中考数学必背知识手册函数及其图像（公式、定理、结论图表）

知识必备03函数及其图像(公式、定理、结论图表)

、思维导图

平面直角坐标系

一次函数的图像与性质

实

际函

问A*反比例函数的图像与性质函数的应用

题数

二次函数的图像与性质

变量

广、知识梳理I

考点一、平面直角坐标系

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

(1)点P(x,y)到X轴的距离等于H；

(2)点P(x,y)到y轴的距离等于国；

(3)点P(x,y)到原点的距离等于JX2+9.

典例1：(2022∙淄博)如图，正方形ABC。的中心与坐标原点。重合，将顶点。(1,0)绕点A(0,1)逆

时针旋转90°得点Oi,再将。绕点B逆时针旋转90°得点。2，再将。2绕点C逆时针旋转90°得点

D3.再将绕点。逆时针旋转90°得点。4,再将。4绕点A逆时针旋转90°得点。5……依此类推，

则点£>2022的坐标是(-2023,2022).

【分析】由题意观察发现：每四个点一个循环，D4n+2(-4〃-3,4〃+2),⅛2022=505X4+2,推出D2022

(-2023,2022).

【解答】解：：将顶点。(1,0)绕点A(0,1)逆时针旋转90°得点Di,

.∖D∣(1,2),

：再将。绕点8逆时针旋转90°得点。2,再将。2绕点C逆时针旋转90°得点。3,再将。3绕点。逆

时针旋转90°得点D1,再将Dl绕点A逆时针旋转90°得点。5……

.,.D2(-3,2),£>3(-3,-4),D4(5,-4),D5(5,6),D6(-7,6),.....,

观察发现：每四个点一个循环，D4n+2(-4〃-3,4”+2),

：2022=4X505+2,

.".I)2022(-2023,2022)；

故答案为：(-2023,2022).

【点评】本题考查坐标与图形的变化-旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探

究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题.

考点二、函数及其图象

由函数解析式画其图像的一般步骤：

(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；

(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；

(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.

考点三、一次函数

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=©c(k≠0)中的常数k；确定一个一次函数，

典例2：(2022•柳州)如图，直线yι=x+3分别与X轴、y轴交于点A和点C,直线”=-x+3分别与X轴、

y轴交于点B和点C,点尸(〃?，2)是aABC内部(包括边上)的一点，则”的最大值与最小值之差为

【分析】由于P的纵坐标为2,故点P在直线)，=2上，要求符合题意的值，则P点为直线)，=2与题

目中两直线的交点，此时，〃存在最大值与最小值，故可求得.

【解答】解：∙.∙点P（加，2）是448C内部（包括边上）的一点,

二点P在直线y=2上，如图所示，

当P为直线y=2与直线）2的交点时，取最大值，

当P为宜线y=2与直线yi的交点时，/M取最小值，

;"=-x+3中令y=2,则X=1,

yi=x+3中令y=2,则X=-1,

'∙m的最大值为I，m的最小值为-1.

则m的最大值与最小值之差为：1-（-1）=2.

故选：B.

【点评】本题考查一次函数的性质，要求符合题意的，"值，关键要理解当P在何处时〃，存在最大值与最

小值，由于P的纵坐标为2,故作出直线＞，=2有助于判断P的位置.

需要确定一次函数定义式y=%χ+"（k≠o）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.

典例3：（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=fcc+匕的图象与X轴交于点A,与y轴交于

点2（0,9）,与直线OC交于点C（8,3）.

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）过点C作CD,X轴于点。，将AACQ沿射线CB平移得到的三角形记为4A'C1D',点A,C,

。的对应点分别为A',C',，若C'D'与ABOC重叠部分的面积为S,平移的距离CC'

=，",当点A'与点8重合时停止运动.

①若直线C'D'交直线OC于点E,则线段C'E的长为-ɪ/n（用含有加的代数式表示）；

-io-

②当0＜〃?＜此时，S与机的关系式为—nr；

3-25------

③当s=2支时，胆的值为15或15-2√5.

5^3.

【分析】(1)将点B(0,9),C(8,3)的坐标代入直线解析式，求解即可；

(2)①过点C作CFJ_C'D',易得ACFC'S∕∖AO8,可用加表达CF和C'尸的长度，进而可表达

点C',的坐标，由点C的坐标可得出直线OC的解析式，代入可得点E的坐标；

②根据题意可知，当0<〃?<此时，点/J'未到直线OC上，利用三角形面积公式可得出本题结果；

3

③分情况讨论，分别求出当0<m<曲时，当曲Vm<5时，当5<m<10时，当10<m<15时，S与

33

的关系式，分别令S=丝，建立方程，求出利即可.

5

【解答】解：(1)将点B(0,9),C(8,3)的坐标代入直线y=fcc+A

.{b=9

'l8k+b=3,

解得{4.

b=9

.∙.直线A8的函数表达式为：y=-旦X+9;

4

(2)①由(1)知直线A8的函数表达式为：y=-3χ+9,

4

令y=0,则X=I2,

.∙.A(12,0),

ΛOA=12,OB=9,

：.AB=i5；

如图1,过点。作CnLuD'于点F,

J.CF//OA,

ZOAB=ZFCC1,

VZCfFC=NBOA=90°,

.,.ΔCFC,SA408,

：.OB：OA：AB=CF：CF：CC1=9：12：15,

"：CC'=m,

.∙.CF=ΛM,C'F=^-ιn,

55

：.C'(8-—∕n,3+3，")，A,(12-Λn,Λn),D'(8-—∕n,Xn),

555555

VC(8.3),

.∙.宜线OC的解析式为：y=^-x,

8

：.E(8-Λn,3--ɪ/n).

510

：.CE=3+当L(3--ɪw)=-‰.

51010

故答案为：A,w.

10

②法一、当点。'落在直线OC上时，有当/7=旦(8-生〃)，

585

解得z,i=-iθ,

当0<%<也•时，点。未到直线。C,

3

2

此时S=∙lc'E∙CF=A∙A∕n∙Λn=-i-∕ni

2210525

法二、VCzD'//BO,

Λ∆CC,EsACBO,

szz

.∆CCE-(CC)2,HlISEI∏2

2ΛCBOBC36IO2

故答案为：_9T”2.

25

③法一、

2

分情况讨论，当o<wι<M∙时，由②可知，S=Aw;

325

令S=-‰"2=幺，解得;?（舍）或m=-."元.（舍）；

255333

当工lWmV5时，如图2,设线段A'D'与直线OC交于点M,

3

：.M(ɪm,ɪm),

55

：.D'E=^-m-(3-ɪw)=-‰w-3,

51010

D1M=-nι-(8-—m)=2‰-8；

555

2

ΛS=A-W-A∙(-‰7-3)∙(J2W-8)

252105

=-1‰2+至”-12,

255

令--m2+-m-12=—；

2555

整理得，3W2-3O∕n+7O=O,

解得15-√元或,〃=15+√T^>5(舍)；

33

当5WmV10时,如图3,

S=S^A'CD=A×4×3=6≠-,不符合题意;

25

当时,如图

IoWwIW154,

此时A'B=15-m,

：.BN=3(15-m),A'N=生(15-m),

55

.∙.S=∙λ∙3(15-w)∙A(15-∕n)=且(15-W)2

25525

令JL(15-∕n)2=21,解得m=15+2√ξ>15(舍)或，"=15-2«.

255

法二、分情况讨论，当0<"?<此时，由②可知，S=A→W2;

325

令解得工>也（舍）或正（舍）；（同法一）

s=-‰"2==l.,AM=ZZIm=-.2ʒ,

255333

当JQW∕M<5时，如图2,设线段A'D'与直线OC交于点M,

3

VS∆A∙cD=A×4×3=6,

2

∙"∙S∆4'CM=6-建=9，

∙*SAAOC=18,

,,

VAD//OAf

.,.∆A,CM^ΛACO,

当5Wm<10时,如图3,

S=SΔΛ∙CD=ɪ×4×3=6W丝,不符合题意;

25

当1O≤MZ≤15时.，如图4,

TA'D'〃x轴，

Λ∆A,BKSAABO,

∙.∙s=经Sz∖ABO=54，

5

[24~

.∙.空二=\叵，解得8A'=2√5,

BAY54

：.ιn=BA-BA'=15-2√5.

故答案为：151国或i5-2√ξ.

图1

【点评】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的性质

与判定，分类讨论思想等知识，根据△4'C,D'的运动，进行正确的分类讨论是解题关键.

考点四、反比例函数

反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数y=K(&≠0)图像上任一点P(χ,y)作

X

X轴、y轴的垂线PM,PN,垂足为M、N,则所得的矩形PMON的面积S=PM∙PN=∣)j•忖=|町|.

k

Vy=—,ʌxy=k,S=I女

X

典例4：(2022•东营)如图，一次函数yι=Zιx+/;与反比例函数"的图象相交于A，B两点，点A的横

坐标为点的横坐标为则不等式为〃丝的解集是(

2,B-1,x+V)

B.x<-1或OVX<2

C.x<-l或x>2D.-l<x<2

【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式hx+6<”的解集，此题得

X

解.

【解答】解：观察函数图象可知，当-IVXVO或x>2时，一次函数yι=%x+b的图象在反比例函数”

=丝的图象的下方，

X

不等式心x+6<丝的解集为：-I<x<0或x>2,

X

故选：A.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的

解集是解题的关键.

典例5:(2022•徐州)如图，一次函数)，=AX+b(k>0)的图象与反比例函数y=图■(x>0)的图象交于点A,

X

与X轴交于点8,与y轴交于点C,A。J_X轴于点。，CB=CD,点C关于直线AO的对称点为点£

(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；

(2)连接A£、DE,若四边形ACCE为正方形.

①求k、b的值；

②若点P在y轴上，当IpE-PBl最大时，求点尸的坐标.

【分析】(1)设点A的坐标为(如-ɪ),根据轴对称的性质得到ACCE,AO平分CE,如图，连接

m

CE交AD于H,得到CH=E"，求得E(2%,2)，于是得到点E在这个反比例函数的图象上；

m

(2)①根据正方形的性质得到Az)=CE,AD垂直平分CE,求得CH=1AD,设点A的坐标为(切,-ɪ),

2m

得到〃?=2(负值舍去)，求得4(2,4),C(0,2),把4(2,4),C(0,2)代入>=依+^得，解方程

组即可得到结论；

②延长EC交)，轴于P,根据已知条件得到点8与点。关于y轴对称，求得IPE-PCI=IPE-PBl,则点

P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y=x-2,于是得到结论.

【解答】解：(1)点E在这个反比例函数的图象上，

理山：•••一次函数)，=履+hα>0)的图象与反比例函数N=2(x>0)的图象交于点A,

X

设点A的坐标为(布，且)，

m

Y点C关于直线AD的对称点为点E,

：.ADA-CE,AD平分CE,

如图.连接CE交A。于H,

ICH=EH,

YBC=CD,OC-LBDf

：.OB=OD,

：.OC=-AD,

2

"."ADlx轴于D,

.•.CE〃x轴，

'.E(2∕n,—),

m

V2∕n×-⅛=8,

m

.∙.点E在这个反比例函数的图象上;

（2）①Y四边形ACoE为正方形，

J.AD=CE,A。垂直平分CE,

：.CH=^AD,

2

设点A的坐标为（加，旦），

m

：.CH=m,

m

.∙.m=工义区,

2m

：.m=2（负值舍去）,

ΛA(2,4),C(0,2),

把4(2,4),C(0,2)代入y=fcc+b得,

∫2k+b=4

lb=2

.fk=l

"1b=2,

②延长E。交y轴于P,

∖"CB=CD,OCLBD,

点B与点。关于)，轴对称，

.,.∖PE-PD∖=∖PE-PB∖,

则点P即为符合条件的点，

由①知，A(2,4),C(0,2),

：.D(2,0),E(4,2),

设直线DE的解析式为y=ax+n,

.∫2a+n=0

I4a+n=2

.∙.(a=］，

ln=-2

直线DE的解析式为γ=Λ--2,

当X=O时;y=-2,

ΛP(0,-2).

故当俨E-P8∣最大时，点P的坐标为（0,-2）.

【点评】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解

析式，正确地作出辅助线是解题的关键.

