2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第13讲 函数的单调性9种常见题型 含解析

第13讲函数的单调性9种常见题型

【考点分析】

考点一：函数单调性的定义

如果函数/(x)对区间。内的任意的,》2,当*1<尤2时都有/(%|)</(工2)，则/(x)在

。内是增函数；当王时都有/($)>/(工2)，则/(H在。内时减函数。

考点二：单调性的定义的⅛价形式1

设Xι,x,∈[α,",那么,(*)~~/(∙x2)〉00/(%)在∣^α,“是增函数；

xi-x2

/(七)二/(%2)<0o/(χ)在必,可是减函数；

X1-X2

(百-x2)[∕(%l)-∕(x2)]<OO/(x)在[α,0是减函数。

(芭-x2)[∕(%l)-∕(x2)]>00/(x)在[a,。]是增函数。

考点三：函数单调性的应用

即若/(x)在区间。上递增(递减)且/(xl)</(x2)<≠>xl<x2(x1,x2∈£>)：

若f(x)在区间O上递递减且/(%l)</(%2)<=>xl>x2.(xl,X2∈£)).

考点四：函数单调性的性质

在公共定义域内，则

①增函数/(x)+增函数g(x)是增函数；

②减函数/(x)+减函数g(x)是减函数；

③增函数/(x)-减函数g(x)是增函数；

④减函数/(x)-增函数g(x)是减函数。

考点五：双勾函数及其性质

b

函数y=ax+-(a>0,b>0)叫做双勾函数

X

在一8'一1]或[聆'+8上单调递增；在卜聆，°或卜上是单调递减。

考点六：复合函数单调性的判断(同增异减)

讨论复合函数V=Hg(X)]的单调性时要注意：

①若u=g(x),y=∕Q)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y=∕[g(x)]为增函

数；

②若"=g(x),)，=/(“)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y=∕[g(χ)]

为减函数.列表如下:

u=g(x)y=fWy=ZIg(X)J

增增增

减减

增

减减增

复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减.

【题型目录】

题型一：用定义法证明函数单调性

题型二：抽象函数单调性的判断证明

题型三：函数单调性定义的理解

题型四：基本初等函数的单调性

题型五：函绝对值函数的单调性判断

题型六：已知函数的单调性求参数范围

题型七：分段函数的单调性求参数范围

题型八：复合函数单调性(同增异减)

题型九：抽象函数单调性解不等式

【典型例题】

题型一：用定义法证明函数单调性

证明函数单调性的步骤：

(1)取值:设内，%是/(χ)定义域内一个区间上的任意两个量，且不<々；

(2)变形:作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；

(3)定号:判断差的正负或商与1的大小关系；

(4)得出结论.

【例1】证明函数/(x)=x+」在(0,1)上是减函数。

1(1

i止明：设X],工2£(°，1)，旦王<尤2'则/(X])——(犬2)=^*-------%2--------

XX-1

(Xl-X2y2

王元2

因为王,彳2G(°，1)，且不<%2，所以XI-X2<0，0<西工2<1，所以/(%)一/(%2)>0，所

以/(%)>/(々)，所以函数/(χ)=χ+,在(0，1)上是减函数。

【例2】(2021•湖北黄石•高一期中)已知函数"x)=2χ2+;(XH0,awR),当α=l时,

用单调性的定义证明/(x)在[2,-)上是增函数.

【答案】证明见解析

解：当时，2任取且玉则

α=l/(x)=2x+-^,ΛPA⅛e[2,+x>),<Λ2,

=2(%-%)(%+%)+工

/(x2)-∕(xl)=

xx

11.因为占<%,所以乙一七>。，2

-----!ʌ~......——J2≤∖>4,2X1X2(XI+X2)-1>0,

所以/(w)-∕α)>o,即/(χ2)>∕(%)∙所以/(X)在［2,+∞)上是增函数.

【题型专练】

13

1.(2020•湖南•华容县教育科学研究室高一期末)已知函数f(x)=αx-j,且/(-2)=-：.

⑴求函数/(x)的解析式；

(2)判断函数在区间(0,+8)上的单调性并用定义法加以证明.

【答案】(l)∕(x)=X-J(2)单调递增，证明见解析

【分析】(1)直接根据题意代入求值即可；

(2)根据定义法判断函数在区间(0,+∞)上的单调性即可.

1Q1

(1)因为/(—2)=_2呜=_$所以α=l,所以/(x)=X-L.

(2)函数在(0,+∞)上单调递增，证明如下：任取Λ,,Λ2W(0,4∞),且为<七,所以

/(X2)-/(Xl)=X2--------Xl-^7]=(*2-4)+(XX2+1)(工2-玉)

因为电>xl>0,

Ix2J∖x∖J中2

所以工2-4>0，卬⅛>。所以F(W)-〃,)>°，即，(工2)>»所以F(X)在(o,+∞)上单

调递增.

2.(2022・全国♦高一专题练习)判断"x)=x+g在(0,2),(2,+⑹的单调性.

【答案】函数在(0,2)内单调递减，在(2,+∞)内单调递增.

【分析】根据单调性的定义，假设自变量的大小，作差比较函数值的大小，进而可判断单调

性.

【详解】设0<%<9，

_(4)/4)_zʌf44

则X+--x2+—=(XlT2)+--------

IXjIχι)I玉⅞

=(X1-X2)+4(々F)=(^-χ2)fl--—

4

(1)假如则°<占先<01=>-------<

XIX2

乂药-为<0：，所以y-%>0bX>必，故函数单调递减;

(2)假如2<%<了2：,则%々>4=?’一<1=>-2—8

X1X2XyX2

又占<0?，所以y-必<On夕<当，故函数单调递增：

所以函数在(0,2)内单调递减，在(2,+s)内单调递增.

3.(2022.贵州黔西.高一期末)已知函数/卜)=士的定义域为判断F(X)在［一1』

上的单调性，并用定义证明；

【答案】“X)在［-1,1］上单调递增，证明见解析

【分析】设-1?不χ2?1,由>0可证得/(χ)在［τ,ι］上单

调递增.

【详解】/(X)在上单调递增，证明如下：设」？占X2?1,

."0^2____Λ,x2(x∣+l⅜-xl(⅜+l)X1X2(x,-x2)+(X2-X1)

,•八2J-Fr不Γ(W+1)G+1)-―(^+1)(√+1)

(X,-Λ2)(X,X2-1)

(■+1)(片+I)；

2

,∙xlx2<1,xl-x2<0,Xj+1>0,xl+1>0,∙,.∕(x2)-∕(x∣)>0,

・♦./(可是在［-1,1］上单调递增.

题型二：抽象函数单调性的判断证明

类型一：/(盯)=∕(χ)+∕3型

【例1】己知定义在(0,+∞)上的函数/(X)对任意X,yW(O,-HX.),恒有/(孙)=/(ɪ)+/3,

且当O<x<l时，/(》)>0.试判断外力在(0,+8)的单调性，并证明；

解析：设是区间(0，+8)上的任意两个实数，且菁<々，所以

/(ɪl)-AX2)=f\—∙¾-/(⅞)=/—>I+/(⅞)-AX2)=∕∣ɪI-因为

X],%2w(θ,+∞)且不<工2，所以0<KL<1，所以/ʌ>0,所以/(%)一/(%2)>0.即

x2Π

/(x,)>/(x2).所以/(x)在(0,-8)上单调递减

【题型专练】

1.已知函数/(x)的定义域为(0,+8),当x>l时，/(x)>0,且/(W)=/(x)+∕(y),试

判断函数∕jx)在定义域上的单调性。

解析：设%,工2是区间(0，+8)上的任意两个实数，且玉<々，所以

(γ\■

—-ɪɪ=/&)-f强+ʃ(ɪɪ),因为

1%)

x”%e(0,+8)且再<々，所以三>1，所以/'里|>0,所以/(玉)一/(x,)<0,即

/(x1)<∕(%2),所以/(x)在(0,心)上单调递增

2.(2022・全国•高一专题练习)定义在(0,+8)上的函数”χ)满足下面三个条件：

①对任意正数a,b,都有②当x>l时，/(x)<0s③/(2)=-l

⑴求/(1)和的值；

(2)试用单调性定义证明：函数/(x)在(0,+")上是减函数；

【答案】⑴〃I)=Oj(I)=2,⑵证明见解析

【分析】(1)赋值计算得解；(2)根据定义法证明单调性；

【详解】⑴ky=l得41)=/(1)+/(1),则/(I)=0,而/(4)=/⑵+〃2)=—1-1=-2,

且“4)+∕(T="l)=0,贝"(力=2；

⑵取定义域中的任意的巧，巧，ao<x,<x2,.∙A>ι,

x∖

/∖/λ

当x>l时，/(x)<0.:.f±<0,.∙.∕(x2)-/(xl)=yɪ,ʌ—/(xl)

vɪɪ√∖x∖)

=Fa)+力上]—∕α)=d%∙]<o,"(H在(。，+8)上为减函数.

kʃɪ√kʌi7

类型二：/(χ+y)=∕(χ)+∕(y)型

【例1】已知函数y=/(Λ)的定义域为R,且对任意的X,yeR均有/(%+>')=/(ɪ)+/(y)，

且对任意的x>0,都有f(x)<0J(3)=-3.

(1)试说明：函数y=∕(x)是R上的单调递减函数；

解析：设和超是区间(°，+8)上的任意两个实数，且所以

x

/(ɪi)-/fe)=/(ɪɪ)-f(2-ɪɪ+ɪɪ)=/(ɪ,)-[/(%2-x1)+/(ɪ,)]=-f(x2-xl),因为

%∣,x2∈(θ,+∞)且玉<x2,所以W-玉>0.所以/(x2-ɪ∣)<0,所以/(x∣)-/(工2)>0，

即/(x,)>)，所以/(X)在(0,f8)上单调递减

【题型专练】

1.已知函数/(x)的定义域为R,且对任意的x,y∈R均有/(x+y)=∕(x)+∕(y),且对任

意的x>0,都有/(x)>0,试判断函数/(尤)在定义域上的单调性。

解析：设内是区间(0，+8)上的任意两个实数，且％<血，所以

/(ɪi)-/(⅞)=/(X)-/&一玉+玉)=)一[/a-XJ+/(%)]=-/(々f)，因为

xl,x2e(θ,+∞)且玉，所以/一%>θ>所以/(⅞-∙ɪ∣)>θ•所以/(%∣)-∕(x2)<0,

即/(X)<)，所以/(%)在(0,÷w)上单调递增

类型三：/(χ+y)=∕(χ)+∕(y)+%型

【例1】已知/(χ)定义域为R,对任意x,yeR都有/(x+y)=∕(x)+∕(y)-2,且当

尤>0时，/(χ)<2.⑴试判断/(χ)的单调性，并证明；

解析：设与々是区间(°，+8)上的任意两个实数，且％<%2，所以

[/&一%)+

/(ɪɪ)-/(⅞)=/(%)-/&-M+%)=/(ɪɪ)-fM~2]=-∕(Λ2-X,)+2

ex-χ

因为Xl,X2(θ,+∞)H.Xi<X2>所以工2一%>0，所以fk2i)<2，所以

∕U∣)-∕(⅞)>θ>即/(χJ>∕(χ2),所以/(χ)在(o,y)上单调递减

【题型专练】

1.已知/(X)定义域为R,对任意X,y∈R都有/(x+y)=/(x)+/(y)+g,且。当

龙〉;时∙，/(x)>0.

⑴试判断了(x)的单调性，并证明;

解析：设x>0,则x+』>L=∕(x)+d+g=∕(x)+g>O,即

,所以/元+

2212

/W>4任取X],%e(-8,+∞),且不>入2，则%-％2>0，所以

/(ɪi)=/[(ɪɪ-X2)+x2]^f↑xl-x2)+/(⅞)+ɪ>/(⅞)

即/(XJ>/&)，所以/(X)在(-8,4∞)上单调递增

题型三：函数单调性定义的理解(注意对于任意字样)

【例1】下列命题正确的是()

若对于∈都有

A.VXx27?,xl≠x2,ΛI∕(ΛI)+X2∕(X2)>X]∕(Λ2)+W∕(ΛI),

则函数y=∕(x)在R上是增函数

B.若对于∀xl,X2ER,x∣≠x2,都有」")—>-1,则函数y=/(x)+x

XLX2

在R上是增函数

C.若对于WX∈R,都有/(x+l)<∕(x)成立，则函数y=∕(x)在R上是增函数

D.若对于VXG于,都有/(x),g(x)为增函数，则函数y=∕(x>g(x)在R上也是

增函数

【答案】AB

【详解】选项中∣∣化简为

A-^∣∕(-^∣)+X2∕(Λ⅛)>X∕(⅞)+⅞∕(x)

(xι-Λ2)(∕(Λi)-∕(x2))>0,

故函数/(x)在R上是增函数；

B选项中—')>—1~~———ɔ——~------〉O,

-x

xl2xl-X2

故函数y=∕(x)+x在R上是增函数；

C选项中，令/(x)=[x],卜]表示不超过X的最大的整数，

满足/(x+l)>∕(x),但/(x)在R上不是增函数；

D选项中，令/(x)=g(x)=X,但函数y=∕(x)∙g(x)在R上不单调.

【题型专练】

1.(2021・河北・石家庄一中高一期中)给出下列命题，其中是错误命题的是()

A.若函数/S)的定义域为[0,2],则函数f(2x)的定义域为[0,4].

B.函数/(x)=1的单调递减区间是(-∞,0)(0,+∞)

X

C.若定义在R上的函数F(X)在区间(-8,0]上是单调增函数，在区间(0,+∞)上也是单调增函

数，则/(X)在R上是单调增函数.

D.4、々是/O)在定义域内的任意两个值，且占</，若F(XI)>/(々)，则/3减函数.

【答案】ABC

【解析】对于A,由于/(x)的定义域为[0,2],则由0≤2x≤2可求出/(2x)的定义域；对于

B,反比例函数的两个单调区间不连续，不能用并集符号连接；对于C,举反例可判断：对

于D,利用单调性的定义判断即可

【详解】解：对于A,因为/S)的定义域为[0,2],则函数/(2x)中的2x∈[0,2],x∈[O,l],

所以f(2x)的定义域为[0,1],所以A错误；

对于B,反比例函数f。)=’的单调递减区间为(-,O)和(0,田)，所以B错误；

X

对于C,当定义在尺上的函数/(X)在区间(-∞,0]上是单调增函数，在区间(0,+8)上也是单

调增函数，而/(X)在/?上不一定是单调增函数，如下图，显然，∕d)<∕(0)

所以C错误；

对于D,根据函数单调性的定义可得该选项是正确的，

故选：ABC

题型四：基本初等函数的单调性

1.一次函数：y=京+M女≠0)①当女〉0时，为增函数②当Z<O时，为减函数

2.反比例函数：y=Kk≠0)①当%>0时，/(x)在(-8,0)和(0,4W)上为减函数②当Z<0时,

X

/(x)在(-8,0)和(0,4W)上为增函数,注意:不能说反比例函数在定义域为增函数或者减函数，

不连续的函数一定要注意，不能写成(-8,0)U(O,+8),只能用“和”或者“，”

3.二次函数：y-ax2+hx+c(a≠0),看开口方向和对称轴

【例1】(2022•江苏•高一)函数/(x)=L的单调递减区间是()

X

A.(-∞,0),(0,+∞)B.(0,+∞)C.(-∞,0)(0,+∞)D.(-∞,0)

【答案】A

【分析】根据反比例函数的性质得解：

【详解】解：因为/(幻=’定义域为(-<»,0)”0，+<®),函数在(-,O)和(0,+∞)上单调递减，

X

故函数的单调递减区间为(-8,0)和(0,+8);

故选：A

【例2】(2021.全国•高一专题练习)函数“EHxTI与g(x)=x(x-2)的单调递增区间分别

为()

A.[1,+oo),[1,÷∞)B.(-8,1],[1,+∞)

C.(1,+∞),(-∞,1]D.(-∞,+∞),[1,+oo)

【答案】A

【解析】先对F(X),g(χ)进行化简,再求单调区间即可.

,入“∖II∖x-l,x≥l

【详解】解：/(x)=∣x-l∣=,

—X+1,X<1

∙∙J(6在［l,+8)上单调递增，

g(x)=x(x-2)=x2-2x=(x-l)2-1,

.∙.g(x)在［l,÷oo)上单调递增,

故选：A.

【例3】(2021.全国•高一单元测试)函数/(x)=∙r匚在()

A.(γo,l)5L+∞)上是增函数B.(-∞,l)51,+∞)上是减函数

C.(-∞,D和(1,”)上是增函数D.(-∞,1)和(l,y)上是减函数

【答案】C

【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果.

【详解】/(©=*=-丁*=-F」=-I-J-=1一-1，函数的定义域为

1-X1-X1-X秒I-X1-X

(-oo,l)u(l,+∞),

其图象如下：由图象可得函数在(-∞,1)和(l,x>)上是增函数.

