此题主要考查了合并同类项法则以及同底数鼎的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握

运算法则是解题关键.

5.(2021秋•雨花区校级月考)已知4'=8,4v=2,求x+y的值.

【分析】直接利用同底数幕的乘法运算法则计算得出答案.

【解答】解：∙.∙4*=8,4∙''=2,

.∙.4r×4>'=8×2=16=42,

.'.x+y=2.

【点评】此题主要考查了同底数幕的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键.

二.幕的乘方与积的乘方(共6小题)

6.(2021秋•虎林市校级期末)下列计算正确的是()

A.a3∙a4=at2B.(2a)2=2a2

C.(。3)2=q5D.(-2×102)3=-8×106

【分析】根据同底数的哥的乘法法则可判定A,根据积的乘方法则可判定8,根据塞的乘方法则

可判定C,根据积的乘方和基的乘方法则可判断D

【解答】解：a3∙a4=a1,故A不正确，不符合题意；

(2“)2=4〃2,故B不正确，不符合题意；

(43)2=/,故C不正确，不符合题意；

(-2×102)3=-8×106,故。正确，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查同底数的幕的乘法、积的乘方、辱的乘方等运算，解题的关键是掌握同底数

的哥的乘法、积的乘方、塞的乘方的运算法则.

7.(2021秋•南昌县期末)已知α,b,C为自然数，且满足2"X3"X4'=192,则。+Hc的取值不可

能是()

A.5B.6C.7D.8

【分析】将原方程化为2/2C∙3%=26∙3,得到α+2c=6,%=1,再根据“，4c为自然数，求出小

C的值，进而求出答案.

【解答】解：根据题意得：2a+2c∙3b=2b∙3,

.∙.0+2c=6,b=l,

Va,4c为自然数，

，当C=O时,α=6;

当C=I时，。=4；

当c=2时，α=2;

当c=3时，a=0,

α+b+c不可能为8.

故选：D.

【点评】本题考查了累的运算，难度较大，根据α,儿c为自然数求出”，C的值是解题的关键.

8.(2021秋•南阳期末)已知""'=5,an=2,贝心2，"+"的值等于()

A.50B.27C.12D.25

【分析】直接利用同底数靠的乘除运算法则以及累的乘方运算法则分别计算得出答案.

【解答】解：-：am=5,a"=2,

.∖a2'n+n=(am)2×an

=52×2

=50.

故选：A.

【点评】此题主要考查了同底数幕的乘除运算以及嘉的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关

键.

9.(2021秋•仙居县期中)计算：√∙∕∙x+(x3)4.

【分析】利用同底数累的乘法的法则，事的乘方的法则对式子进行求解，再合并同类项即可.

【解答】解：x3∙x8∙x+(?)4

=xl2+x,2

=2xi2.

【点评】本题主要考查基的乘方，同底数基的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

10.(2021春•昌平区校级期中)已知3zn=α,3n=b,分别求：

(1)3m+”.

(2)32m+3n.

(3)32、33”的值.

【分析】(1)依据同底数塞的乘法法则的逆运算进行计算即可；

(2)依据同底数累的乘法法则的逆运算以及累的乘方法则的逆运算进行计算即可；

(3)依据幕的乘方法则的逆运算进行计算即可.

【解答】解：(1)由题可得，3m+”=3zπW=";

(2)由题可得，32m+3n=32m∙33n=(3m)2∙(3n)3=α⅛3;

(3)由题可得，32m+33π=(3m)2+(3n)3=ɑ2+⅛3.

【点评】本题主要考查了事的运算法则的运用，关键是掌握同底数事的乘法法则的逆运算以及

累的乘方法则的逆运算.

11.(2020秋•龙华区校级月考)(1)若10Λ=3,1。'=2,求代数式©IF的值.

(2)已知：3m+2α-6=0,求8'"∙4"的值.

【分析】(1)直接利用同底数塞的乘法运算法则将原式变形求出答案；

(2)直接利用同底数幕的乘法运算法则将原式变形求出答案.

【解答】解：(1)vισv=3,ι&v=2,

.∙.代数式K)3∙V÷4F=(io、)3χ(IOV)4

=33×24

=432；

(2)V3m+2π-6=0,

・'・3w+2"=6,

w2n3,π+2n6

：.∙4=23,M∙2=2=2=64.

【点评】此题主要考查了同底数金的乘法运算以及幕的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关

键.

≡.单项式乘单项式(共4小题)

12.(2021•婺城区校级模拟)计算为2・5屋的结果是()

A.7α6B.7a8C.10«6D.Ioa8

【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案.

【解答】解：2a2∙5w4=IOa6.

故选：C.

【点评】此题主要考查了单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键.

13.(2021秋•绿园区期末)计算：2r∙(-3xy)=-6,r2y.

【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算.

【解答】解：2x∙(-3Xy)=-6x2y.

故答案为：-6x2y.

【点评】本题考查的是单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母

分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关

键.

14.(2021春•龙口市月考)计算：

69

(1)3∙3i

(2)a*a,-ai,a4;

(3)-⅛6∙⅛6;

(4)(-2)l0∙(-2)F

(5)3y2∙yi-5γ∙>,4.

【分析】(I)直接利用同底数累的乘法运算法则计算得出答案；

(2)直接利用同底数累的乘法运算法则以及合并同类项法则计算得出答案；

(3)直接利用同底数基的乘法运算法则计算得出答案；

(4)直接利用同底数累的乘法运算法则以及合并同类项法则计算得出答案.

696+915

【解答】解：(1)3∙3=3=3S

(2)a*a,-a4∙04

=O:

66l2

(3)-⅛∙⅛=-⅛i

(4)(-2)l0∙(-2)13

=,210∙2l3

=-223；

(5)3γ2∙y3-5γ∙γ4

=3y-5y5

=-2y5∙

【点评】此题主要考查了同底数基的乘法运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题

关键.

322322

15.(2020春•顺德区校级期末)(-2J)+(-4y)-(-2y)∙(-3√).

【分析】先算积的乘方，再算单项式乘单项式，再合并同类项即可求解.

【解答】解：(-2/)2+(-4)2)3-(-2j)2∙(-3√)2

=4y6-64y6-4y2,(9y4)

=4货-64y6-36)，6

=-96y6.

【点评】考查了积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，关键是熟练掌握计算法则正确进行

计算.

四.单项式乘多项式(共4小题)

16.(2021春•高青县期末)化简：

(1)2(2X2-xy}+x(X-y)；

(2)ab(2a层-Olb)-(2α⅛)2⅛+α3⅛2.

【分析】(1)根据单项式乘多项式的运算法则计算；

(2)根据单项式乘多项式、积的乘方法则计算.

【解答】解：(1)2(2X2-XJ)+X(χ-y)

=4Λ2-2ΛJ+W-xy

=5Λ2-3xy；

(2)ab(2ab1-a2b)-(2tz⅛)2b+aib1

=2a1b3-a3b1-4crb^+a^b1

--2a2⅛3.

【点评】本题考查的是单项式乘多项式、幕的乘方与积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的

关键.

17.(2020春•堇B州区期中)己知〃-b=3,b-C=-4,求代数式d--Z?(〃-C)的值.

【分析】先分解因式，再将己知的α-8=3,b-c=-4,两式相加得CLC=-1,整体代入即

可.

【解答】解：a2-ac-b(〃-C)

=a(〃-C)-bCa-c)

=(〃-C)(。-〃)，

Vrz-b=3,Z?-C=-4,

∙*∙6f-C--1,

当α-%=3,α-c=-l时，原式=3X(-1)=-3,

【点评】本题是因式分解的应用，考查了利用因式分解解决求值问题；具体做法是：根据题目

的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入；但要注意分解因式后，有一个因

式α-c与己知不符合，因此要对已知的两式进行变形，再代入.

18.(2021秋•沂水县期末)如果m2+ZW=5,那么代数式机(WJ-2)+(nz+2)2的值为()

A.14B.9C.-1D.-6

【分析】直接利用单项式乘多项式计算，再把己知代入得出答案.

【解答】解：("?-2)+(Zn+2)2

-2∕W+A√+4"Z+4

=2∕J+2m+4.

2

当加2+J77=5时，原式=2Cm+m)+4=2X5+4=10+4=14.

故选：A.

【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，完全平方公式，正确将原式变形是解题关键.

19.(2020秋•钱塘区期末)已知代数式74QLkb)-3(⅛2-14α⅛-1)经化简后不含出?项，求&

的值.

【分析】方程合并同类项后，令碗项系数为。即可求出如勺值.

【解答】解：Ia(a-kb)-3(⅛2-140⅛-1)

=Icr-Iabk-3⅛2+42α⅛+3

=7。2-3⅛2+（42-Ik）ab+3,

•••化简后不含油项，

.∙.42-7⅛=0,

解得&=6.

【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

五.多项式乘多项式（共4小题）

20.（2021秋•鱼台县期末）如（x+机）与（Λ∙+3）的乘积中不含X的一次项，则加的值为（）

A.-3B.3C.0D.1

【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把，"看作常数合并关于X的同

类项，令X的系数为0,得出关于根的方程，求出机的值.

【解答】解："∙"（X+"i）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m,

又：（x+m）与（x+3）的乘积中不含X的一次项，

.*.3+m=0,

解得加=-3.

故选：A.

【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等

于0列式是解题的关键.

21.（2021春•镇海区期末）若G+l）（√-50x+a）的乘积中不含X?项，则常数”的值为（）

11

A.5B.—C.--D.-5

55

【分析】先将多项式展开得到X3+（-5。+1）/-4Or+〃，再由乘积中不含/项，可得-5o+l=0,

求〃即可.

【解答】解：（x+l）（X2-50r+4）

=χ∙.v2+x∙（-5ax）+ax+x2-5cυc+a

=x3+（-5«+1）X2-40r+4,

•・・乘积中不含小项，

・、-5"l=0,

1

•∙Q~~—,>

5

故选：B.

【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，并能准确计算是解

题的关键.

22.（2021春•上城区期末）亮亮计算一道整式乘法的题（3X-W）（2x-5）,由于亮亮在解题过

程中，抄错了第一个多项式中机前面的符号，把“-”写成了“+”，得到的结果为6f-5x-

25.

(1)求，〃的值；

(2)计算这道整式乘法的正确结果.

【分析】(1)根据题意可得(3x+m)(2x-5),应用多项式乘多项式的法则进行计算，可得

6X2-(15-2∕n)X-5m,由己知常数项相等可得-5机=-25,计算即可得出答案；

(2)由(1)可知机的值，代入应用多项式乘多项式进行计算即可得出答案.

【解答】解：(1)根据题意可得，

(3x+∕τJ)(2Λ-5)

=6X2-15x+2mx-5m

=6X2-(15-2"I)X-5∏h

即-5m=-25,

解得，"=5；

(2)(3x-5)(2x-5)

=6Λ∙2-15x-10x+25

=6?-25x+25.

【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则进行计算是解决本

题的关键.

23.(2020•黄岩区模拟)己知：(X-I)(x+3)-ax1+bx+c,求代数式9α-3b+c的值.

【分析】先根据多项式乘多项式法则计算等式左边，根据题意得出4、AC的值，再代入计算

可得.

【解答】解：V(x-1)(x+3)=X2+3X-X-3=∕+2x-3,

；.a=l、b=2、c=-3,

则原式=9X1-3X2-3

=9-6-3

=0.

【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

能力提升

M分层提分

题组A基础过关练

一.选择题(共12小题)

1.(2021秋•澄海区期末)计算：(-2d)3=()

A.-8α6B.8a6C.-6a6D.-8a5

【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可.

【解答】解：（-2a2）3=-8a6.

故选：A.

【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是熟记积的乘方的法则并灵活运用.

2.（2021秋•江夏区期末）计算：（-2α）3=（）

A.-6«3B.603C.D.8/

（分析】根据基的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可.

【解答】解：（-2α）3=-8α],

故选：C.