考点五、二次函数

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

如图:点A坐标为（X“y点B坐标为（X2,%）,则AB间的距离,即线段AB的长度为J（Xl-X2F+（必一%）:

・A

0

B

2、函数平移规律：左加右减、上加下减.

3、二次函数的最值

b

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当X=——时,

2a

_4ac-b2

y最值二Fr

如果自变量的取值范围是玉≤X≤%2,那么，首先要看-2是否在自变量取值范围七＜x≤%2内，若在此

2a

范围内，则当X=-£h•时，y最值=4言cιc—」b~一；若不在此范围内，则需要考虑函数在2≤X≤∕范围内的增

减性，如果在此范围内，y随X的增大而增大，则当X=X2时，V最大+c，当尤=Xl时,

y最小=ax：+如+c；如果在此范围内，y随X的增大而减小，则当X=x∣时，y最大=ar；+如+c,当

X=X2时，V最小=。尤；+b%2+c.

4、抛物线的对称变换

①关于X轴对称

y=ax2+bx+c关于X轴对称后，得到的解析式是y=-αx2-bx-c↑

y=a(xi)2+后关于X轴对称后，得到的解析式是y=-α(x-ft)2-k.

②关于y轴对称

y=ax2+⅛r+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=0r?-ZZX+c；

y="(x-犷+&关于y轴对称后,得到的解析式是y=a(x+h)2+k.

③关于原点对称

y=αχ2+⅛x+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-加+6x-c;

y=a(x-h)2+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-α(x+"了-k.

④关于顶点对称

y=ax2+6x+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax2-hx+c-—；

2a

y=α(x-+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h↑+k.

⑤关于点(〃?，〃)对称

y=a(x-〃『+Z关于点(机，〃)对称后，得到的解析式是y=-a^x+h-2w)2+2n-k.

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此Id永远不变.求

抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物

线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再

写出其对称抛物线的表达式.

典例6:(2022•内蒙古)如图，抛物线y=0x2+bx+c(a≠0)与X轴的一个交点坐标为(7,0),抛物线的

对称轴为直线X=1,下列结论：①αbc<O;②3“+c=0；③当y>0时，X的取值范围是-IWX<3；④点

(-2,yι),(2,”)都在抛物线上，则有yι<0<)2其中结论正确的个数是()

【分析】由抛物线的开口方向判断“与O的关系，由抛物线与,y轴的交点判断C与O的关系，然后根据

对称轴及抛物线与X轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【解答】解：根据函数的对称性，抛物线与X轴的另外一个交点的坐标为（3,0）；

①函数对称轴在y轴右侧，则而V0,而c=3>0,故"cV0,

故①正确，符合题意；

②=1,即％=-2α,

2a

而X=-1时，y=0,即a-b+c=O,

.∙.α+2α+c=0,

3a+c=0.

.∙.②正确，符合题意；

③由图象知，当y>0时，X的取值范围是-IVX<3,

.∙.③错误，不符合题意；

④从图象看，当X=-2时，y∣<0,

当x=2时，j2>0,

.'∙有yι<0<y2>

故④正确，符合题意：

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=∕+fer+C（a≠0）,二次项系数“决

定抛物线的开口方向和大小：当α>0时，抛物线向上开口；当“V0时，抛物线向下开口；一次项系数

匕和二次项系数α共同决定对称轴的位置：当α与b同号时（即t⅛>0）,对称轴在y轴左；当a与b异

号时（即时<0）,对称轴在y轴右；常数项c∙决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与），轴交于（0,c∙）;

抛物线与X轴交点个数由△决定：A=∕-44c>0时，抛物线与X轴有2个交点；△=y-4αc=0时，

抛物线与X轴有1个交点；ʌ=b1-4αc<0时，抛物线与X轴没有交点.

考点六、函数的应用

分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设

计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算

的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.

典例7：（2022•德州）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而

无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为y=∕-4x+l.

已知二次函数y=αr2+W+c的图象经过点A（0,1）,8（1,-2）,.

求该二次函数的解析式.

（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：C（2,-3）（答案不唯一）；

（2）当函数值y<6时，自变量X的取值范围：-l<x<5；

（3）如图1,将函数y=∕-4x+l（x<0）的图象向右平移4个单位长度，与y=∕-4x+l（94）的图

象组成一个新的函数图象，记