【例4】下列结论正确的是

A.函数=的单调增区间是(f0,-l]

√x2-l

3?

B.函数〃X)=木r+ɪ在定义域内单调递减

C.函数"x)=x2-2国一3的单调递增区间是(TO)Q-)

——4x+1,X<0

D.函数/(x)=11的单调递减区间是［一2,0)U(Ly)

—2XH—,X>1

I2

【答案】C

【详解】对A,函数的定义域为/一1>0,解得卜|x<—1或x>l},所以A错

3x+2

对B∕(x)=―/2ɪʌ2^∣+^τ，所以/(χ)在(一0°，一；)和(―；，+00

2x+1

分别为减函数，但不能说/(x)定义域内单调递减

对c,由题Ef(X)--21力3=杭舄：：：：：

函数f(χ)的单调增区间为(τ,0),(|，+8),单调减区间为(-∞,-ι),(0,1)；

对D,当χ<0时，/(x)=—/一4x+l的开口向下，对称轴为X=—2,所以/(x)的单调

减区间为［-2,0),乂当χ>l时，/(x)=—2x+；为减函数，但中间不能用U这个符号

【例5】(2021•江苏•高一单元测试)已知〃x)=3-2此g(x)=x2-2x,设

FaH瑞瑞则关于F(X)的说法正确的是()

A.最大值为3,最小值为-1

B.最大值为7-2√7,无最小值

c.单调递增区间为(-∞,2-√7)和(ι,G),单调递减区间为(2-77,1)和(6,+动

D.单调递增区间为(-8,0)和单调递减区间为((U)和("+∞)

【答案】BC

【分析】在同一坐标系中由“X)与g(x)的图象得出函数尸(X)的图象，结合图象即可得出

尸(力的性质，判断各选项.

【详解】在同一坐标系中先画出了(X)与g(X)的图象，

当〃χ)<g(χ)时,F(X)=∕(4∣表示f(x)的图象在g(x)的图象下方就留下了(x)的图象，

当/(χ)∙∙g(χ)时,尸(X)=g(χ),表示g(χ)的图象在“X)的图象下方就留下g(χ)的图象,

然后根据定义画出F(X),

就容易看出F(X)有最大值，无最小值，

故A错误，

当x<0时，由3+2x=f-2χ,得x=2+√7(舍)或x=2-√7,

此时尸(x)的最大值为：7-2√7,无最小值，

故B正确，

x>0时，由3—2x=x2—2χ,解得：X=石(―百舍去)，

故F(X)在(-∞,2-⑺，(1,@递增，在(2-77,1)和(省,+∞)递减

故C正确，D错误，

故选：BC.

【题型专练】

1.下列说法正确的是

A.若当王<%2时，/(χ∣)</(χ2)>则y=/(χ)在/上为增函数

B.函数/(x)=χ2在[θ,+χ))上为增函数

C.函数/(X)=-L在定义域内为增函数

X

D.函数/(x)=L的单调增区间为(一叫0)D(O,÷∞)

X

【答案】B

【详解】对A,由函数单调性的定义知，应为对于任意王,々e/，所以没有任意二字，不

对

对B,对称轴为X=O,开口向上，所以函数/(X)=/在(0,-8)上为增函数

对C,所以/(x)在(-8,0)和(0,心)上分别为增函数，但不能说/(x)定义域内单调递增

对D,7(九)在(-8,0)和(0,48)上分别为减函数，，但中间不能用口这个符号

2.下列函数中，满足“对于任意玉,当€(0,+8),都有了(X上/区)>0”的是

X1-X2

21

A.f[x)=-B./(x)=-3x+lC.f(x)=x2+4x+3D./(x)=x+-

XX

【答案】C

f(x)_f(x\

【详解】因为“对于任意西(0,-8),都有2/>0”,所以/(X)在(0,ZO)上

X∣一尤2

为增函数

3.求函数/(X)=-J的单调区间为

1+x

【答案】增区间：(―8,—1)和(τ,+χ)

rrI1_1_1

【详解】f(x)=」一=」LJ∙=1+-l,所以/(χ)的单调递增区间为(—8,—1)和

x+1x+1Λ+1

(-1,4W)

9

4.函数/(X)=-5WJ+/的定义域是［0,2］,则其值域为

Jg-

【答案】一2,三

【详解】由题意知/(x)在定义域［0,2］上为增函数，所以当X=O时，

O1O

/Mnlin=Z(O)=-2+0=-2,当χ=2时，/(4_=*2)=—指+4=］

5.(2021・全国•高一课前预习)函数〃引=一二的单调递减区间是______.