【点评】本题考查了累的乘方与积的乘方，熟练掌握舞的乘方与积的乘方的运算法则是解题的

关键.

3.（2021秋•香坊区期末）已知/'=α,严=b,m,〃均为正整数，则的值为（）

A.2abB.2a+bC.CiibD.a2+b

【分析】逆向运用同底数靠的乘法法则以及利用基的乘方运算法则解答即可.同底数基的乘法

法则：同底数基相乘，底数不变，指数相加；基的乘方法则：底数不变，指数相乘.

【解答】解：Y/'=",£=b,m,〃均为正整数，

.•./，E=JV2"，./=（/，）2.£=即

故选：C.

【点评】本题考查了同底数幕的乘法以及幕的乘方，掌握第的运算法则是解答本题的关键.

1

4.（2021秋•船山区校级期末）设（∕Lly+2）∙（χ5Wy2）=Ny7,则（-一”）”的值为（）

2

11C.1

A.^—B.--C.1D.—

822

【分析】直接利用单项式乘单项式进而得出关于山,“的等式,进而利用某的乘方运算求出答案.

【解答】解:V（√n-l√,+2）∙（√m√）=Λ7∙

Λ√n-I+5V+2+2=X5√,

1+5加=5,〃+2+2=7,

解得：∕n=l,/7=3,

111

则（-——m）〃=（-——×1）3=-——.

228

故选：A.

【点评】此题主要考查了单项式乘单项式以及幕的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关

键.

5.(2021秋•鲤城区期末)下列运算正确的是()

A.2α2-a2=a2B.i∕3+α3=α6

C.(-xy2)3=-x3γ5D.2mn∙3mn=5mn

【分析】依据合并同类项法则、积的乘方法则以及单项式乘单项式法则进行判断，即可得出结

论.

【解答】解：42a2-a2=a2,原式计算正确，故本选项符合题意；

B.a3+a3=2a∖原式计算错误，故本选项不合题意；

C.(-√)3=-Λ3y6-原式计算错误，故本选项不合题意；

D.2mn∙3mn=6m2n2,原式计算错误，故本选项不合题意；

故选：A.

【点评】本题主要考查了合并同类项法则、积的乘方法则以及单项式乘单项式法则的运用，“合

并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的

指数不变.

6.(2021秋•江油市期末)下面运算中正确的是()

A.w2∙∕n3=∕n6B.w2+∕n2=2zn4

C.(-3a2b)2=6a4b1D.(-2x2),(-5x4)=IOx6

【分析】根据单项式乘单项式、合并同类项、积的乘方的运算法则计算，判断即可.

235

【解答】解：A、m∙ιn=m,本选项计算错误，不符合题意；

B、m2+m2=2m1,本选项计算错误，不符合题意；

C、(-3∕θ)2=%j%2,本选项计算错误，不符合题意：

D、(-2?)∙(-5Λ4)=IoX6,本选项计算正确，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查的是单项式乘单项式、合并同类项、积的乘方，掌握它们的运算法则是解题

的关键.

7.(2021秋•安居区期末)当X=I时，αr+⅛+I的值为-3,则(α+6-1)(3-2α-2b)的值为()

A.55B.-55C.25D.-25

【分析】先代入得出等式，求出“+6=-4,变形后整体代入，即可求出答案.

【解答】解：；当x=l时，OX+8+1的值为-3,

∙,.a+b+1=-3,

.,.a+b=-4,

：・(α+0-l)(3-2α-2∕?)

=[(α+b)-lJ[3-2(a+b)J

=[-4-1]×[3-2×(-4)1

=(-5)Xll

=-55,

故选：B.

【点评】本题考查了多项式乘以多项式和求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键.

8.(2021秋•淮阳区期末)要使多项式(-7+αx+l)(-6x-8)展开后不含X的二次项，则。与6

的关系是()

A.ab=-6B.ab=6C.b=-6aD.b=6a

【分析】先将多项式展开，然后合并同类项，最后令含/的系数为0,即可求出。与b的值.

