2023-2024学年河南省洛阳市高二年级上册期末考试数学（理）试题（含解析）

2023-2024学年河南省洛阳市高二上册期末考试数学（理）试题

一、单选题

1.若直线/经过点（0,-6）和（6,0）,则直线/的倾斜角为（）

2兀f37c_7t-兀

A.—B.—-C.-D.—

3434

【正确答案】D

【分析】由斜率公式求出直线/的斜率，利用倾斜角与斜率的关系求解.

【详解】设直线/的斜率为A,且倾斜角为a,则左=二"=1,

0-V3

则tana=l,而ae[0,7r）,故a=：,

故选：D.

2.已知数列0,2,指,…，而，…，则6是这个数列的（）

A.第6项B.第12项C.第18项D.第36项

【正确答案】C

【分析】利用数列的通项公式求解.

【详解】数列立,2,而,…，而，…的通项公式为%=而,

令an-y/2n-6解得N=18,

故选:C.

3.若双曲线的渐近线方程是y=±2x,虚轴长为4,且焦点在x轴上，则双曲线的标准方程

为（）

A.一一片=i或Zl_E=iB.=1C.f-仁=1

41641644

D.—-j2=l

4.

【正确答案】C

【分析】根据双曲线的性质求解.

—=2（a=1

【详解】由题可得。解得，、，

26=4仍=2

所以双曲线的标准方程为X?-广=1.

4

故选:C.

4.如图，线段48,8。在平面口内，BD1AB,ACLa,且N8=4,BD=3,AC=12,

则C,O两点间的距离为()

【正确答案】D

【分析】根据线面垂直的性质定理结合勾股定理求解.

连接力D,因为BDq4B,所以AD=dAB?+BD?=5,

又因为/C_Lc,4£>ua,所以ZC_L/D,

所以8=1箱+4)2=13,

故选:D.

22

5.是“曲线上+工=1表示椭圆”的()

t\-t

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】根据曲线表示椭圆，可求得f的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.

22

【详解】因为曲线工+工=1为椭圆，

t1-r

r>0

所以1T>O,解得0<f<l且f*\

।2

t^\-t

所以"0<l<1”是“0<f<1且f片!”的必要而不充分条件.

2

故选：B

6.设x,%zeR,向量3=(x,1,1),5=(1,y,z),1=(2,-4,2),S.alc,b//c,贝”。+3+己|=()

A.757B.3娓C.3D.9

【正确答案】A

【分析】由向量的关系列方程求解xj,z的值，结合向量的模的公式计算得出结果.

【详解】向量I=(x,l,l)石=(l,y,z)]=(2,-4,2),且3_1_己，〃万,

a-c=2x-4+2=0

・-l_y_z,解得x=l，尸一2,z=l,

一与―2

/.5=(l,l,l),ft=(l,-2,l),c=(2,-4,2)

/.5+^+c=(4,-5,4),

A15+6|=V16+25+16=V57.

故选：A.

7.如果实数x,y满足(x—l)2+(y—l)2=2,则工的取值范围是()

x+1

A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-oo,-l)u(l,+oo)D.

【正确答案】A

【分析】U表示(x-l)2+(y-l)2=2上的点P(xj)与点/(-l』)连线的斜率,画出图形即可

求解.

【详解】(x-l)2+(y-l)2=2表示圆心为C(l,l),半径为亚的圆，

然表示(x-l)2+(”1)2=2上的点尸(XJ)与点4(-1,1)连线的斜率.

易知直线/C平行x轴，且|/。=2,

当直线ZP为圆C的切线时，\PC\=42,|/1^=72,

故NPAC=45。，此时直线AP的斜率为1,

由对称性及图形可得亨

X+1」

故选:A.

8.设抛物线C:x2=4y,点尸为C上一点，过点P作尸轴于点。，若点』（4,2）,则

|尸。|+归/|的最小值为（）

A.715-1B.V17-1C.4D.5

【正确答案】B

【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，由抛物线的定义可知IPQITPH-I,则

|P0|+\PA\=|PF|+17<4|-1>\AF\-1,即可得解.