X—1

【答案】(—00,1),(1,+∞)

【分析】根据函数单调性的定义求得函数>=一1的单调递减区间.

X-I

【详解】函数/(力=J~j*的定义域为(一8,1)U(1,÷∞),设X/,也£(—8,1),且X∕<X2,

则

MH=⅛^⅛=•因为打5<1'

所以X2-X∕>0,ɪ/-l<0,X2—1<0,所以於/)—/(X2)>0,即y(X/)»X2).

所以函数y(χ)在(一S,1)上单调递减，同理函数4X)在(I,+oo)上单调递减.

综上，函数4X)的单调递减区间是(一8,1),(1,+∞).

故答案为：(一8,1),(1,+∞)

6∙(2021∙全国.高一课时练习)函数y=j7+6x-Y的单调递增区间为.

【答案】［T3］

【分析】先求函数的定义域，再由复合函数的单调性即可求解.

【详解】由题意可得7+6x—Y≥0,即/-6x-7≤0,解得：-l≤x≤7,

所以函数y=λ∕7+6x-f的定义域是［T7］,

y=∖∣7+6x-X2是由〃=+6x+7和y=〃复合而成，

因为〃=-x2+6x+7对称轴为x=3,开口向下，

所以"=-V+6χ+7在区间［T,3］上单调递增，在区间［3,7］上单调递减，

而y=√F单调递增，

所以y=g+6x-f的单调递增区间是,

故答案为：

题型五：函绝对值函数的单调性判断

1.注意函数y=/闻和V=∣∕(xj函数图象的画法

2.当函数中某一部有绝对值可以考虑通过讨论正负去掉绝对值

【例1】(2022∙上海金山•高一期末)函数/(x)=|x—1|的递增区间是.

【答案】"，+8)

【分析】画出函数)，=IX-Il的图象，数形结合可得函数的增区间.

【详解】解：函数y=∣x-1|的图象如图所示：

数形结合可得函数的增区间为［1,+∞),

故答案为：［1,+∞).

【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的单调性的判断,体现了数形结合的数学思想，

属于基础题.

【例2】(2021•全国•高一专题练习)函数/(x)=∣x+l∣+∣3-x∣的单调递减区间是.

【答案】(-∞,-l］

—2X+2,x≤—1

【分析】由题意结合零点分段法可得/（X）=4,T<X<3,即可得解.

2x-2,x≥3

—2%÷2,%≤—1

【详解】由题意/(x)=∣x+l∣+∣3-x∣=∙4,-l<x<3

2x-2,x≥3

所以函数/S）的单调递减区间为（-∞,-U.

故答案为：（-,-U.

【点睛】本题考查了含绝对值函数单调区间的求解，考查了零点分段法的应用与分类讨论思

想，属于基础题.

【例3】（2020.全国•高一课时练习）求函数y=-Y+2国+3的单调递增区间.

【答案】（-∞,T］和［0,1］

【解析】分类讨论去绝对值，求出分段函数的解析式，转化为二次函数的单调性，结合函数

图像，即可求解.

~x2,+2.x+3,X2O

【详解】y=-x2+2∣x∣+3=,

—x~-2.x+3,x<O

作出函数图象如图所示.

，函数y=一寸+4耳+3的单调递增区间是（-∞,—1］和［0,1］.

故答案为：（T«,-1］和［05.

【点睛】本题考查分段函数和二次函数的单调性，属于中档题.

【例4】（2022•全国•高一专题练习）函数/（x）=∣x-2IX的单调递减区间是.

【答案】口，2］

【解析】由"）=∣T∙x=2…*2’分段讨论出函数的单调区间，从而得出答案•

X2-2χx>2

【详解】由/(x)=k-2∣∙x=∙

2x-x2x<2

当了>2时，/（x）=χ2-2X开口向上，对称轴方程为X=I,所以在（2,+∞）上单调递增.

当x≤2时，〃x)=2x—d开口向下，对称轴方程为χ=ι

所以此时“X)在(-8』上单调递增，在[1,2]上单调递减.