【解答】解：(-x1+ax+1)(-6x-b)

=6『-60r2-6Λ+⅛Λ2-bcιx-b

=6x3+(-&+力)/+(-6-ba)X-b,

V(-χ2+0r+l)(-6x-⅛)展开后不含X的二次项，

.,.-6a+⅛=0,

∙*∙b=64,

故选：D.

【点评】本题考查了单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项

的系数为0.

9.(2021秋•荆门期末)若(-2x+α)(X-I)的展开式中不含X的一次项，财Z的值是()

A.-2B.2C.-1D.任意数

【分析】先将多项式展开，然后令X的系数为0,求出”的值.

【解答】解：(-2x+a)(X-I)

=-Zr2+(<∕+2)x-a

；展开式中不含X的一次项，

.*.4+2=0,

^.a=-2,

故选：A.

【点评】本题考查了多项式，熟练进行多项式乘以多项式运算是解题的关键.

53

10.(2022•渠县校级开学)计算(-——)2022X(-2—)2022的结果是()

135

A.-1B.0C.1D.2022

【分析】利用积的乘方的法则对式子进行运算即可.

【解答】解：(--)2022X(-2—)2022

135

=L-LX(-J2)产22

135

_.2022

=1,

故选：C.

【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是熟记积的乘方的法则并灵活运用.

11.（2021秋•澄海区期末）已知单项式37炉与-2√的积为〃意力那么加-〃=（）

A.-11B.5C.1D.-1

【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题.

【解答】解：V3Λ2√∙（-Z√）=也0巴

.,.-6x3y5=Wix3）”.

•・〃?=-6,∕1~5.

:・m-n=-6-5=-11.

故选：A.

【点评】本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解决本题的关

键.

12.（2021秋•渝北区期末）下列计算正确的是（）

A.-f）a1+2b--4a2B.3a2-α2=2α2

C.-3a2∙4a=12a3D.12α6+3α2=403

【分析】根据合并同类项的运算法则判断A、B、D,根据单项式乘单项式的运算法则判断C.

【解答】解：4、-6/与防不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；

B、原式=2/,故此选项符合题意；

C、原式=-12/,故此选项不符合题意；

。、12心与3/不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查整式的加减，单项式乘单项式的运算，掌握合并同类项和同底数基的乘法运

算法则是解题关键.

二.填空题（共3小题）

13.（2021秋•双阳区期末）计算：2x2y∙（-3xy）=-6XV.

【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可.

【解答】解：2x1y∙（-3Xy）=-6xiy2,

故答案为：-6x3y2.

【点评】本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别

相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

14.（2021秋•海口期末）计算：（3α2⅛）2∙（-2α∕）=-18Q5⅛4.

【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案.

【解答】解：(302⅛)2∙(-2α⅛2)

=9σ4i>2∙(-2α⅛2)

=-18a5ft4.

【点评】此题主要考查了积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算，正确掌握相关运算法则

是解题关键.

15.(2021秋•微山县期末)比较大小：256<928.(填">,<或=")

【分析】把两个数的指数部分转化为相同，即可比较大小.

【解答】解：928=356,

Λ256<356,

5628

gp2<9,

故答案为：<.

【点评】本题主要考查事的乘方，有理数的大小比较，解答的关键是把相应的指数转化为相同.

三.解答题(共5小题)

16.(2021秋•朝阳区期中)计算：(a-2)-(3«-1)+(2«)2.

【分析】直接去括号合并同类项结合积的乘方运算计算得出答案.

【解答】解：原式=4-2-34+1+4”2

=4α2-2a-1.

【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项，正确掌握积的乘方运算法则是解题关

键.

17.(2021秋•德城区校级月考)计算：2α2∙6a4+(-203)2.

【分析】直接利用单项式乘多项式法则和积的乘方法则计算得出答案.

【解答】解：原式=12√>+4/

=16.6.

故答案为：16/.

【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键.

1

18.(2021春•常德期末)(1)计算：(-—w2⅛)3∙(-4ab2)2.

2

(2)用整式乘法公式计算：902-88X92.

【分析】(1)先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式可得；

(2)利用平方差公式计算可得.

1

【解答】(1)解：原式=——αb∙16αb

8

=-2a8⅛7.

(2)解：原式=9()2-(90-2)X(90+2)

=902-902+4

=4.

【点评】本题主要考查整式的乘法公式和平方差的运用，解题的关键是掌握整式的运算法则.

19.(2021秋•沐川县期末)化简：(3χ-l)(2r+3χ-4)

【分析】根据多项式乘以多项式的即可求出答案.

【解答】解：原式=6x3+9χ2-∣2-2Λ∙2-3X+4

=6Λ3+7Λ2-15X+4

【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型.

20.(2021秋•杜尔伯特县期末)阅读下列材料，并解决下面的问题：

我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们

规定式子23=8可以变形为log28=3,k>g525=2也可以变形为52=25.在式子23=8中，3叫做以

2为底8的对数，记为log28.一般地，若"'=6(">0且“≠1,⅛>0),则〃叫做以α为底6的对数，

记为log”。(即k>gπb="),且具有性质：

,1nzz

φlogflfe=nloga⅛;②IOgaa=〃；(S)logaΛ∕+logβW=loga(M∙N),其中a>0且a≠l,M>0,N

>0.

根据上面的规定，请解决下面问题：

(1)计算：1OW31=0,logιn25+log∣()4=2(请直接写出结果)；

(2)己知X=IOg32,请你用含X的代数式来表示y,其中y=k>g372(请写出必要的过程).

【分析】(1)先认真阅读题目,得出3*=1,求出X即可;得出IOglO25+logιo4=logιolOO,求出

即可；

(2)先变形得出y=log372,再求出即可.

【解答】解：(1)Iogjl=O,Iogιo25+log∣o4=log∣ol00=2,

故答案为：0,2：

(2)Vx=log32,

Λy=log372

=log38+log39

=31og32+2

—3x+2-

【点评】本题考查了哥的乘方和积的乘方的应用，注意:一般地，若a"=b(a>0Ra≠l,b>

0),则N叫做以“为底人的对数，记为Iog"分(即Iogab=").

题组B能力提升练

选择题(共4小题)

1.(2021秋•赛罕区校级期中)已知α=240,⅛=332,c=424,则a、b、C的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.h<a<cD.c<h<a

【分析】逆运用累的乘方法则，把a、AC都写成一个数的8次方的形式，比较底数得结论.

【解答】解：∙.Z=24°=(25)8=328,

⅛=332=(34)8=818,

c=424=(43)8=648,

又：32<64<81,

.,.a<c<b.

故选：B.

【点评】本题考查了整式的运算，掌握累的乘方法则是解决本题的关键.

2.(2021秋•南岗区校级期中)下列计算正确的是()

A.3X3∙2X2>,=6X5B.2β2∙3q3=6α5

C.(-2r)•(-5x2y)=-10?yD.(-2xy)•(-3xly)=6pj

【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则以及合并同类项法则和积的乘方运算法则化简求

出即可.

【解答】解：A、3X3×2Λ5=6Λ,故此选项错误；

B、2α2×36Z3=6∩5,故此选项正确；

C、(-2x)X(-5jc2y)=10x3y,故此选项错误；

。、(-2xy)X(-3x2y)=6∙r3y2,故此选错误.

故选：B.

【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解

题关键.

3.(2021秋•黔江区期末)要使(f-x+5)(2?-Or-4)展开式中不含，项，则。的值等于()

A.-6B.6C.14D.-14

【分析】根据多项式乘以多项式的法则进行展开，然后按照X的降序排列，使X的二次项的系数

为O即可.

【解答】解：(Λ∙2-X+5)(2√-0r-4)

—2x4-ax,-4.r2-2X3+OΛ∙2+4Λ+1Ox2-5ax-20

=2/-(a+2)X3+(α+6)/+(4-54)x-20,

：展开式中不含f项，

∙"∙4+6=0,

ci=-6,

故选：A.

