2020高考数学新课改省份专用课时跟踪检测（四）基本不等式

课时跟踪检测（四）基本不等式[A级基础题——基稳才能楼高]1．函数f(x)＝eq\f(\r(x),x＋1)的最大值为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D．1解析：选B显然x≥0.当x＝0时，f(x)＝0；当x>0时，x＋1≥2eq\r(x)，∴f(x)≤eq\f(1,2)，当且仅当x＝1时取等号，f(x)max＝eq\f(1,2).2，若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是()A.eq\f(|a＋b|,2)≥eq\r(|ab|) B.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2C.eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 D．(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4解析：选C由于a，b∈R，所以A、B、D项不能直接运用基本不等式考察，先考虑C项．∵eq\f(a2＋b2,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(2a2＋b2－a2＋2ab＋b2,4)＝eq\f(a2－2ab＋b2,4)＝eq\f(a－b2,4)≥0，∴eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2.3．(2018·东北三省四市一模)已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为()A．8 B．9C．12 D．16解析：选B由题意可得eq\f(4,y)＋eq\f(1,x)＝1，则x＋y＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,y)＋\f(1,x)))＝5＋eq\f(4x,y)＋eq\f(y,x)≥5＋2eq\r(\f(4x,y)×\f(y,x))＝9，当且仅当eq\f(4x,y)＝eq\f(y,x)，即x＝3，y＝6时等号成立，故x＋y的最小值为9.4．已知x，y都为正实数，且x＋y＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝5，则x＋y的最大值是()A．3 B．3.5C．4 D．4.5解析：选C因为x＋y＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝x＋y＋eq\f(x＋y,xy)≥x＋y＋eq\f(x＋y,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2)＝x＋y＋eq\f(4,x＋y)，所以x＋y＋eq\f(4,x＋y)≤5.令x＋y＝t.则t2－5t＋4≤0，解得1≤t≤4.5．(2019·西藏林芝期中)若x，y均为正数，则eq\f(3x,y)＋eq\f(12y,x)＋13的最小值是()A．24 B．28C．25 D．26解析：选C因为x，y均为正数，所以由基本不等式得eq\f(3x,y)＋eq\f(12y,x)＋13≥2eq\r(\f(3x,y)·\f(12y,x))＋13＝25，当且仅当x＝2y时等号成立，故eq\f(3x,y)＋eq\f(12y,x)＋13的最小值是25，故选C.[B级保分题——准做快做达标]1．(2019·郑州外国语学校月考)若a>b>1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R＝lgeq\f(a＋b,2)，则()A．R<P<Q B．Q<P<RC．P<Q<R D．P<R<Q解析：选C∵a>b>1，∴lga>lgb>0，eq\f(1,2)(lga＋lgb)>eq\r(lga·lgb)，即Q>P.∵eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)，∴lgeq\f(a＋b,2)>lgeq\r(ab)＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，即R>Q，∴P<Q<R.2．(2019·湖北稳派教育联考)若x>0，y>0，则“x＋2y＝2eq\r(2xy)”的一个充分不必要条件是()A．x＝y B．x＝2yC．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1解析：选C∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2eq\r(2xy)，当且仅当x＝2y时取等号．故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝2eq\r(2xy)”的充分不必要条件，故选C.3．(2019·豫西南联考)已知正项等比数列{an}的公比为2，若aman＝4aeq\o\al(2,2)，则eq\f(2,m)＋eq\f(1,2n)的最小值为()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(3,2)解析：选C由题意知aman＝aeq\o\al(2,1)2m＋n－2＝4aeq\o\al(2,1)22＝aeq\o\al(2,1)24，∴m＋n＝6，则eq\f(2,m)＋eq\f(1,2n)＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)＋\f(1,2n)))(m＋n)＝eq\f(1,6)eq\f(5,2)＋eq\f(2n,m)＋eq\f(m,2n)≥eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))＝eq\f(3,4)，当且仅当m＝2n时取等号，∴eq\f(2,m)＋eq\f(1,2n)的最小值为eq\f(3,4)，故选C.4．(2019·岳阳一中模拟)已知a>b>0，则2a＋eq\f(4,a＋b)＋eq\f(1,a－b)的最小值为()A．6 B．4C．2eq\r(3) D．3eq\r(2)解析：选A因为eq\f(4,a＋b)＋eq\f(1,a－b)＝eq\f(1,2a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a＋b)＋\f(1,a－b)))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋b＋a－b))＝eq\f(1,2a)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋eq\f(a＋b,a－b)＋eq\f(4a－b,a＋b)))≥eq\f(1,2a)(5＋4)＝eq\f(9,2a)(当且仅当a＝3b时取等号)，所以2a＋eq\f(4,a＋b)＋eq\f(1,a－b)≥2a＋eq\f(9,2a)≥6(当且仅当a＝eq\f(3,2)时后一个不等式取等号)，故选A.5．(2019·甘肃诊断)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值是()A.eq\f(5,3) B.eq\f(8,3)C．8 D．24解析：选C因为a∥b，故3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)＝eq\f(1,3)(2x＋3y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)＋\f(2,y)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋eq\f(9y,x)＋eq\f(4x,y)))≥eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋2\r(\f(9y,x)·\f(4x,y))))＝8，当且仅当x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,2)时等号成立，所以eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值为8，故选C.6．