故答案为：[1,2]

【例5】(2021.全国•高一专题练习)函数/(x)=∣∕-6x+8∣的单调递增区间为()

A.[―3,+∞)B.(-∞,2),(4,+∞)C.(2,3),(4,+∞)D.(―∞,2],[-3,4]

【答案】C

【分析】去绝对值，将/U)化为分段函数，转化为二次函数的单调区间，即可求解.

2X≤2垢≥4

【详解】/(x)=∣√-6x+8∣=∙X—6x+8

-X2+6x-82<x<4

所以/(ʃ)递增区间是(2,3),(4,+8).

故选:C.

【点睛】本题考查分段函数的单调性，注意二次函数单调性的应用，属于基础题.

【题型专练】

1.(2020.全国•高一课时练习)关于函数/(x)=[,下列结论：①函数在定义域内是减函数；

②函数有两个单调区间，且单调性不相同；③函数在(-∞,0)上单调递减；④函数的单调区

间为(-∞,0)5°，”)•其中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】先求出函数“H=看的定义域,让后将“χ)=后写成分段函数的形式,再判断单调

性和求单调区间即可.

-%>O

【详解】解:函数定义域为(F,0)D(0,~),/(x)=Λ=x,

N-L<O

X

定义域区间不连续，结论①、④错误；

在(-∞,0)上函数单调递递增，结论③错误；

函数在区间(γ>,o)上递增，在区间(0,+∞)上递减，结论②正确.

故选:A

【点睛】本题考查了分段函数,函数的单调性和函数的单调区间,是基础题.

2.求函数/(x)=∣-χ2+4χ+5∣的单调增区间为

【答案】[一1,2]和[5,+8)

【详解】画出函数/(x)=|——+4x+5|的图象(如图所示)可知

3.(2021.全国•高一课时练习)已知函数AX)=TIXI+2χ,则下列结论正确的是()

A.增区间是(0,+8)B.减区间是(9,-I)

C.增区间是(YO,1)D.增区间是(-1,1)

【答案】D

【解析】根据题意，将f(χ)写成分段函数的形式，结合二次函数的性质分段讨论/(χ)的单调

性和单调区间，综合可得答案.

【详解】根据题意，函数/(ɪ)=rW+2x=：2x，x：0,

Jr+2x,x<0

当x<0时∙，/(X)=X2+2X=(X+1)2-1,在区间(9,-I)上为减函数，在区间(-1,0)上为增函

数；

当x≥0时，/(x)=-χ2+2x=-(x-l)2+l,在区间［0,1)上为增函数，在区间(L+∞)匕为减函

数；

综合可得：f(x)在区间(9,-I)和(1,一)上为减函数，在区间(-1/)上为增函数，

故选：D.

4.(2023♦全国♦高三专题练习)函数y=∕-2W+l的单调递增区间是()

A.(-1,0)B.(To)和―)

C.(-00>-1)D.(τ>o,-1)和(0,1)

【答案】B

【解析】作出函数的图象，由图象求解单调区间.

(X-I)2,x≥0

【详解】y=x2-2∣x∣+l=

(x+l)2,x<O

作出其图象如图所示:

故选:B

题型六：已知函数的单调性求参数范围

【例1】已知函数/(%)=*+2(。一1)工+2在区间(—8,4］上是减函数，则实数”的取值范围

是

A.α≤-3B.Q≥-3C.a≤5D.Q≥3

【答案】A

【详解】/(x)的对称轴为X=—2=—生二D=I—°,因为y(χ)在区间(—8,4］上是减

2a2

函数，所以l-a≥4,解得。工一3

【例2】若函数/(x)=∣2x+a∣的单调增区间是［3,一。。)，则a=

【答案】。=-6

【详解】令2x+a=0,可得x=—因为函数/(x)=∣2x+a∣的单调增区间是［3,物)，

所以一0=3,解得a=-6

2

【例3】已知函数/(X)=竺里在区间(一2,+oo)上是增函数，试求a的取值范围。

x+2

【答案】(/'+CO)

【详解】∕∙(x)=ɪ=心+2)+1-2ja+ɪ

x÷2x+2x+2

因为/(X)=竺上ɪ在区间(一2,+00)上是增函数，所以1一2。<0,解得a〉L

x+22

【例4】(2021•全国・高一单元测试)已知函数/(x)=-χ2+2av与g(x)==在区间［1,2］上

x+1

都是减函数，那么。€()

A.(0,1)B.［0,l)C.(0,l］D.［0,1］

【答案】C

【分析】二次函数在区间U,2］单减，则区间口,2］在二次函数的减区间范围内，从而求得。的

范围；反比例函数在区间口,2］单调递减，得a>0,取交集即可

【详解】根据二次函数的表达式可知，/S)的对称轴为X=。，开口向下，若/S)在区间口,2］

上是减函数，则4≤l,g(x)是反比例函数，若g(%)在区间口,2]是减函数，则。>0,所以

O<α≤l

故选：C

【例5】(2021•全国•高一专题练习)已知函数"x)=2/+4(α-3)x+5,下列关于函数

的单调性说法正确的是()

A.函数/(x)在R上不具有单调性

B.当α=l时，f(x)在(-?,0)上递减

C.若/(x)的单调递减区间是(-∞,-4],则α的值为-1

zz「3"

D.若/(x)在区间(v,3)上是减函数，则α的取值范围是Oq

E./(x)在区间(3,”)上不可能是减函数

【答案】BD

【解析】对二次项系数。分类讨论，当α=0时，/(x)=T2x+5,在R上是减函数；当“0

时，函数f(x)是二次函数，根据开口方向，和对称轴的位置，可判断其单调性，或由单调

性，求参数，即可得出结论.

【详解】当q=0时，/(x)=-12x+5,在R上是减函数，A错误；

当α=l时，/(x)=2f-8x+5,其单调递减区间是(-∞,2],

因此F(X)在(-∞,0)上递减,B正确:

2a>0

由的单调递减区间是(y,T]得4(a-3)_,

。的值不存在，C错误；

在。中，当α=0时，/(x)=-12x+5,在(-∞,3)上是减函数：

a>0

3

当αxθ时,由犬…“得0<α≤—

4f

4a

3

所以〃的取值范围是00,。正确；

_4_

a<0

由/(x)在区间(3,E)上是减函数得4(a-3)，

-----------≤3

I4a

解得”()，因此“X)在区间(3,一)上可能是减函数，E错误.

故选

【点睛】本题考查一次函数、二次函数单调性，以及由单调性求参数范围，考查分类讨论思

想，属于中档题.

【例6】已知二次函数y=f(x)的图象过点(—1,3),且不等式/(x)—7x<0的解集为

(I)求/(x)的解析式；

(II)设g(x)=∕(x)-〃a，若g(x)在(2,4)上是单调函数,求实数m的取值范围.

解析:(1)由题意可设/(x)-7X=q(x—l),即/(x)="X--(x-l)+7x,由/(x)

的图象过点(—1,3),可得彳一1-£|(—l-l)+7χ(-l)=3,解得。=4,所以

/(Λ)=4X2+2X+1

2Ti

(2)g{x)=f{x]-mx=4X2+2X+1-∕71V=4X2+(2-/??)%+1,对称轴X=........-,因

8

2—7772—777

为g(x)在(2,4)上是单调函数，所以-------≤2或-------≥4,解得加≤18或m≥34

88

【题型专练】

1.(2021・全国•高一单元测试)函数/(x)=-χ2+2(l-帆)x+3在区间(-3,4]上单调递增，则加

的取值范围是有()

A.[-3,+8)B.[3,+∞)C.(-∞,5]D.(→>,-3]

【答案】D

【分析】首先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；

【详解】解：因为函数"X)=—d+2(l-∕n)x+3,开口向下，对称轴为X=I-〃?，依题意

l-m≥4,解得m≤-3,即〃I∈(-8,-3]

故选：D

2.(2021.全国•高一课时练习)若函数/(x)=(3α-l)x+6在(Y>,+∞)上是严格增函数，则实

数4的取值范围是.

【答案】(；，+8)

【分析】由题意知函数是严格增函数，故X前面的系数大于零，即可得到答案.

【详解】函数/(x)=(3a-l)x+b在(-∞,*o)上是严格增函数，.∙.3a-l>0,nα>g.

故答案为：

3.(2021・全国•高一课时练习)若/(X)=H2-以-8是［5,20］上的严格减函数则实数&的取

值范围是.

【答案】k≤-

10

【分析】当A=O时，/(x)=TX-8符合题意，当左片0时，求出对