【点评】本题考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的计算法则是正确解答的前提,

令X的二次项的系数为O是正确解答的关键.

r宓-

4.（2021春•余杭区期中）在关于X,），的二元一次方程组《I2y=α+6的下列说法中，正确

[3ι+y=2a

的是（）

①当a=3时，方程的两根互为相反数；②当且仅当a=-4时，解得X与），相等；③X,），满足关系

式x+5y=-12；④若9Λ∙27''=81,则a=10.

A.①③B.①®C.①②@D.①②©④

【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据互为相反数的两个数的和为0,列出方程，

求出a即可判断；②根据x=y列出方程，求出。即可判断：③在原方程中，我们消去a,即可得

到X,），的关系；④把底数统一化成a,等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到X,y的方

程，把方程组的解代入求出。.

x-2y=a+6,①

【解答】W：,

3ι+y=2a.②

由①得：x=2y+a+6③，

一a—18

把③代入②中，得：尸上上④,

7

把④代入③中，得：X=°°+6,

7

5a÷6

X=------

7

・・・原方程组的解为｛1o.

一a—18

①,・・方程的两根互为相反数，

.*.x+y=O,

5a+6-a—18

即----1—I-----=o,

77

解得：a=3,

・・・①正确；

②当X与y相等时，x=y,

即5a+6==二]8

77

解得：a=-4,

②正确；

③在原方程中，我们消去“，得到X,y的关系,

②-①X2得：x+5y=-12,

.∙.③正确；

φV9r∙27v=8l,

Λ(32)λ∙(33)V=34,

Λ32∙r∙33∙v=34,

•32x+3y=34

.'.2x+3y=4,

解得：ɑ=l(),

④正确.

综上所述，①②③④都正确.

故选：D.

【点评】本题考查二元一次方程组的解法，考核学生的计算能力，解方程组的关键是消元，消

元的常用方法是代入消元法和加减消元法.

二.填空题(共3小题)

5.(202啾•东港区校级期末)已知4,/?满足等式/+6°+9+/b———=0,则/。21产22=_——L_.

V33-

【分析】根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性、需的乘方与积的乘方解决此题.

【解答】解：：/+64+9+Jb—一-=0-

Λ(α+3)2+Jb-y=0.

；(α+3)2》0,b---≥0.

当(α+3)?+2

=0时，(a+3)=0b---=0-

3

.∙.α=-3,b=——.

3

.∙."202%2022=(必)2。21坨=(_3乂上严】*上=_」

333

故答案为:

3

【点评】本题主要考查偶次方的非负性、算术平方根的非负性、幕的乘方与积的乘方，熟练掌

握偶次方的非负性、算术平方根的非负性、事的乘方与积的乘方是解决本题的关键.

6.(2021秋•玉州区期末)若/=2,an=3,则/"+2”=72.

【分析】利用基的乘方运算法则以及同底数基的乘法运算法则将原式变形，进而求出答案.

【解答】解：Vαm=2,an=3,

•3∕w+2n

•∙zLff

=(O,M)3×(OM)2

=23×32

=72.

故答案为：72.

【点评】此题主要考查了累的乘方运算以及同底数幕的乘法运算，正确将原式变形是解题关键.

3Q

7.(2020秋•饶平县校级期末)计算：-21∙(——,ry1=-—Λ4.

4'8

【分析】根据基的乘方与积的乘方的计算法则进行计算即可.

Q,Q

【解答】解：原式=-2x∙——χ-y=--X3/,

168

9

故答案为：-=r3yt,

8

【点评】考查塞的乘方与积的乘方的计算法则，掌握法则，按顺序计算是前提.

≡.解答题(共15小题)

8.(2021秋•广水市期末)阅读以下材料：

指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化.