【详解】抛物线C:x2=4y的焦点为尸（0,1）,准线方程为夕=-1,由抛物线的定义可知

\PQ\=\PF\-l,

所以归。|+|刃|=忸-|+|尸”|T21-1=-1=VI7-1，

当且仅当A、P、尸三点共线（P在/尸之间）时取等号.

9.某牧场今年年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为10%,且在每年年

底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{c.},即。=1200,则%大

约为（）

810

（参考数据：1.1«2.144,1.19ss2.358,1.1*2.594,1.1"»2.853）

A.1429B.1472C.1519D.1571

【正确答案】B

【分析】由题意得数列匕,｝递推公式，再用构造法求出通项，代入计算即可.

【详解】由题可知%=(1+10%)^-100=1.1^,-100,

设c“+/=l.l(c„_j+k),

解得左=—1000.

即c“-1000=1.1(C“T-1000),

故数列｛%-1000｝是首项为q-1000=200,公比为1.1的等比数列.

所以c“—1000=200xl.1"T,

则c“=200x1.1"-'+1000,

9

所以cl0=200x1.1+1000»200x2.358+1000«1472.

故选：B.

10.过定点用的直线田+歹+2=0与过定点N的直线x-W+2/-4=0交于点/(/与N

不重合)，则面积的最大值为()

A.2-41B.472C.8D.16

【正确答案】C

【分析】根据题意分析可得点/在以为直径的圆上，结合圆的性质求面积的最

大值.

【详解】对于直线以+^+2=0,即比+(y+2)=0,

可得直线fx+y+2=0过定点M(0,-2),

对于直线x-(y+2f_4=0,即(x_4)-f(y_2)=0,

可得直线x-什+2-4=0过定点N(4,2),

♦.Fxl+lx(-f)=0,贝I］直线/x+y+2=0与直线x-沙+21-4=0垂直，即

...点/在以脑V为直径的圆上，且|MN|=’(4-0)2+(2+2)2=4后,

由圆的性质可知：面积的最大值为:乂|白亚卜弊=用二=8.

故选：c.

11.已知数列｛4｝满足q血:-用y=0(加22,meN')，且

a/,=sin等(〃eN*),则数列也｝的前18项和为()

A.-3B.-54C.-3石D.-54百

【正确答案】D

【分析】利用数列｛〃“｝的递推公式，结合累乘法，求得其通项公式，根据三角函数的计算,

求得数列kin等｝的周期，整理数列｛"｝的通项公式，利用分组求和，可得答案.

【详解】由(加T)水二"-加血'=0，则乌~=("2"，

凡」m

显然％="1，满足公式,即见吟，

当〃=1时，sin-;当〃=2时,sin—=--;当〃=3时，sin2^=0；

3232

sin^-^=--;当〃=6时，sin4〃=0；

当〃=4时，sin—=，当〃=5时,

3232

2〃)是以3为周期的数列，由。也=5治等，则"=八足筹,

{sin—

设数列也,｝的前n项和为S“，与=4+4+&+…+砥

=『乂圣”x昌卜2xO+4?x9+5?x昌Gx0+…

+162X^+172xf-^+182x0

^^(12-22+42-52+•••+162-172)

=y-[(l-2)(l+2)+(4-5)(4+5)+---+(16-17)(16+17)]

=6(3+9+15+…+33)=布x(3+学6一时

故选：D.

12.已知石，凡是双曲线C：W-g=l(a>0,/>>0)的左、右焦点，。为坐标原点，以片。为直

a~b~

径的圆与双曲线C的一个交点为4以6g为直径的圆与双曲线C的一个交点为8,若E，

A,8恰好共线，则双曲线C的离心率为()

A.y/\5B.V13C.26D.3

【正确答案】B

【分析】设/耳88=即在△叫&中，根据余弦定理可得忸剧忸周=［治］,根据三角

形面积公式可得建啪-二^,设周=3创=%忸玛|=2/7，则

n2

2m-2n=2a

b2］

'、SBFF=----=-x2wx2r?,从而可得〃=2。，m=3〃，代入2加〃=/，结合〃二/一片及

12tan4502

m2+(2/?=(in4-la)~

离心率公式即可求解.

【详解】设“即=a,因为8在双曲线上，故忸用-忸修=勿.