若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝8，则a＋b＋c的最大值为()A．9 B．2eq\r(3)C．3eq\r(2) D．2eq\r(6)解析：选D(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝8＋2ab＋2ac＋2bc.∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，∴8＋2ab＋2ac＋2bc≤2(a2＋b2＋c2)＋8＝24，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴a＋b＋c≤2eq\r(6).7．(2019·林州一中模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为()A．10 B．15C．20 D．25解析：选C由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5可得S8－S4＝S4＋5，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，综上可得：a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝eq\f(S4＋52,S4)＝S4＋eq\f(25,S4)＋10≥2eq\r(S4×\f(25,S4))＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立．故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.8．(2019·赣州月考)半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→)))·eq\o(PC,\s\up7(→))的最小值是()A．2 B．0C．－1 D．－2解析：选D∵O为AB的中点，∴eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))，从而(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→)))·eq\o(PC,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))·eq\o(PC,\s\up7(→))＝－2|eq\o(PO,\s\up7(→))|·|eq\o(PC,\s\up7(→))|.又|eq\o(PO,\s\up7(→))|＋|eq\o(PC,\s\up7(→))|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝eq\f(1,2)AB＝2≥2eq\r(|eq\o(PO,\s\up7(→))|·|eq\o(PC,\s\up7(→))|)，∴|eq\o(PO,\s\up7(→))|·|eq\o(PC,\s\up7(→))|≤1，∴－2|eq\o(PO,\s\up7(→))|·|eq\o(PC,\s\up7(→))|≥－2，∴当且仅当|eq\o(PO,\s\up7(→))|＝|eq\o(PC,\s\up7(→))|＝1，即P为OC的中点时，(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→)))·eq\o(PC,\s\up7(→))取得最小值－2，故选D.9．(2019·玉溪月考)在△ABC中，若a2＋b2＝2c2，则内角C的最大值为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,3)解析：选C∵a2＋b2＝2c2，∴由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)≥eq\f(a2＋b2－c2,a2＋b2)＝eq\f(2c2－c2,2c2)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝b时取等号．∵C是三角形的内角，∴角C的最大值为eq\f(π,3)，故选C.10．(2019·淮安学情调研)已知正数x，y满足x＋2y＝3，则eq\f(y,x)＋eq\f(1,y)的最小值为________．解析：∵x>0，y>0，x＋2y＝3，∴eq\f(y,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(y,x)＋eq\f(\f(x＋2y,3),y)＝eq\f(y,x)＋eq\f(x,3y)＋eq\f(2,3)≥2eq\r(\f(y,x)·\f(x,3y))＋eq\f(2,3)＝eq\f(2\r(3)＋2,3)，当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f(x,3y)即x＝6eq\r(3)－9，y＝6－3eq\r(3)时等号成立，∴eq\f(y,x)＋eq\f(1,y)的最小值为eq\f(2\r(3)＋2,3).答案：eq\f(2\r(3)＋2,3)11．(2019·嘉兴基础测试)若正实数m，n满足2m＋n＋6＝mn，则mn的最小值是________．解析：由2m＋n＋6＝mn，m>0，n>0，得2eq\r(2mn)＋6≤2m＋n＋6＝mn，令eq\r(2mn)＝t(t>0)，则2t＋6≤eq\f(t2,2)，即t2－4t－12≥0，解得t≤－2(舍)或t≥6，即eq\r(2mn)≥6，mn≥18，则mn的最小值是18.答案：1812．(2019·张掖月考)设a>0，b>1，若a＋b＝2，则eq\f(3,a)＋eq\f(1,b－1)的最小值为________．解析：∵a>0，b>1，a＋b＝2，∴eq\f(3,a)＋eq\f(1,b－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(1,b－1)))(a＋b－1)＝3＋eq\f(3b－1,a)＋eq\f(a,b－1)＋1＝4＋eq\f(3b－1,a)＋eq\f(a,b－1)≥4＋2eq\r(3)，当eq\f(3b－1,a)＝eq\f(a,b－1)，即a＝eq\f(3－\r(3),2)，b＝eq\f(\r(3)＋1,2)时取等号，故最小值为4＋2eq\r(3).答案：4＋2eq\r(3)13．(2019·石家庄高三一检)已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2,3)，则a＋b的最小值为________．解析：因为直线l经过点(2,3)，所以2a＋3b－ab＝0，所以b＝eq\f(2a,a－3)>0，所以a－3>0，所以a＋b＝a＋eq\f(2a,a－3)＝a－3＋eq\f(6,a－3)＋5≥5＋2eq\r(a－3·\f(6,a－3))＝5＋2eq\r(6)，当且仅当a－3＝eq\f(6,a－3)，即a＝3＋eq\r(6)，b＝2＋eq\r(6)时等号成立．答案：5＋2eq\r(6)14．(2018·唐山二模)已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1.(1)求证：a＋b≤2；(2)判断等式eq\r(ac)＋eq\r(bd)＝c＋d能否成立，并说明理由．解：(1)证明：由题意得(a＋b)2＝3ab＋1≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＋1，当且仅当a＝b时取等号．解得(a＋b)2≤4，又a，b>0，所以a＋b≤2.(2)不能成立．理由：由均值不等式得eq\r(ac)＋eq\r(bd)≤eq\f(a＋c,2)＋eq\f(b＋d,2)，当且仅当a＝c且b＝d时等号成立．因为a＋b≤2，所以eq\r(ac)＋eq\r(bd)≤1＋eq\f(c＋d,2).因为c>0，d>0，cd>1，所以c＋d＝eq\f(c＋d,2)＋eq\f(c＋d,2)≥eq\f(c＋d,2)＋eq\r(cd)>eq\f(c＋d,2)＋1≥eq\r(ac)＋eq\r(bd)，故eq\r(ac)＋eq\r(bd)＝c＋d不能成立．15．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝eq