福建省福州市八县（市）一中高三上学期期中联考数学试题

20202021学年度第一学期八县（市）一中期中试卷高中三年数学科试卷命题学校：永泰一中命题教师：审核教师：考试日期：11月12日完卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A=x∈Zx2-5x-6≤0，B=A．x1<x≤6 B．2,3,4,5,6 C．x1≤x≤6 D．2．已知：“函数在上是增函数”，：“a>-2”，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数是定义在上的偶函数，且函数在上是减函数，如果f3=-1，则不等式fx-1+1≥0的解集为（）A．-∞，2 B．2，+∞ 4．右图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（）A．直线与直线平行 B．直线与直线相交C．直线与直线异面且垂直 D．直线与直线异面且所成的角为60°5．记为正项等比数列的前项和，若S2=1，S4=5，则SA．S7=10B．S7=23C．6．已知m>0，n>0，m+4n=2，则4m+1A．36 B．16 C．8 D．47．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线x=π4对称 D．关于直线8．已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（）A． B． C． D．二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分）9．已知复数满足为虚数单位，复数的共轭复数为，则（）A． B．C．复数的实部为 D．复数对应复平面上的点在第二象限10．已知，如下四个结论正确的是（）A．AB⊥AC； B．C．AC与BD夹角的余弦值为； D．AB11．在∆ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．∆ABC的面积为612．已知直三棱柱中，，，是的中点，为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（）A．当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为B．无论点在上怎么运动，都有C．当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且D．无论点在上怎么运动，直线与所成角都不可能是30°三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若，则________．14．已知数列的前项和Sn=n2-3n-1，则15．在三棱锥中，平面PAB垂直平面，PA=PB=AB=AC=23，，则三棱锥外接球的表面积为_________.16．函数满足，当时，，若有个不同的实数解，则实数的取值范围是______.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本小题满分10分）已知是数列的前项和，且2Sn+3=3（1）求的通项公式；（2）设bn=1log3an18．（本小题满分12分）在①3cosCacosB+bcosA=csinC③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知∆ABC的角，，对边分别为，，而且______．（1）求；（2）求∆ABC周长的范围．19．（本小题满分12分）已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥.（1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求二面角P-BD-A的余弦值.20．（本小题满分12分）如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为，C、D两点在半圆弧上满足，设，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由和组成．（1）若θ=π6，求观光通道l（2）用θ表示观光通道的长l，并求观光通道l的最大值；21．（本小题满分12分）已知函数fx=x∙e（1）求a的值并求函数在x=1处的切线方程；（2）已知函数gx=emx-lnxm22．（本小题满分12分）已知函数fx（1）当a=12时，讨论函数y=（2）若不等式fx≥1在时恒成立，求实数a（3）证明：120202021学年度第一学期八县（市）一中期中试卷高中三年数学科试卷参考答案一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）15:BACDD68:CAB二、选择题题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分）9.BD10.BD11.ABD12.ABD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.-4514.an=四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本小题满分10分）解：（1）因为，所以.相减得，2分所以，所以.又，解得，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即的通项公式为.5分（2）由（1）可得.8分所以.10分18．（本小题满分12分）解：(1)选①:由正弦定理得3cosC即：3cosCsin因为sinC≠0，∴tanC=3因为C∈0，π选②:由正弦定理得sinAsin因为sinA≠0，∴cosc因为cosC2≠0因为C∈0，π选③:因为,所以,即,2分所以,3分因为,所以;4分(2)由(1)可知:,在∆ABC中,由余弦定理得,即,6分所以,所以,当且仅当时等号成立,10分所以,即∆ABC周长的最大值为.又因为a+b>c=3，所以∆ABC周长的取值范围为219．（本小题满分12分）解：（1）在图①中，连接，如图所示：因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.因为为的中点，所以，.2分又，所以.在图②中，，所以，即.因为，所以，.4分又BE∩AE=E，，平面.所以平面.5分又平面，所以平面平面.6分（2）由（1）知，，.因为，，平面.所以平面.以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则，，，，.因为为的中点，所以.所以，.8分设平面的一个法向量为，由PB∙m=0PD∙令，得m=-1，-设平面BDA的一个法向量为n=因为BA=-由BA∙n=0令x1=1得设二面角P-BD-A的大小为，由题意知该二面角为锐角.则cosθ=m所以二面角P-BD-A的余弦值为17.若有其他解法，可酌情给分！20．（本小题满分12分）（1）因为θ=π6所以在∆OCD中，利用余弦定理可得CD2=1+1-2*1*1*cos2π同理BC=AD=2-所以观光通道长l=2+3+6（2）作，垂足为E，在直角三角形中，，则有，6分同理作，垂足为F，，即：，8分从而有：10分因为θ∈0，π2，所以当时，l取最大值5，即观光通道长l若有其他解法，可酌情给分！21．（本小题满分12分）解：（1）fx因为f'若a=0则fx若a≠0则令f'x所以f'-1经检验，a=1符合题意。因为切线斜率f又因为f1=e所以切线方程为：y=2e即切线方程为：y=2ex（2）因为存在x∈0，+∞，使得则emx即m即mx即mx即fm由（1）得f所以fx在区间-∞，-1上单调递减，在区间因为m>0，x>0，memx≤lnx所以即mx>0所以存在x∈1，+∞使得所以存在x∈1，+∞使得即m≤lnxx令sx=lnx因为s'x所以sx在区间1，e上单调递增，在区间e，+∞所以sx的最大值为所以m≤1e又因为m>0，所以所以m的最大值为1e若有其他解法，可酌情给分！22．（本小题满分12分）解：（1）因为a=12所以y=fx在区间0，2上单调递减；在区间（2）求导数可得，当a≥1时，fx≥0，函数y=fx在当时，由fx>0可得，函数在上单调递增，在上单调递减；5分①当a≥1时，函数y=fx在∴fx≥f0=1②当时，函数在上单调递减，存在使得fx0<f综上可知实数的取值