由余弦定理可得想用2=忸4|2+忸r-2防忸g|cosa

=（忸用-W周丫+2附|附21（1-cosa）,

（2c）2-（2a）2

=lb2

所以忸/心用=

2（1-cosa）1-cosa

2b2sincos?

2

所以♦=；囱出邸ina=霁22b

二、n“

l-fl-2sin2|a

tan—

2

由题意可得入!。耳与△8耳名为直角三角形，所以/耳8乃=90。.

因为。是百鸟的中点，所以A是5月的中点.

设周=|4B|=m,忸闾=2%则|4&|=m+2a.

2m-2n=2a

m—n—a

所以《S硒尸?-------=-x加x2n=><2mn=b2

tan4502

4/72=4a2+4am

m2+（2〃『=（加+2aJ

22

故4〃2=4（加一〃丫+4（相一〃）〃？=〃2=nj2-2mn+n+m-mn

=2m2-3tnn=()=>m=-n.

2

3

所以5〃一〃=a，解得〃=2a,m=3a,

所以2x34x2〃=/=。2一〃2,可得《2=13/,故6=£=而\

a

故选：B.

二、填空题

13.直线4：l+2y+2=0与直线/2：2x+4y—l=0之间的距离为.

【正确答案】立

2

【分析】确定两直线是平行直线，故可根据平行线间的距离公式求得答案.

［详解】直线/”2x+4y7=0可化为£x+2y_g=0,

贝U直线4:x+2y+2=0与直线4：2x+4y-l=0平行，

故直线4：x+2y+2=0与直线4：2x+4y-l=0之间的距离为/」2一(-2)1_6，

故答案为.在

2

14.设E、尸分别在正方体力8CQ-44GA的棱、CD上，且BE=；E/,DF=-FC,

则直线B、E与D、F所成角的余弦值为.

【正确答案】

【分析】以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线耳后与。尸所成角

的余弦值.

【详解】E、尸分别在正方体力88-44GR的棱、C。上，n.BE=-EA,DF=-FC,

如图以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，

设/8=4,则4（4,4,4）,£（4,3,0）,£>,（0,0,4）,尸（0,1,0）,

庭=（0,-1,-4）,印=（0,1,-4）,

设直线耳£与。尸所成角为6,

1515

则直线B、E与D.F所成角的余弦值cos0=cos

华㈤片।而H而「炳.折一17

J

故万.

15.已知£,心是椭圆C：J+《=1(a>6>0)的左，右焦点，Z是椭圆C的左顶点,

点P在过Z且斜率为迫的直线上，△尸片写为等腰三角形，29=120。,则椭圆C的离

4

心率为

【正确答案】g##0.5

【分析】结合图像，得到周=2c,再在RtP居。中，求得归。|=限，怩。|=。，从而得

到尸(2c,百0,代入直线/P可得到a=2c,由此可求得椭圆C的离心率.

【详解】由题意知/(一兄0),片(—0),乙(。,0),直线”的方程为：y=4I(x+a),

4')

由△尸耳鸟为等腰三角形,N"名尸=120。,得|尸玛|=|耳闾=2%

过P作尸。垂直于x轴，如图，则在Rt尸乙。中，ZP^e=180°-120°=60°,

故|尸0|=|尸闾sin/P^Q=2cx*=/5c，|EO|=|Pg|cos乙”Q=2cxg=c,

所以P（c+c,6c）,即尸住，岳卜

代入直线/P:y=4（x+”），得心=^（2c+a），即a=2c,

所以所求的椭圆离心率为e=£=《.

a2

16.首项为正数，公差不为0的等差数列｛《,｝,其前“项和为，，现有下列4个命题:

①S”$2”,$3“…也是等差数列；

②数列1｝｝也是等差数列；

③若几>0,与<0,则”=8时,S”最大;

④若｛&,,｝的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261,则此数列的

项数是19.

其中所有真命题的序号是.

【正确答案】②③④

【分析】对①，由等差中项性质判断；

对②，求出数列19｝的通项公式即可判断;

对③，由S«>0，E6<0结合解析式化简得%>0,%<0,由s,定义即可判断;

对④，设项数为2左+l,%fN*,根据求和公式列方程组解得参数，即可判断.