对数的定义：一般地，若/=N(α>0且αWl),那么X叫做以。为底N的对数，记作X=IOg“N,

比如指数式24=16可以转化为对数式4=108216,对数式2=log525,可以转化为指数式52=25.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

logα(M∙N)=IOg“M+logJV(a>0,a≠l,MX),N>0),理由如下：

设IogaM=机，IogJV=",则M="'",N=an,

,'.M'N=am∙an=a,n+n,由对数的定义得/M+〃=log“(M∙N)

又I'm+n=IogrtM+1OgaN,

.∙.1Oga(M∙N)=IOgaM+1OgaM

请解决以下问题：

(1)将指数式34=81转化为对数式4=扇81；

M

(2)求证：log”-----=IoguM-logaN(a>0,a≠l,M>0,N>0)；

N

(3)拓展运用：计算Iog69+10w8-10w2=2.

(分析】(1)根据指数与对数的关系求解.

(2)根据指数与对数的关系求证.

(3)利用对数运算法则求解.

【解答】解：(I)根据指数与对数关系得：4=log381.

故答案为:4=log381.

(2)设2gα设=m,IogaN=",则Λ∕=om,N=a",

N

M

n

.'.Ioga——=IOgaa'"=m-rt=logaΛ∕-IogJV.

N

M

Iogrt——=IogaM-logfl∕V.

N

(3)原式=)g6(9×8÷2)

=Iog636

=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查用新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关键是求解本题的关

键.

9.(2021春•江都区月考)先化简，再求值：

(1)已知:x+2y+l=3,求3XX9''X3的值.

(2)已知:Wm=3,产=5,求(x3,π)2+(-产)2-”一I严”+1)，的值.

【分析】(1)先根先根据累的乘方进行变形，再代入求出即可；

(2)据基的乘方进行变形，再代入求出即可.

【解答】解：(1)x+2y+1=3,

Λ3jc×9y×3

=3X×32V×3

=3χ+2y+1

=33

=27：

(2)∖'x2m=3,y2n=5,

：.(x3m)2+(-√n)2-√π-1∕∙√π+y

=(x2m)3+(>,2π)3-χimy2n

=33+53-3×5

=27+125-15

=137.

【点评】本题考查了整式的混合运算和求值、同底数幕的乘法和累的乘方等知识点，能正确根

据同底数哥的乘法和累的乘方进行变形是解此题的关键.

10.(2021秋•思明区校级期末)计算：

(1)2a2∙(302-5⅛)；

(2)(3χ-4y)(x+2γ).

【分析】(1)原式去括号化简：

(2)先去小括号，再合并同类项.

【解答】解：(1)原式=6/-解

(2)原式=3x2+6町-4xy-8y2

=3f+2xy-8y2.

【点评】本题考查整式的混合运算，掌握多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则是解题

关键.

11.(2021秋•巧家县期末)已知关于X的代数式(2r+l)与(x+m)的乘积中，不含有X的一次项，

求机的值.

【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再得出答案即可.

【解答】解：(I)(2x+l)(x+∕w)=2x2+(1+2"i)x+nι,

①：乘积中不含X的一次项，

，l+2m=0,

1

m=--，

2

即当机=-4-时，乘积中不含X的一次项.

2

【点评】本题考查了整式的混合运算，能正确根据多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的

关键.

12.(2021秋•延边州期末)数学课堂上老师留了一道数学题，如图所示，甲，乙，丙，丁4名同

学表示的式子是：

,_______________________________________________Ω

(∩

长为IOm,宽为6m的长方形绿地上，

修建两条宽为.m的人行道，两条路互

X相垂直，目与绿地的边垂直或平行。

求绿地的面积(用含X的式子来表示)

甲：10X6-IOx-6X

乙：10X6-1Ox-6χ-/

丙：IOX6-IOx-6x+f

丁：(IO-X)(6-x)

4名同学中正确的学生是丙、丁.(填“甲”，“乙”“丙”，“丁”)

【分析】结合图形表示出绿地的面积，即可判断.

【解答】解：绿地的面积可表示为：①10X6-10χ-6x+χ2,故甲错误，乙错误，丙正确；

②(10-ɪ)(6-x),故丁正确，

故答案为：丙、丁.

【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是理解清楚题意，用不同的方法表示出绿

地的面积.

13.(2021秋•仓山区期末)街心花园有一块长为。米，宽为。米(a>b)的长方形草坪，经统一规

划后，长方形的长减少X米，宽增加X米(x>