【详解】设数列｛%｝的公差为d,dwO,首项为q>0,则a“=q+（〃-l）d,

[24+("-1)+d2

"~2~2"

对①，

s,：+s^~2S2„=^n2+[a'~yjw+多"2+3（4_3”_2一3/）=dn2H0,

:.邑,邑“再“…不是等差数列，①错；

对②，邑=q+（〃_l）.g,则数列[2]为首项q,公差为g的等差数列，②对；

n2[nj2

对③，a,>0,S,5>0,S16<0,：.d<0,

S|s=15（q+7d）=l5tzs>0=fl8>0,—161q+）=16（。9——J<0=a9<.—<0,

二由S.定义可知，"=8时，5.最大，③对；

对④，由题意可设｛%｝的项数为2%+l,kfN*,

则所有奇数项组成的数列为首项q,公差2d,项数为k+I的等差数列，故所有奇数项的和

为囱+«口+】）++砌（"|）

=290,

所有偶数项组成的数列为首项q+♦，公差2d,项数为左的等差数列，故所有偶数项的和为

止*回=（q+@A=26L

k+1790

两式相除得一=等「左=9,.•.数列的项数是19,④对.

k261

故②③④.

三、解答题

C

17.已知5,是数列｛%｝的前〃项和，且S?=4,54=16,设4=字

⑴若也,｝是等比数列，求知;

（2）若｛a,,｝是等差数列，求也｝的前〃项和T„,

【正确答案】⑴丽=32

（2）小硬罗

【分析】（1）由等比数列的通项公式的求法求解即可；

（2）由等差数列的通项公式的求法，结合公式法求数列的前〃项和即可.

Q

【详解】(1)解：已知S〃是数列｛〃〃｝的前〃项和，且S?=4,邑=16,b“一,

4=4

b2=2

又也｝是等比数列，设公比为/则d=*=2,即瓦=碗=2x2,=32；

(2)解：已知｛%｝是等差数列,设公差为d,

2q+d=4

又色=4,S=16,则

44%+6d=16

d=2,即…f

(1+2〃-1)〃

则，

贝I也一=",

n

则7],=1+2+3+...+〃=丛”；1),

即也,｝的前"项和4=若

18.在平面直角坐标系。孙中，已知圆”的圆心在直线了=-2》上，且圆加与直线x+y-1=0

相切于点P(2,-l).

⑴求圆"的方程；

(2)过(0,-2)的直线I被圆M截得的弦长为n,求直线I的方程.

【正确答案】(l)(x-iy+(y+2)2=2

(2)y=x-2或y=-X-2

【分析】(1)根据已知得出点P与直线x+y-1=0垂直的直线方程，根据圆切线的性质得

出该直线过圆心，与己知过圆心方程联立即可得出圆心坐标，根据圆心到切线的距离得出圆

的半径，即可得出圆的方程；

(2)根据弦长得出点加到直线/的距离，分类讨论直线/的斜率，设出方程，利用点到直

线的距离列式，即可得出答案.

【详解】(1)过点P(2,-1)与直线》+>-1=0垂直的直线方程为：y+\=x-2,即y=x-3

则直线y=x-3过圆心，

■:二;:解得[：1]2'即圆心为〃(L一2),

*2-1|

则半径为厂五,

V1+T

则圆M的方程为：(x-l)2+(y+2『=2：

(2)过(0,-2)的直线/被圆/截得的弦长为指，

则点M到直线/的距离d=,

V42

若直线/的斜率不存在，则方程为x=0,此时圆心到直线/的距离为1,不符合题意;

若直线/的斜率存在，设直线/的方程为：y=kx-2,

则公普==乌解得-1,

VF712

则直线/的方程为：y=x—2或y=-x-2.

19.如图，Z8C和△OBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，NCBA=NDBC=0.

(1)求证：ADJ.BC；

(2)若0=手2兀，求平面ABD和平面ABC的夹角的余弦值.

【正确答案】(1)见解析；

⑵争

【分析】(1)取4D的中点E,可得BELAD,根据△/8C会△Q8C可得CE_LZD,由线面

垂直的判定定理及性质定理可证明；

(2)作/。18c于点。，以点。为原点，所在直线分别为xj,z轴建立空间坐标

系，求出两个平面的法向量即可求解.

【详解】(1)取4)的中点E,连接BE,CE,

A

因为=BD,NCBA=NDBC,BC为公共边，

所以所以C/=C。，所以CE，/。.

因为BEClCE=瓦BE,CEu平面BCE,所以/£>_L平面BCE,

因为8Cu平面BCE,所以4D18C.

(2)当。=与河设43=1,

作N。工8c于点0,连接。。，易证ZQOC,。。两两垂直，

以点。为原点，。2。。,。/所在直线分别为》，弘2轴建立空间坐标系,

则0(0,0,0),0日,0,0,5(0,pO1c(0,*0/0,0,

2

设平面4BD的法向量为〃=(x,y,z),

荏4。，*］，祝俘,H，

\J\)

万.血，尸且z=0

2

所以r2,

加而=3x_3z=0

I22

令z=1,可得x=l,y=贝！J〃二(1,0,1).

易知O£)_L平面/5C,所以平面48。的法向量为云=(1,0,0),

设平面4和平面N4C的夹角为。，

则同辰讣晶=九二今

故平面180和平面力8c的夹角的余弦值为4.

20.已知直线/与抛物线C:f=2眇(p>0)交于4B两点.

(1)若p=2,直线/的斜率为1,且过抛物线C的焦点，求线段48的长；

(2)若。/_L08,0。_1_/5交/8于。(-2,2),求p的值.

【正确答案】(1)8；

呜

【分析】(1)焦点为尸(0,1),直线/的方程为y=x+i,联立直线与抛物线的方程，根据弦长

公式即可求解；

(2)设直线/的方程为？=去+，"，根据题意可得勺。•储B=7,且。(-2,2)在直线/上，从而

可得直线/的方程为y=x+4,联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理可得

%+毛=20,再毛=-82，代入面.。方=o即可求解.

【详解】(1)若2=2,则抛物线C:f=4y,焦点为F(0,l),

故直线/的方程为y=x+i.

设4(演,乂),8(马,%)，

x2=4y

联立"，消去几可得/_叙-4=0,

[y=x+l

A=(-4)~—4x1x(—4)=32>0,故%=4,再%=-4.

故|4同=Jl+FX^42-4X(-4)=V2X732=&

(2)设直线/的方程为尸丘+帆，N(X”M),8(X2，%),

因为。。1力8交/8于。(-2,2),所以左O°/“8=T,且自O=-1,

所以的口=1,直线/的方程为夕=》+小.

又。(-2,2)在直线/上，所以2=-2+机,解得加=4.

所以直线/的方程为V=x+4.

Y=2"V

由〈~二,消去儿可得2px-8P=0,

y=x+4

则%+毛=2°,%毛=-8p.

因为QN_LO8,

所以。4•OB=xtx2+yly2=xlx2+（r,+4/（r2+4）=2xtx2+xi+x2+8=0,

4

即2x（-8p）+2p+8=0,解得p=,.

21.已知等比数列｛叫的前N项和为S“，且%M=2S“+2（〃eN）

（1）求数列｛%｝的通项公式；

2〃一1

（2）若"=有一，求数列｛2｝的前〃项和?；.

【正确答案】（l）a“=2-3"T：

（2）r=3_"+i

-22x3-'-

【分析】（1）根据凡与S”的关系可得公比,由%=2豆+2=2%+2=3,可求勾,再根据等

比数列的通项公式即可求解；

.2〃—12〃—1

（2）b“=——=--T，由错位相减法即可求解.

a„

【详解】（1）因为m=2S,,+2（〃eN*）,

所以当〃22时，a“=2S,-+2,

两式相减得aa+i-an=2an,即%=3a“.

故等比数列｛4｝的公比为3.

故出=2S|+2=24+2=3q,解得a,=2.

所以a“=2-3"T.

,2/?-12/?-1

（2）2F二守，

故1=4+&+...+”=尹…+2；/十^77^①，

132/7-32w-l

-^―+•,•+■”+“②,

3323"一3"

212222i-1

①-②，得